E3A Maths A PC 2007

Thème de l'épreuve Étude de la fonction génératrice des nombres de Bernoulli et calcul de ζ(2)
Principaux outils utilisés étude locale et globale de fonctions, séries de Fourier, séries entières

Corrigé

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C25M e 3 5 Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques A PC durée 4 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. L'usage de la calculatrice est interdit Problème. * Les deux parties de ce problème et les questions dans chaque partie sont très largement indépendantes les unes des autres. Dans les rares cas où un résultat précédent est utile pour traiter une question alors l'énoncé précise clairement le numéro de la question où se trouve le résultat. ' * Dans différentes questions du problème, le candidat est invité à énoncer avec soin un théorème de cours. Dans tout le problème, on désigne par: ' 0 . f la fonction définie sur R par f(x)= e" --1 81 X # 1 si x = 0 1 1 . ------- SI x # 0 . t la fonction définie sur R par t(x)= th(x) x Oäx=0 On note (C) la courbe représentative de f dans un repère (O,Î,Î) orthonormé du plan. Partie A : Etude de la fonction f. . ........................... On considère l'équation différentielle (E) dont la fonction inconnue est y, de la variablex: (E) (ex- -1)y' +e" y=1. a) Après avoir déterminé les intervalles de résolution de (E), résoudre (E) sur chacun de ces intervalles. b) Montrer que (E) possède une unique solution (dérivable) sur R que l'on déterminera. 2) Etude.def.en...Q.a . x a) Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction : x l---> X 1 . e .... b) Peut--on déduire du développement limité du a), sans nouveaux calculs, que : (justifier avec soin) * fest continue en 0 ? * fest dérivable en 0 et la valeur de f '(0) ? * fest deux fois dérivable en 0 et la valeur de f "(O) ? 0) Montrer que f est de classe C1 sur R. d) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0 et préciser la position de (C) par rapport à T au voisinage de O. 3) Yad.athnâge.f.; On considère la fonction définie sur R par g(x)=xe'--e"+1. a) Dresser le tableau de variations complet de g et donner le signe de 9. b) Donner les variations de f. o) Donner les limites de f en +00 et --oo et préciser la nature des branches infinies de (C) : montrer en particulier que (C) possède 2 asymptotes et préciser la position de (C) par rapport à ses asymptotes. d) Donner l'allure de (C) (faire apparaître les asymptotes et T). 4) Exme.sfi9n .hmerboli9ue .de. .f.; 8) Montrer que Vx<--:--lR', f(x)=Ë_ 2 "il--ë) b) Soit la fonction f1 définie sur R par : f,(x)=f(x)-1+Ë-. i) Montrer que deR : f,(x)=--Ë-t(ë) .(la fonction t est définie en préliminaire) ii) Montrer que f1 est une fonction paire. iii) Quelle propriété géométrique peut on en déduire pour (C) ? 5) tntê9rale .imnr9nne assomeeaf .:. a) Montrer que l= [ ;... f (t)dt existe. b) Justifier l'existence de J= [ 1 ln(u) du et montrer que J=l. 0 u ---1 0) On pose lk= -- L: uk ln(u)du pour kelN, calculer lk. d) Enoncer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions sur un intervalle l quelconque. +oo .... 1 e) En déduire que i=ZIk , puis que l=Ç(2) où -ç(2)= _-- 2 . k=0 k=1 k Partie B : Développement en série entière de f : ................................................................. On considère aælR" et la fonction 9, définie sur R par: * ga est 21: périodique. * Si te]--n,n], g,,(t)=ch(at). a) Donner l'allure du graphe de ga, ga est--elle continue sur R ? b) Si nalN, montrer, par exemple en utilisant une double intégration par parties, que [ fich(at) cos(nt)dt = (---1)" W . ° a2+ n2 c) Calculer pour new, les coefficients réels an et b,, de la série de Fourier associée à g,,. d) Enoncer les théorèmes de convergence simple et normale pour les séries de Fourier. La série de Fourier de gel converge--telle simplement vers 9EUR, sur R ? converge--t--elle normalement vers 9;, sur R ? e) En déduire que: VxeR", 2xÎ------£-------- : t(x) . (on pourra poser x=au). ,... x2 + n27t2 On considère: +® *la série numérique Ç(p)=Z---- pour pelN avec p22. ... k" (-- |) Ç(2k+2) * la série entière, h(t)=Îa2kt t2k où a2k= % 2 k=0 " et si NelN, on note SN(t) la somme partielle suivante : SN(t)= Za2kt2" k=0 * la série de fonctions définie pour teR par m(t) )=Z t2 1 ... +n2 7r2 3) Montrer que la série de fonctions définissant m converge normalement sur R. b) Enoncer le théorème de comparaison série--intégrale, en déduire l'existence- de Ç(p) pour tout pelN avec p22 et pour n ,,pelN-{O 1}: n n--1 (Î 1 --------) lsj ÊÏ-s -1--- k=l kp 1 tp k=l kp En déduire que 1.<. ;" (p) s 1 +----!---- et donner la limite de Ç(p) pour p--->+oe p 1 c) Montrer que pour tout te]--n,n[, la série entière h(t)=Za,,,t2k converge. d) En intervertissant soigneusement deux sommes, montrer pour NelN : ...1+(--1)N(ntfl] + Vte]--1rn[ S,...) E.... ,,__ t2 + n"7r2 N+l t2 En déduire que : VNelN,Vte]-n,n[ : lSN (t)--m0)! S (----;) m(t). 7r e) En déduire que les fonctions m et h sont égales sur ]--n,1r[. 3) D..éælçppç ment en sene entièresists. a) Rappeler la définition d'une fonction développable en série entière en 0. b) En utilisant B)1)e) et B)2)e) montrer que la fonction t est développable en série entière en 0. o) En déduire en utilisant la question A)4)b)i) que la fonction fest développable en série entière en 0 et que son développement en série entière est : +°° ---1 "" 2 VXEUR]-2fi,2fi[ : f(x)=l ---%+ 2 flux" où B"=L")î{èäîgl . n=l 7T d) Montrer que la fonction fest de classe C'" sur R et préciser si keW, f "(D). e) Apglj_ç_a_tjgg_;_ Déduire de la question A)2)a) la valeur de Ç(2) et de la question +oo t A)5)e) la valeur de ---;------dt . ° 6 -----1 _Remargye__.: On peut obtenir ainsi en poursuivant le développement limité de f, les valeurs de Ç(2n).

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 E3A Maths A PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Romain Cosset (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). L'épreuve se décompose en deux parties non indépendantes mais qui peuvent être traitées séparément en admettant les résultats des questions précédentes. Le problème contient plusieurs questions de cours, et d'autres qui en sont très proches. Attention aux notations de l'énoncé : la lettre t est utilisée pour désigner une variable mais aussi une fonction. · La première partie étudie la fonction x 7 f (x) = x/(ex - 1). En particulier, on la regarde autour de 0 et on montre qu'elle est C sur R. On dessine également son graphe. Les questions A.1 et A.5 sont largement indépendantes du reste du problème ; elles font intervenir la théorie des équations différentielles et les intégrales impropres. · Le but de la seconde partie est d'étudier le développement en série entière en 0 de la fonction f . Celui-ci permet de définir les nombres de Bernoulli Bn par x ] -2 ; 2 [ f (x) = + P Bn n=0 xn n! Les deux premières questions sont indépendantes l'une de l'autre et permettent de prouver des résultats intermédiaires utilisés à la question B.3. La première question repose sur les propriétés des séries de Fourier tandis que par la suite on utilise les propriétés des séries entières. Finalement, on trouve la valeur de P la série (2) = 1/k 2 . Indications Partie A A.1.a Se ramener à une équation différentielle linéaire du premier ordre et appliquer la méthode de la variation de la constante. A.1.b Un développement limité au premier ordre en 0 de f permet de montrer la dérivabilité en 0. A.2.b Revenir à la définition de continuité et dérivabilité. Exhiber un contreexemple pour f deux fois dérivable. A.2.c Il est possible d'utiliser la question A.1. A.3.b Exprimer f en fonction de g et utiliser A.3.a. A.3.d Utiliser les questions A.3.b et A.3.c pour avoir l'allure de la courbe (C). La question A.2.d la précise autour de 0. A.4.a Utiliser l'expression de th (u) en fonction de e u et e -u . Multiplier le numérateur et le dénominateur par e x/2 pour simplifier le second membre. A.5.b Poser u = e -x . Attention au changement de variables dans une intégrale impropre, se ramener à un segment. A.5.c Pour k 6= 0, utiliser une intégration par parties. Partie B B.1.b Poser u (t) = ch (a t) et v(t) = cos(n t). B.1.c Remarquer que la fonction ga est impaire. Utiliser la question B.1.b pour calculer les coefficients an en faisant attention au fait que a0 n'est pas défini par la même formule. B.1.e Utiliser la convergence de la série de Fourier de ga en . B.2.b Ne pas hésiter à faire un dessin pour le théorème de comparaison sérieintégrale. L'inégalité 1 6 (p) ne peut pas se déduire de l'inégalité précédente. B.2.c Utiliser la majoration de (p) obtenue à la question B.2.b. Remarquer que 1 + 1/(p - 1) 6 2 pour p > 2. B.2.d Remarquer qu'une des sommes est finie. B.3.d Utiliser la question B.3.c autour de 0. En dehors de 0 reprendre la définition de f . B.3.e Comparer les valeurs de f (0) trouvées aux questions A.2.a et B.3.d. A. Étude de la fonction f A.1 Solution d'une équation différentielle A.1.a Soit (E) l'équation différentielle linéaire suivante : (e x - 1) y + e x y = 1 (E) Les intervalles de résolution de cette équation sont ceux pour lesquels le terme e x - 1 ne s'annule pas, c'est-à-dire ] - ; 0 [ et ] 0 ; + [. Résolvons l'équation sur ] 0 ; + [. Il est possible de diviser par e x - 1 pour obtenir une équation linéaire du premier ordre : 1 ex y + x y= x e -1 e -1 L'équation homogène associée est y + e x /(e x - 1)y = 0 dont les solutions sont Z x et dt y0 (x) = A exp - t x0 e - 1 avec A une constante et x0 > 0. Calculons l'intégrale grâce au changement de variables u = e t : Z x Z ex et du dt = t x0 e - 1 e x0 u - 1 = ln(e x - 1) - Cte Les solutions de l'équation homogène sur ] 0 ; + [ sont de la forme 1 y0 (x) = A exp - ln(e x - 1) = A x e -1 Pour résoudre l'équation non homogène, appliquons la méthode de la variation de la constante. Cherchons une solution de (E) sous la forme y(x) = B(x)y0 (x) avec B(x) une fonction qui vérifie pour tout x dans ] 0 ; + [ 1 B (x)y0 (x) = x e -1 1 B (x) = A Il est possible de redémontrer cette dernière égalité en écrivant que la fonction x 7 y(x) = B(x)y0 (x) où y0 (x) = B(x)A /(e x - 1) est solution de l'équation différentielle (E) : (e x - 1) En simplifiant alors B (x)A (e x - 1) - B(x)A e x B(x)A =1 ex - 1 (e x - 1)2 B(x)A e x x B(x)A B (x)A - + e =1 ex - 1 ex - 1 + ex B (x)A = 1 B(x) = x + Cte A En conclusion, Les solutions de l'équation différentielle (E) sur ] 0 ; + [ sont les fonctions du type y(x) = (x + a) 1 ex - 1 où a est une constante réelle. Par le même type de calculs (x0 étant strictement négatif), on trouve les solutions sur le second intervalle : Les solutions de l'équation différentielle (E) sur ] - ; 0 [ sont les fonctions du type y(x) = (x + a ) 1 ex - 1 où a est une constante réelle. Une autre méthode pour trouver les solutions de l'équation différentielle (E) est de remarquer que cette dernière s'écrit (ex - 1)y = 1 On peut alors intégrer cette équation sur les deux intervalles de résolution : (ex - 1) y(x) = x + a D'où y(x) = x+a ex - 1 A.1.b Les solutions trouvées à la question précédente sont toutes de classe C 1 sur leur intervalle de définition ] - ; 0 [ et ] 0 ; + [ respectivement. Soit ya (respectivement ya ) une solution de (E) sur l'intervalle ] - ; 0 [ (resp. ] 0 ; + [) et donnée par l'équation ya (x) = (x + a)/(e x - 1) pour x < 0 (resp. ya (x) = (x + a )/(e x - 1) pour x > 0). D'après les propriétés de l'exponentielle, on a les équivalents suivants : ex - 1 x x0 d'où 1 1 e x - 1 x0 x Soit a un réel non nul, une fonction du type x 7 (x + a)/(e x - 1) définie sur ] - ; 0 [ ou sur ] 0 ; + [ tend vers + ou - quand x tend vers 0. Pour que deux solutions ya (x) et ya (x) définies respectivement sur ] - ; 0 [ et ] 0 ; + [ se « recollent » il faut que a = a = 0. Soit g la fonction x 7 x/(e x - 1) définie sur R . Elle est de classe C 1 et solution de l'équation (E) sur R+ et R- . Étudions son comportement en zéro : x x g(x) = x 1 e - 1 x0 x x0 Donc g est prolongeable par continuité en zéro en posant g(0) = 0. On reconnaît que g est la fonction f définie dans l'énoncé.