00 MATH. I - PC , ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÊRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏTONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ' DES TELECOMMUNICATTONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (F]LIÈRE TSI). CONCOURDS D'ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE FILIERE PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--BNP. L'emploi de la calculette est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES I - PC. L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 5 pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Dans tout le problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 (n _>_ 2). Soit B = (e1,ez, ..., e,,) la base canonique de l'espace vectoriel complexe C". A un vecteurX de l'espace vectoriel C", de coordonnées x1, x;,..., x... est associée la matrice V(X) dont les éléments V(X)M, 1 5 p 5 n, 1 5 q 5 n, sont définis parla relation: V(X)P,q = (xp>q-l. Le déterminant v(X) de la matrice V(X) est un déterminant de Van der Monde ; il est admis que sa valeur est donnée par la relation suivante : v(X) = det V(X) = n (x,, --x,,). lSp_ 2). a. Comparer pour tout vecteur X de l'espace vectoriel normé E ,, et tout nombre complexe ). les deux expressions v(À.)O et v(X). En particulier, étant donné un vecteur X de E ,,, soit Y un vecteur de E ,, de norme unité vérifiant la relation : X = HX ]] . Y ; exprimer le nombre complexe v(X) en fonction de v(Y) et de MX ||. b. Démontrer que l'application v de l'espace vectoriel normé E,1 dans C est continue. En déduire que l'application continue X ---+ |V(X)l admet un maximum sur la sphère unité S, 5= {XëEn [ IIXH = 1}, atteint pour au moins un vecteur W. Soit p le maximum de cette fonction sur la sphère unité : P =max IV(X)I- VIH 0. Démontrer les deux relations : i. pour tout vecteuere E... |v(X)l S p HX||"ÜHY2 ; ii. il existe au moins un vecteur unitaire Wde E ,, tel que IV(W)I = P- 2. Cas n = 2 : Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S : S={XeEz [ "X" =]}. Déterminer le maximum p de la fonction X »--+ |v(X)I sur la sphère unité. Démontrer que les vecteurs unitaires qui rendent maximum |v(X)] sont proportionnels à un même vecteur X 1 dont la première coordonnée est égale à 1. Les déterminer. 3. Cas n = 3 : a. Etant donnés trois réels positifs ou nuls t1, t2 et t3, (t; 2 O, 1 5 i 5 3) démontrer l'inégalité suivante 1 3 t .t .! < -- t +t +t . 1 2 3 _ 27 ( 1 2 3) Démontrer que l'égalité a lieu si et seulement si les trois réels t1 , t2, t3 sont égaux. b. Etant donnés trois nombres complexes x 1, xz et x3, soientA,B et C les trois fonctions des variables x1, x2 et x3 définies par les relations suivantes : -2/5- A : |x1 --x2|2 +P'2 --x312 +lX3 --x1|2 3 3 2 B = lek[2 ; C = Zxk k--=l k=1 Démontrer que A est une combinaison linéaire de B et de C. c. Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S : S={XeEs | HXII=1}-- (1. Calculer, pour un vecteurX quelconque de l'espace E 3, l'expression |v(X) |2. En déduire une valeur possible pour le réel p. Déterminer les équations que vérifient les coordonnées x; , xz et x3 d'un vecteur Wunitaire rendant |v(W)| maximum. Exhiber une solution à l'aide des racines cubiques de l'unité. En déduire le réel p. 4. Une minoration du réel p : Soit Q le vecteur unitaire dont les coordonnées w,,, 1 5 p 5 n, sont définies par la relation : wp : e2i(p--l)f£/n : exp(21(pn_l)n ) a V(Q) est la matrice définie à partir du vecteur Q ; V(Q) est la matrice complexe conjuguée. Démontrer que la matrice produit V(Q). V(Q) est une matrice proportionnelle à la matrice identité. b. En déduire la valeur du module |v(Q)i du déterminant de la matrice V(Q) et une minoration du réel p. 5. Une inégalité de Hadamard : Dans cette question il est admis que l'application de C" x C" dans C qui, à deux vecteurs X = (x,--)ISËH et Y = 0'î>15f5m fait correspondre le nombre complexe (X | D, défini par la relation suivante (X | Y) = 231%, i=l est un produit scalaire herrnitien. Soit F ,, l'espace préhilbertien (C ", (. | .)). La norme déduite de ce produit scalaire est notée ||. || 2 ; elle est définie par la relation : nqu = J 0) tel que sur l'intervalle ouvert ]--R,R[ la fonction F W est développable en série entière. Déterminer un minorant du réel R. La fonction F W est donc dans l'intervalle ]--R,R[ la somme d'une série entière qui s'écrit : FW(t) = sz tk. k=0 e. Déterminer les coefficientsfi,k = O, 1,..., à l'aide des coordonnées du vecteur W. Quelle conclusion en tirer sur les n -- 1 premiers coefficients fo, fl, ..., f,,-2 ? f. Déduire des résultats précédents l'expression du polynôme P},,, polynôme dérivée du polynôme PW. Déterminer le polynôme P w, puis les coordonnées x,,,1 S p 5 n du vecteur W. Calculer, à titre de vérification, les normes de ce vecteur dans E" et dans F " c'est--à--dire ll W" et Il Will. g. Combien y--a--t-il de vecteurs Wdont une au moins des coordonnées est égale à 1 ? FIN DU PROBLÈME --5/5-