Centrale Maths 2 PC 2025

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2025

Mathématiques 2

Notations
Si a et b sont deux entiers tels que a  b, on note Ja,bK l'ensemble des entiers 
k tels que a  k  b.

Pour n  N, on appelle polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à n 
toute fonction de R dans C de la
forme
n
X
x 7
ck eikx ,
k=-n

où, pour tout k  J-n,nK, ck  C. On note Tn l'ensemble des polynômes 
trigonométriques de degré inférieur ou égal
à n. C'est un C-espace vectoriel, ce qu'on ne demande pas de vérifier.
0
1
On note C2
le C-espace vectoriel des fonctions continues 2-périodiques de R dans C et C2
le sous-espace vectoriel
1
0
des fonctions de classe C 2-périodiques. Pour g  C2 et h > 0, on pose :

g (h) = sup |g(s) - g(t)|.
|t-s|h

Pour toute fonction bornée f de R dans C, on pose :
f  = sup |f (t)|.
tR

Partie A ­ Préliminaires
Q1. Montrer que si g est la fonction sinus, alors, pour tout h > 0, g (h)  h.
Q2.

0
(a) Montrer que, pour tous g  C2
et h > 0, g (h) est un réel bien défini.
1
(b) On suppose que g  C2
. Montrer que, pour tout h > 0, g (h)  hg   . En déduire que lim g (h) = 0.
h0

0
On admet que lim g (h) = 0 est vrai pour tout g  C2
.
h0

1
Q3. Soit h et h deux réels strictement positifs et soit g  C2
.
(a) Montrer que, si h  h , alors g (h)  g (h ).

(b) Montrer que g (h + h )  g (h) + g (h ).
(c) En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 et pour 
tout réel  strictement positif :
g (nh)  ng (h) et g (h)  (1 + )g (h).
0
Q4. Soit g  C2
. Montrer que pour tout x  R,
Z +x

Z 
g(t) dt =

-+x

g(t) dt.
-

0
Q5. Soit g  C2
et n  N. Pour tout p  Tn , on note (p) la fonction de R dans C définie par
Z 
x  R, (p)(x) =
p(x - t)g(t) dt.
-

Montrer que  définit un endomorphisme de Tn .

1/6

Partie B ­
I ­ La fonction Jn
Pour tout n  N, on définit la fonctions n de R dans C en posant, pour tout t  R,
n
t X

n (t) = e-ni 2

eikt

et fn (t) = n (t)4 .

k=0

Dans cette sous-partie, on fixe un entier n  N.
Q6. Montrer que, pour tout réel t n'appartenant pas à 2Z,
sin(n + 1) 2t
n (t) =
sin 2t

et fn (t) =

sin(n + 1) 2t
sin 2t

4
.

Q7. Montrer que n et 2n appartiennent à Tn , puis que fn appartient à T2n .
Z 
cn fn (t) dt = 1.
Q8. Montrer qu'il existe un réel strictement positif cn tel que
-

Pour tout n  N, on pose désormais Jn = cn fn , de sorte que Jn est une fonction 
réelle positive vérifiant
Z 
Jn  T2n et
Jn (t) dt = 1.
-

Z 

II ­ Une majoration de

-

|t|Jn (t) dt

Soit n  N.
Z 
Z 
Q9. Montrer que
-

tfn (t) dt
|t|Jn (t) dt = Z0 

.
fn (t) dt

0

h i 2
Q10. Montrer que pour t  0, , t  sin t  t.
2

2 Z (n+1) 
Z 
2 sin4 u
n+1
Q11. En déduire que
tfn (t) dt   4
du.
2
u3
0
0
Z 
Q12. En déduire également que

fn (t) dt  2(n + 1)

3

Z (n+1) 
2

0

0

sin4 u
du.
u4

Z 
Q13. Montrer qu'il existe a > 0 tel que, pour tout n  N,

|t|Jn (t) dt 
-

a
.
n+1

III ­ Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques
0
Dans cette sous-partie, on fixe g  C2
.

Pour tout n  N, on définit la fonction Tn g en posant, pour tout x  R,
Z 
Jn (x - t)g(t) dt.
Tn g(x) =
-

L'objectif de cette sous-partie est de montrer que (Tn g) est une suite de 
polynômes trigonométriques qui converge
uniformément vers g sur R.

2/6

Q14. Pour tous n  N et x  R, montrer que
Z 
Tn g(x) =
Jn (t)g(x - t) dt

Z 
et g(x) =

-

Jn (t)g(x) dt
-

Z 
Jn (t) |g(x - t) - g(x)| dt.

En déduire que |Tn g(x) - g(x)| 
-

Q15. Le cas C 1 . On suppose, seulement dans cette question, que g est C 1 .
(a) Montrer que, pour tout n  N,
ag  
Tn g - g 
,
n+1
où le réel a a été défini à la question Q13.
(b) Conclure que (Tn g) est une suite de polynômes trigonométriques qui 
converge uniformément vers g sur R.
Q16. Le cas C 0 . Dans cette question, on ne suppose plus que g est de classe C 
1 .
On rappelle le résultat admis à la question Q2 : lim g (h) = 0.
h0

(a) Montrer que, pour tout n  N et tous réels t et x,

|g(x - t) - g(x)|  1 + n|t| g (1/n).
(b) En déduire qu'il existe b > 0 tel que, pour tout n  N ,
Tn g - g  b g (1/n).
(c) Conclure que la suite (Tn g) converge uniformément vers g sur R.

Partie C ­
Dans cette partie, on considère l'espace vectoriel C[X] des polynômes à 
coefficients complexes. Pour n  N, on note
Cn [X] le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

I­
Dans cette sous-partie on fixe un entier n  N et on note T le polynôme X n + 1.
Q17. Montrer que T admet n racines simples dans C.
On note z1 , . . . ,zn les racines de T .
Y
Q18. Soit k  J1, nK. Montrer que
(zk - zj ) = T  (zk ).
j=k

X
.
Xn + 1
On rappelle que, par décomposition en éléments simples de F , il y a existence 
et unicité de µ1 , . . . , µn dans C et de E
dans C[X] tels que
n
X
µk
F =
+ E.
X - zk
Soit   J0,nK. On considère la fonction rationnelle F donnée par F =

k=1

z +1
Q19. Montrer que, pour tout k  J1,nK, µk = - k
et que E est soit le polynôme nul, soit le polynôme constant
n
égal à 1.
n

Q20. Calculer F  (1) et en déduire que  =

n
2 X zk+1
+
.
2
n
(zk - 1)2
k=1

Q21. En déduire que :
n

(a) pour tout polynôme P  Cn [X],

XP  (X) =

n
2 X zk P (zk X)
P (X) +
;
2
n
(zk - 1)2
k=1

(b)

n
X
k=1

2

zk
n
=- .
(zk - 1)2
4

3/6

II ­
Pour tout P  C[X], on pose P  = sup |P (z)|.
|z|=1

Q22. Montrer que . est une norme sur C[X].
Q23. Montrer que, si z est un nombre complexe de module 1 et si z = 1, alors

z
est un réel négatif.
(z - 1)2

Q24. À l'aide de Q21, en déduire que pour tout P  Cn [X], P    nP .
Q25. En déduire que pour tout q  Tn , q    3nq .

Partie D ­ Fonctions höldériennes
Soit g une fonction définie sur un intervalle I  R et à valeurs dans C et soit  
 ]0,1].
On dit que g est -höldérienne s'il existe K > 0 tel que, pour tous réels x et y 
de l'intervalle I, |g(x)-g(y)|  K|x-y| .

I ­ Exemples
Soit   ]0,1[ et soit h la fonction définie sur R+ par h : x 7 x .
Q26. Soit y un réel positif, montrer que pour tout x  y on a : 0  x - y   (x - 
y) .
Q27. En déduire que h est -höldérienne sur R+ .
Q28. Soit   ]0,1] tel que  = . Montrer que h n'est pas -höldérienne.
Soit k la fonction définie sur R+ par
(
x ln x
k : x 7
0

si x > 0
si x = 0

Q29. Soit y  ]0,1]. Montrer que pour tout x  [0,1 - y], (x + y) ln(x + y) - x 
ln x  (y - 1) ln(1 - y).
Q30. En déduire que k est -höldérienne sur [0,1] pour tout   ]0,1[.

II ­ Espace H2
et approximation uniforme par des polynômes trigonométriques

Dans la suite du problème, pour   ]0,1[, on note H2
l'ensemble des fonctions -höldériennes 2-périodiques de R
dans C.
0
Pour tout f  C2
, on pose n (f ) = inf f - p .
pTn

0
.
Q31. Montrer que H2
est un sous-espace vectoriel de C2

Q32. Montrer que si g  H2
, alors n (g)

=

n+

O

 1 
.
n

III ­ Étude d'une réciproque
L'objectif de cette sous-partie est d'établir une réciproque à la question Q32.
 1 
0
On fixe un réel   ]0,1[ et une fonction f  C2
telle que n (f ) = O  . Il existe ainsi un réel C > 0 tel que,
n+
n
C

pour tout n  N , n (f )   .
n
Q33. Pour n  N, montrer qu'il existe qn  Tn tel que n (f ) = f - qn  .

4/6

Pour tout n  N, on considère un polynôme pn  T2n tel que f - pn  = 2n (f ).
Q34. Montrer, en appliquant l'inégalité établie à la question Q25, qu'il existe 
un réel C  > 0 tel que, pour tout n  N,
pn+1 - pn   C  2n(1-) .
Q35. En déduire que, pour tout n  N,
pn   p0  +

C
2n(1-) .
21- - 1

Q36. En déduire l'existence d'un réel A > 0 tel que, pour tout n  N,
pn   A2(1-)n .
Q37. Montrer que, pour tout (x,y)  R2 , |f (x) - f (y)|  C21-n + A2(1-)n |x - 
y|.
1
1
Indication : lorsque 0 < |x - y|  1, on pourra choisir n  N tel que n+1  |x - y|  n et majorer |f (x) - f (y)| 2 2 à l'aide de la question précédente. Fin 5/6 M074 - 2 mai 2025 - 16:06:11 c b e a Q38. En déduire que f est -höldérienne.