e3a Maths 1 PC 2021

Corrigé

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SESSION 2021 EUR y PC8M

NES
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/4
Exercice 1

_] n+]
1. Justifier que la série > converge.
n>1
2.
+00 1 1 dx
2.1. Démontrer que l'on a : > [[ x" (1 -- x) dx = [
120 0 0 1 +x
On pourra utiliser un théorème d'intégration terme à terme.
+00 (--1y"+!
2.2. En déduire la valeur de : >
n=] nl
+00 x"
3. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction 6 : x > (D --.,
n=]
Calculer w(1).
d,
Dt--x
4.1. Calculer l'intégrale : [ > dx.
0 1+x
+00 1
4.2. En calculant de deux façons différentes > (D [ x" (1 -- x) ax} déterminer 
la valeur
n=0 0
(1)

+00
de la somme : S = > après en avoir justifié l'existence.
n=0

Qn + 1)(2n +2)

Exercice 2

Question de cours
Soit f une fonction continue sur KR et intégrable sur ] -- co, --1].

1. Soient a e R et F; la fonction qui à tout x de R associe [ f(®) df.

Justifier que F, est de classe C' sur R et déterminer l'expression de F'(x) 
pour tout x de R.

X

2. Justifier que la fonction F qui à tout x de R associe [ f(®) df est de 
classe C ! sur R et déter-
miner l'expression de F"(x) pour tout x de KR. .
K © $K © ©

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note E, l'espace vectoriel 
des fonctions polyno-
miales de degré inférieur ou égal à n.

Pour tout k EUR [[0, 7], on note e, la fonction réelle de la variable réelle 1 
+ À et Z -- (ex )rero. ny la base
canonique de E,.

On note D l'endomorphisme dérivation de FE, et Id l'endomorphisme identité de 
E,.
3. Soit k e N. Montrer que la fonction jf : 1 fe! est intégrable sur ] -- co, 
--1].

4, Soit f EUR E,. Montrer que l'on définit sur E, une application linéaire L en 
posant g = L{f) avec :

VxeR, g(x) =e* [ f(e) e' dr.

2/4
10.
11.
12.

. Soient (@,) et (b,) définies par bo = 0, b, = Îl'etles relations de 
récurrence : Vn EUR N\,

. soitg EUR E, tel que g = 1(f).

Montrer que g est solution sur R de l'équation différentielle : y" + y = f(x).

. En déduire Ker(L).

7.1. Calculer L(eo).
7.2. Montrer que pour tout entier naturel k EUR [0, n -- 1], L(ey:1) = eg: -- 
(K + 1) Lez).

7.3. En déduire que L est un endomorphisme de E,.

. Prouver que L est un automorphisme de E,.

. Recherche des sous-espaces propres de Z

Soient À une valeur propre de L et f un vecteur propre associé.

9.1. Justifier que 1 £ 0.
9.2. Montrer que f est solution sur R de l'équation différentielle : y" + (À -- 
1)y = 0 (+).
9.3. Résoudre dans KR l'équation différentielle (+).

9.4. Déterminer les solutions polynomiales de l'équation différentielle (+).

9.5. En déduire les valeurs propres de l'endomorphisme L et déterminer les 
vecteurs propres
aSSOCIÉS.

L'endomorphisme L est-il diagonalisable ?

Comparer L'! et D+ Id.
Déterminer la matrice M de L'! dans la base Z.

Déterminer les valeurs propres de L"!. Retrouver alors les valeurs propres de L.

Exercice 3

. On note y la racine positive du trinôme x° -- x -- 1. Justifier que y > 1 et 
que la deuxième racine

1
ESt ----.
y
n+1 -- bh

Daxi = An + Dh

2.1. Montrer que pour tout entier n strictement positif : b,41 = b, + by_1.

2.2. Parmi les réponses proposées, une seule est l'expression correcte de b, 
valable pour tout
entier naturel nr. Laquelle ?

y" (--1)1*! (--1) 1 1 y" (--1)1*!
+ ; (2) ------ + ; (3) +
V5 y" vs V5 y" V5 V5 y"Vv5

2.3. Exprimer, pour tout n EUR N, a, en fonction de n.

(D)

2.4. Démontrer que pour n EUR N, y" = a, + b,7.

3/4
dn
b, |
Déterminer une unique matrice M EUR .#(R) telle que : V,,1 = M V,.

3. On pose, pour tout n EUR N, V, =

4, Justifier que la matrice M est diagonalisable et déterminer ses éléments 
propres.
5. Montrer que l'ona:VneN, M'=a,L+b,M.

6. Pour tout n EUR N, on pose : C, = > Tr
k=0

Montrer que la suite (C, )yen converge et déterminer sa limite C à l'aide de y 
et des matrices LZ;
et M.

7 0
7. Démontrer que la matrice Cest semblable à la matrice À -- F el :

Exercice 4

SoientneN'etE =R,[X]. On note (P5(X) = 1, P,(X) = X,..., P,(X) = X") la base 
canonique de E.
Soit (&;) jeony une famille de réels distincts deux à deux.

Pour tout couple (P, O) d'éléments de FE, on pose : (PQ) = > P(a;)Q(a ;).
j=0
1. Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E.

2. Soit P un polynôme de E, calculer (P|P5).

X --
3. Pour tout j EUR [[0, 7], on considère le polynôme L;(X) -- IE "E
io dj -- dk
k£j
| _. > 1 Sii = j
3.1. Démontrer que, pour tout couple (4, j) EUR [0,n], L,(a;) = |
0 sinon

3.2. Prouver que la famille Z = (L;);eony est une famille orthogonale pour le 
produit sca-
laire ( |).

3.3. En déduire que .Z est une base de E et qu'elle est orthonormale.

3.4. Déterminer les composantes d'un polynôme P de E dans la base Z.

3.5. Déterminer > L;.
j=0

4, Soit H l'ensemble des polynômes P de E tels que > P(a;) = 0.
j=0
4.1. Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E.
4.2. Déterminer H- et en déduire la dimension de H.
5. Soit O un polynôme de FE.
5.1. Déterminer le projeté orthogonal de Q sur H-.

5.2. Déterminer la distance de Q au sous-espace vectoriel 7.

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 211165 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Mathématiques PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Angèle Niclas (ENS Lyon) ; il a été relu par Antoine
Barrier (ENS Paris-Saclay) et Tristan Poullaouec (professeur en CPGE).

Le sujet comporte quatre exercices indépendants portant sur l'analyse et 
l'algèbre.
· L'exercice 1 a pour objet le calcul de la somme de deux séries convergentes,

X
(-1)n+1
n
n=1

et

+
X

(-1)n
(2n + 1)(2n + 2)
n=0

Cet exercice demande une bonne maîtrise des théorèmes d'intégration terme à
terme et des conditions de convergence d'une série.
· Le deuxième exercice s'intéresse à l'application linéaire L qui associe, à 
tout
polynôme f  Rn [X], la fonction g définie par
Z x
x  R
g(x) = e -x
f (t)e t dt
-

Après une question de cours, on prouve que L est un endomorphisme puis un
automorphisme de Rn [X], avant de rechercher ses éléments propres. Cet exercice
nécessite de la dextérité dans le maniement des espaces vectoriels de fonctions.
· L'exercice 3 étudie deux suites définies par une relation de récurrence double

an+1 = bn
n  N
bn+1 = an + bn
On prouve que la suite (bn )nN est la suite de Fibonacci, dont on connaît une
expression pour tout n  N en fonction du nombre d'or. Après avoir mis le
problème sous forme matricielle, on s'intéresse à des suites et des séries de
matrices dont on calcule les limites.
· Le dernier exercice étudie un produit scalaire introduit dans l'énoncé. On 
redémontre des résultats généraux sur les polynômes d'interpolation de Lagrange,
avant de s'intéresser à des projetés orthogonaux sur un sous-espace vectoriel.
Le sujet aborde un grand nombre de chapitres du programme des deux années de
classes préparatoires et constitue un bon exercice de révision générale de 
l'ensemble
du cours. Il ne présente pas de difficulté majeure et les questions sont très 
guidées.

Indications
Exercice 1
1.1 Appliquer le théorème spécial des séries alternées.
1.2.1 Poser fn (x) = x2n (1 - x) et utiliser le théorème d'intégration terme à 
terme
dont l'une des hypothèses est
XZ 1
|fn (x)| dx converge
0

Z

1

1
dx.
1+x
1.3 Reconnaître une série entière et calculer son rayon de convergence avec la 
règle
de d'Alembert.

1.2.2 Utiliser le résultat de la question 1.2.1 puis calculer

0

1.4.2 Utiliser un théorème d'intégration terme à terme comme dans la question 
1.2.1
puis le résultat de la question 1.4.1.
Exercice 2
2.1 Définir le taux d'accroissement  (h) de F1 entre x et x + h et remarquer,
en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe un réel xh 
vérifiant |xh - x| 6 |h| et  (h) = f (xh ).
2.2 Décomposer F en deux parties afin d'utiliser le résultat de la question 2.1
pour a = 1.
2.3 Montrer que fk (t) =

o

t-

(1/t2 ) en utilisant les croissances comparées.

2.4 Montrer que l'application L est bien définie en utilisant le résultat de la 
question 2.2.
2.5 Utiliser le résultat de la question 2.2 pour dériver g.
2.6 Appliquer le résultat de la question 2.5 à g = L(f ) = 0En .
2.7.2 Calculer L(ek+1 ) à l'aide d'une intégration par parties.
2.7.3 Procéder par récurrence en utilisant le résultat des questions 2.7.1 et 
2.7.2 pour
montrer que L(ek )  En pour tout k  [[ 0 ; n ]].
2.8 Remarquer que En est de dimension finie et utiliser le résultat de la 
question 2.6.
2.9.2 Appliquer le résultat de la question 2.5 à g = f = L(f ).
2.9.4 Considérer une solution polynomiale de () et chercher son degré en 
fonction
de la valeur de .
2.9.5 Utiliser le résultat des questions 2.9.2 et 2.9.4 pour trouver les 
vecteurs propres.
2.10 Utiliser le résultat de la question 2.5.
2.12 Utiliser le résultat de la question 2.11.

Exercice 3
3.1 Utiliser les relations entre coefficients et racines.
3.2.2 Écrire la forme générale des suites (bn )nN vérifiant la relation de la 
question 3.2.1 puis utiliser les conditions initiales.
3.4 Calculer le polynôme caractéristique de M et utiliser les résultats de la 
question 3.1.
3.6 Utiliser le résultat de la question 3.5 et le développement en série 
entière de la
fonction exponentielle.
3.7 Utiliser le résultat de la question 3.4.
Exercice 4
4.3.2 Calculer (Lk | Li ) pour tout (k, i)  [[ 0 ; n ]]2 .
4.3.3 Utiliser le résultat de la question 4.3.2 pour montrer que B est libre.
4.3.4 Utiliser la décomposition d'un vecteur dans une base orthonormale.
n
P
4.3.5 Appliquer le résultat de la question 4.3.4 à
Lj et à 1.
j=0

4.4.1 Utiliser le résultat de la question 4.2 pour exprimer H comme 
l'orthogonal d'un
espace vectoriel simple.
4.5.1 Utiliser la formule du projeté orthogonal sur un sous-espace vectoriel.
4.5.2 Lier la distance à calculer et le projeté obtenu à la question 4.5.1.

Publié dans les Annales des Concours

Exercice 1
1.1 Posons un = (-1)
/n et vn P
= 1/n pour tout n  N , et appliquons le
théorème spécial des séries alternées à
un .
· Pour tout n > 1, on remarque que un = (-1)n+1 vn avec vn > 0.
· La suite (vn )n>1 est décroissante puisque pour tout n > 1,
n+1

1
1
1
- =-
<0 n+1 n n(n + 1) vn+1 - vn = · Enfin, lim vn = 0. n Les hypothèses du théorème spécial des séries alternées sont donc vérifiées et on peut P affirmer que la série un converge. Finalement, on conclut que n>1

La série

X (-1)n+1
converge.
n

n>1

1.2.1 Pour tout n  N, définissons la fonction fn : x 7 x2n (1 - x) sur [ 0 ; 1 
[.
Comme suggéré dans l'énoncé, vérifions les hypothèses de l'un des deux théorèmes
d'intégration terme à terme du cours.
· Les fonctions (fn )nN sont par définition polynomiales, donc continues et 
intégrables sur l'intervalle [ 0 ; 1 [.
· Soient N  N et x  [ 0 ; 1 [, alors
N
X

N
X

fn (x) =

n=0

x2n (1 - x) = (1 - x)

n=0

N
X

(x2 )n = (1 - x)

n=0

1 - (x2 )N+1
1 - x2

en reconnaissant la somme d'une série géométrique. Comme x2  [ 0 ; 1 [,
N
X
n=0

fn (x) ----
N

1-x
1
1-x
=
=
1 - x2
(1 - x)(1 + x)
1+x

P
Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par f (x) = 1/(1+x). La série fn 
converge
alors simplement vers la fonction continue f sur [ 0 ; 1 [.
· Pour tous n  N et x  [ 0 ; 1 [, remarquons que |fn (x)| = fn (x) et que
1
 2n+1
Z 1
Z 1
x2n+2
1
1
x
-
=
-
|fn (x)| dx =
(x2n - x2n+1 ) dx =
2n
+
1
2n
+
2
2n
+
1
2n
+2
0
0
0
En particulier, pour tout N  N,
N Z 1
N
N
X
X
X
1
1
|fn (x)| dx =
-
2n
+
1
2n
+2
0
n=0
n=0
n=0
N
N
X
(-1)2n+2 X (-1)2n+3
+
2n + 1
2n + 2
n=0
n=0
n+1
X
X
(-1)
(-1)n+1
=
+
n
n

=

16n62N+2
n impair

N Z
X
n=0

0

1

|fn (x)| dx =

2N+2
X
n=1

16n62N+2
n pair

(-1)n+1
n