Mines Maths 1 PC 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une fonction hypergéométrique
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, théorème de dérivation sous le signe somme, théorème d'intégration terme à terme des séries de fonctions, séries entières, équations différentielles

Corrigé

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A2006 MATH. IPC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3' heures) L'uSage d'ordinateur ou de calculette est interdit._ Sujet mis à la disposition des concours : EN STIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve,' un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énonCé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. On rappelle que la fonction Gamma est définie pour tout réel 2 > 0 par F(z) = / t""1e_t dt. 0 Cette fonction possède les deux pr0priétés suivantes: --- pour tout réel 2 strictement positif, P(z + 1) : zF(z); -- il est admis que lug--1 _ u 5...1 u _ P(O4)P(fi> [@ (1 ) d _F(a+fi)' pour tous réels & > 0 et fi > O. I. Fonctions hypergéométriques 1). Soit 2: un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur les réels oz et 5 pour que la fonction soit intégrable sur IR+. 2) Soit z un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur les réels &, ,5 pour que la fonction tl_> (_t)a--1(l + t)fi_16_2t? soit intégrable sur ] -- 17 0 [. On fixe maintenant deux réels Oz > O, [3 > 0 et on définit les fonctions pour tout réel strictement positif z. Montrer que Il et 12 sont continûment dérivables sur ]RÏÎr et que 1{ = --K et 15 = ----K + 12. (E) Montrer que zK : oz]1 + 512. 11(Z) En déduire que le vecteur I(z) : ( ] ( ) 2 Z ) est solution d'un système différentiel linéaire sur Rî : l'(Z> = «4(2)1(2), (S) où A(z) est une matrice que l'on explicitera. Montrer que K satisfait sur R'; une équation différentielle linéaire d'ordre 2 que l'on explicitera. On définit les fonctions Montrer que les fonctions J1, J2, L satisfont les mêmes relations que respectivement, 11, 12, K définies dans l'équation (E), que le vecteur J J = ( J1 ) est solution du même système différentiel que 1 (voir (S)) 2 et que L satisfait la même équation différentielle que K (trouvée à la question 6). II. ...) 11) 12) Calcul du Wr0nskien de (8) Montrer que pour tout t > O et z 2 1 t - ._ ' t 5_1 ; l5--1l<1+t>5--2781Û227 @ _) _ 1 < z t '"lÛ--ll,Sl/3S2 Z En déduire que peur tous réels & > 0, 3 > 0 +00 _ / t°"1(1 + r)Ü--1e"zt dt 0 est équivalent à P(d)z"° quand 2 tend vers +00, c'est--à--dire que (/O+oeta--l(i +t)5"1e"zt dt -- F(a)z--a> : o(z--a), quand 2 tend +00. Montrer7 pour tous réels & > 0 et 5 > 0 et pour tout réel z, l'identité: 1 "î ' 2 / (----t)°'_l(l + t)fi"1e_Zt dt : EURZZ--fi/ ufi"1(l -- Ï)O'_1e""du. 1 0 En déduire que cette intégrale est équivalente à P(fi)eZz--Ü quand :: tend vers +00. En déduire que 0 / (--t)°"1(i + t)fi_1e--Zt dt, . --1 est équivalent à Î(5)ezg_fi quand 2 tend vers +00. Pour tous réels & > O, 5 > 0, z > 0 on définit le VVr0nskien ]1(Z> J1(Z)) 12(Z) J2(Z) ' 513) 14) 15) Donner un équivalent de w(z) quand z tend vers +00. Montrer que w satisfait une équation différentielle linéaire d'ordre 1 que l'on explicitera. Montrer que, pour tout z réel strictement positif, w(z) : I'(a)I'(fi)z"a"fiez. III. Développement en série 16) 17) 18) Montrer que si fi est un entier strictement positif OO / t" 1(1 + t)51 e"'Z't dt= z"û*5+1P(z) 0 où P(z) est un polynôme de degré 5 ---- 1 en la variable 2, que l'on expli-- citera. Pour tout réel :1: et tout entier positif n, on pose n--1 (...) = H(æ + k), k=0 pour n > 0 et (33,0) : 1. Soient @ et b deux réels. On suppose de plus que 19 n'est pas un entier négatif. Calculer le rayon de convergence de la série entière de terme général !: Uk :____ (a, ) k!(b,k) On note alors pour tout réel oe F(a,b,oe) Montrer pour tout réel strictement positif z, l'identité suivante: 0 a----- , --1 --zt __ FF()3) /--1(--t) 1(1+Ë)B EUR dÉ----- mF(OE,Q+/Ü,Z>. 19) Montrer directement (sans utiliser la partie 1) que la fonction y(æ) : F (a,b,æ) est solution sur R de l'équation différentielle suivante OE@/'(OE) + (b -- OE)y'(æ) -- ay(OE) = 0- 20) Montrer que si () n'est pas un entier, on peut trouver des réels a' et b' tels que y(z) : z1"bF(a', b', 2) soit solution sur R*+ de la même équation différentielle. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 1 PC 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre Bel (ENS Cachan) et David Lecomte (Professeur en CPGE). Ce sujet a failli être passionnant. Il annonce en effet qu'il étudie les fonctions hypergéométriques, qui sont un thème classique en mathématiques depuis leur introduction par Gauss en 1812. Hélas, cette bonne idée est sabotée : l'énoncé ne dit pas ce qu'est une fonction hypergéométrique, la vue d'ensemble de la démarche est laissée en exercice au candidat, et au final on ne profite pas des résultat acquis pour montrer quelques applications. Nous remédierons à ces lacunes au fil du corrigé. Toutefois, si l'on fait abstraction du folklore « hypergéométrique », nous avons là un sujet de concours bien conçu, qui alterne les théorèmes et les calculs, qui récompense le soin et la maîtrise du programme, sans oublier de proposer des questions qui permettent de grappiller des points même si l'on ne comprend rien aux questions difficiles. Il se décompose en trois parties de longueurs comparables et de difficulté croissante : · La première partie introduit une fonction K définie par une intégrale dépendant d'un paramètre : Z + K : z 7 t (1 + t) e -zt dt 0 et deux fonctions auxiliaires (I1 et I2 ) dont le calcul suffit à connaître K. Après les vérifications d'usage (intégrabilité, dérivabilité, classe C 1 ), on montre que connaître I1 et I2 revient à savoir résoudre un système différentiel (S). En vue de préparer la deuxième partie, on introduit encore une fonction L dont les fonctions auxiliaires J1 et J2 vérifient elles aussi (S). La lourdeur des notations est le principal obstacle dans cette partie ­ pour qui connaît ses théorèmes. · La deuxième partie ramène l'étude de (S) à la résolution d'une équation différentielle du premier ordre (question 14), dont on détermine une condition initiale (question 13) et la solution générale (question 15). Les questions 8 à 12 ne servent qu'à préparer cet aboutissement. Ce sujet était également posé en filière PSI, avec une question supplémentaire à la fin de la partie II consistant à transposer sur (S) les résultats de la question 15. · La troisième partie montre que les fonctions de la première partie peuvent s'exprimer comme des séries entières hypergéométriques. Au final, cette épreuve constitue un très bon entraînement aux écrits grâce à sa démarche progressive et raisonnablement guidée, à son recours aux résultats déjà obtenus et à son utilisation intensive des théorèmes du cours. Indications Partie I 1 Utiliser les règles d'intégrabilité de t 7- 1/t en 0 et en +. 3 Montrer que I1 et I2 satisfont les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe intégral. 4 Intégrer K par parties en dérivant t 7- t (1 + t) et en intégrant t 7- e -zt . 5 Rassembler les égalités obtenues aux questions 3 et 4. 6 Dériver deux fois les formules de la question 3 et une fois celles de la question 4, puis les combiner. 7 Raisonner comme dans les quatre questions précédentes en prenant garde à ne pas refaire des calculs inutiles. Partie II -1 t . 1+ z 9 Calculer la différence demandée en effectuant le changement de variable u = zt. Majorer ensuite la fonction située sous l'intégrale. 8 Appliquer l'inégalité des accroissements finis à la fonction t 7- 10 Effectuer le changement de variable t = u/z - 1. 11 Raisonner comme à la question 9. 12 Utiliser la question précédente et montrer que la deuxième partie de l'intégrale est négligeable devant la première. 13 Appliquer les résultats d'équivalence des questions 9 et 12 aux fonctions intervenant dans la définition de w. 14 Calculer la dérivée de w et remplacer les expressions obtenues à l'aide des résultats des questions 5 et 7. 15 Résoudre l'équation obtenue à la question précédente, et utiliser la question 13 pour déterminer la constante. Partie III -1 16 Développer (1 + t) à l'aide de la formule du binôme. 17 Calculer la limite de un+1 /un . 18 Développer en série entière la fonction exponentielle et utiliser le théorème d'intégration terme à terme des séries de fonctions. À l'aide des rappels du début de l'énoncé, faire intervenir les coefficients (a, k). 19 Dériver terme à terme la fonction y et ajuster les indices. 20 Évaluer l'équation différentielle en y et déduire les valeurs de a et b du résultat de la question 19. I. Fonctions hypergéométriques Une série hypergéométrique est une série dans laquelle le quotient des coefficients successifs an /an-1 est une fraction rationnelle en n, c'est-à-dire qu'il existe des polynômes P et Q indépendants de n tels que n N an P(n) = an-1 Q(n) Leur nom provient duPfait que ce sont des généralisations des séries géométriques, de la forme z n , dans lesquelles les quotients successifs des coefficients sont égaux à 1, donc constants. Si la série est convergente, la fonction qui en découle est appelée fonction hypergéométrique. On montrera à la question 18 que les intégrales définies dans cette partie sont hypergéométriques (voir aussi la remarque clôturant le corrigé). 1 Soit z R+ . Notons f la fonction t 7- t-1 (1 + t)-1 e -zt . Elle est continue (donc intégrable) sur tout segment inclus dans R+ , en tant que produit de fonctions qui le sont, si et seulement si > 1. Il reste à étudier l'intégrabilité en +. Comme z est strictement positif, par croissances comparées, on sait que t2 f (t) = t+1 (1 + t)-1 e -zt ---- 0 t+ quelles que soient les valeurs de et ; autrement dit, f (t) = o(t-2 ) en +. Comme t 7- t-2 est intégrable en +, on en déduit qu'il en est de même pour f . t 7- t-1 (1 + t)-1 e -zt est intégrable sur R+ si et seulement si > 1. Au vu des résultats à suivre dans le problème, et surtout de l'hypothèse qui suit la question 2, il paraît légitime de penser que l'énoncé comporte une erreur dans cette question : déterminons à présent des conditions nécessaires et suffisantes sur et pour que la fonction f soit intégrable sur R+ plutôt que sur R+ . Une fois que l'on a repéré l'erreur d'énoncé, il peut sembler étonnant de procéder ainsi, en répondant d'abord à la question posée, puis à la question que l'on considère exacte. Si l'erreur de l'énoncé rendait la question impossible, on ne répondrait alors pas à la question posée, mais directement à la question corrigée. Ici, la question posée est inutile pour la suite mais faisable, et même facile, donc on la traite avant de répondre (en donnant ses raisons) à la question que l'on suppose être correcte. La fonction f est continue (donc intégrable) sur tout segment inclus dans R+ , en tant que produit de fonctions qui le sont. Il reste à étudier l'intégrabilité en 0 et en +. · En 0 : on a f (t) t-1 , donc f est intégrable si et seulement si - 1 > -1, c'est-à-dire > 0. · En + : z étant strictement positif, on en déduit par croissances comparées que f (t) = o(t-2 ) quelles que soient les valeurs de et de . Par suite, la fonction f est intégrable. t 7- t-1 (1 + t)-1 e -zt est intégrable sur R+ si et seulement si > 0. Rappelons un résultat classique et fort utile d'intégrabilité : · Si b R, la fonction t 7- 1/(b - t) est intégrable en b si et seulement si < 1. · La fonction t 7- 1/t est intégrable en + si et seulement si > 1. 2 Soit z R+ . Notons g la fonction t 7- (-t)-1 (1 + t)-1 e -zt . Elle est continue (donc intégrable) sur tout segment strictement inclus dans ] -1 ; 0 [, comme produit de fonctions qui le sont. Il reste à montrer l'intégrabilité en -1 et en 0. · En -1 : on a l'équivalent g(t) (1 + t)-1 e z , donc g est intégrable si et seulement si - 1 > -1, c'est-à-dire > 0. · En 0 : on a g(t) (-t)-1 , donc g est intégrable si et seulement si - 1 > -1, c'est-à-dire > 0. t 7- (-t)-1 (1 + t)-1 e -zt est intégrable sur [ -1 ; 0 ] si et seulement si > 0 et > 0. 3 Intéressons-nous d'abord à I1 . Soit A un réel strictement positif. On définit la fonction de deux variables g : [ A ; + [ × ] 0 ; + [ - R+ (z, t) 7- t-1 (1 + t) e -zt Elle est de classe C 1 en sa première variable et on a Par suite, z > A t > 0 g (z, t) = -t (1 + t) e -zt z z > A t > 0 g (z, t) 6 t (1 + t) e -At z Le membre de droite est une fonction de t uniquement, intégrable sur R+ d'après la question 1 puisque + 1 > 0 et + 1 > 0. On a également z > A t > 0 g(z, t) 6 t-1 (1 + t) e -At À nouveau, le membre de droite est une fonction de t, intégrable d'après la question 1 puisque > 0 et + 1 > 0. On peut donc appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégral : I1 est bien définie et de classe C 1 sur [ A ; + [. De plus, Z + Z + g z > A I1 (z) = (z, t) dt = - t (1 + t) e -zt dt = -K(z) z 0 0 Le théorème de dérivation fournit à moindre coût l'existence de K.