e3a Maths 1 PC 2020

Thème de l'épreuve Cinq exercices indépendants
Principaux outils utilisés réduction, intégrale à paramètre, série entière, probabilités, espace euclidien
Mots clefs loi géométrique, projection orthogonale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 \( D PCS8M

NS
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai :14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.

1/4
Exercice li.

I] a 0
Soient a EUR R et la matrice M, =10 O0 ÏT.
O 1 O0

1. Pour quelles valeurs du réel a la matrice M, est-elle diagonalisable ?

2. Pour quelles valeurs du réel a la matrice M, est-elle inversible ?

--1 O0 0
3. Montrer que lorsqu'elle n'est pas diagonalisable, M, est semblable à la 
matrice | 0 I )

Exercice 2.

--1
Soient x un réel positif ou nul et &, la fonction qui à un réelf EUR R,, 
associe w,(f) =

l+xt
+00
On pose alors, pour tout x > 0, f(x) = [ @,(t) df.
0

1. Justifier que la fonction f est bien définie sur R..

2. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur R..
On pourra comparer f(x) et f(y) pour deux éléments x et y de R, tels que x < y. 3. Limite de f en l'infini 3.1. Démontrer que la suite (f(n)),., converge vers une limite £. 3.2. Déterminer la valeur de £. 3.3. En déduire lim f(x). X-- +00 2/4 Exercice 3. On considère la suite (a, ),ew définie par a = 1 et la relation de récurrence : 1 n VneN, ay = ---- A n + | in-k+2 1. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que : VneN,0 a, X'. Justifier que son rayon de 
convergence est supérieur ou

n>0

égal à I.
+00
Pour xe] ---1,11{,on pose f(x) = > An X".
n=0
3.
n
3.1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière >
int 2
+00 x"
3.2. Déterminer l'ensemble réel de définition de la fonction x > 72
=0

n +2

+00 +00 n +00
3.3. On pose, lorsque cela est possible, D dy » | > Y | -- > w, x", produit de 
Cauchy
n=0 n=0

n=0
x"
n +2

réel des deux séries > a, X' et >

n>0 n>0

Justifier que le rayon de convergence de la série entière > w, x est supérieur 
ou égal à 1

n>0
et donner pour tout entier naturel n, une expression de w, à l'aide de la suite 
(a,).

+00 n
3.4. En déduire que l'on a pour tout x EUR | --1,11[, f'(x) = f(x) > _ x
n
=0
+00 xl
4, Démontrer alors que pour tout x e [0,11[,In(f(x)) = > + Du 2)
n n

n=0

5. En déduire, pour tout x EUR [ 0, I [, une expression de f(x) à l'aide de 
fonctions usuelles.

1 _ 1 1
(n+l)n+2) n+1 n+2

On utilisera sans le redémontrer que l'on a :

= Un
6. Justifier que la série > D converge et calculer sa somme.

n>0

3/4
L.

2.

Exercice 4.

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et M EUR .Æ,(R), M Æ I, et M + 
51 vérifiant la

relation :
2M° = 3M - I,

1.1. On note F = Vect(L,, M, M°). Prouver que VkeN, M'EeF.

Déterminer la dimension de F et en donner une base.

1.2. Vérifier que F est stable pour la multiplication des matrices.

1
1.3. Soient À = M - 1, et B = M - ;În.

Justifier que Z = (A, B) constitue une base de F.
Déterminer les composantes des matrices AB, BA, A7 et B° dans la base Z.
1.4. Déterminer toutes les matrices T de F vérifiant : T° = M.
Soit X une variable aléatoire réelle telle que l'on a :
X(O)=NetVnenN, 2P(X =n+2)=3P(X = n+1)-P(X = n).
2.1. On note p, = P(X = n). Exprimer p, en fonction de n.
En déduire la loi de la variable aléatoire X.

2.2. Justifier que la variable aléatoire X possède une espérance et une 
variance et les calculer.

Exercice 5.

Dans cet exercice, E désigne l'espace vectoriel R;[X] des polynômes de degré 
inférieur ou égal à 2 et
à coefficients réels et Z = (1, X, X?) sa base canonique.

Pour tout couple (P, O) d'éléments de FE, on pose :

RE

< PIQ >= P()O(D + PQ) + P°(DQ"().
Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
Déterminer une base orthonormale de E pour ce produit scalaire.
Déterminer la distance du polynôme U = X°-4à R,[X].
Soit 4 l'ensemble des polynômes P de E tels que P(1) = 0.
4.1. Vérifier que H est un sous-espace vectoriel de E. Quelle est sa dimension ?

4.2. Soit v la projection orthogonale sur H. Déterminer la matrice de @ dans la 
base Z.

+ © 2% © *% %

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 201161 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Mathématiques PC 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à 
l'université) ; il a été relu par Florian Metzger (professeur en CPGE) et 
Tristan Poullaouec
(professeur en CPGE).

L'énoncé est composé de cinq exercices indépendants traitant de différents 
sujets
d'analyse, d'algèbre et de géométrie.
· L'exercice 1 étudie la réduction et

1
0
0

l'inversibilité de la matrice

a 0
0 1
1 0

en fonction du paramètre a  R.
· L'exercice 2 s'intéresse à l'intégrale à paramètre
Z + -t
e
dt
f (x) =
1
+ xt
0
définie sur R+ . On étudie ses variations et sa limite en + à l'aide d'une étude
préalable de la suite (f (n))nN .
· L'exercice 3 porte sur les séries entières.
à des questions bien guidées,
P Grâce
on montre que la somme de la série
an xn avec
n

a0 = 1

et

n  N

an+1 =

1 X
ak
n+1
n-k+2
k=0

est le développement en série entière sur [ 0 ; 1 [ d'une fonction exprimable à
l'aide de fonctions usuelles.
· L'exercice 4 étudie un sous-espace vectoriel de Mn (R) décrit par une relation
matricielle. L'énoncé en profite pour faire une petite incursion dans les 
probabilités discrètes en étudiant une loi géométrique.
· L'exercice 5, très calculatoire, porte sur une projection orthogonale sur un 
sousespace vectoriel de R2 [X].
Le sujet est très varié et traite de nombreux thèmes aux programmes des deux
années de classes préparatoires, ce qui en fait un sujet de révision idéal. Il 
est traitable
dans le temps imparti, à condition de ne pas traîner sur l'exercice 3, celui 
qui demande
le plus de technicité.

Indications
Exercice 1
1 Utiliser le fait qu'une matrice M est diagonalisable si et seulement si la 
multiplicité de chaque valeur propre dans M est égale à la dimension du 
sous-espace
propre associé. Distinguer alors les cas a = 0 et a 6= 0.
3 Pour trigonaliser Ma , il s'agit de trouver une base des espaces propres 
associés
aux deux valeurs propres de Ma . Compléter la base ainsi trouvée en une base
de R3 pour obtenir la matrice donnée par l'énoncé.
Exercice 2
3.2 Utiliser le théorème de convergence dominée.
3.3 Commencer par montrer que f admet une limite finie en + (en utilisant le 
résultat des questions 2 et 3.1), puis conclure par la question 3.2.
Exercice 3
3.2 Pour conclure à la bonne définition en x = -1, utiliser le théorème spécial 
des
séries alternées.
Exercice 4
1.4 Écrire T comme combinaison linéaire de A et B, puis utiliser les résultats 
de
la question 1.3.
2.1 Après avoir trouvé une expression de pn en fonction de n et d'une constante,
+
P
estimer cette constante en évaluant la somme
pn .
n=0

Exercice 5
2 Appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
3 Observer que les deux premiers polynômes de la base obtenue à la question 2
forme une base orthonormale de R1 [X].

Exercice 1
1 Calculons le polynôme caractéristique de la matrice Ma , en développant le 
déterminant par rapport à la 1re colonne :
Ma = det(XI3 - Ma ) =

X-1
0
0

-a
X
-1

0
X
-1 = (X - 1)
-1
X

-1
= (X - 1)2 (X + 1)
X

Le polynôme Ma est scindé (de racines -1 et 1), donc la matrice est 
trigonalisable
sur R. Par le cours, la matrice Ma est diagonalisable si et seulement si pour 
toute
valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à sa 
multiplicité
dans Ma . Puisque -1 est racine de multiplicité 1 dans Ma ,
dim(Ker (Ma + I3 )) = 1
Par ailleurs, 1 est valeur propre de multiplicité 2 dans Ma . La matrice Ma est 
donc
diagonalisable si et seulement si dim(Ker (Ma - I3 )) = 2. Or, d'après le 
théorème du
rang, dim(Ker (Ma - I3 )) = 3 - rg (Ma - I3 ) où

0 a
0
Ma - I3 = 0 -1 1 
0 1 -1
Distinguons alors deux cas.
· Si a = 0, alors rg (Ma - I3 ) = 1 puisque les colonnes 1 et 3 de Ma - I3 sont 
des
multiples de la colonne 2, dans ce cas. Par conséquent, dim(Ker (Ma - I3 )) = 2
et la matrice Ma est diagonalisable.
· Si a 6= 0, alors la matrice Ma - I3 est de rang 2 puisque les colonnes 2 et 3
ne sont pas proportionnelles. Par conséquent, on a dim(Ker (Ma - I3 )) = 1 et
la matrice Ma n'est pas diagonalisable.
La matrice Ma est diagonalisable si et seulement si a = 0.
2 D'après le résultat de la question 1, 0 
/ sp (Ma ) d'où Ker (Ma ) = {0}. Ainsi,
La matrice Ma est inversible pour tout a  R.
3 Supposons que la matrice Ma n'est pas diagonalisable, c'est-à-dire que a 6= 0
d'après le résultat de la question 1. On a vu que le polynôme caractéristique 
de Ma
est scindé dans R donc la matrice est trigonalisable. Cherchons une base de 
trigonalisation de Ma .
La valeur propre -1 de Ma est de multiplicité 1 : la dimension de son espace
propre associé est donc 1. Puisque

2 a 0
Ma + I3 = 0 1 1
0 1 1
t

le vecteur u = (a -2 2) est un vecteur propre associé à la valeur propre -1, et 
donc
une base de Ker (Ma + I3 ).
Cherchons ensuite une base de l'espace propre associé à la valeur propre 1. 
D'après
t
la forme de Ma -I3 rappelée en question 1, le vecteur v = (1 0 0) appartient à 
l'espace
propre Ker (Ma -I3 ). La famille (u, v) est libre, puisque u et v ne sont pas 
colinéaires.
À ce moment-là, on cherche un vecteur w pour compléter la famille (u, v) en
une base de R3 . Il doit de plus satisfaire l'égalité Ma w = v + w pour obtenir

la matrice triangulaire donnée par l'énoncé, c'est-à-dire (Ma - I3 )w = v. On
t
voit alors assez facilement que w = (0 1/a 1/a) va faire l'affaire.
t

Soit w = (0 1/a 1/a). Alors la famille (u, v, w) est une base de R3 , puisque w
est orthogonal à u et v et que (u, v) est libre. De plus, le vecteur w est tel 
que

1
Ma w = 1/a = v + w
1/a
Ma dans la base (u, v, w) vaut ainsi

0 0
1 1
0 1

-1 0 0
Si a 6= 0, Ma est semblable à la matrice  0 1 1.
0 0 1

La matrice de l'endomorphisme associé à

-1
0
0

d'où

On a réalisé une réduction de Jordan : toute matrice A dont le polynôme
caractéristique est scindé est semblable à une matrice diagonale par bloc, où
chaque bloc est du type

 1

1

.. ..

.
.

 1

0

0

où  décrit le spectre de A.