E3A Maths B PC 2008

Thème de l'épreuve Équation des ondes. Système différentiel non linéaire.
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles, séries, séries de fonctions, variations des fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


V66G e S a CONCOURS ENSAM - ESTP -- ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques B PC Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Premier exercice Cet exercice a pour but d'étudier les extrémums d'une fonction lié--e à une matrice symétrique. L'e5pace vectoriel IR3 est muni de son produit scalaire canonique noté {, ), dont la norme associée est notée |] H. 1. Étude d 'un exemple. (a) Vérifier les inégalités :cy _<_ %(sc2 + 3/2) et --%(m2 + 312) __<_ æy pour tous réels a: et y et préciser, dans chaque cas, les situations d'égalité. (b) En déduire que --% est un minoran--t de la fonction :try + 22 ?" = (Jay, Z) ** ... sur B3 \ {(0, O, O)} et montrer que c'est son minimum. (c) Trouver de même le maximum de 7° sur Æ3\ {(0,0,0)}. (cl) Comparer ce minimum et ce maximum à la plus grande et à la plus petite valeur pr0pre de la matrice o%o A=%OO. 001 2. Étude du cas généraf. Soit M une matrice symétrique réel le d'ordre 3 et f i'e*n=dom..orphisme canoniquement associé à M . On rappelle qu'il existe une base orthonormée BO =i(?î1,û2,ä3) de vecteurs propres pour f, chacun des vecteurs fä'k étant associé à la valeur pro-pre À;,,. On suppose À1 < À2 < À3. (a) Soit ii? un vecteur non nul de Æ3, que l'on écrit 73 : ay£Z1 + (L2'1Ï2 + agiîg dans la base Bg. Vérifier que iii .u7 a2-À ------/\ (1,2 A ------À--  =)"°'+ 1(HiñH2 % 2(nÎñn2 3)' (b) En déduire que /\3 est le maximum de la fonction (f(iîî)flïi> rlf:fuîi--> __+ 2 HH)! sur IR3 \ {Ô}. (c) Déterminer de même le minimum de 7*_f sur IR3 \ {5}. (d) Vérifier que l'on retrouve ainsi les résultats de la question 1. 3. Une application. On considère la matrice _---1 0 0 Al== ' 0 1. 2 . ' () 2 4 et l'on note f son endomorphisme canoniquement associé. (3) Déterminer les valeurs pro-pres et une base de chaque sous--e5pace pr0pre de f . (b) En déduire le maximum et le minimum de la fonction *ch sur IR3 \ {Ô} et préciser les vecteurs en lesquels ils sont atteints. (c) Soit 9 la fonction définie sur B3 \ ((O, O, O)} par ----:L' +y + 2z 9< ?! .) = """???" et P la partie de ]R3 \ ((O, O, O)} constituée des triplets (cc, y, 2) tels que .:z: + y + 223 = 1. Soit (37,31, 25) E P et 75 = (53,3), 2). Vérifier que g(æ, y, z) = 7'f(ifi). (d) En déduire que g possède un minimum et un maximum sur P, que l'on calculera et préciser les points en iesquels ils sont atteints. Deuxième exercice On note A = (O, 1} >< (0, +00}. Cet exercice a pour objet l'étude de l'existence et de l'unicité, sous certaines conditions, de solutions à i'éq--uation des ondes 62F' 62F' V(a:, t) EUR A, ôt2 (cc,t) ---- 85172 (a:,t) = o. (1) Toutes les fonctions intervenant dans cet exercice sont à valeurs réelles. 1. Soit F : (:x, t) +--> F (.r, t) une fonction définie et de classe 02 sur lR2 et vérifiant (1). On considère alors la fonction Ep définie sur (0, +00} par: EF(t) : à]; ((%n,n)2 + (%î--(m,t))î dac. (a) Montrer que E F est de classe 01 sur tout segment (a, b}- incius dans [(), +oo[. On précisera avec soin le théorème utilisé. La fonction E F est--elie de classe 01 sur (0, +oo{? (b) Montrer que OF ôF dF ÔF ...(133 ()...--- (1 t) = =-------(0 t)----------(O t) W Z 0" EHÉ): ôt ():: dt 2. On se donne deux fonctions g et h définies et continues sur ]0, 1] ainsi que deux fonctions a. et _,(3 définies et continues sur ]O,+oo]. On cherche à résoudre le problème suivant, d'inconnue f, fonction de classe 02 sur Æ2, vérifiant le système (S): 62f ô'2f ---------(æ,t) -- -------(a:, t)- -- 0 (2) v f,t-EUR.A... _Aæ (£ :) ' zn2 âæ2 ... Voee(o,1(.f(æ,0)=g(æ), {{(æ0>= h(æ> (3) Vt20, f(o.t> = a(t). f(L(>=fl(ti (4) Les fonctions 9 et 11 sont appelées données initiales et les fonction--s & et 5 valeurs aux bords. (a) On suppose que f1 et f2 sont deux solutions de (S) et l'on pose F = f1 «------- f2. Vérifier que F satisfait (1). (b) Montrer que E%(t) == 0 pour tout t 2 0. (c) Montrer que E p(0) == 0 et en déduire que (S) possède au plus une solution. 3. Le but de cette question est de construire quelques solutions de (S) On considère à cet effet une suite bornée (an)n_>_1 de nombres réels. On définit les fonctions h et f par +oo (... l1(:I:) : 71" z ;L--äsin n7roe,) +:--;n _ f(1: t) : ;ï:ï ;;ï sin(nwzz:) sm(mrt). (a) Montrer que 11 est définie et continue sur ]0, 1]. , , --- - _ 2 , ,\ + -, , ' » 52.f 32f 2 (b) Montrer que f est defi--me sur Æ et possede des d--envees partielles--2-- ôt , à}; sur Æ. On admettra que f est de classe C'2 sur Æ2. (c) Montrer que la fonction f satisfait - 2 2 V(:(:, t) EUR A %----2--tf(T t) -- %(æ, t)== () (5) w 610,11, f(æ(0)= {{ o>= (( > (6) W __>_ O, f(0,t) : 0, f(1, t) = 0. (7) Troisième exercice Ce problème a pour objet l'étude des solutions maximales d'un système différentiel non linéaire. 1. Question préliminaire. Soit a, et !) deux réels avec a < 1), I = (a, bi et f une fonction définie et de classe C'1 sur I, à valeurs réelles. On suppose que f et ]" sont bornées sur [a,bl. (3) Montrer qu'il existe une constante M telle que la fonction g:tr---->f(t)+fifÏt soit croissante sur 1 (b) En déduire que f possède une limite finie en (>. On donne un réel t0 et (arg, 3...) un point de 1R2. On rappelle qu'une solution du problème de Cauchy %=----æ+æy (S) : % = --2y ----- 552 ' ($(to), y(to)) = (330, 3/0) est un triplet (I,X,Y) où [ =]o,fll est un intervalle ouvert contenant t(), X et Y deux fonctions définies et de classe C'1 sur I vérifiant, pour tout t EUR I : - X'(t) = ----X(t) + X(t)Y(t) : Y'(t) : ----2Y(t) ----- X2(t) Ï (X(t0)= YU0)) = (OE0, yo) et que ce problème possède une unique solution maximale (LX, Y) c'est à dire que pour toute autre solution (J,X1,Y1) de (S') on a .] C I, X1(t) : X(t) et Y1(t) : Y(t) pour tout t E J. Par la suite, le point (a:... yo) est donné, on pren--d t() = 0 et (I , X , Y) est la solution maximale du problème de Cauchy (b ) corre5pondant. Que ses extrémités soient finies ou infinies, on notera [ :la, ,8[. Les questions suivantes ont pour but de déterminer l'intervalle ] . Soit u la fonction définie sur 1 par u(t) =...-- X2(t) + Y2(t). 2. On suppose dans cette question que (3 est un nombre réel. (a) Vérifier que la fonction u est décroissante sur I . (b) En déduire que les fonctions X , Y puis X ' et Y' sont bornées sur (0, fil. (c) En déduire que X et Y possèdent des limites finies en [3, que l'on notera respectivement 371 et 311. (cl) On considère la solution maximale (11, X 1, Y1) du problème de Cauchy %=--æ+xy (SI): % == --2y ---- :L'2 (îË(fi)>y(fi)) = (9313311)-- On note 11 =]a1, [7'1( et l'on définit les fonctions X2 et Y2 sur la, [31( par \Xt slt a , Yt- SiÉEQ,- X2... : ixi si t ÎziirÏfli1i YZ") : inii) si t eiifl,flriii Montrer que (]o, [31 [, X2, Y2) est une solution de (S). En déduire une contradiction. Que peut--on en conclure? 3. On considère la fonction u définie sur I par v(t) : 8%" (t) (3) Vérifier que 't) est décroissante sur I . (b) En déduire que u(t) 5 (æä + yâ)e"2t pour tout t 2 0 puis que (X(t),Y(t)) ----> (0,0) lorsque t ------> +00. 4. Montrer que a = -----00 (dans le cas contraire, on pourra utiliser la fonction w : t l------> e4tu(t) et en déduire que les fonctions X, Y puis X' et Y' sont bornées sur ]o, O)).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 E3A Maths B PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) ; il a été relu par Chloé Dousset (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le sujet comporte trois exercices indépendants. · Le premier recherche des valeurs extrémales de la fonction hf (- w ), - wi - rf : w 7 - k w k2 où f est l'endomorphisme associé à une certaine matrice M, symétrique réelle d'ordre 3. Ses valeurs extrémales sont reliées aux valeurs propres extrémales de la matrice M. Les questions sont dans l'ensemble peu techniques. · Le deuxième exercice concerne l'étude de l'équation des ondes (x, t) [ 0 ; 1 ] × [ 0 ; + [ 2f 2f = 2 2 x t avec données initiales et valeurs aux bords. Par l'étude d'une intégrale dépendant d'un paramètre, on prouve qu'elle a au plus une solution, puis on construit cette unique solution dans un cas particulier à l'aide de séries de fonctions. Cet exercice est l'occasion d'utiliser les résultats du cours sur les intégrales à paramètre et les séries de fonctions. · Le troisième exercice aborde l'étude des solutions maximales d'un système différentiel non linéaire dont on montre qu'elles sont définies sur R tout entier. L'exercice est prétexte à l'utilisation des résultats du cours sur les variations de fonctions à valeurs réelles. Si les deux premiers exercices sont classiques, le dernier peut surprendre par ses notations compliquées. L'ensemble reste cependant très proche des résultats du cours, dont le sujet permet de vérifier s'ils sont bien connus par les candidats : il s'agit d'une bonne occasion de faire le point. Indications Premier exercice 1.a Penser aux identités remarquables. 1.b Utiliser une partie des résultats de la question 1.a. 1.d Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice A. 2.a Utiliser l'orthonormalité de la base B0 . 2.b Comparer 3 à 1 et 2 . 2.d Relier les fonctions r et rf . 3.a Écrire le polynôme caractéristique de M. 3.c Calculer hf (x, y, z), (x, y, z)i pour un vecteur (x, y, z) de P. 3.d Décrire les intersections de P avec les lieux des valeurs extrémales de rf . Deuxième exercice 1.a Appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale. 1.b Utiliser le théorème de Schwarz et l'équation des ondes. 2 Appliquer avec soin la définition de la dérivation partielle en un point. 3.a La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement sur un intervalle est elle-même continue sur cet intervalle. 3.b Appliquer le théorème d'interversion somme-dérivation. Troisième exercice 1.a Considérer un majorant de |f | sur I. 1.b La fonction g est monotone et bornée sur I. 2.a Utiliser (S) dans le calcul de u . 2.b u(0) majore les fonctions X2 et Y2 sur [ 0 ; [. 2.c Appliquer les résultats de la question 1 aux fonctions X et Y. 3.b Utiliser la décroissance de la fonction v. 4 Refaire toute l'étude de la question 2. Premier exercice 1.a Pour tous réels x et y, on a l'identité remarquable (x - y)2 = x2 - 2xy + y 2 , qui implique, par positivité du carré d'un nombre réel, l'inégalité 2xy 6 x2 + y 2 D'où (x, y) R2 xy 6 1 2 (x + y 2 ) 2 Il y a égalité si et seulement si (x - y)2 est nul. Ainsi, xy = 1 2 (x + y 2 ) 2 x=y De la même façon, l'identité remarquable (x+ y)2 = x2 + 2xy + y 2 implique l'inégalité -(x2 + y 2 ) 6 2xy D'où (x, y) R2 1 - (x2 + y 2 ) 6 xy 2 Il y a égalité si et seulement si (x + y)2 est nul. Ainsi, 1 - (x2 + y 2 ) = xy 2 x = -y 1.b On vient de montrer que l'inégalité -(x2 + y 2 )/2 6 xy est vérifiée pour tous réels x et y d'où pour tout triplet (x, y, z) de R3 r {(0, 0, 0)} la suite d'inégalités r(x, y, z) = - xy + z 2 -(x2 + y 2 )/2 + z 2 > x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 -(x2 + y 2 + z 2 )/2 > x2 + y 2 + z 2 1 r(x, y, z) > - 2 (car z 2 > 0) 1 est un minorant de la fonction r sur R3 r {(0, 0, 0)}. 2 Le rapport du jury pointe le fait que bon nombre de candidats confondent les notions de minorant et de minimum. Une fonction peut très bien être bornée inférieurement (c'est-à-dire posséder un ou des minorants) sans pour autant posséder un minimum. C'est le cas par exemple de la fonction exponentielle, minorée par tout réel négatif ou nul, mais qui n'atteint jamais zéro. Cette suite d'inégalités devient une égalité exactement quand xy = -(x2 + y 2 )/2 et z 2 = -z 2 /2, c'est-à-dire d'après la question précédente quand les réels x et y sont opposés et que z = 0. On a de ce fait pour tout réel x non nul r(x, -x, 0) = x2 x(-x) + 02 -(x2 + (-x)2 )/2 1 = =- 2 2 + (-x) + 0 x2 + (-x)2 2 La valeur minorante -1/2 est atteinte par la fonction r, qui admet donc un minimum. 1 Le minimum de la fonction r est - . 2 1.c On a montré à la question 1.a que l'inégalité xy 6 (x2 + y 2 )/2 est vérifiée pour tous réels x et y, d'où pour tout triplet (x, y, z) de R3 r {(0, 0, 0)} la suite d'inégalités r(x, y, z) = x2 xy + z 2 (x2 + y 2 )/2 + z 2 6 2 2 +y +z x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 6 2 x + y2 + z 2 r(x, y, z) 6 1 (car x2 + y 2 > 0) 1 est un majorant de la fonction r sur R3 r {(0, 0, 0)}. La première inégalité devient une égalité exactement quand xy = (x2 + y 2 )/2, c'est-à-dire d'après la question 1.a quand les réels x et y sont égaux. La deuxième inégalité devient une égalité si et seulement si (x2 + y 2 )/2 = x2 + y 2 , c'est-à-dire si les réels x et y sont nuls. Soit alors un réel z différent de zéro. On calcule 0 × 0 + z2 =1 r(0, 0, z) = 2 0 + 02 + z 2 La fonction r atteint la valeur majorante 1, et admet donc un maximum. Le maximum de la fonction r est 1. 1.d Désignons par I la matrice identité de l'espace vectoriel M3 (R) des matrices carrées d'ordre trois à coefficients réels et déterminons le polynôme caractéristique A (X) de la matrice A. -X 1/2 0 0 A (X) = det(A - XI) = 1/2 -X = (X2 - 1/4)(1 - X) 0 0 1-X Les valeurs propres de A sont les racines réelles du polynôme caractéristique A , c'est-à-dire par ordre croissant -1/2, 1/2 et 1. Ainsi, Le minimum (respectivement le maximum) de la fonction r est égal à la plus petite valeur propre (respectivement à la plus grande valeur propre) de la matrice A. On vient de montrer que la matrice A est diagonalisable, comme toute matrice qui possède un nombre de valeurs propres distinctes égal à son ordre. - 2.a La base B0 est orthonormée, ce qui facilite le calcul de la norme k wk: - 2 2 2 2 kwk = a + a + a 1 2 3 En outre, comme les vecteurs qui forment la base B0 sont des vecteurs propres de f , hf (- w ), - wi = a 2 + a 2 + a 2 1 1 2 2 3 3 Il vient par suite l'égalité hf (- w ), - w i - 3 k- w k2 = a1 2 (1 - 3 ) + a2 2 (2 - 3 ) + a3 2 (3 - 3 ) = a1 2 (1 - 3 ) + a2 2 (2 - 3 ) qui permet de vérifier l'identité de l'énoncé hf (- w ), - wi a1 2 (1 - 3 ) a2 2 (2 - 3 ) = 3 + + - k w k2 k- w k2 k- w k2