e3a Maths B PC 2007

Thème de l'épreuve Classification d'endomorphismes de ℝ3. Géométrie autour du folium de Descartes. Étude d'une intégrale à paramètre.
Principaux outils utilisés réduction, courbes et surfaces, intégrales dépendant d'un paramètre, développements en série entière et en série de Fourier

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EV90

CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PC

durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

EXERCICE 1 ,

On considère l'espace vectoriel réel E : IR3 rapporté à sa base canonique
C = (61, 62, 63).
On considère un endomorphisme u de E tel que: tt
nul). On pose v : idE ---- u.

3 -- 2u2 + u = 0 (endomorphisme

a) Montrer que si le réel À est valeur propre de u, alors À EUR {O, 1}.

b) Soit U la matrice de u dans la base C . Montrer que si le complexe À est 
valeur
propre de U, alors À E {O, 1}. En déduire les valeurs possibles du polynôme 
caractéristique

de U, défini par P(X) : det(U -- XIg).
c) En déduire les quatre valeurs possibles du polynôme caractéristique de u.

d) Soit 16 EUR N°". Déterminer le reste de la division euclidienne de X '" par 
le polynôme
A(X ) = X .(X -- 1)2 (on pourra utiliser le polynôme k.Xk"1, dérivé de X k). En 
déduire
l'expression de uk au moyen de k, u2, u et id5.

On suppose dans cette question seulement que u est diagonalisable.

a) Montrer alors que u et 2) sont des projecteurs. Que valent alors les espaces

ker(u) + ker(v) et Im(u) + Im(v).

b) Déterminer quatre matrices diagonales: DO,D1,D2,D3, telles que DT soit de
rang r, et telles que U soit nécessairement semblable à l'une de ces quatre 
matrices.

a) Grâce à la division euclidienne de (X ---- 1)2 par X , en déduire un 
polynôme B
tel que: (X ---- 1)2 + XB(X) = 1.
b) Vérifier que: (u ----- id3)2 + (2idE ---- u) 0 u = idE.
c) Justifier que: ker(v2) : Im(u) et ker(u) : Im(v2).
d) Montrer que: E : ker(u) @ ker((u ---- id5)2).

1 Tournez la page S.V.P.

On suppose dans cette question que ker(u) et ker(v) sont tous les deux de 
dimension
1.

a) Quelle est la dimension de F = ker(u) + ker(v) ?
b) Justifier que ker(vZ) contient ker(v), et est de dimension 2.

c) Grâce à 3)d), justifier l'existence d'une base 8 = (61, 62, 63). de E dans 
laquelle
() 0 0

la matrice de u soit T = 0
0

11
01

Déterminer dans les deux cas suivants, la valeur du polynôme caractéristique de

U, et si U est semblable ou non à l'une des cinq matrices D0, D1, D2, D3, T.

1 ----1 1
a) Premier exemple: U = 1 --1 1
1 --1 1
0 0 0
b) Deuxième exemple: U = 1 0 --1
0 1 2
EXERCICE 2
On considère pour tous réels 33 et y: F(æ, y) = 393 + y3 ---- 3oey.

On considère l'espace euclidien orienté llË{2, muni de son produit scalaire 
canonique,
tel que la base canonique (61, 82) soit orthonormale directe.
Soit: F = {(æ,y) EUR IRZ/ F(æ,y) = 0}.
a) Soit t EUR lR et D,; = {(æ,toe),oe EUR IR}. Déterminer l'intersection: Dt 0 
P.
b) Pour t EUR IR, t # --1, on note:

a= 1î't3» fl(t)= 1Î't3, cp(t)=(a(t),fl(t))-

Comparer F avec @ = {ga(t),t EUR lR\ {--1}}: on précisera si l'on a une 
inclusion ou
une égalité.

c) Etudier la courbe paramétrée (I): établir un tableau de variations et 
préciser
l'étude d'éventuelles branches infinies.

d) Donner l'allure de la courbe I'.

e) Donner une représentation polaire de la courbe F.
On notera selon l'usage ua = cos(9)el + SlIl(9)EUR2, et on calculera r(9) tel 
que
M (9) = r(9)ue soit sur I', pour des valeurs de 9 que l'on précisera.

f ) Déterminer deux (différentes) transformations orthogonales u EUR O(IF{2) 
telles que
u(F) = F. On justifiera la réponse.

On considère l'espace euclidien orienté IR", muni de son produit scalaire 
canonique,

tel que la base canonique C = (61,62, 63) soit orthonormale directe.

On note ici:
r = {(oe,y,0) EUR 1R3/F(æ,y) = 0}, A : {(æ,æ,0) 6 133,3: & IR},
et 5 = {(OE,y>Z) EUR IR3/Z = F(OE,y)}--

2

a) Que représente I' vis--à-- vis de la surface S ?

b) Soit M = (a:, y,0) avec (oe,y) EUR IR2. Déterminer la projection orthogonale 
de M
sur la droite A. En déduire la distance euclidienne de M a la droite A.

c) Soit N : (X,Y,Z) dans ]R3, et toujours M = (oe,y,0). Déterminer à quelles
conditions N et M ont la même projection orthogonale sur A, et sont a la même 
distance

euclidienne de O = (O, O, 0).

En déduire une équation cartésienne de la surface 2 décrite alors par ces 
points N
lorsque M décrit P (on pourra calculer (512 + y)3 et (a: + y)2).

d) Déterminer une équation dans C du plan tangent à. S au point M0 : (æg, yo, 
zo)
avec 20 : F(æ0,yo).

Dans quels cas, ce plan est--il horizontal (d'équation de la forme z = c) ?

EXERCICE 3

Pour tous réels a: et t, on note f(æ,t) = eoesm(t).

7,
Soit g(oe) : ]? eæsm(t) dt, pour a: réel.
0

a) Justifier que g est de classe C'1 sur IR, et préciser l'expression et le 
signe de

g'(æ) pour tout réel a:.
b) Montrer que pour tout t EUR [O, %], on a: t _>_ sin(t) Z 27%.

c) En déduire une majoration de g(a:) pour a: < 0, et une minoration de g(:r) pour a: > 0.
(1) Déterminer: lim g(æ), lim g(oe), lim g(x).

æ-->--oo x-->+oo IE--++OO :):

e) Préciser les variations de g et donner l'allure de sa représentation 
graphique.

a) Pour tout t E [O, %] fixé, préciser le développement en série entière de:
a: |----+ f (oe,t).

b) En déduire que g est développable en série entière sur IR; on précisera bien
+oo

le théorème utilisé. On écrirera ce développement sous la forme g(oe) : E 
anse", et on

n=0
7,.

exprimera an au moyen de W,, = ] 2 sin"(t) dt (que l'on ne cherchera pas à 
calculer).
0

c) Justifier que g est de classe C2 sur IR et vérifie:
Va: EUR IR, oe(g"(æ) -- g(æ)) + g'(æ) : 1

d) En déduire une relation entre Wn+1 et Wn_1 pour n 6 lN"', et retrouver cette
formule grâce à. une intégration par parties.

e) Déterminer toutes les solutions développables en série entière sur lR de 
l'équation
différentielle:

oey" + y' ---- :cy : 1 (E).
Comment détermine--ton g parmi toutes ces solutions ?

f) Quels résultats du cours peut--on appliquer concernant l'ensemble des 
solutions
réelles de cette équation différentielle (E') sur l'intervalle IRË.

3 Tournez la page S.V.P.

Soit a < 0. Grâce à l'encadrement de 1)b), déterminer un encadrement de 0 / g(oe) dæ. g est--elle intégrable sur IR_ ? Soit a: EUR IR fixé, et 9933 : t u----+ f(oe,t). a) Justifier que 9933 est développable en série de Fourier: on précisera bien les résultats du cours que l'on peut lui appliquer. 27r b) Pour k EUR %, on pose dk(oe) : %] eOESin(t)_ikt dt. Que représente ce nombre 0 complexe ? Ecrire l'égalité de Parseval pour cpæ, en utilisant les nombres dk(oe). c) Grâce à 2)a, justifier que l'on peut écrire dk(oe) comme somme d'une série. 27r (1) Pour 16 EUR % et n EUR IN, calculer: Ik,n : / sin"(t)e"ikt dt sous forme d'une 0 somme; pour cela, on développera (c" -- e"")". En déduire une expression de dk(oe).