Mines Maths 1 PC 2003

Thème de l'épreuve Étude de la fonction Γ et application au calcul d'une intégrale
Principaux outils utilisés analyse réelle, théorèmes de continuité et de dérivabilité, calcul intégral
Mots clefs fonction Gamma, intégrales à paramètre

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SÉES. ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AER9NAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMÜNÏCAÏIÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2003 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIERE EPREUVE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES l--Filière PC. Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'objet de ce problème est d'introduire suivant une méthode originale la fonction 1" et de déterminer, à l'aide de cette fonction, une expression de l'intégrale 1 suivante : 1t/2 [: _[ ln(ln(tanx))dx. 1t/4 Première partie Il est admis que, si la fonction réelle f, définie sur un intervalle I de la droite réelle R, est convexe, pour toute suite croissante de trois réels xl, x2, x3, (xl < x2 < x3) appartenant à l'intervalle I, les valeurs prises par cette fonction en ces points vérifient la relation suivante : f(xz)--f(x1) < f(x3)--f(xi) < f(x3)--f(xz)_ X2--Xl --' x3--x1 -- X3--X2 Soit F une fonction inconnue, définie sur la demi--droite ouverte ]O, 00 [, prenant des valeurs strictement positives (F (x) > 0), qui vérifie les propriétés suivantes : i. pour tout réel x strictement positif : F(x+ 1) = xF(x). ii. La fonction x n---+ lnF (x) est une fonction convexe. iii. La fonction F prend la valeur 1 en 1 : F(1) = 1. Encadrement de F (n + x) et de F (x) : Dans les quatre premières questions, x est un réel appartenant à l'intervalle semi--ouvert ]0, 1 ] et n un entier naturel supérieur ou égal à 2 (n 2 2). ]. Démontrer les inégalités suivantes : lnF(n +x) -- lnF(n) ___--___x _ lnF(n) -- lnF(n -- 1) _<_ _<_ lnF(n +1)---- lnF(n). 2. Calculer F (11). En déduire un encadrement de F (11 + x) à l'aide des deux expressions (n ---- l)".(n --1)!etn'.(n -- l)! . 3. Établir la relation qui lie, pour tout entier p supérieur ou égal à 1 (p 2 1), F (p + x) à F (x). 4. En déduire les inégalités suivantes : x | XÎ"F(x) S x(x+ln).Î(x+n) _<_F(x). Unicité de la fonction F : Dans les questions 5 et 6, il est admis qu'il existe une fonction F, positive (F (x) > O), définie sur la demi-droite ouverte ]0, oo [, vérifiant les hypothèses i, ii et iii. Étant donné un entier strictement positif n, soit un la fonction définie sur la demi-droite ouverte 10, oe[ par la relation suivante : n".n! u,,(x) : x(x+ l)...(x+n)' 5. Déterminer, en supposant le réel x appartenir à l'intervalle semi--ouvert ]0, 1 ], la limite de la suite (u,, (x))neNt lorsque l'entier n croît indéfiniment. 6. En déduire la limite de la suite (u,,(x))neN* lorsque l'entier n croît indéfiniment, pour tout réel x strictement positif. 7. En déduire qu'il existe au plus une fonction F définie sur la demi--droite ]0, oo [, strictement positive, vérifiant les propriétés i, ii et iii. Fonction l" : Soit k la fonction définie sur le quart de plan ]0, °°[ x ]0, oe[ par la relation suivante : k(x, t) = tx'1.e". 8. Étudier, pour un réel x donné, l'intégrabilité de la fonction : t |---+ t'" 1.e" ' sur la demi--droite ouverte ]0, oo [ . Soit P la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]0, oo[ par la relation suivante : F(x) : [°° f--1.e--f dt. o 9. Établir que cette fonction F est strictement positive (F(x) > O). 10. Établir que cette fonction I' est deux fois confinûment dérivable sur la demi-droite ouverte ]0, oo [. Donner les expressions de ces dérivées. Préciser l'expression de la dérivée de la fonction F pour x = 1, I"(1 ), au moyen d'une intégrale. Existence dela fonction F : , 11. Démontrer que la fonction I' est la fonction F étudiée dans les questions précédentes. 11 est admis, dans la suite, que la constante d'Euler )! est définie par la relation suivante : y=lim ( -}-(----lnn). n--+oe k=l Valeur de I"(1) : . Soit (g,,),,21 la suite des fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 (n a l), sur la demi--droite ouverte ]0, 00]: par la relation suivante : g,,(x) = x lnn------lnx--Êln(l + -î--) k=l 12. Déterminer, à l'aide des résultats obtenus précédemment, la limite de g,, (x) lorsque l'entier n croît vers l'infini et que le réel x appartient àla demi-droite ouverte ]0, oo [. Soit (v,,)n21 la suite de fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 (n 2 l), sur la demi--droite ouverte ]0, oo[ par les relations suivantes : vl (x) : gl (x) ; pour tout entier n supérieur ou égal à 2, v,,(x) : g,,(x) --- g,,_ 1 (x). 13. 11 est admis que chaque fonction v,,, 11 G N* , est conünûment défivable ; démontrer que la série des fonctions dérivées, de terme général v,, '(x), n G N* , est convergente pour tout x strictement positif puis uniformément convergente sur tout segment [a, b ] contenu dans la demi--droite ouverte ]0, oo [ 14. En déduire la limite de la suite des fonctions dérivées g,, '. 15. Que vaut F'(l) au moyen de la constante d'Euler y ? Seconde partie Soit s un réel donné strictement positif (s > 0). Fonction L : 16. Etudier la convergence de la série de terme général w,,, n EUR N, défini par la relation suivante : -- .. (--1)" ""' " (2n+1)'° Soit L la fonction définie sur la demi-droite ouverte ]0, Go!: par la relation : 17. Démontrer que la série entière de terme général H)" 2... 2n+1 x ' neN, est uniformément convergente sur le segment [O, 1 ]. Soit rp(x) la somme de cette série : Déterminer la fonction (p définie sur le segment [O, 1 ] En déduire L(l ). 18. Soit hs la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]0, oo [, par la relation suivante : hs(x) : ln x xs' Étudier les variations de la fonction hs sur son ensemble de définition. Soit xs l'abscisse du maximum de cette fonction. Préciser les variations de la fonction s o----> xs. 19. Démontrer que la fonction L est confinûment dérivable sur la demi-droite ouverte ]0, oo [ Exprimer la valeur prise en 1 par la fonction dérivée L', L'(1 ), au moyen de la somme d'une série. Expression du produit L(s).F(s) : 20. Calculer, pour tout entier n strictement positif (n e N* ), au moyen d'une valeur prise par la fonction I' , l'intégrale suivante : ® ],1 = I e"'" ts°1dt. o 21. Démontrer la relation : L(s).fls) = [: Î--ÎËÏÎ tS"1 dt. Calcul de l'intégrale ] : Il est admis que la fonction s r--+ L(s).F(s) est confinûment dérivable et que sa dérivée est donnée par la relation suivante : °° e"' Int 0 l+e"" %(L(s).f'(s)) = [ :... dt. 22. Après avoir donné au réels la valeur 1, effectuer le changement de variable u = e' dans l'intégrale. Effectuer un nouveau changement de variables pour obtenir l'intégrale I définie dans le préambule : 1r/2 I = " ln(ln(tanx)) dx. 1! En déduire une expression de l'intégrale I à l'aide de la constante d'Euler et de la somme d'une série. Remarque : un calcul de L'(l) permet d'obtenir le résultat : 1r/2 _ _ F(3/4) [_ mln(ln(tanx))dx .. %'n(Ær(1/4)) FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 1 PC 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre Nolin (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce sujet d'analyse propose d'étudier plusieurs fonctions définies à l'aide d'une série ou d'une intégrale. Il se décompose en deux parties, qui sont liées puisque la seconde utilise plusieurs résultats et définitions de la première. Dans la première partie, la fonction est introduite à l'aide d'une série de propriétés caractéristiques. On montre tout d'abord l'unicité d'une fonction vérifiant ces propriétés, puis on vérifie que la fonction convient. La fin est consacrée au calcul de (1) en fonction de la constante d'Euler . Le but de la seconde partie, bien plus courte, est de calculer l'intégrale Z /2 I= ln(ln(tan x)) dx /4 en étudiant, à l'aide des techniques usuelles, une série de fonctions et une intégrale à paramètre. Dans la dernière question, on aboutit à une expression de I en fonction de , de la constante et de la somme d'une série. Ce problème ne comporte pas de difficultés majeures, mais il utilise toutes les techniques concernant l'étude de séries et d'intégrales dépendant d'un paramètre. Il permet donc de bien faire le point sur cette partie du cours. Indications Première partie 2 Pour calculer F(n), itérer la relation (i). 4 F(n + x) peut s'exprimer en fonction de F(x). 6 Se ramener au cas où x ] 0 ; 1 ] afin d'utiliser la question précédente. 10 On peut supposer x ] a ; b [, avec 0 < a < b, pour obtenir une domination indépendante de x. 11 Pour montrer que (x + 1) = x(x), procéder à une intégration par parties. Pour prouver la convexité de ln , utiliser la caractérisation par la dérivée seconde et l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 12 Remarquer que gn (x) = ln(un (x)). n P 14 On a gn = k , et la convergence de cette série a été étudiée à la question précédente. k=1 15 Chercher le lien avec gn (1). Seconde partie 17 Penser au critère des séries alternées et à l'inégalité qu'il fournit sur le reste. Quelle propriété possède alors ? 19 Pour la convergence uniforme de la série des dérivées, il faut utiliser, là aussi, le critère des séries alternées. On peut pour cela supposer x ] a ; + [, avec a > 0, puis exploiter l'étude des variations de hs . 20 Faire un changement de variable. 21 Partir du membre de droite de la relation et développer en série entière par rapport à la variable X = e-t le dénominateur. L'interversion entre somme et intégrale doit alors être justifiée proprement, par exemple à l'aide du théorème de convergence dominée. Première partie Encadrement de F(n + x) et de F(x) 1 Pour obtenir la partie gauche de l'inégalité, on applique le résultat admis dans l'énoncé à la fonction ln F (qui est convexe sur I = ] 0 ; + [) et aux réels x1 = n - 1, x2 = n et x3 = n + x : ln F(n) - ln F(n - 1) ln F(n + x) - ln F(n) 6 n - (n - 1) (n + x) - n soit ln F(n) - ln F(n - 1) 6 ln F(n + x) - ln F(n) x Pour la partie droite, on procède de même avec les réels x1 = n, x2 = n + x et x3 = n + 1. En toute rigueur, il faut écarter ici le cas x = 1, pour lequel x2 = x3 . On constate qu'il y a alors égalité. Si x 6= 1, ln F(n + 1) - ln F(n) ln F(n + x) - ln F(n) 6 (n + x) - n (n + 1) - n c'est-à-dire ln F(n + x) - ln F(n) 6 ln F(n + 1) - ln F(n) x 2 On a F(1) = 1 (iii). En utilisant la propriété (i), on obtient successivement F(2) = 1 × F(1) = 1, puis F(3) = 2, F(4) = 3 × 2, F(5) = 4 × 3 × 2, etc. Ceci suggère de démontrer par récurrence que F(n) = (n - 1)! pour tout n N (notons P(n) cette propriété). · P(1) est vraie d'après la propriété (iii). · P(n) = P(n + 1) : si F(n) = (n - 1)!, alors d'après (i), F(n + 1) = n × F(n) = n × (n - 1)! = n! donc P(n + 1) est vraie. · Conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n N : F(n) = (n - 1)! Si l'on combine cette expression avec l'inégalité de la question précédente, il vient ln(n - 1)! - ln(n - 2)! 6 soit puis ln(n - 1) 6 ln F(n + x) - ln(n - 1)! 6 ln n! - ln(n - 1)! x ln F(n + x) - ln(n - 1)! 6 ln n x x ln(n - 1) + ln(n - 1)! 6 ln F(n + x) 6 x ln n + ln(n - 1)! En prenant l'exponentielle de cette relation (ce qui préserve le sens des inégalités car exp est une fonction croissante), on obtient (n - 1)x (n - 1)! 6 F(n + x) 6 nx (n - 1)! 3 Comme à la question précédente, une récurrence immédiate donne, en itérant la propriété (i), F(p + x) = x(x + 1) · · · (x + p - 1)F(x) 4 En remplaçant F(n + x) par son expression en fonction de F(x) dans l'inégalité de la question 2, il vient (n - 1)x (n - 1)! 6 x(x + 1) · · · (x + n - 1)F(x) 6 nx (n - 1)! La partie droite de cette inégalité entraîne que nx (n - 1)! F(x) 6 x(x + 1) · · · (x + n - 1) nx n! n F(x) 6 x+n x(x + 1) · · · (x + n) d'où La partie gauche de l'inégalité donne F(x) > (n - 1)x (n - 1)! x(x + 1) · · · (x + n - 1) Ceci étant vrai pour tout n, on peut remplacer n par n + 1 pour obtenir F(x) > nx n! x(x + 1) · · · (x + n) Unicité de la fonction F 5 Comme x ] 0 ; 1 ], on peut appliquer les résultats donnés aux questions 1 à 4. D'après la question 4, n F(x) 6 un (x) 6 F(x) x+n ce qui entraîne un (x) ---- F(x) n 6 Il faut se ramener à la question précédente. Soit, pour x > 0, N N tel que N < x 6 N + 1. On a, en écrivant x = (x - N) + N, un (x) = nx-N n! nN (x - N) · · · (x - N + n) × (x - N) · · · (x - N + n) x · · · (x + n) Or d'une part, d'après la question 5, nx-N n! ---- F(x - N) (x - N) · · · (x - N + n) n et d'autre part, pour n > N, nN (x - N) · · · (x - N + n) nN = (x - N) · · · (x - 1) x · · · (x + n) (x - N + n + 1) · · · (x + n) et d'où nN nN ---- 1 (x - N + n + 1) · · · (x + n) n nN n un (x) ---- (x - N) · · · (x - 1)F(x - N) n