Centrale Maths 2 PC 2021

Corrigé

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f =
Mathématiques 2 ra
PC ©
4 heures Calculatrice autorisée ON
Dans tout ce sujet, Z est un intervalle de R d'intérieur non vide et w est une 
fonction continue et strictement

positive de 1 dans R ; on dit que w est un poids sur 1.

Étant donnée une fonction continue f : I -- R telle que fw est intégrable sur 
1, on cherche à approcher l'intégrale

| f(æ)w(x) dx par une expression de la forme
I

3
PS
HR
--
Il
TT
>
S.
SH
TS
Q
S

3=0
oùnEN, (A5, X,) ER et x, < 21 << x, sont n +1 points distincts dans I. Une telle expression Z,(f) est appelée formule de quadrature et on note nm e(f) = | f()u(a) d2 -- S°À;f(x,) I j=0 l'erreur de quadrature associée. On remarque que e est une forme linéaire sur l'espace vectoriel des fonctions f de 7 dans R telles que fw est intégrable sur I. On rappelle qu'un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est 1. Étant donné un entier m EUR N, on note R,,[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à m. On dit qu'une formule de quadrature 1, (f) est exacte sur R,,[X] si, VPER,[XL, e(P)=0, ce qui signifie que, pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à m, J Put) dx = 5 À;P(x;). I 0 Enfin, on appelle ordre d'une formule de quadrature I, (f) le plus grand entier m EUR N pour lequel la formule de quadrature Z,(f) est exacte sur R,, [X]. Les parties IT et III s'appuient sur la partie I et sont indépendantes entre elles. I Généralités sur les formules de quadrature I.A --- Exemples élémentaires Dans cette sous-partie, on se place dans le cas 1 = [0,1] et Vx EUR I, w(x) = 1. On cherche donc à approcher 1 | f(x) dx lorsque f est une fonction continue de [0, 1] dans R. 0 Q 1. Déterminer l'ordre de la formule de quadrature 1,(f) = f(0) et représenter graphiquement l'erreur associée e(f). Q 2. Faire de même avec la formule de quadrature 1,(f) = f(1/2). Q 3. Déterminer les coefficients À, À, À pour que la formule Z,(f) = ÀA,f(0) + À, f(1/2) + À f(L) soit exacte sur R,[X]. Cette formule de quadrature est-elle d'ordre 2 ? I.B - Construction de formules d'ordre quelconque On revient au cas général. Soit n EUR N. On considère n + 1 points distincts dans 1, notés x, < x, <- < %,, et une fonction continue f de I dans KR. M037/2021-03-15 14:28:25 Page 1/6 (cc) BY-NC-SA x = pr P HR  (P(xo), P(x;),...., P(x,) Q 5. Montrer que, pour tout à EUR 0, n], il existe un unique polynôme L, EUR R,,[X\] tel que Q 4. Montrer que l'application linéaire 6 : ) est un isomorphisme. O si 7 à, Vje Ï0,n|], Lit) = AE Q 6. Montrer que (L,,..., L,,) est une base de R,, [X]. Cette base est appelée base de Lagrange associée aux points (xo,.....,x,). k Q 7. On suppose que, pour tout k EUR N, x H x"uw(x) est intégrable sur Z. Montrer que la formule de Tr quadrature 1, (f) = > À; f(x;) est exacte sur R, [X] si, et seulement si,
j=0

Vje[0,n], À;=- | starue) de.
I

Q 8. On se place dans le cas 7 = [0,1] et Vx EUR I, w(x) = 1. Déterminer la 
base de Lagrange associée aux
points (0,1/2,1) et retrouver ainsi les coefficients de la formule de 
quadrature 1,(f) de la question 3.

IC --- Noyau de Peano et évaluation de l'erreur

Dans cette sous-partie, on suppose que l'intervalle 1 est un segment : 7 -- {a, 
b|, avec a < b. Pour tout entier naturel m, on considère la fonction 4,, : R? -- R définie par 9 ...L (x --1)" SiT Z, V(x,t) EUR R*, En rt) = À Si T  1 et discontinue si m = 0.

On considère une formule de quadrature 1, (f) = > À; f(x).
j=0

On note m EUR N l'ordre de cette formule et on cherche à évaluer l'erreur 
associée :

b
e(f) = | F(æ)u() de -- SE À f(x).
ÿ=0

On suppose que f est de classe CT sur I.
Q 9. À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que e(f) = 
e(R,,), où R,, est définie par

vx EUR [a, D}, Pme: +) fur) (&) dé.

À
à
E
I
> |
se

Q 10. En déduire que, si m > 1,

où la fonction K,, : [a,b] -- R est définie par

Vt EUR |a, b|, K(t)=e(xk pv, (xt)) = J eme but) dx -- DA Pmlrt).
ÿ=0

a

On pourra utiliser le résultat admis suivant : pour toute fonction continue g: 
[a,b]? --R,ona

b b b b
Î | fu sr uw | fu x) à.

a a a a

La fonction K,, est appelée noyau de Peano associé à la formule de quadrature.

On admet que cette expression de e{f) reste valable pour m = 0.

M037/2021-03-15 14:28:25 Page 2/6 (cc) BY-NC-SA
I.D --- Exemple : méthode des trapèzes

Dans cette sous-partie, on suppose que J est un segment et Vx EUR I, w(x) = 1.

On se place d'abord dans le cas 7 -- [0,1] et on considère la formule de 
quadrature

g(0) + g(1)
Hg) = TT,
qui est d'ordre m = 1 (on ne demande pas de le montrer).

Q 11. Calculer le noyau de Peano associé t > K,(t) et montrer que, pour toute 
fonction g de classe C* de
[0,1] dans R, on a la majoration suivante de l'erreur de quadrature associée :

1 1
e(g)| < -- sup |g"(x)| 12 xe[0,1] On se place maintenant dans le cas d'un segment quelconque 7 = a, b] (avec a < b), qu'on subdivise en n +1 points &p,...,a, équidistants : Vie [0,n], a; =a+ih, -- à où À -- est le pas de la subdivision. On considère alors la formule de quadrature b--a = J(a;) + f(a;11) 2 n T,(F) = 1 i=0 appelée méthode des trapèzes. L'erreur de quadrature associée est notée : b UP) = | fe) de 7, Q 12.  Représenter graphiquement 7,,(f). Q 13. On suppose que f est une fonction de classe EUR? de [a,b] dans R. Montrer que n Del), i=0 En(Y) où e est l'erreur associée à la formule de quadrature J, étudiée à la question 11 et les g, : [0,1] -- R sont des fonctions à préciser. Q 14. En déduire la majoration d'erreur (b E a)" /! n xe[a.b] en (FT < II Polynômes orthogonaux et applications Dans la suite, on note E l'ensemble des fonctions f continues de I dans R telles que f"w est intégrable sur JL. II.A -- Étude d'un produit scalaire Q 15. Montrer que, pour toutes fonctions f et g de E,, le produit fg w est intégrable sur J. On pourra utiliser l'inégalité V(a, b) EUR R°, [ab] < 4(a? + b?), après l'avoir justifiée. Q 16. Montrer que Æ est un K-espace vectoriel. Pour toutes fonctions f et g de EF, on pose (f,9) = | fatarute) dx. I Q 17. Montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire sur Æ. M037/2021-03-15 14:28:25 Page 3/6 (cc) BY-NC-SA Dans la suite, on munit Æ de ce produit scalaire et on note |:| la norme associée. ITI.B - Polynômes orthogonaux associés à un poids On suppose que, pour tout entier k EUR N, la fonction x H x"w(x) est intégrable sur I. Cela entraine par linéarité de l'intégrale que Æ contient toutes les fonctions polynomiales. On admet qu'il existe une unique suite de polynômes (p,,),-n telle que (a) pour tout n EUR N, p, est unitaire, (b) pour tout n EUR N, deg(p,,) = n, (c) la famille (p,,),en est orthogonale pour le produit scalaire (-,-), autrement dit (p;,p;) -- 0, pour ifjeN. On dit que les (p,,) sont les polynômes orthogonaux associés au poids w. On s'intéresse aux racines des polynômes p,. On rappelle que Î désigne l'intérieur de J, c'est-à-dire l'intervalle J privé de ses éventuelles extrémités. On a donc 1 = ]a.,b[, où a = inf(1) E RU {--o} et b = sup(1) EUR RU {+}. Soit n EUR N*. On note x,,...,x, les racines distinctes de p, qui sont dans Î et m1,..,.m, leurs multiplicités respectives. On considère le polynôme k a(X) = II --æ,)%, avec EUR; = { 1 sim, est impair, i=1 0 sim, est pair. Q 18. En étudiant (p,,,q), montrer que p, possède n racines distinctes dans Î. ITI.C --- Applications : méthodes de quadrature de Gauss Considérons une formule de quadrature oOùnEN, A5, À, ER et x  n. Nous allons montrer que dans ces 
conditions, il existe un seul choix

des points (æ;)oc;<, qui permet d'obtenir l'ordre m le plus élevé possible. Tv Q 19. En raisonnant avec le polynôme I [4 -- x,), montrer que m < 2n + 1. i=0 Q 20. Montrer que m -- 2n + 1 si et seulement si les x; sont les racines de p,,,1. IT. D -- Exemple 1 On se place ici dans le cas où 7 = [---1,1] et w(x) = 1. On est donc bien dans les conditions d'application des résultats précédemment obtenus. Q 21. Déterminer les quatre premiers polynômes orthogonaux (pp;P1,P2,p3) associés au poids w. Q 22. En déduire explicitement une formule de quadrature d'ordre 5 (on déterminera les points x; et les coefficients À;). IT.E -- Exemple 2 l V1 22 Q 23. Montrer que, pour tout entier k EUR N, la fonction x H 2*w(x) est intégrable sur J. Dans cette sous-partie, Î = ][--1,1[ et w(x) -- Cela entraine que Æ contient toutes les fonctions polynomiales. --1,1] -- R Dans la suite, on considère, pour tout entier n EUR N, la fonction Q,, : x +  cos(narccos(x)) M037/2021-03-15 14:28:25 Page 4/6 (cc) BY-NC-SA Q 24. Calculer Q,, Q, et pour tout n EUR N, exprimer simplement Q,,,, en fonction de Q,,,, et Q@,. Q 25. En déduire que, pour tout n EUR N, Q,, est polynomiale et déterminer son degré et son coefficient dominant. Dans la suite, on notera également Q,, le polynôme de R[X1] qui coïncide avec x + Q,,(x) sur [---1,1|. Q 26. On note (p,,),en la suite de polynômes orthogonaux associés au poids w. Montrer que Po = Qo: | 1 Q 27. Pour n EUR N, déterminer explicitement les points (x;)9<,<, de 1 telle que la formule de quadrature 1,(f) = > À;f(x;) soit d'ordre maximal.
ÿ=0

III Accélération de la méthode des trapèzes

On dit qu'une fonction $ définie sur une partie de EUR est développable en 
série entière au voisinage de 0 s'il existe

+00
un disque ouvert D non vide de centre 0 et une suite complexe (a, ),,-n telle 
que Vz EUR D, S(z) = > a,2".
n=0

III. A -- Nombres b,, et polynômes B,,

On considère une série entière Ù a, 2", de rayon de convergence À Æ 0 et avec 
a; = 1. On note S la somme
n>0
de cette série entière sur son disque de convergence : pour tout z EUR C 
vérifiant |2] < R, on a +00 S(z) = > a,2".
n=0

Q 28. Montrer qu'il existe un réel q > 0 tel que Vn EUR N, la,,| < q". 1 Q 29. On suppose que G est développable en série entière au voisinage de 0 et on note > 5,2" son déve-
n>0
loppement. Calculer 5, et, pour tout n EUR N°, exprimer 5, en fonction de 
&,,..,a,,/5,,..,/5, 1.

En déduire que

VnEN, [8,1 < (29). 1 Q 30. Montrer que G est développable en série entière au voisinage de 0. Q 31. En utilisant ce qui précède, montrer qu'il existe une unique suite complexe (b,,),en et un réel r > 0
tels que, pour tout z EUR C,

TE

Z
D <<  ---- -- TZ,
e* -- 1 n!
n=0

Q 32. En effectuant un produit de Cauchy, montrer que à, = I et, pour tout 
entier n > 2,

n--1l n

> by -- 0.

p=0 \?

Q 33. En déduire la valeur de b,, b,, b: et b.
. n utilisant un argument de parité, montrer que -- 0 pour tout entier p > 1.
Q 34. En utilisant t de parité t bay -- 0 tout entier p > 1

Dans la suite du problème, on considère les polynômes B,, définis par

VmEeN, B,,(x) = > fr) Da,

k=0

On remarque que chaque polynôme B,, est unitaire de degré m et que, pour tout m 
EUR N, B,,(0) = b
Q 35. Déterminer B,, B,, B, et Bà.
Q 36. Montrer que, pour tout entier m > 2, B,,(1) = b,,, puis que, pour tout 
entier m > 1, B°, =mB

m°

m--1:

M037/2021-03-15 14:28:25 Page 5/6 (cc) BY-NC-SA
ITI.B - Développement asymptotique de l'erreur dans la méthode des trapèzes

Dans cette sous-partie, on utilise les nombres b,, et les polynômes B,, définis 
dans la sous-partie IIL.A pour
établir un développement asymptotique à tout ordre de l'erreur de quadrature 
associée à la méthode des trapèzes
(déjà étudiée dans la partie 1), pour une fonction suffisamment régulière.

Pour tout réel x, on note |[x]| sa partie entière.
On fixe un entier n EUR N* et on considère une fonction g : [0,n] -- KR de 
classe CT.
Q 37. Montrer que

nm nm

Jo arte ET Fait = Lehg/(e) de

0

Q 38. En déduire que pour tout entier m > 2,

k=0 p=2

Jo dx -- Y g(R) + g(k + 1) ) SC er D (gr D(n) -- g1(0)) + D" EC -- |xl)gt0 (x) 
dx.

On considère maintenant une fonction f : [a,b] -- R de classe C® et la formule 
de quadrature déjà étudiée à la
partie I:

T7) = 2 IE Fan)

(méthode des trapèzes), où À = -- et vie [0,n--1],a;, =a+ih.

Q 39. Montrer que, pour tout entier m 2 I,

b
[rar 27 (DE + ont)

où les coefficients 7, sont donnés par

EE HE) -- 87 (a)

et p2,(n) est un reste intégral vérifiant la majoration

Y2p --

/\
:

Pan
n

Où Com est une constante à préciser ne dépendant que de m, a et b.

On a donc établi, pour tout entier m > 1, le développement asymptotique

V2m 1
n- fre jdr+ ++ +40, (er):

où les coefficients 7, sont indépendants de n.

ee eFINeee

M037/2021-03-15 14:28:25 Page 6/6 (cc) BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


© Éditions H&K

Centrale Maths 2 PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Duboc (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) et William Aufort 
(professeur en
CPGE).

Z
f (x)w(x) dx, où I est

Ce sujet étudie l'approximation d'intégrales de la forme
I

un intervalle, f une fonction continue sur I et w une fonction de poids sur I, 
par des
formules de quadrature, qui sont des expressions de la forme
n
P
In (f ) =
i f (xi )
i=0

où n  N, (0 , . . . , n )  R

n+1

et x0 < · · · < xn sont n + 1 points distincts dans I. · La partie I introduit des résultats généraux sur les formules de quadrature. On y étudie notamment une méthode permettant de choisir des points xi et des coefficients i adaptés à l'approximation d'intégrales, à l'aide des bases de Lagrange, ainsi qu'une formule analytique pour exprimer l'erreur d'approximation obtenue avec les noyaux de Peano. La partie se termine par une application pratique où les formules établies précédemment servent à donner une majoration explicite de l'erreur d'approximation obtenue dans le cadre de la méthode des trapèzes. · La partie suivante commence par des résultats techniques sur des familles de polynômes orthogonaux. Puis on démontre qu'utiliser de telles familles dans le choix des points xi permet de maximiser l'ordre de la formule de quadrature, c'est-à-dire le plus grand entier m  N pour lequel la valeur approchée de l'intégrale est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à m. Finalement, on calcule les familles obtenues à partir de deux fonctions de poids différentes, en remarquant en particulier que pour w : x 7 1/ 1 - x2 on retrouve les classiques polynômes de Tchebychev. · La partie III nécessite de bonnes notions sur les séries entières. On utilise ces dernières pour définir les polynômes de Bernoulli Bm qui seront utilisés à la fin du sujet pour calculer un développement asymptotique explicite et à tout ordre de l'erreur associée à la méthode des trapèzes. Ce sujet est assez calculatoire, et comporte un certain nombre d'applications numériques qu'il est important de savoir réaliser afin que les résultats qui les exploitent ne soient pas faussés. Publié dans les Annales des Concours © Éditions H&K Indications 3 6 7 9 10 11 13 14 15 16 18 Considérer la base (1, X, X2 ) de R2 [X]. Montrer que la famille est libre. Exprimer le fait que In (f ) soit exacte sur Rn [X] par rapport à la base (L0 , . . . , Ln ). Se rappeler que e est une forme linéaire, et que In (f ) est supposée d'ordre m, donc exacte sur Rm [X]. Calculer l'erreur à l'aide de la question 9. Utiliser le résultat de la question 10 pour m = 1. Commencer par calculer l'erreur obtenue sur chacun des intervalles de la subdivision a0 = a < a1 < · · · < an = b. Puis, penser à un changement de variable affine pour se ramener sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] et utiliser les résultats des questions précédentes. Réutiliser le résultat de la question 11, en faisant attention à calculer correctement gi 00 à l'aide de la règle de la chaîne. Utiliser une identité remarquable. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions continues sur I dans R. Commencer par montrer que k = deg(q) 6 deg(pn ). Pour obtenir l'égalité, raisonner par l'absurde en supposant deg(q) < deg(pn ) et en utilisant le fait que la famille (p0 , . . . , pk ) forme une base de Rk [X]. n 19 Étudier le produit de (X - xi ) avec les Li . En déduire un polynôme Q positif i=0 de degré 2n + 2 tel que e(Q) 6= 0. n 20 Montrer que (X - xi ) est le (n + 1)-ième polynôme orthogonal unitaire. Puis i=0 considérer la base (p0 , . . . , pn+1 , X pn+1 , . . . , Xn pn+1 ). 22 Appliquer le résultat de la question 20. 23 Remarquer que 1 - x2 = (1 - x)(1 + x). 24 Utiliser les formules de trigonométrie des cosinus. 26 Poser le changement de variable  = Arccos (x). 29 Effectuer un produit de Cauchy. Prouver la dernière inégalité par récurrence forte. z 34 Si f : z 7 z , exprimer f (-z) en fonction de f (z) pour tout z dans le disque e -1 de convergence, et identifier les coefficients des séries entières obtenues. 37 Découper l'intervalle [ 0 ; n ] en intervalles [ k ; k + 1 ] pour k  [[ 0 ; n - 1 ]] et effectuer sur chacun d'eux une intégration par parties à l'aide de la question 36. 38 En reprenant le découpage en intervalles [ k ; k + 1 ], montrer la relation de récurrence suivante pour tout m > 1 :
Z k+1
m
X
(-1)p-1 bp (p-1)
0
P(m) : -
B1 (x - k)g (x) dx =
(g
(k + 1) - g (p-1) (k))
p!
k
p=2
Z
(-1)m k+1
+
Bm (x - k)g (m) (x) dx
m! k
et s'appuyer sur le résultat de la question 37 pour conclure.
39 Appliquer le résultat de la question 38 à une fonction g bien choisie, en 
pensant
au fait que les b2p+1 sont nuls.

© Éditions H&K

I. Généralités sur les formules de quadrature
1 Soit c  R. Remarquons que
1

Z
e(x 7 c) =

c dx - c = 0
0

donc I0 (f ) est exacte sur R0 [X]. En outre, X  R1 [X] et on a
Z 1
e(x 7 x) =
x dx - 0 = 1/2 6= 0
0

Par conséquent, I0 (f ) n'est pas exacte sur R1 [X]. Ainsi,
La formule de quadrature I0 (f ) est d'ordre 0.
L'erreur associée à la formule de quadrature I0 (f ) peut également s'écrire :
Z 1
Z 1
f (t) dt - f (0) =
(f (t) - f (0)) dt
e(f ) =
0

0

et correspond donc graphiquement à l'aire (algébrique) délimitée par la courbe 
représentative de f et les droites d'équations x = 0, x = 1 et y = f (0).
y = f (x)

e(f )
f (0)

1 x

0

2 La famille (1, X) forme une base de R1 [X]. Comme e est une forme linéaire, 
si elle
s'annule sur une base de R1 [X], alors I0 (f ) est exacte sur R1 [X]. Or, on 
constate que
Z 1
e(x 7 1) =
1 dx - 1 = 0
0

Z
e(x 7 x) =

1

x dx -
0

1
=0
2

d'où I0 (f ) est exacte sur R1 [X]. De plus,
 2
Z 1
1
1 1
1
2
2
e(x 7 x ) =
x dx -
= - =
6= 0
2
3 4
12
0
ainsi I0 (f ) n'est pas exacte sur R2 [X]. En conclusion,
La formule de quadrature I0 (f ) = f (1/2) est d'ordre 1.
La représentation graphique de l'erreur associée à I0 (f ) = f (1/2) est 
similaire
à celle obtenue pour I0 (f ) = f (0) à la question 1. Il suffit de remplacer la 
droite
horizontale d'équation y = f (0) par celle d'équation y = f (1/2).
3 Soit (0 , 1 , 2 )  R3 . Puisque (1, X, X2 ) est une base de R2 [X], une 
condition
nécessaire et suffisante pour que I2 (f ) soit exacte sur R2 [X] est

Publié dans les Annales des Concours

© Éditions H&K

 e(1) = 0
e(X) = 0

e(X2 ) = 0
En calculant ces erreurs, on obtient le système

1 = 0 + 1 + 2

1
1
=
+ 2
2
2

 1 = 1 + 
2
3
4
Soustraire la troisième ligne à la deuxième donne
1
1
1 1
- =
-
2 3
2
4

1 =

d'où

2
3

Réinjecter la valeur de 1 dans la deuxième ligne permet d'obtenir
2
1
= + 2
2
6

d'où

2 =

1
6

Finalement, en réinjectant 1 et 2 dans la première ligne, on obtient 0 = 1/6.
Par conséquent, l'unique solution de ce système est (1/6, 2/3, 1/6). De plus, 
on remarque qu'avec ces valeurs de 0 , 1 et 2 ,
!
 3
Z 1
1
1
1
1
e(X3 ) =
x3 dx - 0 × 03 + 1
- =0
+ 2 × 13 = -
2
4
12
6
0
mais
4

Z

1
4

x dx -

e(X ) =
0

!
 4
1
1
1
1
1
4
+ 2 × 1
= -
- =-
6= 0
0 × 0 + 1
2
5 24 6
120
4

La famille (1, X, X2 , X3 ) formant une base de R3 [X], I2 (f ) est donc exacte 
sur R3 [X]
mais pas sur R4 [X]. En d'autres termes,
La formule de quadrature I2 (f ) est exacte sur R2 [X] si et seulement si (0 , 
1 , 2 ) = (1/6, 2/3, 1/6). Elle est alors d'ordre 3.
2

4 Montrons que  est injective. Soit (P, Q)  Rn [X] tel que (P) = (Q). 
L'application  étant linéaire, on a
(P - Q) = (P) - (Q) = (0, . . . , 0)  Rn+1
Le polynôme P - Q est de degré au plus n et admet xk comme racine pour tout
k  [[ 0 ; n ]], soit n + 1 racines distinctes. Par conséquent P - Q est le 
polynôme
nul d'où P = Q. Ainsi, l'application  est linéaire et injective entre deux 
espaces
vectoriels de même dimension n + 1. Finalement,
L'application linéaire  est un isomorphisme.