E3A Maths B PC 2007

Thème de l'épreuve Classification d'endomorphismes de R3. Géométrie autour du folium de Descartes. Étude d'une intégrale à paramètre.
Principaux outils utilisés réduction, courbes et surfaces, intégrales dépendant d'un paramètre, développements en série entière et en série de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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EV90 CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Mathématiques B PC durée 3 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. L'usage de la calculatrice est interdit EXERCICE 1 , On considère l'espace vectoriel réel E : IR3 rapporté à sa base canonique C = (61, 62, 63). On considère un endomorphisme u de E tel que: tt nul). On pose v : idE ---- u. 3 -- 2u2 + u = 0 (endomorphisme a) Montrer que si le réel À est valeur propre de u, alors À EUR {O, 1}. b) Soit U la matrice de u dans la base C . Montrer que si le complexe À est valeur propre de U, alors À E {O, 1}. En déduire les valeurs possibles du polynôme caractéristique de U, défini par P(X) : det(U -- XIg). c) En déduire les quatre valeurs possibles du polynôme caractéristique de u. d) Soit 16 EUR N°". Déterminer le reste de la division euclidienne de X '" par le polynôme A(X ) = X .(X -- 1)2 (on pourra utiliser le polynôme k.Xk"1, dérivé de X k). En déduire l'expression de uk au moyen de k, u2, u et id5. On suppose dans cette question seulement que u est diagonalisable. a) Montrer alors que u et 2) sont des projecteurs. Que valent alors les espaces ker(u) + ker(v) et Im(u) + Im(v). b) Déterminer quatre matrices diagonales: DO,D1,D2,D3, telles que DT soit de rang r, et telles que U soit nécessairement semblable à l'une de ces quatre matrices. a) Grâce à la division euclidienne de (X ---- 1)2 par X , en déduire un polynôme B tel que: (X ---- 1)2 + XB(X) = 1. b) Vérifier que: (u ----- id3)2 + (2idE ---- u) 0 u = idE. c) Justifier que: ker(v2) : Im(u) et ker(u) : Im(v2). d) Montrer que: E : ker(u) @ ker((u ---- id5)2). 1 Tournez la page S.V.P. On suppose dans cette question que ker(u) et ker(v) sont tous les deux de dimension 1. a) Quelle est la dimension de F = ker(u) + ker(v) ? b) Justifier que ker(vZ) contient ker(v), et est de dimension 2. c) Grâce à 3)d), justifier l'existence d'une base 8 = (61, 62, 63). de E dans laquelle () 0 0 la matrice de u soit T = 0 0 11 01 Déterminer dans les deux cas suivants, la valeur du polynôme caractéristique de U, et si U est semblable ou non à l'une des cinq matrices D0, D1, D2, D3, T. 1 ----1 1 a) Premier exemple: U = 1 --1 1 1 --1 1 0 0 0 b) Deuxième exemple: U = 1 0 --1 0 1 2 EXERCICE 2 On considère pour tous réels 33 et y: F(æ, y) = 393 + y3 ---- 3oey. On considère l'espace euclidien orienté llË{2, muni de son produit scalaire canonique, tel que la base canonique (61, 82) soit orthonormale directe. Soit: F = {(æ,y) EUR IRZ/ F(æ,y) = 0}. a) Soit t EUR lR et D,; = {(æ,toe),oe EUR IR}. Déterminer l'intersection: Dt 0 P. b) Pour t EUR IR, t # --1, on note: a= 1î't3» fl(t)= 1Î't3, cp(t)=(a(t),fl(t))- Comparer F avec @ = {ga(t),t EUR lR\ {--1}}: on précisera si l'on a une inclusion ou une égalité. c) Etudier la courbe paramétrée (I): établir un tableau de variations et préciser l'étude d'éventuelles branches infinies. d) Donner l'allure de la courbe I'. e) Donner une représentation polaire de la courbe F. On notera selon l'usage ua = cos(9)el + SlIl(9)EUR2, et on calculera r(9) tel que M (9) = r(9)ue soit sur I', pour des valeurs de 9 que l'on précisera. f ) Déterminer deux (différentes) transformations orthogonales u EUR O(IF{2) telles que u(F) = F. On justifiera la réponse. On considère l'espace euclidien orienté IR", muni de son produit scalaire canonique, tel que la base canonique C = (61,62, 63) soit orthonormale directe. On note ici: r = {(oe,y,0) EUR 1R3/F(æ,y) = 0}, A : {(æ,æ,0) 6 133,3: & IR}, et 5 = {(OE,y>Z) EUR IR3/Z = F(OE,y)}-- 2 a) Que représente I' vis--à-- vis de la surface S ? b) Soit M = (a:, y,0) avec (oe,y) EUR IR2. Déterminer la projection orthogonale de M sur la droite A. En déduire la distance euclidienne de M a la droite A. c) Soit N : (X,Y,Z) dans ]R3, et toujours M = (oe,y,0). Déterminer à quelles conditions N et M ont la même projection orthogonale sur A, et sont a la même distance euclidienne de O = (O, O, 0). En déduire une équation cartésienne de la surface 2 décrite alors par ces points N lorsque M décrit P (on pourra calculer (512 + y)3 et (a: + y)2). d) Déterminer une équation dans C du plan tangent à. S au point M0 : (æg, yo, zo) avec 20 : F(æ0,yo). Dans quels cas, ce plan est--il horizontal (d'équation de la forme z = c) ? EXERCICE 3 Pour tous réels a: et t, on note f(æ,t) = eoesm(t). 7, Soit g(oe) : ]? eæsm(t) dt, pour a: réel. 0 a) Justifier que g est de classe C'1 sur IR, et préciser l'expression et le signe de g'(æ) pour tout réel a:. b) Montrer que pour tout t EUR [O, %], on a: t _>_ sin(t) Z 27%. c) En déduire une majoration de g(a:) pour a: < 0, et une minoration de g(:r) pour a: > 0. (1) Déterminer: lim g(æ), lim g(oe), lim g(x). æ-->--oo x-->+oo IE--++OO :): e) Préciser les variations de g et donner l'allure de sa représentation graphique. a) Pour tout t E [O, %] fixé, préciser le développement en série entière de: a: |----+ f (oe,t). b) En déduire que g est développable en série entière sur IR; on précisera bien +oo le théorème utilisé. On écrirera ce développement sous la forme g(oe) : E anse", et on n=0 7,. exprimera an au moyen de W,, = ] 2 sin"(t) dt (que l'on ne cherchera pas à calculer). 0 c) Justifier que g est de classe C2 sur IR et vérifie: Va: EUR IR, oe(g"(æ) -- g(æ)) + g'(æ) : 1 d) En déduire une relation entre Wn+1 et Wn_1 pour n 6 lN"', et retrouver cette formule grâce à. une intégration par parties. e) Déterminer toutes les solutions développables en série entière sur lR de l'équation différentielle: oey" + y' ---- :cy : 1 (E). Comment détermine--ton g parmi toutes ces solutions ? f) Quels résultats du cours peut--on appliquer concernant l'ensemble des solutions réelles de cette équation différentielle (E') sur l'intervalle IRË. 3 Tournez la page S.V.P. Soit a < 0. Grâce à l'encadrement de 1)b), déterminer un encadrement de 0 / g(oe) dæ. g est--elle intégrable sur IR_ ? Soit a: EUR IR fixé, et 9933 : t u----+ f(oe,t). a) Justifier que 9933 est développable en série de Fourier: on précisera bien les résultats du cours que l'on peut lui appliquer. 27r b) Pour k EUR %, on pose dk(oe) : %] eOESin(t)_ikt dt. Que représente ce nombre 0 complexe ? Ecrire l'égalité de Parseval pour cpæ, en utilisant les nombres dk(oe). c) Grâce à 2)a, justifier que l'on peut écrire dk(oe) comme somme d'une série. 27r (1) Pour 16 EUR % et n EUR IN, calculer: Ik,n : / sin"(t)e"ikt dt sous forme d'une 0 somme; pour cela, on développera (c" -- e"")". En déduire une expression de dk(oe).

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 E3A Maths B PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (ENS Cachan) ; il a été relu par Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) et par Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le sujet comporte trois exercices indépendants de tailles égales. · Le premier propose un début de classification des endomorphismes u de R3 vérifiant u3 - 2u2 + u = 0. Il nécessite de maîtriser les définitions du cours sur la réduction des endomorphismes et d'être familier avec les objets classiques d'algèbre linéaire (matrices, sommes directes, projecteurs, etc.). · Le deuxième exercice porte sur la géométrie des courbes et surfaces. Dans un premier temps, on construit des représentations paramétrique et polaire d'une courbe définie implicitement. Dans un second temps, on décrit deux surfaces construites à partir de la courbe précédente. Quelques éléments de géométrie euclidienne sont utilisés (isométries, projections). · Le troisième exercice étudie l'intégrale à paramètre Z 2 g(x) = e x sin t dt 0 Il s'agit d'un exercice ultra-classique d'analyse portant sur la régularité de g, son intégrabilité sur R- et ses développements en série entière et de Fourier. Des questions de cours parsèment les dernières questions de l'exercice. Ce sujet est typique de la seconde épreuve de mathématiques des E3A : il porte sur une large partie du programme des deux années, un tiers du sujet comporte de la géométrie et tout est prétexte à poser des questions de cours. Pour préparer cette épreuve, il est préférable de traiter ces exercices séparément en les rédigeant avec rigueur et soin : c'est ce qui ressort des exigences du rapport du jury. Indications Exercice 1 1.a Considérer le polynôme annulateur X3 - 2X + X de u. 1.b Les racines de P(X) sont exactement les valeurs propres de U. 1.d Écrire formellement la relation polynomiale traduisant la division euclidienne. 2.a Considérer la matrice de u dans une base de vecteurs propres et la matrice de v dans cette même base. Localiser les noyaux et images de u et v sur ces matrices. 3.c Démontrer les égalités par double inclusion. Utiliser la question 3.b pour une inclusion et remarquer que v u = A(u) pour l'autre. 3.d Montrer que E est la somme de ces deux noyaux, puis que cette somme est directe à l'aide de la question 3.b. 4.a Justifier que les deux noyaux sont en somme directe. 4.c Construire une base adaptée à la décomposition de la question 3.d. 5.a Observer que l'espace propre de U associé à 0 est de dimension 2. 5.b Utiliser la question 4.c. Exercice 2 1.a Résoudre F(x, tx) = 0 à t fixé. 1.b Observer que Dt est une droite qui pivote autour de l'origine lorsque t varie. 1.e Effectuer le changement de variable t = tan pour ] -/2 ; /2 [ r {-/4}. Prendre garde au signe de r() suivant les valeurs de , où |r()| = k(t)k. 1.f S'inspirer de l'allure de et utiliser la représentation polaire de la question 1.e. 2.b Reconnaître un triangle rectangle isocèle à l'aide d'un dessin. 2.c Décrire géométriquement chacune des deux conditions portant sur M et N avant d'en donner une description analytique. En calculant (x + y)2 puis (x + y)3 , exprimer xy puis x3 + y 3 en fonction de X, Y et Z. 2.d Calculer le gradient de la fonction (x, y, z) 7- F(x, y) - z. Exercice 3 1.a Appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale. 1.b Utiliser la concavité de la fonction sinus sur [ 0 ; /2 ]. 1.c Intégrer la minoration de la question 1.b en veillant au signe de x. 2.b Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions. 2.c Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale pour g . L'équation différentielle s'obtient à partir de g à l'aide d'une intégration par parties. 2.d Dériver le développement en série entière de g. 2.e Raisonner par analyse/synthèse. 3 Intégrer l'encadrement de la question 1.b sur [ 0 ; /2 ] avec x 6 0 puis l'encadrement obtenu de g(x) sur [ a ; 0 ]. Montrer ensuite que l'intégrale minorante tend vers + lorsque a tend vers - en découpant l'intervalle d'intégration en -1. 4.c Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions. Exercice 1 1.a Le polynôme A(X) = X3 - 2X2 + X est un polynôme annulateur pour l'endomorphisme u. Le spectre (réel) de u est alors inclus dans l'ensemble des racines (réelles) de A. Ici A(X) = X(X - 1)2 possède exactement deux racines (réelles) 0 et 1. sp R u = sp C u {0, 1} Redémontrons l'inclusion du spectre d'un endomorphisme f de Kn dans l'ensemble des racines d'un polynôme de K[X] annulateur (K = R ou C). Soit x 6= 0Kn un vecteur propre de f pour la valeur propre . Pour tout entier naturel k, f k (x) = k x. Pour toute combinaison linéaire de ces puissances, on obtient p P k f k (x) = k=0 ie p P (k K) k k x k=0 Q(f )(x) = Q() x où Q(X) = p P k Xk k=0 En particulier, si Q est annulateur pour f , c'est-à-dire Q(f ) = 0L (Kn ) , alors P() est nécessairement nul puisque le vecteur x est non nul. Finalement, si est une valeur propre de f , alors c'est une racine de n'importe quel polynôme annulateur de f . 1.b D'après le cours, les éléments propres de U sont définis comme étant ceux de l'endomorphisme u canoniquement associé. D'après la question 1.a, sp C U {0, 1} Les racines du polynôme caractéristique P(X) de U sont exactement les valeurs propres de U. Puisque P(X) est de degré dim E = 3 et de coefficient dominant (-1)3 = -1, P(X) est de la forme -X (X - 1) avec + = 3. Finalement, Les valeurs possibles de P(X) sont -X3 , X2 (1 - X), -X(X - 1)2 et (1 - X)3 . 1.c Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme de E est égal au polynôme caractéristique d'une matrice de cet endomorphisme dans une base quelconque de E. D'après la question 1.b, Les valeurs possibles du polynôme caractéristique de u sont -X3 , X2 (1-X), -X(X-1)2 et (1-X)3 . Rappelons pourquoi cette définition du cours est valide. Deux matrices U1 et U2 de taille n d'un même endomorphisme u de Kn sont semblables, c'està-dire qu'il existe une matrice P inversible de taille n telle que U2 = P-1 U1 P. Ainsi, U2 - XIn = P-1 (U1 - XIn )P. Comme det(U2 - XIn ) = det(P-1 ) det(U1 - XIn ) det(P) = det(P)-1 det(P) det(U1 - XIn ) det(U2 - XIn ) = det(U1 - XIn ) les polynômes caractéristiques de U1 et U2 sont égaux. 1.d Soit k N fixé. La division euclidienne de Xk par A(X) s'écrit Xk = X(X - 1)2 Qk (X) + k X2 + k X + k où Qk (X) est le polynôme quotient. Les fonctions polynomiales associées sont égales : x R e k (x) + k x2 + k x + k xk = x(x - 1)2 Q Évaluons cette égalité en x = 0 et x = 1 pour obtenir les deux relations k = 0 et k + k + k = 1 Il manque une troisième équation pour déterminer entièrement les trois scalaires k , k et k . Évaluer l'équation polynomiale en une troisième valeur n'apporte rien puisque le polynôme Qk n'est pas explicite. Dérivons les fonctions polynomiales (de classe C sur R) de l'égalité précédente : x R e (x) + (x - 1)2 Q e k (x) kxk-1 = x(x - 1)2 Q k e k (x) + 2k x + k + 2x(x - 1)Q En x = 1, on obtient 2k + k = k. Finalement, les réels k et k vérifient le système ( ( ( k + k = 1 k = 1 - k k = 2 - k 2k + k = k 1 + k = k k = k - 1 Pour tout entier k > 1, le reste de la division euclidienne de Xk par A(X) vaut (k - 1)X2 + (2 - k)X. D'après l'énoncé, A(X) = X3 - 2X2 + X est un polynôme annulateur pour l'endomorphisme u, c'est-à-dire A(u) = 0L (E) . Comme Xk = A(X)Qk (X)+(k-1)X2 +(2-k)X, on en déduit que uk = (k - 1) u2 + (2 - k) u 2.a Supposons u diagonalisable. D'après la question 1.a, les valeurs propres de u sont 0 et/ou 1. Deux méthodes sont présentées pour répondre à la question. La première manipule les endomorphismes et semble coller à l'esprit du sujet. La seconde suit une approche matricielle et est davantage visuelle. À ce propos, le jury signale que « la question fut néanmoins bien traitée dans quelques copies en utilisant des matrices ». Approche endomorphisme. Comme u est diagonalisable, ses sous-espaces propres sont en somme directe : E = Ker (u) Ker (u - id E ) Le spectre de u est inclus dans {0, 1} mais n'y est pas nécessairement égal. Ainsi, un des deux noyaux peut être réduit à {0} dans la somme directe. On reconnaît le projecteur sur Ker (u - id E ) = Im (u) parallèlement à Ker (u). u est un projecteur.