Mines Maths 1 PC 2004

Thème de l'épreuve Suites de réels positifs (an)n∈ N telles que n=0an=1
Principaux outils utilisés suites, manipulation de séries, séries entières

Corrigé

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, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ECOLES NATIONALES SUPEROEU@S DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TÉLÉCOMMUNIÇATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÊTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2004 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES l-Filière PC. Cet énoncé comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en eXpliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Ce problème met en évidence par une méthode originale une propriété et une méthode de calcul de la moyenne et de la variance bien connues en Probabilités. Soit S l'ensemble des suites réelles U = (un)"ÊN dont tous les termes u,, sont positifs ou nuls et la somme égale à l : S={Ul U=(un)neN, Vn,u,,20, Eu...=l}. "zo Soit F l'ensemble des fonctions réelles f qui sont des sommes de série entière de rayon de convergence R supérieur ou égal à 1 ; ces séries entières sont convergenæs lorsque le réel x est égal à 1 et leur somme vaut 1 en ce point ; toutes les dérivées des fonctions f en 0 sont positives ou nulles : F= {f | f(x) = Zanx", Za,, = I, R 2 1, Vn,fl")(0) a o}. n=0 n=0 À une suite U = (u,, )OEN, appartenant à S, est associée la fonction f définie par la relation suivante : f(x) = Ëu,, x". n=O Soit j l'application ainsi définie : U I--> f = j(U) ; la fonction j(U) est notée Ü. Propriétés des fonctions de F et des suites de S : 1. Démontrer que toute fonction f, qui appartient à l'ensemble F, est, sur l'intervalle ouvert 1 = ]----1 , 1 [, une fonction indéfiniment dérivable, croissante sur le segment [0,1] et convexe sur l'intervalle semi--ouvert [O, 1 [. 2. Démontrer que toute fonction fi qui appartient à l'ensemble F, est continue à gauche en 1. Exemples : soient G, E' et Vles trois suites définies par les relations suivantes : . G est la suite géométrique de terme général g,, = 1/2'" ' : G= (âerr - Étant donné un entier naturel q, E" est la suite dont tous les termes sont nuls sauf le terme de rang q égal à 1 : 154 = (0,....,0,1,0,.---). . V = (vu)"EN est la suite de réels définie par les relations suivantes : ® "1 v0=1/2;pourn21, v,,=«%--aveca= 22 ----15-- . n n=l n 3. Montrer que les suites G, Eq et Vsont dans S. Déterminer les images @ == j(G ), Ëî == j(E" ) des suites G et E9 ; calculer la dérivée V' de la fonction V : j(V) image de la suite V; puis donner l'expression de V(x) à l'aide d'une intégrale. 4. Soit f une fonction appartenant à l'ensemble F. Démontrer que, si la fonction f est nulle en () (f(0) = 0), la fonction f est, soit égale à x sur le segment [O, 1 ], soit strictement majorée par x sur l'intervalle ouvert ]0, 1 [ (O flx)  O), l'équation f(x) = x a, dans l'intervalle ouvert ]0, 1 [, au plus une solution. 5. Démontrer que, pour toute suite U appartenant à l'ensemble S, la fonction j (U) appartient à l'ensemble F. Démontrer que l'application j est une application bijective de l'ensemble S sur l'ensemble F. Une loi de com position dans l'ensemble S : Étant données deux suites U = (un)"EURN et V = (v,,)nGN appartenant à l'ensemble S, soit U * V la suite, dont les termes w... n G N, sont définis par la relation suivante : n W,, = E a,, Vn_p. p=0 6. Démontrer que la suite U * V = (W,, )mEN ainsi définie appartient à l'ensemble S. 7. Démontrer qu'étant données deux suites U et Vde S, àla composée U * Vde ces suites correspond par l'application j le produit des fonctions j(U) et j( V) : AA j(U*V)=J'(OEJ'(V) ou ÜÎ'Y= U.V. 8. Démontrer que la loi de composition * définie ci--dessus est associative, a un élément neutre et est commutative. Étant donnés un réel p, strictement compris entre 0 et 1 (0 < p < 1 ) et un réel À strictement positif, soient BP , I'" et I'!" les suites définies de la manière suivante : . B" est la suite dont tous les termes fifi, n EUR N, sont nuls sauf les deux premiers : [3% == 1 --- p aÆ=p= B" = (1 --p, p, 0, 0,...). - N' est la suite de terme général 75 = (l ---- p) p", n e N : F'=(U--pnfL@r . H" est la suite de terme général 7tâ == %-- e*À, n e N : Produit de com position * de chacune de ces suites q fois avec elle--même : 9. Démontrer que les trois suites BP , PP et 1'I appartiennent à l'ensemble S. Déterminer leurs A A A images BP, PP et H" par l'application j. 10. Étant donné un entier naturel q strictement positif, déterminer les suites BP"), PP"! et Hi"! obtenues respectivement à partir des suites BP, PP et II" par composition q fois avec elle--même. Préciser les termes de ces suites notés respectivement fifi", EUR" et 7râ*" , n e N. Pour un réel À donné, limite de la suite B'Ë'*'I lorsque l'entier q croît vers l'infini. 11. Le réel strictement positif 1 est donné ; lorsque l'entier q est suffisamment grand, le rapport À/q est un réel strictement compris entre 0 et 1. Déterminer, pour tout entier n fixé, la limite du terme À- . B;,' "' de rang n de la suite B'Ê'*q , lorsque l'entier q croît vers l'infini. Exprimer cette limite à l'aide du terme 7rä de rang n de la suite H*. Suite d'éléments de S : 12. Soit une suite (Uq ) @ d'éléments de l'ensemble S. Soit u?, le terme de rang n de la suite U" : * U" = (uî,')nEN . Cette suite d'éléments de S est supposée telle que chacune des suites des termes de rang n (u3 ) @ est, lorsque l'entier q croît vers l'infini, une suite convergente de limite v,,. Démontrer que la série de terme général v,,, n & N, est une série de terme général positif ou nul, convergente, de somme inférieure ou égale à 1 : «) Ev,,_<_l. n=0 Donner un exemple de suite (Uq ) @ d'éléments de l'ensemble S telle que chacune des suites (u?, >qu définie par les termes de rang n soit convergente et de limite v,, nulle. Étant donné un réel r strictement positif (r > 0), soit Sr le sous--ensemble des éléments U = (u,, ),,eN de l'ensemble S tels que la série de terme général u,, n', n 6 N , soit convergente. S,= {Ul UES, U=(un)nÈN, Zu,,n' 0, s > O) , démontrer que, si les réels r et s sont distincts l'un de l'autre (r = s), l'un des deux sous--ensembles S, et S, est contenu dans l'autre. À une suite U = (un)"eN appartenant à l'ensemble S 1 , est associé le réel M( U), appelé moyenne de U, défini par la relation suivante : M(U) = in un. n=l À une suite U = (un)"ëN appartenant à l'ensemble 52, est associé le réel V( U), appelé variance de U, défini par la relation suivante : V(U) = Ên2 un ----M(U)2. n=l Dans toute la suite du problème l'élément U de S appartient au sous--ensemble SZ . Positivité de la variance : 14. Un résultat préliminaire : soient N un entier strictement positif et A = (a,-- ) ISISN une suite de N réels strictement positifs (1 5 i S N, a,-- > O) . Démontrer que l'application (p qui, à deux vecteurs de R" , X = (x,--) 15i5N et Y = (Vi)1sigv associe le réel N (Û(X, Y) '" Za: xiyia i=l est un produit scalaire dans RN . 15. Pour tout élément U de 82, démontrer l'existence des deux grandeurs M(U) et V(U). Démontrer que la variance V(U) est positive ou nulle : nmzu Indication : comparer, pour tout entier N, les deux expressions suivantes : (Ënun)2_ et (ÈuJ.(ËÆ un). Une expression approchée de la fonction Üà l'aide de la moyenne et de la variance : A A A 16. Démontrer que les dérivées première U ' et seconde U " de U admettent une limite lorsque le réel x tend vers 1 par valeurs inférieures. Déterminer ces deux limites, notées Ü'(1) et Ü"(l ), en fonction de M(U) et V(U). 17. Soit x +--+ e(x) la fonction définie sur l'intervalle ouvert ]--1 , 1 [ par la relation suivante : s(x) = 'Ù"(1)- 'Ü"(x). Démontrer, pour tout réel x compris strictement entre 0 et 1, l'inégalité suivante : îf(x)--1--M(U>----â--(V(U)+M(Uÿ --M(U))(x-- 1>Zl : %;(x-- 1)2 e(x). Moyenne et variance des trois suites B", I'" et Il : 18. Démontrer, lorsque p est un réel strictement compris entre 0 et 1 et À un réel strictement positif, que les trois suites BP , PP et l'I'1 définies ci--dessus, appartiennent à l'ensemble Sz. 19. Calculer pour chacune de ces suites BP , PP et D'" la moyenne et la variance. C'est--à--dire les six grandeurs : M(BP), V(B"), M(FP), V(FP), M(II"), V(H"). FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 1 PC 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Ce sujet propose une étude des suites « stochastiques », qui sont des suites à termes positifs dont la série numérique associée a pour somme 1. En dépit des apparences, ces suites sont tout à fait naturelles : à partir de toute suite dont la série associée est convergente, on obtient une suite stochastique en divisant chaque terme de la suite par la somme de la série. Le problème est divisé en neuf étapes, qui peuvent être regroupées en trois temps : · On montre d'abord que l'ensemble S des suites stochastiques est en bijection avec une classe de fonctions développables en série entière. Des exemples permettent de se faire la main sur les notations introduites. · On étudie ensuite une loi de composition sur S, qui n'est autre qu'un classique produit de Cauchy, dont on étudie les premières propriétés sur des exemples. On introduit ainsi la moyenne et la variance d'une suite de S. On montre que la variance est une quantité positive. · Enfin, les résultats obtenus permettent de construire une méthode de calcul effectif de la moyenne et de la variance, méthode qui est mise en oeuvre sur les exemples précédemment étudiés. Le fait que le sujet porte sur des notions reliées aux probabilités ne doit pas effrayer le candidat : toutes les questions s'appuient exclusivement sur le programme des classes préparatoires. Les probabilités jouent ici un rôle de fil conducteur qui donne de l'enjeu à l'étude, ce qui est toujours appréciable. Indications 2 Étudier la convergence absolue de la série en 1. 3 Ne pas oublier de préciser les rayons de convergence. Pour l'expression intégrale b on cherchera à exprimer sa dérivée à l'aide de fonctions usuelles. de V, 4 Utiliser la convexité des éléments de F en exploitant le fait que le graphe d'une fonction convexe est en-dessous de toutes ses cordes. Pour la deuxième partie, on se ramènera au cas précédent à partir d'une solution de l'équation. 5 Vérifier le bien-fondé de j en remarquant que l'image de tout élément de S est un élément de F. Pour l'injectivité, penser à l'unicité du développement en série entière. 6 Utiliser le produit de Cauchy. 8 Pour démontrer l'associativité, on pourra utiliser la bijection j et l'associativité du produit sur F. 9 Là encore, ne pas oublier de préciser les rayons de convergence. 10 Utiliser les résultats de la question précédente, l'importante relation trouvée à la question 7 ainsi que la bijection entre les ensembles S et F établie à la question 5. 11 Utiliser le résultat de la question précédente pour passer à la limite. 12 Pour la suite d'éléments de S, penser aux exemples étudiés dans les questions précédentes. 15 On cherchera à appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec la forme bilinéaire, symétrique et positive étudiée à la question précédente. 16 Utiliser les mêmes arguments qu'à la question 2. 17 Appliquer le théorème de Taylor avec reste intégral. 19 Utiliser les résultats des questions 9 et 16. Propriétés des fonctions de F et des suites de S 1 Soit f une fonction appartenant à l'ensemble F. Par définition, f est la somme d'une série entière de rayon de convergence R supérieur à 1 : grâce au théorème d'infinie dérivabilité des séries entières sur leur disque de convergence, on sait que f est de classe C sur l'intervalle ouvert ] -R ; R [ et donc, en particulier, f est indéfiniment dérivable sur ] -1 ; 1 [. En effet, rappelons qu'une série entière converge normalement sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence. On en déduit alors le résultat, puisqu'une série entière et sa série dérivée ont le même rayon de convergence. x ] -R ; R [ f (x) = P an xn n=0 où an est positif ou nul pour tout n puisque f (n) (0) est également positive ou nulle. On en déduit donc, par croissance de la fonction puissance, P 0 6 x < x 6 1 = f (x ) - f (x) = an (xn - xn ) > 0 n=0 Ainsi, f est croissante sur le segment [ 0 ; 1 ]. Bien entendu, on aurait pu étudier la monotonie de f en examinant le signe de sa dérivée pour en déduire ses variations. Pour établir la convexité de f , étudions le signe de sa dérivée seconde. P + x [ 0 ; 1 [ f (x) = n(n - 1)an x(n-2) > 0 n=2 Toute fonction appartenant à F est indéfiniment dérivable sur l'intervalle ] -1 ; 1 [, croissante sur [ 0 ; 1 ] et convexe sur [ 0 ; 1 [. Pour traiter cette question, on peut également remarquer que f est une somme de fonctions toutes croissantes et convexes sur [ 0 ; 1 ]. Or, on montre facilement qu'une somme (finie) de fonctions croissantes (respectivement convexes) est une fonction croissante (resp. convexe). Le résultat s'en déduit aussitôt par passage à la limite : la convergence simple préserve donc la croissance et la convexité des fonctions. 2 Si f désigne un élément de F, on a P + x ] -R ; R [ f (x) = an xn n=0 Or, n N x [ -1 ; 1 ] |an xn | 6 |an | Par hypothèse, la série de terme général P an est convergente (sa somme vaut précisément 1). On en déduit que la série an xn converge normalement sur [ -1 ; 1 ]. En particulier, la convergence est uniforme sur [ -1 ; 1 ] et f est donc continue sur ce segment. Toute fonction appartenant à l'ensemble F est continue à gauche en 1. Il s'agit d'un résultat général : si une série est absolument convergente P sur le cercle d'incertitude (c'est-à-dire que la série |an | Rn converge), alors elle est normalement convergente sur le disque fermé de convergence. Exemples 3 Montrons que les suites G, Eq et V ainsi définies sont dans S. · La suite G est bien dans S : en effet, tous les termes de la somme sont positifs et P P 1 1 1 gn = = =1 n+1 1 2 n=0 n=0 2 1- 2 Calculons l'image de G par j : le théorème de d'Alembert assure que le rayon b est 2 et de convergence de G xn P 1 1 b x ] -2 ; 2 [ G(x) = = x n+1 2 2 n=0 1- 2 donc x ] -2 ; 2 [ b G(x) = 1 2-x Rappelons que pour une série à termes strictement positifs le théorème de d'Alembert assure la convergence dès que an+1 lim <1 n an P an , (sous réserve d'existence de la limite bien entendu). · Étant donné un entier naturel q, Eq appartient à S puisque tous les termes de cette suite sont nuls, excepté le q e qui vaut 1. On en déduit x R b q = xq E · Enfin, la suite V appartient elle aussi à S car tous ses termes sont positifs et 1 P P 1 1 1 vn = + a = + =1 2 2 2 2 n=0 n=1 n b Le théorème de d'Alembert permet d'affirmer que le rayon de convergence de V est 1 et xn P 1 b x ] -1 ; 1 [ V(x) = +a 2 2 n=1 n On en déduit alors, par dérivation terme à terme et glissement d'indice, x ] -1 ; 1 [ b (x) = a V P xn n=0 n + 1