E3A Maths A PC 2008

Thème de l'épreuve Étude d'une famille d'applications linéaires et d'équations différentielles associées
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction, séries entières, équations différentielles linéaires

Corrigé

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Rapport du jury

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 (« ._.;.--:ZÏZËEË}É}Ë' ">.ï.<$" 3 Concours ENSAM - ESTP -- ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques A PC Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques A PC Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Le problème comporte quatre parties qui peuvent être traitées de façon largement indépendante. Notations : n est un entier supérieur ou égal à 2. Rn [X ] est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à. n à coefficients réels. ï est l'ensemble des réels strictement positifs. et est un paramètre réel. Objectifs : Etude d'une famille d'applications linéaires et d'équations différentielles associées à ces applica-- tions linéaires . 1 Première partie : Etude de l'application : A..: R3[X] _> Rg[X] P ...--.. X(X+1)P"(X) + (aX-1)P'(X). 1.1 Propriétés élémentaires de A... 1.1.1) Montrer que Aa est un endomorphisme de R3 [X ] 1.1.2) Ecrire la matrice Ma de Aa dans la base canonique de R3 [X ], (X "" , 0 _<_ le S 3). 1.1.3) Etude du cas particulier a = -----4. 0 -----1 0 0 a) La matrice M_4 : 8 34 ----(-)6 3 est-elle diagonalisable'? 0 0 O --6 b) Déterminer les valeurs propres et les sous--eSpaces propres de A...4. 1.1.4) a) Déterminer en fonction du réel & les valeurs propres de Aa. b) Pour quelles valeurs de @ l'endomorphisme Aa admet--il des valeurs propres doubles? c) Existe--t--il une valeur du réel & pour laquelle Aa admet une valeur prepre triple ? 1.1.5) Pour quelles valeurs de &, Aa est-il diagonalisable '? 1.1.6) Pour quelles valeurs du réel 0. le degré du polynôme Aa(P) est-il égal au degré de P, pour tout polynôme P non constant de R3 [X ] ? 1.2 Etude de cas particuliers. On suppose dans tout ce paragraphe que & n'appartient pas a {----2, ----1,0}. 1.2.1) Déterminer Ker(/la) par la donnée d'une de ses bases. 1.2.2) Montrer que (-----1 + a.X, X2, X3) est une base de Im(Aa). 1.2.3) Discuter selon 1) E N , 0 __<__ p _<_ 3, l'ensemble des polynômes de R3{X] solutions de l'équation : X(X + 1)P"(X) + (aX -- 1)P'(X) == XP. 2 Deuxième partie : Quelques propriétés de l'application : A(a'n)î Rn]X] ---> Rn]X] P .__+ X(X+1)P"(X) + (aX--1)P'(X). 2.1) Justifier rapidement que A(a,n) est un endomorphisme de R,, [X ] 2.2) Ecrire la matrice Ma de A(a,n) dans la base canonique de R,,[X ], (X '" , 0 5 k: _<__ n). 2.3) Soit A EUR R. Montrer que A est une valeur propre de A(a,n) si et seulement si il existe k EUR N, 0 _<__ k 5 n tel que A : k(a + k---- 1). 2.4) Montrer que si & EUR R* , l'endomorphisme A(a,n) est diagonalisable. Dans le cas particulier où a = O, A(O,n) est -il diagonahsable ? 3 Troisième partie : Recherche de solutions développables en série entière d'une équation différentielle. Soit 8 l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles définies dans l'intervalle ouvert ] ---- 1, +1[ et qui sont des sommes de séries entières dans cet intervalle : ainsi f appartient à. 8 s'il existe une série entière z ana?" +oo telle que pour tout 33 EUR] ---- 1, +1], f(æ) : Z ancc". n=0 3.1) Montrer que si f EUR 8 alors f est de classe 000 sur ] ---- 1, +1]. On considère alors dans toute cette partie l'endomorphisme '!)a de 8 Da:£--+ 5 f "'--""' Da(f) ou Da(f)(oe) : a:(oe + 1)f"(æ) + (acc ---1)f'(æ) pour tout 56 EUR] -- 1, +1]. +00 3.2) Soit f EUR EUR telle que Da(f) : af. On pose pour tout :1: EUR] ----- 1, +1], f(æ) = Zanæ". n=O a) Montrer que : Vn EUR N, (77. --1)((n + a)an + (n + 1)an+1) : 0. b) Montrer que pour tout 77. EUR N, n 2 3 : et dans le cas particulier où ao = cm = 0 et CL2 == 1, donner les valeurs de a pour lesquelles la série entière est un polynôme; on déterminera alors son degré et son coefficient dominant en fonction de a. c) Déterminer, selon 0. EUR R, le rayon de convergence de la série entière }: anoe". 3.3) En déduire l'ensemble des solutions dans 8 de Da( f ) = a f . 3.4) Comparer, selon @ EUR R, les dimensions des sous--espaces propres Ker(A(a,n) ---- aIan[x]) et Ker(Da ------- aIdg). 4 Quatrième partie : Résolution d'une équation différentielle On note 600 l'espace vectoriel des fonctions de classe C°° sur lRÎ'TL et Aa l'endomorphisme de (300 : Aa: C°° ----> C°° f *""""' Aa(f) où pour tout cz: EUR R* , Aa(f)(oe) : æ(:13 +1)f"(æ) + (aæ ---- l)f'(oe). 4.1) On considère l'équation différentielle : (E) :c(æ + 1)y" + (aa; --- l)y' ---- 2(a + l)y : 0 . Montrer que toute solution sur R; est de classe 000 sur Ri}... 4.2) Soit 90 une solution sur R*+ de l'équation (E), on pose go(æ) : æ2.w(oe) pour tout a: E R*+. Montrer . ' . , . . , . . , . que ?,b est une fonction de C'", et que $ est solution sur RÎ}_ d'une equat10n differentielle lmea1re du premier ordre. Peut-on prévoir ce résultat ? Déterminer cette équation différentielle. 4.3) Résoudre sur R*+ l'équation différentielle linéaire du premier ordre : (El) oe(oe + l)u' + ((4 + a)oe + 3)u : 0. En déduire «p'. 4.4) On se place dans le cas particulier a = ----4. a) Résoudre (E). b) Comparez les dimensions des sous-espaces propres Ker(A_4 + 61dR3[X]) et Ker(A_4 + 61dgoe).

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 E3A Maths A PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florence Monna (ENSTA) et Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA). Le sujet se divise en quatre parties pouvant être traitées de façon très largement indépendante. Elles ont trait à des aspects variés du programme, de l'algèbre linéaire aux séries entières, pour résoudre des questions relatives à des équations différentielles linéaires. Si la difficulté est dans l'ensemble assez raisonnable et progressive, la fin demande d'être capable de faire le lien entre des problèmes de formulation analytique et des outils d'algèbre linéaire. · La première partie est consacrée à l'étude de l'application linéaire ( R3 [X] - R3 [X] Aa : P 7- X(X + 1)P (X) + (aX - 1)P (X) où a est réel, et notamment au cas particulier a = -4. On s'intéresse aux valeurs propres de cet endomorphisme et à sa diagonalisation éventuelle. On y détermine également l'image et le noyau de Aa pour résoudre, avec p [[ 0 ; 3 ]], les équations Aa (P) = Xp Cette partie est élémentaire du point de vue des calculs mais permet de passer en revue les notions de base d'algèbre linéaire et de réduction. La fin peut être abordée dès la première année. · La deuxième partie est plus théorique et généralise la première, puisqu'elle étudie l'application ( Rn [X] - Rn [X] A(a,n) : P 7- X(X + 1)P (X) + (aX - 1)P (X) Précisément, il s'agit de calculer ses valeurs propres. On montre que l'endomorphisme est diagonalisable lorsque a est strictement positif. · Dans la troisième partie, on recherche les solutions développables en série entière sur ] -1 ; 1 [ de l'équation différentielle x(x + 1)y + (ax - 1)y - ay = 0 Pour cela, on raisonne par analyse-synthèse en cherchant des relations de récurrence satisfaites par la suite des coefficients de la série entière, afin de pouvoir les expliciter, puis trouver le rayon de convergence de la série entière obtenue. Le lien est fait avec les deux premières parties puisque l'on recherche parmi les solutions trouvées les fonctions polynomiales, qui correspondent à des vecteurs propres de A(a,n) associés à la valeur propre a. · Enfin, la quatrième partie s'intéresse à l'équation différentielle x(x + 1)y + (ax - 1)y - 2(a + 1)y = 0 On détermine les solutions au moyen d'un changement de fonction inconnue qui ramène le problème à une équation différentielle linéaire du premier ordre, que l'on sait résoudre. Indications Partie I I.1.3.a Utiliser les blocs diagonaux de la matrice M-4 pour montrer qu'elle n'est pas diagonalisable. I.1.4.c Examiner les cas pour lesquels on a une valeur propre au moins double, trouvés à la question précédente. I.1.5 Distinguer les cas particuliers trouvés précédemment, plus le cas général. I.1.6 Examiner l'effet de Aa sur le terme dominant, en distinguant les cas selon le degré du polynôme. I.2.2 Montrer que les polynômes proposés sont bien dans l'image et conclure par un argument de dimension. I.2.3 Lorsque l'équation admet des solutions, commencer par trouver une solution particulière. Partie II II.3 Utiliser la matrice déterminée à la question précédente pour trouver les valeurs propres. II.4 Lorsque a > 0, montrer qu'il y a n + 1 valeurs propres distinctes. Pour le cas a = 0, utiliser l'étude de la première partie. Partie III III.2.a Retraduire l'équation Da (f ) = af sous forme d'une égalité de séries entières et penser à justifier proprement l'identification des coefficients. III.2.b Raisonner par récurrence. III.2.c Ne pas oublier de distinguer le cas où l'on a affaire à un polynôme. III.3 Écrire une solution à l'aide de deux paramètres réels pour trouver une base de l'ensemble des solutions. Partie IV IV.1 Montrer par récurrence que toute solution f est n fois dérivable en écrivant l'équation différentielle sous la forme x > 0, f (x) = - 2(a + 1) ax - 1 f (x) + f (x) x(x + 1) x(x + 1) IV.2 Remplacer, dans l'équation différentielle (E), (x), (x) et (x) par leurs expressions en fonction de (x), (x) et (x). IV.3 Pour primitiver x 7- (4+a)x+3 /x(x+1), décomposer en éléments simples. IV.4.a Calculer puis . I. Étude de l'application Aa : ( R3 [X] - R3 [X] 7- X(X + 1)P (X) + (aX - 1)P (X) P I.1.1 Commençons par établir que Aa est bien à valeur dans R3 [X]. Soit P R3 [X]. En dérivant, deg P (X) 6 2 donc deg(aX - 1)P (X) 6 3, puis deg P (X) 6 1 donc deg X(X + 1)P (X) 6 3. Effectuant la somme, on a bien deg Aa (P) 6 3, c'est-à-dire que Aa (P) appartient à R3 [X]. Reste à établir la linéarité de Aa . Soient P, Q R3 [X] et , µ R. On a Aa (P + µQ) = X(X + 1)(P + µQ) (X) + (aX - 1)(P + µQ) (X) = X(X + 1) (P + µQ ) (X) + (aX - 1) (P + µQ ) (X) = X(X + 1)P (X) + µX(X + 1)Q (X) +(aX - 1)P (X) + µ(aX - 1)Q (X) Aa (P + µQ) = Aa (P) + µAa (Q) Ainsi, on a fini d'établir que Aa est un endomorphisme de R3 [X]. C'est une question très classique, mais qu'il convient de traiter correctement. En particulier, il ne faut surtout pas oublier de montrer la partie « endo », c'est-à-dire la stabilité de R3 [X] par l'application Aa . Le rapport du jury précise que trop de candidats oublient de vérifier ce point. I.1.2 Pour écrire Ma , on calcule l'image par Aa des vecteurs de la base canonique. Aa (1) = 0 Aa (X) = aX - 1 Aa (X2 ) = X(X + 1)2 + (aX - 1)2X = (2a + 2)X2 enfin On obtient Aa (X3 ) = X(X + 1)6X + (aX - 1)3X2 = (3a + 6)X3 + 3X2 0 -1 0 a Ma = 0 0 0 0 0 0 2a + 2 0 0 0 3 3a + 6 I.1.3.a La matrice M-4 étant diagonale par blocs, pour qu'elle soit diagonalisable il faut que ses blocs diagonaux le soient. En effet, si la matrice M-4 est diagonalisable alors elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, et ce polynôme annule alors chacun des blocs diagonaux de M-4 . -6 3 Or, le bloc n'est pas diagonalisable : sa seule valeur propre étant -6, 0 -6 il serait semblable à -6I2 donc égal à -6I2 , ce qui n'est pas le cas. M-4 n'est pas diagonalisable. I.1.3.b On calcule le polynôme caractéristique de M-4 , qui vaut det (M-4 - XI4 ) = -X(-X - 4)(-X - 6)2 = X(X + 4)(X + 6)2 Les valeurs propres de A-4 sont ainsi 0, -4 et -6. La matrice étant triangulaire supérieure, les valeurs propres sont les coefficients diagonaux, que l'on peut donc obtenir sans polynôme caractéristique. · La matrice M-4 est de rang 3 (ses trois dernières colonnes forment une famille libre) donc d'après le théorème du rang le sous-espace propre E0 = Ker A-4 est de dimension 1, engendré par le polynôme 1. 4 -1 0 0 0 0 0 0 · M-4 + 4I4 = 0 0 -2 3 est également de rang 3 donc E-4 est de 0 0 0 -2 dimension 1. Et A-4 + 4 id R3 [X] (1+4X) = 0, en effet C1 +4C2 = 0, où C1 est la première colonne de la matrice et C2 la seconde. Donc E-4 = Vect (1 + 4X). 6 -1 0 0 0 2 0 0 · M-4 + 6I4 = 0 0 0 3 est également de rang 3 et E-6 est de dimen0 0 0 0 sion 1. On a A-4 + 6 id R3 [X] (X2 ) = 0 d'où E-6 = Vect (X2 ). Les valeurs propres sont 0, -4 et -6, et les sous-espaces propres associés E0 = Vect (1), E-4 = Vect (1 + 4X) et E-6 = Vect (X2 ). On retrouve le résultat de la question précédente. La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut 3 et non 4, c'est-à-dire que M-4 n'est pas diagonalisable. I.1.4.a Dans le cas général la matrice Ma , obtenue à la question I.1.2, est triangulaire supérieure. Les valeurs propres de Aa sont les coefficients diagonaux de Ma . Les valeurs propres de Aa sont 0, a, 2a + 2 et 3a + 6. I.1.4.b On a une valeur propre au moins double dès que deux des réels précédents sont égaux. Six égalités sont possibles, qui fournissent les valeurs 0, -1, -2, -3 et -4. Aa admet une valeur propre double si et seulement si a {-4, -3, -2, -1, 0}. Pour savoir si ces valeurs propres sont exactement doubles ou non, il faut déterminer si elles sont triples ou non, ce qui revient à résoudre la question suivante. I.1.4.c Précisément, lorsque a vaut 0, Aa a une valeur propre double et deux valeurs propres simples. De même lorsque a vaut -1, -3 ou -4. Enfin lorsque a vaut -2, on a 3a + 6 = 0 et 2a + 2 = a = -2, Aa a donc deux valeurs propres doubles. Dans tous les autres cas, Aa a quatre valeurs propres simples. Aa ne peut avoir de valeur propre triple.