e3a Maths 1 PC 2020

Thème de l'épreuve Cinq exercices indépendants
Principaux outils utilisés réduction, intégrale à paramètre, série entière, probabilités, espace euclidien
Mots clefs loi géométrique, projection orthogonale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 e3a Mathématiques PC 2020 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Florian Metzger (professeur en CPGE) et Tristan Poullaouec (professeur en CPGE). L'énoncé est composé de cinq exercices indépendants traitant de différents sujets d'analyse, d'algèbre et de géométrie. · L'exercice 1 étudie la réduction et 1 0 0 l'inversibilité de la matrice a 0 0 1 1 0 en fonction du paramètre a R. · L'exercice 2 s'intéresse à l'intégrale à paramètre Z + -t e dt f (x) = 1 + xt 0 définie sur R+ . On étudie ses variations et sa limite en + à l'aide d'une étude préalable de la suite (f (n))nN . · L'exercice 3 porte sur les séries entières. à des questions bien guidées, P Grâce on montre que la somme de la série an xn avec n a0 = 1 et n N an+1 = 1 X ak n+1 n-k+2 k=0 est le développement en série entière sur [ 0 ; 1 [ d'une fonction exprimable à l'aide de fonctions usuelles. · L'exercice 4 étudie un sous-espace vectoriel de Mn (R) décrit par une relation matricielle. L'énoncé en profite pour faire une petite incursion dans les probabilités discrètes en étudiant une loi géométrique. · L'exercice 5, très calculatoire, porte sur une projection orthogonale sur un sousespace vectoriel de R2 [X]. Le sujet est très varié et traite de nombreux thèmes aux programmes des deux années de classes préparatoires, ce qui en fait un sujet de révision idéal. Il est traitable dans le temps imparti, à condition de ne pas traîner sur l'exercice 3, celui qui demande le plus de technicité. Indications Exercice 1 1 Utiliser le fait qu'une matrice M est diagonalisable si et seulement si la multiplicité de chaque valeur propre dans M est égale à la dimension du sous-espace propre associé. Distinguer alors les cas a = 0 et a 6= 0. 3 Pour trigonaliser Ma , il s'agit de trouver une base des espaces propres associés aux deux valeurs propres de Ma . Compléter la base ainsi trouvée en une base de R3 pour obtenir la matrice donnée par l'énoncé. Exercice 2 3.2 Utiliser le théorème de convergence dominée. 3.3 Commencer par montrer que f admet une limite finie en + (en utilisant le résultat des questions 2 et 3.1), puis conclure par la question 3.2. Exercice 3 3.2 Pour conclure à la bonne définition en x = -1, utiliser le théorème spécial des séries alternées. Exercice 4 1.4 Écrire T comme combinaison linéaire de A et B, puis utiliser les résultats de la question 1.3. 2.1 Après avoir trouvé une expression de pn en fonction de n et d'une constante, + P estimer cette constante en évaluant la somme pn . n=0 Exercice 5 2 Appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. 3 Observer que les deux premiers polynômes de la base obtenue à la question 2 forme une base orthonormale de R1 [X]. Exercice 1 1 Calculons le polynôme caractéristique de la matrice Ma , en développant le déterminant par rapport à la 1re colonne : Ma = det(XI3 - Ma ) = X-1 0 0 -a X -1 0 X -1 = (X - 1) -1 X -1 = (X - 1)2 (X + 1) X Le polynôme Ma est scindé (de racines -1 et 1), donc la matrice est trigonalisable sur R. Par le cours, la matrice Ma est diagonalisable si et seulement si pour toute valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à sa multiplicité dans Ma . Puisque -1 est racine de multiplicité 1 dans Ma , dim(Ker (Ma + I3 )) = 1 Par ailleurs, 1 est valeur propre de multiplicité 2 dans Ma . La matrice Ma est donc diagonalisable si et seulement si dim(Ker (Ma - I3 )) = 2. Or, d'après le théorème du rang, dim(Ker (Ma - I3 )) = 3 - rg (Ma - I3 ) où 0 a 0 Ma - I3 = 0 -1 1 0 1 -1 Distinguons alors deux cas. · Si a = 0, alors rg (Ma - I3 ) = 1 puisque les colonnes 1 et 3 de Ma - I3 sont des multiples de la colonne 2, dans ce cas. Par conséquent, dim(Ker (Ma - I3 )) = 2 et la matrice Ma est diagonalisable. · Si a 6= 0, alors la matrice Ma - I3 est de rang 2 puisque les colonnes 2 et 3 ne sont pas proportionnelles. Par conséquent, on a dim(Ker (Ma - I3 )) = 1 et la matrice Ma n'est pas diagonalisable. La matrice Ma est diagonalisable si et seulement si a = 0. 2 D'après le résultat de la question 1, 0 / sp (Ma ) d'où Ker (Ma ) = {0}. Ainsi, La matrice Ma est inversible pour tout a R. 3 Supposons que la matrice Ma n'est pas diagonalisable, c'est-à-dire que a 6= 0 d'après le résultat de la question 1. On a vu que le polynôme caractéristique de Ma est scindé dans R donc la matrice est trigonalisable. Cherchons une base de trigonalisation de Ma . La valeur propre -1 de Ma est de multiplicité 1 : la dimension de son espace propre associé est donc 1. Puisque 2 a 0 Ma + I3 = 0 1 1 0 1 1 t le vecteur u = (a -2 2) est un vecteur propre associé à la valeur propre -1, et donc une base de Ker (Ma + I3 ). Cherchons ensuite une base de l'espace propre associé à la valeur propre 1. D'après t la forme de Ma -I3 rappelée en question 1, le vecteur v = (1 0 0) appartient à l'espace propre Ker (Ma -I3 ). La famille (u, v) est libre, puisque u et v ne sont pas colinéaires. À ce moment-là, on cherche un vecteur w pour compléter la famille (u, v) en une base de R3 . Il doit de plus satisfaire l'égalité Ma w = v + w pour obtenir la matrice triangulaire donnée par l'énoncé, c'est-à-dire (Ma - I3 )w = v. On t voit alors assez facilement que w = (0 1/a 1/a) va faire l'affaire. t Soit w = (0 1/a 1/a). Alors la famille (u, v, w) est une base de R3 , puisque w est orthogonal à u et v et que (u, v) est libre. De plus, le vecteur w est tel que 1 Ma w = 1/a = v + w 1/a Ma dans la base (u, v, w) vaut ainsi 0 0 1 1 0 1 -1 0 0 Si a 6= 0, Ma est semblable à la matrice 0 1 1. 0 0 1 La matrice de l'endomorphisme associé à -1 0 0 d'où On a réalisé une réduction de Jordan : toute matrice A dont le polynôme caractéristique est scindé est semblable à une matrice diagonale par bloc, où chaque bloc est du type 1 1 .. .. . . 1 0 0 où décrit le spectre de A.