e3a Mathématiques PC 2025

SESSION 2025

PC8M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
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MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/4

EXERCICE 1
Question préliminaire
Soit  la fonction réelle de la variable réelle définie par :
 t  R, (t) = 2t3 - t2 + 1

1. Étudier les variations de la fonction  sur l'intervalle [-1, 1] et en donner 
la représentation graphique dans le plan muni d'un repère.
*****
Soit f  M = (x, y)  R2  x3 + y2  R.

2. Déterminer les points critiques sur R2 de la fonction f .
3. En déduire que la fonction f n'admet pas d'extremum local sur R2 .

4. Soit D le disque fermé de centre O et de rayon 2 : D = {M = (x, y)  R2 , x2 
+ y2  4}.
4.1. Justifier que f admet dans D des extrema globaux.

4.2. Justifier que ces extrema sont atteints sur le cercle de centre O et de 
rayon 2.

4.3. Soit M un point du cercle de centre O et de rayon 2 : il existe donc  ] - 
, ] tel que
M = (2 cos(), 2 sin()). Démontrer que : f (M) = 4  (cos()).

4.4. En déduire les extrema globaux de f sur D.

EXERCICE 2
On considère l'équation (E) :

 x  R, x2 y (x) + x y (x) - (x2 + x + 1) y(x) = 0

où y est une fonction inconnue de classe C 2 sur R.

1. Soit y de classe C 2 une solution de (E). Calculer y(0).

2. On cherche une solution f de (E) développable en série entière et telle que 
f  (0) = 1.
+

On suppose qu'il existe R > 0 tel que, x ] - R, R[, f (x) =  an xn .
n=0

 n  2, (n2 - 1) an - an-1 - an-2 = 0

2.1. Montrer que l'on a :  a0 = 0

 a1 = 1

2.2. Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que :  n  1, an  

2.3. Justifier alors que la fonction f est définie sur R.

1
.
(n - 1) !

3. Soit y une fonction de classe C 2 sur R solution de (E). On pose, pour tout 
x réel, z(x) = x y(x) e x .
3.1. Calculer z(0) et z (0).

2/4

3.2. Prouver que z est solution sur R de l'équation

x u (x) - (2x + 1) u(x) = 0

d'inconnue la fonction u de classe C 1 sur R.

(F)

3.3. Une équation différentielle

3.3.1. Résoudre sur R+ l'équation différentielle :

1
u - (2 + ) u = 0
x

3.3.2. Justifier que les solutions sont prolongeables par continuité en 0.

3.4. Démontrer que, pour tout réel c, la fonction x  cx e2x est solution de (F) 
sur R.
On admet que ce sont les seules solutions de (F) sur R tout entier.
3.5. Démontrer qu'il existe un réel a tel que :

 x  R, z(x) = a(2x - 1) e2x + a

3.6. Déterminer alors une expression de f à l'aide des fonctions usuelles.

EXERCICE 3
Soient r un nombre réel, n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et Mr la 
matrice de Mn (R) définie
par :
1 r  r 
r 1   

Mr = 
    r
 r  r 1

On rappelle que si A  M p,q (R) alors A  Mq,p (R) désigne la transposée de la 
matrice A.
On munit l'espace vectoriel Rn de son produit scalaire canonique : (X  Y) = X  
Y.
On note enfin J la matrice de Mn (R) dont tous les éléments sont égaux à 1.
1. Déterminer une base de Im(J) et le rang de la matrice J.
2. Déterminer une base de Ker(J).

3. Prouver que la matrice J est diagonalisable dans Mn (R).

4. Déterminer les sous-espaces propres de la matrice J et une matrice diagonale 
D semblable à J.
5. Démontrer que Im(J) et Ker(J) sont deux sous-espaces orthogonaux 
supplémentaires dans Rn .

6. Justifier que Mr  Vect(In , J).

7. Vérifier que la matrice Mr est diagonalisable dans Mn (R) et déterminer une 
matrice r diagonale
semblable à Mr .
8. Pour tout couple (X, Y) de vecteurs de Rn , on pose fr (X, Y) = X  Mr Y.

8.1. Soit X un vecteur de Rn . Montrer que l'application Y  fr (X, Y) est une 
forme linéaire sur Rn .
8.2. Montrer que : (X, Y)  (Rn )2 , fr (X, Y) = fr (Y, X).
3/4

8.3. Justifier qu'il existe une matrice P  Mn (R), orthogonale, telle que :
(X, Y)  (Rn )2 , fr (X, Y) = (X  ) r Y 

où l'on a posé X  = PX et Y  = PY.
On ne déterminera pas la matrice P.

8.4. Déterminer les valeurs de r pour lesquelles l'application fr définit un 
produit scalaire sur Rn .

EXERCICE 4
Questions de cours
1. Soit Z une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p.
Rappeler la loi de Z, son espérance et sa variance.

2. Soient X1 et X2 deux variables aléatoires discrètes définies sur le même 
espace probabilisé (, A , P).
Rappeler la définition de « X1 et X2 sont indépendantes ».
*****

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même 
espace probabilisé (, A , P)
et telles que :
 X() = Y() = N

 il existe p ]0, 1[ tel que  k  N, P(X = k) = P(Y = k) = p qk avec q = 1 - p.
3. Soit k  N. Montrer que P(X  k) = qk .

4. Étude de la variable aléatoire X + Y
4.1. Dans quel ensemble la variable aléatoire X + Y prend-elle ses valeurs ?
4.2. Déterminer la loi de la variable aléatoire X + Y.
4.3. Soient n et k deux entiers naturels.

4.3.2. On prend k  n. Démontrer qu'il existe un scalaire rn tel que : P(X+Y=n) 
(X = k) = rn .

5. On pose V = Y - X et M = min(X, Y) où min(a, b) désigne le plus petit des 
deux réels a et b.

5.1. Dans quels ensembles les variables aléatoires V et M prennent-elles leurs 
valeurs ?
5.2. Calculer, pour tout entier naturel k, la valeur de P(M  k).
5.3. En déduire la loi de la variable aléatoire M.

5.4. Soient k  N et r  Z. Calculer la probabilité de l'évènement (M = k)  (V = 
r).
On pourra distinguer les deux cas r < 0 et r  0. 5.5. En déduire la loi de V. 5.6. Étudier l'indépendance des deux variables aléatoires M et V. FIN 4/4 I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 25 1054 ­ D'après documents fournis 4.3.1. Lorsque k > n, calculer P(X+Y=n) (X = k).