Pré-sujet de probabilités des Mines (MP-PC-PSI) 2014

File d'attente M/Gl/1

COMP

Epreuve 0 de probabilités

On considère la file d'attente à une caisse de supermarché. Il y a un serveur
et un nombre de places infini. Les clients sont servis selon la discipline << 
premier
arrivé, premier servi >>. On appelle << système >>, l'ensemble des clients en 
attente
et du client en service. On considère (A... n 2 1) la suite de variables 
aléatoires à
valeurs dans N où An représente le nombre de clients arrivés pendant le service
du client n.

On définit la suite (X... n 2 1) comme suit

An ' Xn : 07
XO : 0 et Xn+1 : { +1 81 (1)

Xn--1+An+l san>0.

On suppose que les variables aléatoires (A... n 2 1) sont indépendantes et de
même loi, de loi commune celle d'une variable aléatoire A.

Hypothèse : On suppose que

-- A est à valeurs entières,

-- P(A 2 n) > 0 pour tout entier n,

-- A a une espérance finie, on note p = E [A].

1 Fonction caractéristique

Dans cette section X représente une variable aléatoire quelconque à valeurs
dans N. On définit sa fonction caractéristique çbX par

ÇbxîR-->C

tl--> E le"X] .

10.

. Montrer que çbX est continue sur R et périodique.

. Soit X et Y deux variables aléatoires a valeurs dans N telles que çbX : çby.

Montrer que X et Y ont même loi.

Indication : on pourra considérer les intégrales

1 '" _@
Ik : % _7T Ç/Ôx(t)EUR kt dt.

pour tout entier k.

. Si E [X] < +oo, montrer que çbX est dérivable sur R et calculer çb'X(0).

. Calculer la fonction caractéristique d'une variable aléatoire Z : Y + 1 où

Y est de loi géométrique de paramètre p.

Remarques préliminaires

. Etablir que Xn représente le nombre de clients dans le système au moment

du départ du client n.

. Existe--il M > 0 tel que P(Xn S M) = 1 pour tout n 2 O?

. Montrer que pour tout n 2 17 Xn+1 -- Xn Z --1.

. Pour tout n 2 O, montrer que les variables aléatoires Xn et An+1 sont

indépendantes.

Convergence

. Etablir l'identité suivant pour X une variable aléatoire a valeurs entières :

E lEURüX1{x>0}l = $X(t) -- P(X = 0)

Pour tout entier n, établir la relation suivante :

cbxn+1(t) = @A(t) lEUR_itcbxn(t) + (1 -- EUR_ü)P(Xn = 0)l -

On suppose dorénavant que 0 < p < 1.

On admet qu'alors la suite (P(Xn : O), n 2 1) converge vers une limite,
notée oz.

On suppose que A n'est pas arithmétique, c'est--à--dire que lç/5A(t)l < 1 pour
15EUR {2k7r, le E Z}.

On pose

9 : [--7T, 7T] _) C

0 l--> 1
$AÜÙÜ=--6_ü)
1 --qôA(t)e--it

11. Etablir le développement limité a l'ordre 1, de çbA au voisinage de O.

Él-->Oz

pour t # O.

12. Que doit valoir oz pour que 9 soit continue en 0 ?

13. On fixe 6 > 0. Pour tout t E [--7T, 7T]\{0}, identifier & EUR]0, 1[ tel que 
pour
tout entier n suffisamment grand, on ait l'identité suivante :

lq'Xn+1(t) _ 9(t)l É 5t lÔXn(t) -- 9(t)l + EUR.
14. Montrer que la suite de fonctions ($X... n 2 1) converge simplement vers 9_

4 Application

On suppose que
1

t=----------+.
@@) 1+p--pW

15. Identifier la loi de A.
16. Montrer que q5A satisfait les hypothèses requises.

17. Calculer 9 et identifier la loi de Y.

Pré-sujet de probabilités des Mines 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à
l'université).

Voici le sujet que le concours des Mines propose comme « sujet 0 », et qui donne
une idée du ton des futures épreuves traitant de probabilités.
Le problème porte sur la modélisation d'une queue de clients, lorsque le nombre
de clients arrivant à chaque instant n suit une loi fixée. À l'aide de la 
fonction
caractéristique, on établit notamment une loi « limite » pour le nombre de 
clients
restant à servir.
· La première partie fait démontrer quelques généralités sur la fonction 
caractéristique d'une variable aléatoire à valeurs dans N. Les propriétés 
prouvées
sont des grands classiques de la théorie des probabilités qui, si elles 
n'apparaissent pas dans le programme, seront très probablement réintroduites 
dans
de nombreuses épreuves.
On montre notamment que la fonction caractéristique caractérise la loi : deux
variables aléatoires (à valeurs dans N, ici) ont même loi si et seulement si 
elles
ont même fonction caractéristique.
· Dans la deuxième partie, on montre quelques propriétés utiles sur les 
variables
aléatoires An (nombre de clients arrivant entre l'instant n et l'instant n + 1),
censées toutes suivre la même loi qu'une variable A, et sur les variables 
aléatoires Xn (nombre de clients dans la queue).
· La troisième partie permet de montrer que, sous certaines hypothèses 
supplémentaires, la suite des fonctions caractéristiques des Xn converge 
simplement
vers une fonction  donnée.
· Enfin, dans la dernière partie, on montre que les hypothèses de la partie 
précédentes sont bien vérifiées lorsque la loi commune aux An est une certaine 
loi
géométrique, et on identifie la « loi limite » de la suite (Xn )nN .
L'épreuve est d'une longueur très raisonnable et de nombreuses questions sont
des applications assez directes du cours de probabilités du nouveau programme ; 
les
principales difficultés sont finalement plutôt du domaine de l'analyse, les 
techniques
de sommation et de majoration devant être correctement maîtrisées.

Indications
Partie 1
1 Écrire X (t) sous la forme de la somme d'une série en utilisant la formule de
transfert. Invoquer ensuite le théorème de continuité pour les séries de 
fonctions.
2 Montrer que, pour tout entier k, Ik = P(X = k) et en déduire que X et Y ont la
même loi.
3 Utiliser le théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions.
4 L'énoncé présente une légère coquille, la variable intéressante est Z = Y - 1,
et non Y + 1.
5 Procéder par disjonction des cas, selon la valeur de Xn .
Partie 2
6 Si M > 0, choisir un réel N > M, et montrer que P(Xn > M) > P(A > N) > 0.
7 Procéder par disjonction des cas, selon la valeur de Xn .
8 Remarquer que Xn est une fonction de (A1 , A2 , . . . , An ) pour n > 1.
Partie 3
10 Partir de la décomposition 1 = 1(Xn >0) + 1(Xn =0) , multiplier par e itXn+1 
puis
passer aux espérances.
13 Forcer l'apparition de Xn (t) - (t) ; le préfacteur est, en module, égal à A 
(t)
que l'on pourra donc identifier à t . Après application de l'inégalité 
triangulaire,
il reste un terme qui doit tendre vers 0 quand n tend vers l'infini, et qui 
devient
donc « epsilonesque » pour n suffisamment grand.
14 La propriété est évidente lorsque t  2Z. Dans le cas contraire, montrer que
si   ] 0 ; 1 [, alors toute suite positive vérifiant « pour tout , il existe un 
entier
à partir duquel vn+1 6 vn +  » converge vers 0.
Partie 4
15 Exprimer A sous la forme d'une série trigonométrique puis utiliser la 
question 2.
16 Ne pas oublier de montrer que A est à valeurs dans N, que P(A > n) > 0 pour
tout entier n, que A (t) < 1 pour tout t 
/ 2Z, et que E[A] =   ] 0 ; 1 [.
17 L'énoncé ne le précise pas, mais la variable Y est une variable dont la 
fonction
caractéristique est .

1. Fonction caractéristique
1 La formule de transfert permet d'expliciter l'espérance de e itX , qui existe 
bien
puisque e itX est bornée en module par 1 :
+
P
t  R
X (t) = E[e itX ] =
pn e int
n=0

où l'on a noté pn = P(X = n) pour tout entier n. Définissons la suite de 
fonctions (un )nN par un : t 7 pn e int . Chaque fonction un est continue, 
bornée et
+
P
P
kun k = pn pour tout n  N. Comme
pn = 1, la série de fonctions un converge
n=0

donc normalement et, en particulier, elle converge uniformément. Un théorème du
cours assure alors que sa somme est continue. En conclusion,
X est continue sur R.

P
Lorsqu'une série de fonctions un converge simplement et a pour somme
une fonction F, alors certaines propriétés sont conservées par passage à la 
limite simple, comme la périodicité, la croissance, la convexité (en filière 
MP)...
et d'une manière générale toutes les propriétés qui ne demandent qu'à comparer 
des valeurs de F en un nombre fini de points (propriétés ponctuelles).
En revanche, la continuité des un et la convergence simple n'assurent
pas en général la continuité de F : on doit montrer que la série converge
uniformément (par exemple parce qu'elle converge normalement), au moins
localement, c'est-à-dire sur tout segment de l'intervalle de définition.
Enfin, chaque un est une fonction 2-périodique ; notamment, puisque toutes les
séries convergent, on a pour tout réel t :
+
+
P
P
X (t + 2) =
un (t + 2) =
un (t) = X (t)
n=0

donc

n=0

X est 2-périodique.

Puisque X est continue et 2-périodique, on en déduit qu'elle est bornée.
Cependant, il est aisé de montrer ce résultat directement : grâce à la 
convergence absolue de la série de fonctions, on a
+

t  R

X (t) 6

P

+

pn e int =

n=0

P

pn = 1

n=0

Ce résultat reste d'ailleurs vrai lorsque X est une variable aléatoire 
quelconque (pas forcément à valeurs dans N).
2 Soit k un entier naturel. En écrivant
+

 t  [ 0 ; 2 ]

X (t) =

P

P(X = n) e int

n=0

on obtient

Ik =

1
2

Z

+

P

- n=0

P(X = n) e i(n-k)t dt
|
{z
}
=vn (t)

P
Puisque kvn k = P(X = n) pour tout nP N, la série numérique
kvn k
converge, c'est-à-dire que la série de fonctions vn converge normalement, et 
donc
uniformément. Ainsi, on peut intégrer terme à terme dans l'égalité précédente :
Z
+
X
1  i(n-k)t
e
dt
Ik =
P(X = n) ·
2 -
n=0

Or, un résultat extrêmement classique est le suivant :
(
Z
1  i(p-q)t
1
 p, q  Z
e
dt = p,q =
2 -
0

si p = q
sinon

En effet, si p = q, on intègre la fonction constante égale à 1, et si p 6= q, 
on sait calculer
une primitive de t 7 e i(p-q)t , qui est t 7 e i(p-q)t /i(p - q) et est donc 
2-périodique.
En conclusion, on a donc montré que
+
P
Ik =
P(X = n) n,k = P(X = k)
n=0

Ceci étant valable pour tout k  N, on a donc déduit la loi de X de la 
connaissance de
sa fonction caractéristique. Notamment, si X et Y ont même fonction 
caractéristique,
alors pour tout entier naturel k, on a
Z
Z
1 
1 
Y (t) e -ikt dt =
X (t) e -ikt dt = P(X = k)
P(Y = k) =
2 -
2 -
Deux variables aléatoires à valeurs dans N ayant
même fonction caractéristique ont même loi.
Le but de cette question est de montrer que la fonction caractéristique 
caractérise la loi, c'est-à-dire que la connaissance de X suffit (du moins du
point de vue théorique) à déterminer entièrement la loi de X. Notamment,
deux variables aléatoires ayant même fonction caractéristique ont même loi.
La démonstration générale de cette propriété est assez délicate ; s'agissant de
lois discrètes à valeurs dans N, elle est beaucoup plus facile.

3 On suppose que « E[X] < + », c'est-à-dire que X admet une espérance. On 
rappelle que l'on a noté, dans la question 1, un : t 7 pn e int pour tout n  N 
; ce sont des
1
fonctions de classe C 1 . On peut alors montrer que
P X est de classe C en prouvant
la convergence uniforme de la série des dérivées un . Puisque
un : t 7- in pn e int

on a donc

kun k = n pn

n  N

P
Or, dire que X P
admet une espérance, c'est précisément dire que la série
n pn
converge. Ainsi, un converge normalement, et donc uniformément. Le théorème
de dérivation terme à terme d'une série de fonctions assure que
X est de classe C 1
+

et que, de plus

X : t 7-
X (0) =

P

in pn e int

n=0

+

Notamment,

P

in pn = i E[X]

n=0