Mines Maths 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Étude du déterminant de Van der Monde associé à un vecteur
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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00 MATH. I - PC , ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÊRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏTONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ' DES TELECOMMUNICATTONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (F]LIÈRE TSI). CONCOURDS D'ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE FILIERE PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--BNP. L'emploi de la calculette est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES I - PC. L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 5 pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Dans tout le problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 (n _>_ 2). Soit B = (e1,ez, ..., e,,) la base canonique de l'espace vectoriel complexe C". A un vecteurX de l'espace vectoriel C", de coordonnées x1, x;,..., x... est associée la matrice V(X) dont les éléments V(X)M, 1 5 p 5 n, 1 5 q 5 n, sont définis parla relation: V(X)P,q = (xp>q-l. Le déterminant v(X) de la matrice V(X) est un déterminant de Van der Monde ; il est admis que sa valeur est donnée par la relation suivante : v(X) = det V(X) = n (x,, --x,,). lSp_ 2). a. Comparer pour tout vecteur X de l'espace vectoriel normé E ,, et tout nombre complexe ). les deux expressions v(À.)O et v(X). En particulier, étant donné un vecteur X de E ,,, soit Y un vecteur de E ,, de norme unité vérifiant la relation : X = HX ]] . Y ; exprimer le nombre complexe v(X) en fonction de v(Y) et de MX ||. b. Démontrer que l'application v de l'espace vectoriel normé E,1 dans C est continue. En déduire que l'application continue X ---+ |V(X)l admet un maximum sur la sphère unité S, 5= {XëEn [ IIXH = 1}, atteint pour au moins un vecteur W. Soit p le maximum de cette fonction sur la sphère unité : P =max IV(X)I- VIH 0. Démontrer les deux relations : i. pour tout vecteuere E... |v(X)l S p HX||"ÜHY2 ; ii. il existe au moins un vecteur unitaire Wde E ,, tel que IV(W)I = P- 2. Cas n = 2 : Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S : S={XeEz [ "X" =]}. Déterminer le maximum p de la fonction X »--+ |v(X)I sur la sphère unité. Démontrer que les vecteurs unitaires qui rendent maximum |v(X)] sont proportionnels à un même vecteur X 1 dont la première coordonnée est égale à 1. Les déterminer. 3. Cas n = 3 : a. Etant donnés trois réels positifs ou nuls t1, t2 et t3, (t; 2 O, 1 5 i 5 3) démontrer l'inégalité suivante 1 3 t .t .! < -- t +t +t . 1 2 3 _ 27 ( 1 2 3) Démontrer que l'égalité a lieu si et seulement si les trois réels t1 , t2, t3 sont égaux. b. Etant donnés trois nombres complexes x 1, xz et x3, soientA,B et C les trois fonctions des variables x1, x2 et x3 définies par les relations suivantes : -2/5- A : |x1 --x2|2 +P'2 --x312 +lX3 --x1|2 3 3 2 B = lek[2 ; C = Zxk k--=l k=1 Démontrer que A est une combinaison linéaire de B et de C. c. Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S : S={XeEs | HXII=1}-- (1. Calculer, pour un vecteurX quelconque de l'espace E 3, l'expression |v(X) |2. En déduire une valeur possible pour le réel p. Déterminer les équations que vérifient les coordonnées x; , xz et x3 d'un vecteur Wunitaire rendant |v(W)| maximum. Exhiber une solution à l'aide des racines cubiques de l'unité. En déduire le réel p. 4. Une minoration du réel p : Soit Q le vecteur unitaire dont les coordonnées w,,, 1 5 p 5 n, sont définies par la relation : wp : e2i(p--l)f£/n : exp(21(pn_l)n ) a V(Q) est la matrice définie à partir du vecteur Q ; V(Q) est la matrice complexe conjuguée. Démontrer que la matrice produit V(Q). V(Q) est une matrice proportionnelle à la matrice identité. b. En déduire la valeur du module |v(Q)i du déterminant de la matrice V(Q) et une minoration du réel p. 5. Une inégalité de Hadamard : Dans cette question il est admis que l'application de C" x C" dans C qui, à deux vecteurs X = (x,--)ISËH et Y = 0'î>15f5m fait correspondre le nombre complexe (X | D, défini par la relation suivante (X | Y) = 231%, i=l est un produit scalaire herrnitien. Soit F ,, l'espace préhilbertien (C ", (. | .)). La norme déduite de ce produit scalaire est notée ||. || 2 ; elle est définie par la relation : nqu = J 0) tel que sur l'intervalle ouvert ]--R,R[ la fonction F W est développable en série entière. Déterminer un minorant du réel R. La fonction F W est donc dans l'intervalle ]--R,R[ la somme d'une série entière qui s'écrit : FW(t) = sz tk. k=0 e. Déterminer les coefficientsfi,k = O, 1,..., à l'aide des coordonnées du vecteur W. Quelle conclusion en tirer sur les n -- 1 premiers coefficients fo, fl, ..., f,,-2 ? f. Déduire des résultats précédents l'expression du polynôme P},,, polynôme dérivée du polynôme PW. Déterminer le polynôme P w, puis les coordonnées x,,,1 S p 5 n du vecteur W. Calculer, à titre de vérification, les normes de ce vecteur dans E" et dans F " c'est--à--dire ll W" et Il Will. g. Combien y--a--t-il de vecteurs Wdont une au moins des coordonnées est égale à 1 ? FIN DU PROBLÈME --5/5-

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 Mines Maths 1 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Brice Goglin (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Renaud Durand (ENS Ulm). L'épreuve se compose d'un unique problème d'algèbre, dans le cadre des espaces vectoriels normés. L'objet du problème est de donner une majoration précise de la valeur absolue du déterminant de Van der Monde associé à un vecteur dans un espace complexe. L'étude est d'abord réalisée en dimension 2, puis 3, et enfin généralisée en dimension quelconque. Ce problème assez calculatoire requiert principalement des connaissances en algèbre des espaces normés, mais fait également appel à quelques notions d'algèbre bilinéaire, de topologie et d'analyse. Indications 1. Définition du réel 1.b Montrer que S est compacte. 3. Cas n = 3 3.a Étudier le signe de la dérivée seconde de ln. 3.a Pour le cas d'égalité, on peut par exemple introduire une relation de convexité sur deux des trois points, puis une deuxième relation sur le troisième point et le milieu du segment joignant les deux précédents. 3.d Utiliser l'inégalité obtenue à la question 3.a. 3.d Pour calculer , supposer que la valeur obtenue est bonne puis étudier les cas d'égalité que cela impose. 4. Une minoration du réel 4.a Faire apparaître une somme connue dans le développement d'un terme de la matrice produit. 5. Une inégalité de Hadamard 5.b Poser M(Ui ) = P×M(Vi ), étudier la forme P et en déduire son déterminant. 5.b Pour montrer l'inégalité de Hadamard, appliquer le théorème de Pythagore aux vecteurs Ui et proji-1 (Vi ). 6. Une majoration du réel 6 Utiliser les vecteurs Vi = 1, . . . , xn-1 . i 7. Recherche des vecteurs W 7.b Optimiser la majoration utilisée entre les deux résultats du 6. 7.b Utiliser les vecteurs Vi = W1i-1 , . . . , Wni-1 . 7.d Dériver l'expression de PW sous forme d'un produit pour obtenir une somme de produits. 7.e L'inverse d'un nombre complexe de module 1 est son conjugué. 7.f On pourra, par exemple, raisonner sur le terme de plus bas degré de PW . 1. Définition du réel 1 I.a Par définition, (X) = ... x1 .. . 1 xn On a donc . . . xn-1 1 .. . .. . . . . . xn-1 n 1 (.X) = ... x1 .. . 1 xn . . . n-1 xn-1 1 .. .. . . . . . n-1 xn-1 n En utilisant la n-linéarité du déterminant, il vient (.X) = 1 × × · · · × n-1 1 .. . 1 xn (.X) = Soit maintenant Y = On a x1 .. . . . . xn-1 1 n(n-1) .. .. = 2 (X) . . . . . xn-1 n n(n-1) 2 (X) X , vecteur de norme 1 et colinéaire à X. kXk (X) = kXk n(n-1) 2 (Y) I.b Notons fi avec 0 6 i 6 n - 1 les applications qui à un vecteur X de coordonnées (x1 , . . . , xn ) associent le vecteur fi (X) de coordonnées (xi1 , . . . , xin ). est alors la composée de ces n applications et de l'application qui à n vecteurs associe leur déterminant. Les n applications fi sont clairement continues dans Cn . En effet, on peut remarquer que kfi (x - y)k 6 kx - yki . Le déterminant étant une forme multilinéaire, il est également continu par rapport à chacun des n vecteurs variables. La composée est donc continue. est continue. La sphère unité S de Cn est un fermé, car c'est l'image réciproque du fermé {1} par l'application k·k, qui est continue. Par ailleurs, cette sphère S est bornée. Comme on travaille dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les fermés bornés sont compacts. S est donc compacte. La fonction || étant continue sur S, elle y admet un maximum. (X 7- |(X)|) admet un maximum sur S. I.c.i D'après la question I.a, (X) = kXk n(n-1) 2 1 X kXk 1 XS kXk 1 X 6 kXk Or donc d'où |(X)| 6 kXk n(n-1) 2 I.c.ii Comme on l'a vu à la question I.b, || admet un maximum sur la sphère unité S de En . Il existe donc un vecteur W S tel que |(W)| = . Il existe un vecteur unitaire W En tel que |(W)| = . 2. Cas n = 2 Un vecteur X de coordonnées complexes (x, y) appartient à la sphère unité S de E2 si et seulement si sup{|x|, |y|} = 1. |x| = 1 et |y| 6 1 ou Soit (x, y) S |y| = 1 et |x| 6 1 En notant U le groupe des complexes de module 1, et B(0, 1) la boule unité fermée (ensemble des complexes de module inférieur ou égal à 1), on a S = U × B(0, 1) B(0, 1) × U Soit S = {(ei , rei ), (rei , ei ) | 0 6 r 6 1, R, R} Or, en dimension 2 (x, y) = y - x q donc |(ei , rei )| = rei - ei = (rei - ei ) (rei - ei ) p soit |(ei , rei )| = r2 - 2r cos( - ) + 1 2 Cette expression est majorée par r + 2r + 1, qui est elle-même majorée par 1 + 2 + 1 = 2 car r 6 1. On voit que 2 est atteint quand, d'une part cos(-) = -1, et d'autre part r = 1. Sur U × B(0, 1), le maximum est atteint pour les vecteurs de la forme ei , -e-i où est un réel. L'étude de la partie B(0, 1) × U est complètement symétrique et conduit donc au même résultat. Les vecteurs maximisant || sur S sont les vecteurs proportionnels à (1, -1). Et on a =2