Mines Maths 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Étude d'une classe d'équations sur L(R[X])
Principaux outils utilisés espaces vectoriels réels, applications linéaires, matrices, polynômes, séries entières

Corrigé

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A 2001 Math PC 1 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÔNS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI). CONCOURS D'ADMISSION 2001 Émmrvs DE. MATHEMATIQUES PREMIERE EPREUVE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES l--Filière PC. Cet énoncé comporte 8 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. NOTATIONS Soit Vun espace vectoriel réel _; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel V; l'endomorphisme noté f " , où k est un entier naturel désigne l'endomorphisme unité Id V si l'entier k est nul, l'endomorphisme obtenu en composant f k--fois avec lui-même si l'entier k est supérieur ou égal à 1 : f° =IdVÂfk+l =fk°f Soit E l'espace vectoriel des polynômes réels ; étant donné un entier naturel n, soit E ,, l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n : E = R[X] ; E,, = R,,[X]. Soit D l'endomorphisme de l'espace vectoriel E = R[X] qui, au polynôme Q, fait correspondre le polynôme dérivé Q'. De même, soit D,, l'endomorphisme de l'espace vectoriel E ,, = R,,[X] qui, au polynôme Q, fait correspondre} le polynôme dérivé Q'. L'objet du problème est de rechercher des réels ). pour lesquels l'endomorphisme ). Id E + D est égal au composé d'un endomorphisme g de l'espace vectoriel E avec lui-même ; ainsi que des réels il pour lesquels l'endomorphisme À Id F,, + D,, est égal au composé d'un endomorphisme g de l'espace vectoriel E ,, avec lui--même. Tournez la page S.V.P. - 1/8 -- Les troisième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des première et deuxième parties ainsi que des préliminaires. müünmmxmæs Noyaux itérés : Soient Vun espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V. a. Démontrer que la suite des noyaux des endomorphismes f k , k = O, 1, 2, est une suite de sous--espaces vectoriels de Vemboitée croissante : kerf° (: kerjrl c: kerf2 <: c kerf" c kerf"'+1 c: b. Démontrer que, s 'il existe un entier p tel que les noyaux des endomorphismes f P et f ?" soient égaux (ker f P -- ker f 1" 1 ), pour tout entier q supérieur ou égal a p, les noyaux des endomorphismes f '1 et f '1+1 sont égaux (ker f '1 -- ker f q+1 ) , en déduire la propriété suivante : pour tout entier k supérieur ou égal à p, ker f " : ker f P. En déduire que, si l'espace vectoriel Vest de dimension finie n, la suite des dimensions des noyaux des endomorphismes f " est constante à partir d'un rang p inférieur ou égal à la dimension n (p 5 n). En particulier les noyaux ker f ", ker f "" sont égaux. c. Démontrer que, si l'endomorphisme u d'un espace vectoriel Vde dimension finie n, est tel qu'il existe un entier q supérieur ou égal à 1 (q__ > 1), pour lequel l'endomorphisme u'--' est nul (uq= O), l'endomorphisme u" est nul (u" = O). L'endomorphisme u est dit nilpotent. IÆEMËOEEEMUÛ£ Le but de cette partie est d'établir des propriétés des endomorphismes g recherchés et de donner un exemple. 1--1 Une caractérisation des sous--espaces vectoriels stables par g: Soit À un réel donné. a Étant donné un entier naturel 11 (n G N), soit p un entier naturel inférieur ou égal à l'entier n (0 5 p 5 n). Démontrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E ,, = R,,[X], tel que g2 = Â Idg,, +D,,, l'endomorphisme g commute avec D,, g 0 D" = D" o g. En remarquant que le sous-espace vectoriel Ep = R}) [X] est égal à ker(D,, )"1 , démontrer que E P est stable par l'endomorphisme g de E ,, ; soit g,, la restriction de l'endomorphisme g à E p. Démontrer la relation : oew2=xfig+Dp .y&. b. Démontrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E = R[X], tel que g2 : À Id}; + D, l'endomorphisme g commute avec D : g 0 D = D o g. En déduire que, pour tout entier naturel n, le sous--espace vectoriel E ,, : R,,[X] est stable par l'endomorphisme g et que, si g,, est la restriction de l'endomorphisme g à E ... il vient : (gn)2 : ÀÏdE,, +Dn- 0. Soit g un endomorphisme de l'espace des polynômes réels E : R[X] tel que : g 2 = ). Id E + D. i/ Soit F un sous--espace vectoriel de l'espace vectoriel E de dimension n + 1 stable par l'endomorphisme D. Démontrer que l'endomorphisme D_p, restriction de D à F, est nilpotent. En déduire que le sous--espace vectoriel F est égal à E ,, : Rn[X]. Déterminer ensuite tous les sous-espaces vectoriels G de E (de dimension finie ou non) stables par D. ii/ Démontrer que, pour qu'un sous-espace vectoriel G de E soit stable par l'endomorphisme g, il faut et il sufiit qu'il soit stable par D. I--2\. Une application immédiate : le cas A < 0 : a, A quelle condition nécessaire sur le réel À existe--t--il un endomorphisme g de l'espace vectoriel E 0 = R0 [X] tel que g2 : ÂIdEO +Do ? b. Soit ). un réel strictement négatif (À < 0), déduire des résultats précédents les deux propriétés : . Il n'existe pas d'endomorphisme g de E tel que : g2 = À Id E + D . Il n'existe pas d' endomorphisme g de E ,, tel que : g2 = ÀIdEn +Dn. 1--3. Une représentation matricielle simple de D" : Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 1, À un réel. Matrice A 1 : soit A À la matrice carrée d'ordre n + 1 définie par les relations suivantes : ses coefficients a,.j, i = 0,1,...n, j : 0,1,...,n, sont définis par les relations : aii=À, a =l, a,...=Osij4=iousijii+l. i i+l ] Tournez la page S.V.P. -- 3/8 - C'est--à--dire : À 1 0 0 0 À 1 0 Ag, == 0 0 Â 0 0 0 0 À. a. Soitf un endomorphisme d'un espace vectoriel Vde dimension finie n + 1 tel que l'endomorphismef"+1 soit nul sans que l'endomorphisme f " le soit : f"+1 : 0, f" $ 0. Démontrer qu'il existe un vecteur y de l'espace vectoriel Vtel que la famille B = (f" 07), j""1 (y), y) soit libre. Quelle est la matrice associée à l'endomorphisme f dans la baseB ? b. En déduire qu'il existe une base B ,, de l'espace vectoriel E n = R,,[X] pour laquelle la matrice associée à l'endomorphisme Dn est la matrice A0. Que vaut la matrice associée à l'application À IdE" + DM dans cette base En ? 1--4. Un exemple : Dans cette question l'entier n est égal à 2. a. Démontrer que les seuls endomorphismes h de E 2 qui commutent avec l'endomorphisme D 2_ sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en D2 : h = aIdE2 +b D2 +C (D2)2. a, b, c sont trois réels. b. En déduire qu'il existe des endomorphismes g de E 2 qui vérifient la relation suivante : g2 = Âldgz +D2. Déterminer les matrices carrées G d'ordre 3 qui vérifient la relation suivante : G2 ==A1. DEUXIÈME PARTIE L'objet de cette partie est d'étudier le cas où le réel À est nul. Dans cette partie l'entier n est supposé donné supérieur ou égal à 1. IL]. Existence d'un endomorphisme g tel que g2 = D" : a. Montrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E n = R,,[X] tel que g2 = D... alors l'endomorphisme g est nflpotent et le noyau de l'endomorphisme g2 a une dimension au moins égale à 2 (dim kerg2 Z 2). b. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme g de l'espace vectoriel E ,, = R" [X] tel que -4/8- c. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme g de l'espace vectoriel E = R[X] tel que 2 , g = D. Il--2. Existence d'un endomorphisme g tel que g" = D'" : . Soit 111 un entier supérieur ou égal à 1 (m 2 l) et k un entier supérieur ou égal à 2 (k 2 2). Soit g un endomorphisme de l'espace vectoriel E = R[X] tel que la relation ci--dessous soit vérifiée : gk : Dm . a. Démontrer que les deux endomorphismes D et g sont surj ectifs. b. Démontrer que les sous--espaces vectoriels de E, kerg'l ont des dimensions finies lorsque l'entier q est inférieur ou égal à l'entier k (0 5 q 5 k). 0. son p un entier supérieur ou égal à 2 et inférieur ou égal à k (2 S p _<_ k). Soit (1) l'application définie dans l'espace vectoriel kergP par la relation : (D :P r----> g(P). Démontrer que cette application @ est une application linéaire de kergP dans l'espace vectoriel kergP'l. Quel est le noyau de l'application  O) soitL_,, l'application de R dans _ l'espace des matrices carrées réelles d'ordre n + 1, M ,... (R) qui, au réel : associe la matrice Ln définie par la relation suivante-: M) = Î<--l)"*l£,Ë-- (L,,(t))" : a. Démontrer que, pour tout t réel, la matrice [... + tDn est inversible et que son inverse, noté Tournez la page S.V.P. -- 5/8 - -1 , , . . (I,... + tD,,) , s ecnt sous la forme suivante : (l,... + m,)"1 = Za...) (D,,)". k=0 Déterminer les fonctions ak : t u-----> ak(t) (bien sûr : (D")0 : ...). b. Démontrer que l'application de R dans l'ensemble des matrices, réelles, carrées, d'ordre --1 , . . , . , : , . . n + 1 : t i----+ (I,... + 1D") est denvable ; exprimer sa denvee al aide des matrrces (r,,+l +:D,,)'1 etD,,. c. Démontrer que, pour tout réel t, la matrice L,,(t), élevée à la puissance n + 1 est nulle : (Ln(1))"+1 = 0- d. Calculer la fonction dérivée t +---+ -â--L,,(t) de la fonction ! +--> L,,(t) au moyen des matrices D,, et (In+1+tDn)--l. Étant donné un entier naturel k donné, déduire des résultats précédents l'expression de la fonction dérivée ! i--» %(Ln(t))k de la fonction ! +--+ (L,,(t))" à l'aide de l'entier k et des matrices L,,(t), D,, et (I,... + tD,,) "l. III--2. Matrice (p,,(t) : . Etant donné un réel u, soit (p,,(t) la matrice définie par la relation suivante : rpu = 2 %Ê--(Ln>k. H) . La matrice (Ln (t) )k est la matrice L,,(t) élevée à la puissance k. a. Démontrer qu'étant donnés deux réels u et v le produit des matrices (p,,(t) et (p,,(t) est égal à la matrice (p...(t) :  O) ; en utilisant les résultats de la question précédente -6/8-- et en remarquant la relation suivante u......1 +Dn = A (I... + â--Dn), démontrer qu'il existe une matrice carrée réelle d'ordre n + 1 telle que [VP = À I,... + D... Exprimer cette matrice M avec une matrice (pu(t). En déduire l'existence d'un endomorphisme g de En tel que : g2 : ÀIdËn +Dn. b. Retrouver les matrices obtenues à la question 1--4. QUATRÏÈME PARTIE IV--1 Un développement en série entière: a. Soit h la fonction définie sur la demi-droite [---1_ 00[ par la relation: h(x) = J1 +x. Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre dont une solution est cette fonction h. b. En déduire qu'il existe un intervalle ouvert ]--R,R[ dans lequel la fonction h est la somme d'une série entière de terme général b _p xP , p = 0,1, 2, Déterminer le rayon de convergence R et les coefficients b p. pour tout réel x appartenant à ]--R,R[, h(x) = 2 EP xP. p=0 c. Déterminer les valeurs des réels c... n = 0,1, 2, définis par la relation suivante : = Eb,, bn_p. p___0 lV--2 Existence d'un endomorphisme g de E tel que g2 = À IdE + D où /l est strictement positif : Soit ). un réel strictement positif donné (À > 0). a. Soit T l'application définie dans E : R[X] par la relation : pour tout P de E, T (P) = E --Ê% DPF. Démontrer que T est un endomorphisme de E . b. Calculer pour tout polynôme P de E son image par l'application composée T 0 T = T 2. Tournez la page S.V.P. - 7/8 - c. En déduire l'existence d'un endomorphisme g de E qui vérifie la relation suivante : g2 = Àldg+D. d. En déduire, pour tout entier naturel n, l'existence d'un endomorphisme g" de l'espace vectoriel E ,, = Rn[Xj tel que la relation ci-dessous ait lieu : (gn)2 : ÀIdEn +Dn. Exprimer l'endomorphisme g,, comme un polynôme de l' endomorphisme D,,. Retrouver les matrices obtenues àla question 1--4. FIN DU PROBLÈME -8/8--

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 Mines Maths 1 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par François Michel (École Polytechnique) ; il a été relu par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS Cachan). Ce long sujet d'algèbre est composé de quatre parties et quelques questions préliminaires classiques. On y aborde des notions fondamentales du programme d'algèbre de classes préparatoires, sans faire intervenir les méthodes de réduction d'endomorphismes. On travaille sur les espaces vectoriels R[X] et Rn [X] sauf dans les questions préliminaires. Le but du problème est de rechercher des réels pour lesquels on peut trouver un endomorphisme g de l'un de ces deux espaces tel que g g = Id + D (), où D désigne l'opérateur de dérivation. Les questions préliminaires permettent d'introduire une propriété classique des endomorphismes nilpotents grâce à la « suite de noyaux itérés ». · Dans la première partie, on détermine les sous-espaces stables par g et l'on élimine le cas < 0 avant de construire une base adaptée au traitement matriciel du problème. On parvient, grâce à ces résultats, à résoudre le problème suivant : trouver les matrices réelles G carrées d'ordre 3 vérifiant G2 = A1 où 1 1 0 A1 = 0 1 1 0 0 1 · L'objet de la deuxième partie est d'étudier le cas où est nul en partant des propriétés des endomorphismes g et D. · Dans la troisième partie, indépendante des deux précédentes, on construit directement un endomorphisme solution de () à partir d'une somme de matrices. On retrouve finalement les matrices G obtenues au cours de la première partie. · Enfin, la quatrième partie, également indépendante des précédentes, débute par l'étude d'un développement en série entière. Les coefficients de celui-ci interviennent ensuite dans la définition d'une solution de (). On termine une nouvelle fois en retrouvant les matrices G solutions de l'équation G2 = A1 . Indications Préliminaires b Démontrer par une unique récurrence les propriétés ( Ker f q = Ker f q+1 q N, q > p Ker f q = Ker f p Montrer que la suite (dim Ker f k )kN est réelle, croissante et majorée ; en déduire qu'elle converge. Utiliser ensuite le fait que cette suite prend ses valeurs dans N. Première partie I-1.a Pour montrer que g et Dn commutent, comparer ce que l'on obtient en composant g 2 = id En +Dn par g, soit à gauche, soit à droite. I-1.c Pour montrer que DF est nilpotent, chercher q N tel que F Eq et en déduire que DF q+1 = 0. L'unique sous-espace vectoriel G de E de dimension infinie et stable par D est E lui-même (raisonner par l'absurde). I-2.a Comme dim E0 = 1, g L(E0 ) est de la forme g = id E0 . . . I-3.a Choisir y tel que f n (y) 6= 0. Montrer par récurrence que B est libre. I-3.b Appliquer le résultat de la question précédente à f = Dn . I-4.a Se donner les coefficients de Mat B2 (h) = (hi,j )16i,j63 ; exprimer la relation h D2 = D2 h sous forme matricielle. I-4.b Montrer que g L(E2 ) vérifie la relation g 2 = id E2 +D2 si, et seulement si, il existe trois réels a, b et c solutions du système 2 a = 2ab = 1 2ac + b2 = 0 et tels que g puisse s'écrire g = a id E2 + b D2 + c (D2 )2 Deuxième partie II-1.a Pour obtenir l'inégalité dim Ker g 2 > 2, montrer en raisonnant par l'absurde que Ker g 6= {0} puis que Ker g 6= Ker g 2 . II-1.b Raisonner par l'absurde et chercher une contradiction sur dim Ker Dn . II-2.a Montrer dans cet ordre que D, Dm , g k et g sont surjectifs. II-2.d Montrer qu'il existe g L(E) vérifiant g k = Dm si et seulement si k divise m. Troisième partie III-1.a Montrer que (In+1 + t Dn ) -1 = n P (-1)k tk Dn k . k=0 -1 III-1.b Dériver la relation (In+1 + t Dn ) (In+1 + t Dn ) = In+1 par rapport à t R. n-1 k+1 P k k t III-1.c Remarquer que Ln (t) = Dn (-1) Dn . k+1 k=0 III-2.a Utiliser la formule du binôme de Newton pour développer (u + v)k dans l'expression de u+v (t). III-2.c Déduire de la question précédente que t R Dn 1 (t) = (In+1 + t Dn ) 1 (t) et dériver cette relation par rapport à t. III-3.a Utiliser successivement lesrésultats des questions III-2.c et III-2.a pour ob 1 Mn (R). tenir les matrices + - 1 2 Quatrième partie IV-1.b Appliquer la méthode de l'équation différentielle, sans oublier d'utiliser l'unicité de la solution de l'équation différentielle établie à la question IV-1.a avec une condition initiale donnée. Montrer par récurrence que les bp sont données par p b0 = 1 et p N bp = (-1)p (2p - 2k - 1) k=1 2p p! IV-1.c Développer la série h(x)2 par un produit de Cauchy et reconnaître les coefficients cn . IV-2.a Utiliser le fait que : P E, q N, q > d (P) = T(P) = q b P p p D (P) p p=0 Préliminaires Noyaux itérés a Comme f L(V), pour tout entier naturel k, · Ker f k est bien un sous-espace vectoriel de V et · pour tout x Ker f k , f k+1 (x) = f (f k (x)) = f (0) = 0 d'où Ker f k Ker f k+1 k N b Supposons qu'il existe p N tel que Ker f p = Ker f p+1 . On procède alors par récurrence : pour tout entier q > p, on note P(q) la propriété Ker f q+1 = Ker f q = Ker f p · P(p) est vraie par hypothèse. · P(q) = P(q + 1) : comme Ker f q+1 = Ker f p d'après P(q), il reste à montrer que Ker f q+1 = Ker f q+2 . On procède par double inclusion. ­ D'après la question précédente, Ker f q+1 Ker f q+2 . ­ Montrons l'inclusion réciproque. Soit x Ker f q+2 . Par définition, f q+2 (x) = 0 soit f q+1 f (x) = 0 ou encore f (x) Ker f q+1 = Ker f q Par suite, f q f (x) = 0 ie x Ker f q+1 d'où (d'après P(q)) Ker f q+2 Ker f q+1 Finalement, on obtient l'égalité Ker f q+2 = Ker f q+1 = Ker f p , c'est-à-dire que P(q + 1) est vraie. · Conclusion : P(q) est vraie pour tout q > p. p N Ker f p = Ker f p+1 = (q N, q > p Ker f q = Ker f p ) Supposons que V soit de dimension finie n N. D'après la question précédente, la suite (dim Ker f k )kN est bien définie, réelle et croissante. De plus, pour tout k N, l'inclusion Ker f k V entraîne l'inégalité dim Ker f k 6 n : cette suite est majorée. Elle converge donc. En outre, étant à valeurs dans N, elle est même constante à partir d'un certain rang p N. Montrons que ce rang p vérifie p 6 n. C'est bien le cas si p = 0. Supposons donc p non nul. D'après ce qui précède, p est le premier rang pour lequel on a l'égalité Ker f p = Ker f p+1 , ce qui implique k N, k 6 p - 1 d'où k N, k 6 p - 1 Ker f k Ker f k+1 dim Ker f k+1 > dim Ker f k + 1