E3A Maths B PC 2006

 

CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PC

durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le 
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu 
i'l est
amené à prendre. '

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Exercice 1

E est l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur R et à valeurs dans R.
E1 est le sous--ensemble de E formé des fonctions f telles que l'intégrale 
impropre

+oo

f ( ) exp( t)dt

converge pour tout a: E R.

1. Etude de quelques exemples :

+oo
a) Montrer que / exp(---t)dt converge pour tout x appartenant a R.
a:

+oo

Plus généralement, soit n EUR N, montrer que / . t" exp(----t)dt converge pour 
tout x appartenant à R.
113

_ +cx>
b) Soit 513 appartenant à R, l'intégrale impr0pre / cost exp(----t)dt 
existe--t--elle'?

(E

c) En déduire des exemples de fontions appartenant à E1.

2. Montrer que El est un sous--espace vectoriel de E.

3. Soit :
 E
f +----------> F
+00
où F(a:) == exp(oe) f(t). exp(----t)dt pour tout x appartenant à R.

(I)

a) Montrer que ça est une application linéaire.

10) Montrer que F est de classe C1 sur R et que : F = F' + f

c) 
_ 0, alors :

pour tout a: _>_ a. ( f (k) désignant la dérivée k'emede la fonction polynôme f)

Exercice 2

2 3 ---2 3 -------2 1
Soient : A == ----1 -----2 2 et P = -----1 2 -------1
1 3 -------4 0 1 2

Soit ]" l'endomorphïsme de R3 canoniquement associé à la matrice A.

1. a) Montrer que A est diagonalisable.
b) Montrer que la matrice P est inversible.

2. Soit g un endomorphisme de R3. Montrer que si f et g commutent, les 
vecteurs'propres de f sont des
vecteurs propres de g. '

3. En déduire que si f et g commutent, f et 9 sont simultanément 
diagonalisables.

4. On considère l'équation matricielle :
(5) M2 ----- 6M : A

d'inc0nnue M, matrice carrée d'ordre trois à coefficients réels.

a) Montrer que si la matrice M est solution de (5), alors M et A commutent.

b) En déduire que l'équation (EUR ) est équivalente à. l'équation (S' ) 
d'inconnue D matrice carrée d'ordre
trois diagonale :

(S') 192 -- 6D 3 A
0
0
-----5
c) Résoudre l'équation (S'), puis déterminer les solutions de (EUR )

1
oùA= ()
0

COO

Exercice 3

__:--).__>
2

E est un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormal de sens 
direct R==(O, , ' ). On choisit

___)
0 comme pôle et (0, z' ) comme axe polaire; a est un réel strictement positif.

1. Tracer la courbe P d'équation polaire p : a(1 + c039)
2. Déterminer la longueur de F.

3. On considère l'application

ga: ]----7r,+7r[ -----> K
0
9 +------> t=tan--2--
1--t2i 4at

a) Montrer que : a: : 2a sont des équations paramétriques de I'.

(1+t2)2 ' y: (1+t2)2
b) Montrer que la tangente à F en le point M de paramètre 7" a pour équation :

(7--3 ------- 37)y + (372 -- 1)oe + 2a == 0

0) Montrer que cette tangente recoupe I' en deux points P1 de paramètre t1 et 
P2 de paramètre t2 si
et seulement si 7"2 ___>_ 3 et alors t1.t2 : 3.

On considère les tangentes à F en ces points P1 et P2 ; montrer qu'elles se 
coupent en le point N de
coordonnées (cv, fl) si et seulement si t1 et 152 sont racines de : '

P(t) = (t3 ---- 3t)fi + (3t? ---- 1)oz + 2a

a-----2a

33 .
d) En déduire que l'ensemble des points d'intersection N lorque 7' décrit ] --- 
oo, --JË[U] + \/3, +oo[ est

inclus dans la courbe dont une équation est :

et alors la troisième racine &; est 753 =

103:2 ... 54y2 -- 22cm: + 4a2 : 0

e) Reconnaître et déterminer les éléments remarquables de cette courbe. La 
représenter dans le repère
---> ---->

orthonormal R=(O, 72 , j ).