Centrale Maths 2 PC 2020

Thème de l'épreuve Fonction caractéristique d´une variable aléatoire réelle
Principaux outils utilisés espérance, série de fonctions, intégrale à paramètre, série entière
Mots clefs fonction caractéristique, variable aléatoire

Corrigé

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Mathématiques 2

T

PC ©
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 2 Hèures Calculatrice autorisée CN

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

Soit (Q,.4,P) un espace probabilisé, où 4 est une tribu sur Q et P une 
probabilité sur (Q,.4).
Toutes les variables aléatoires sont discrètes, à valeurs réelles ou complexes, 
définies sur (Q,.4).

Si la variable aléatoire X : Q -- R est d'espérance finie, on note E(X) son 
espérance.

Pour tout nombre complexe z, on note Re(z) sa partie réelle, Im(z) sa partie 
imaginaire et Z son conjugué.

sin æ .
six £O,

On appelle sinus cardinal la fonction définie, pour tout réel x, par sinc(x) --
1 si æ =(.
On admet que cette fonction est continue et que pour tout réel x, [sinc(x)| < 1. On étend aux variables aléatoires discrètes à valeurs complexes la notion d'espérance définie pour les variables aléatoires discrètes réelles. Ainsi, on dit qu'une variable aléatoire discrète à valeurs complexes Z : Q -- C est d'espérance finie si les variables aléatoires réelles Re(Z) et Im(Z) sont d'espérance finie et on définit alors l'espérance de Z par E(Z) = E(Re(Z)) +iE(Im(Z)). On admettra les résultats suivants qui étendent aux variables aléatoires complexes les résultats analogues sur les variables aléatoires réelles. -- Toute variable aléatoire Z complexe finie est d'espérance finie. Si Z(Q) = {z,,..., z,}, où les z, sont deux à deux distincts, alors T E(Z) = SZ P(Z = 23). k=1 -- Théorème du transfert (cas X(Q) fini). Soit X une variable aléatoire réelle d'image finie X(Q) = {x,,...,x,} où les x, sont deux à deux distincts et soit f une application à valeurs complexes définie sur X(Q). Alors f(X) est d'espérance finie et E(FC0) = D P(X = 2) fa). k=1 -- Soit Z une variable aléatoire complexe telle que Z(Q) soit dénombrable égal à {z,,n EUR N} où les 2, sont deux à deux distincts. Alors Z est d'espérance finie si, et seulement si, la série ÿ 2nP(Z = 2,) converge n2>0
absolument. Dans ce cas,

+00

E(Z) = D 2 P(Z = 2,).

n=0

-- Théorème du transfert (cas X(Q) dénombrable). Soit X une variable aléatoire 
réelle d'image dénombrable
X(Q) = {x,,n EUR N} où les x, sont deux à deux distincts et soit f une 
application à valeurs complexes
définie sur X(Q).

Alors f(X) est d'espérance finie si, et seulement si, la série ÿ P(X = x,)f(x,) 
converge absolument. Dans

n2>0
ce Cas,

E(F(X)) = SCP(X = x,)f(æ,).
n=0

-- Soit Z une variable aléatoire complexe et Z : w EUR Q H Z(w) sa variable 
aléatoire conjuguée.

Si Z est d'espérance finie, alors Z est d'espérance finie et E(Z) = E(Z).

-- Soit Z, et Z, deux variables aléatoires complexes d'espérance finie et soit 
À EUR C.
Alors Z, + Z, et AZ, sont d'espérance finie et E(Z, + Z,) = E(Z,) + E(Z2) et 
E(AZ,) = AE(Z,).

2020-02-17 16:13:24 Page 1/4 CHE
I Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

À toute variable aléatoire réelle discrète X : Q -- R, on associe une fonction 
@ x, appelée fonction caractéristique
de X et définie par

VtER, py(t) =E(eit*).

IA - Premières propriétés
Dans cette sous-partie, À est une variable aléatoire réelle discrète.
Q 1. On suppose, dans cette question, que X(Q) est un ensemble fini de cardinal 
r EUR N*.

On note X(Q) = {x,,...,x,.} où les x; sont deux à deux distincts, et, pour tout 
entier k EUR [1,r], a; = P(X = x}).

T

Montrer que, pour tout réel t, ox(t) = > apeitrr,

k=1
Q 2. On suppose dans cette question que X(Q) est un ensemble dénombrable. On 
note X(Q) = {x,,n EN}
où les x, sont deux à deux distincts. Pour tout n EUR N, on pose a, = P(X = 
x,,).

+00
Montrer que ®, est définie sur R et que, pour tout réel t, ox(t) -- > a el tEn
n=0
Q 3. Montrer que ©, est continue sur KR.
Q 4. Soit a et b deux réels et Y = aX + b. Pour tout réel t{, exprimer ,{t) en 
fonction de y, t, a et b.
Q 5. Soit & EUR R. Donner une expression de ® ,;(--t) en fonction de o ,(t). En 
déduire une condition nécessaire

et suffisante portant sur l'image @,(R) pour que la fonction + soit paire.

I.B -- Trois exemples
Q 6. Soit n EUR N* et p EUR |0,1[. On suppose que X : Q -- R suit une loi 
binomiale B(n, p) et on note q = 1--p.
Montrer que, pour tout te R, ox({t) = (q + pet)".

Q 7. Soit p EUR |0,1|. Quelle est la fonction caractéristique d'une variable 
aléatoire suivant une loi géométrique
de paramètre p ?

Q 8. Soit À > 0. Quelle est la fonction caractéristique d'une variable 
aléatoire suivant une loi de Poisson
de paramètre À ?

IC --- Image de ®%

On se donne ici une variable aléatoire réelle discrète À : Q -- K, dont on note 
©, la fonction caractéristique.
Pour tout (a,b) EUR R°, a + bZ désigne l'ensemble {a + bk,k EUR Z}.

Q 9. Montrer que pour toutt ER, [dx(t)| < 1. 2 Q 10. Montrer que, s'il existe a EUR R et t, EUR R* tels que X(Q) C a + --Z alors lo x(to)l = 1. 0 On suppose réciproquement qu'il existe {, EUR R* tel que [dx(to)l = 1. Dans la suite de cette sous-partie LC, on suppose de plus que X(Q) est dénombrable et on reprend les notations de la question 2. +00 Q 11. Montrer qu'il existe a EUR K tel que > an eXP(i(totn -- toa)) = 1.
--0
+00 |
Q 12. En déduire que > an (1 -- cos(toth -- toa)) = 0.
n--=0
2
Q 13. Montrer que pour tout n EUR N, si a, Æ 0, alors x, EUR a + --Z
0

2
Q 14. En déduire que P (x ca+ 2) = 1.
0

2020-02-17 16:13:24 Page 2/4 CIEL
IT Fonction caractéristique et loi d'une variable aléatoire

L'objectif de cette partie est de montrer que la fonction caractéristique d'une 
variable aléatoire détermine sa loi.
Deux méthodes de démonstration sont proposées.

IT. À --- Première méthode

Soit À une variable aléatoire réelle ee discrète et m EUR KR.

Pour T EUR R°, on pose ,,( D 3 ft ent dé.

II.A.1) On suppose que X(Q) st fini et on reprend les notations de la question 
1.
Q 15. Montrer que, pour tout T'ER',ona V., ( =} sine -- m))P(X = x,,).

Q 16. En déduire que V,,(T') Ts? P(X = m).
= +00

II. A.2) On suppose que X(Q) est dénombrable et on reprend les notations de la 
question 2.

Pour n E Net À ER", on pose g,(h) -- sinc (-- -- . PCX = x,,).
Q 17. Montrer que pour tout T' EUR R', on à V,,( Yu G =)
Q 18. Montrer que la fonction g,, se prolonge en une fonction & 9n définie et 
continue sur R".
Q 19. Montrer que la fonction G -- S 9, est définie et continue sur R".
=0
Q 20. Établir que V,,(T) ------> PCX = M).

T'-- +
II.A.3) Application

Q 21. Soient À : (0 -- Ket Y : ( -- R deux variables aléatoires discrètes 
telles que d, = @,. Montrer que,
pour tout mER, PIX = m) = P(Y = m), autrement dit que X et Y ont la même loi.

I1.B --- Deuxième méthode
ei tb ___ Aita
5 sit £ 0,
Si a et b sont deux réels, on note K, , la fonction définie pour tout réel { 
par K, ,(t) = it
? ? b --_
; si t -- Ü.
Q 22. À l'aide de séries entières, montrer que X a. est de classe C® sur K.
Soit N un entier naturel et soit F,, la fonction définie, pour tout réel x, par 
F\(x fa. K, »

Q 23. Montrer que Fy est de classe CT sur R et que, pour tout réel x, F(x) = 
Nsinc(Ne).

N Nb
Q 24. Montrer que [Et t) dt -- [ sinets ds.
--N Na
+00

Q 25. Montrer que l'intégrale | sinc(s) ds est convergente.

0
+00
On admettra dans la suite que | sinc(s) ds -- 5
0
N
Q 26. En déduire l'existence et la valeur de Vi K',.5(t) dt dans le cas où a < b. --7 +00 _N Q 27. Soit X : Q -- R une variable aléatoire telle que X(Q) est fini. On suppose que les réels a et b n'appartiennent pas à X(Q). Montrer que à Jéxcox CE dt Pa < X  0 associe f(h)
la limite de f en 0 ?

. Quelle est

+00 . 92
h
Q 32. Montrer que pour tout À EUR R*, f(h) -- > 0, En)

n=0

Q 33. En déduire que X admet un moment d'ordre 2.

TII.C --

On fixe dans cette sous-partie IIL.C un entier naturel 4 EUR N et on suppose à 
la fois que 4 est de classe C?FT2
sur R et que X admet un moment d'ordre 2k. On note a = E(X**).

Q 34. Que peut-on dire de À si «& est nul ?
On suppose dorénavant que le réel a est strictement positif.
Q 35. Soit Y : Q -- KR unc variable aléatoire vérifiant Y(Q) = X(Q) ct, pour 
tout n EUR N,

Montrer que @, est de classe C? sur R.
Q 36. En déduire que À admet un moment d'ordre 2k + 2.

Q 37. Soit & EUR N*. Déduire des questions précédentes que si D, est de classe 
C'* sur R, alors X admet un
moment d'ordre 2k.

IV Développement en série entière de 0%
Soit À : ( -- R une variable aléatoire réelle.

IV.A --
On suppose que X(Q) est fini et on reprend les notations de la question 1.
+00 /.
it)"
Q 38. Montrer que D, est développable en série entière sur R ct, pour tout réel 
t, oy(t) = > E(X").
n!
n=0

IV.B -
On suppose que X(Q) est dénombrable et on reprend les notations de la question 
2.

On suppose également que, pour tout entier n EUR N, À admet un moment d'ordre n 
et qu'il existe un réel À > 0
tel que

E(IX}?) = 0O (= | quand n -- +oo.

R"
n : sk n+1l
Q 39. Montrer que pour tout ne Net tout ye R, le? -- (y) < ES pres k! (n +1)! 1 / kR R Q 40. En déduire que pour tout réel t EUR |----,--1|, e EUR +00 /.,\k 14 6x = D EL EC) k=0 ' ee eFINee.e 2020-02-17 16:13:24 Page 4/4 CIEL

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julie Gauthier (professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Angèle Niclas (ENS Lyon) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à 
l'université).

Dans ce sujet d'analyse et de probabilités, on s'intéresse à la fonction 
caractéristique d'une variable aléatoire réelle X. Cette fonction est définie 
par l'espérance
de t 7 e i tX . On démontre de deux manières qu'elle caractérise la variable 
aléatoire,
c'est-à-dire que la connaissance de cette fonction permet de retrouver la loi 
de X.
Dans un second temps, on s'intéresse à sa régularité et à son développement en 
série
entière.
· Dans la partie I, on définit la fonction caractéristique d'une variable 
aléatoire
réelle. Puis on donne une condition nécessaire et suffisante pour que cette
fonction soit paire. On traite alors trois exemples avec des variables 
aléatoires
concrètes. Pour finir, on s'intéresse au lien entre l'ensemble image de la 
variable
aléatoire réelle et celui de sa fonction caractéristique.
· Dans la partie II, on met en oeuvre deux méthodes faisant intervenir des 
passages à la limite avec des interversions limite-intégrale et limite-série 
pour retrouver la loi d'une variable aléatoire réelle à partir de sa fonction 
caractéristique. La fonction sinus cardinal et son intégrale convergente sur R+ 
jouent un
rôle central dans ces méthodes.
· Dans la partie III, on fait le lien entre la régularité de la fonction 
caractéristique d'une variable aléatoire réelle et l'existence des moments de 
cette dernière. Là encore, les théorèmes d'interversion pour les séries de 
fonctions entrent
en jeu.
· Pour finir, l'objet de la partie IV est de développer la fonction 
caractéristique
en série entière. On traite d'abord le cas où l'univers est fini avant de 
traiter
celui où il est dénombrable (donc infini). Pour ce faire, des interversions de
sommes sont requises.
Dans ce sujet, les variables aléatoires jouent en fait un rôle mineur pour 
laisser
la place aux séries de fonctions, aux intégrales à paramètre et aux passages à 
la
limite sous les signes somme et intégrale. Puisqu'il fait intervenir la plupart 
des
théorèmes d'interversion, le sujet demande beaucoup de rigueur dans la 
rédaction.
En particulier, de multiples disjonctions de cas sont nécessaires. Les calculs 
sont
nombreux et demandent des justifications précises.

Indications
Partie I
3 Utiliser les formules explicites trouvées aux deux questions précédentes tout 
en
gardant en tête le sens des an pour appliquer le théorème de continuité d'une
série de fonctions dans le cas où X() est dénombrable.
4 Appliquer les résultats des questions 1 et 2 à la variable aléatoire Y. Faire 
apparaître X (at).
5 Noter que -X = X .
6 Utiliser la formule de la question 1 et la formule du binôme de Newton.
7 Utiliser la formule de la question 2. Faire apparaître une série géométrique.
8 Utiliser la formule de la question 2. Penser au développement en série 
entière de
la fonction exponentielle.
9 Utiliser la formule explicite
obtenue aux questions 1 et 2 et l'inégalité triangulaire.
P
Quantifier la somme
an .
10 Utiliser la formule explicite obtenue aux questions 1 et 2. Calculer la 
valeur
de e i t0 x pour tout x  X(). Elle ne dépend pas de x.
11 Écrire X (t0 ) sous forme polaire. En déduire l'existence de a.
12 Prendre la partie réelle de l'égalité prouvée à la question 11.
13 Étudier les signes de 1 - cos(t0 xn - t0 a) et des an puis conclure.
14 Utiliser le résultat de la question 13.
Partie II
15 Penser à justifier l'existence de Vm (T) avant de permuter l'intégrale non 
généralisée et la somme finie. Utiliser la formule d'Euler pour obtenir le 
sinus cardinal.
Utiliser la continuité de la fonction sinus cardinal en 0 pour traiter 
l'éventuel
terme où xn - m = 0.
16 Montrer que sinc (u) tend vers 0 lorsque u tend vers +
- . Cela permet de traiter
tous les termes de la somme obtenue à la question précédente sauf éventuellement
celui où xn - m = 0. Disjoindre les cas afin de trouver la valeur de ce terme 
puis
conclure.
17 Effectuer les même calculs qu'à la question 15 en justifiant soigneusement la
permutation série-intégrale sur un segment.
18 Appliquer le théorème de prolongement par continuité. Penser à traiter à 
part le
cas où xn = m.
19 Appliquer le théorème de continuité pour une série de fonctions continues.
20 Utiliser la fonction G définie à la question précédente. Se ramener à une 
limite
en 0.
21 Définir Vm pour X et pour Y. Montrer que ces deux fonctions sont égales. En 
déduire qu'elles ont la même limite en + puis conclure.
23 Appliquer le théorème de dérivation pour une intégrale à paramètre.
24 Utiliser le théorème fondamental de l'analyse et la formule démontrée à la 
question
précédente.

25 Couper en deux intégrales en /2 pour traiter le problème en + indépendamment 
de 0. Intégrer par parties et appliquer le critère de Riemann.
26 Penser à disjoindre les cas en fonction des signes de a et b. Utiliser la 
formule de
la question 24 et le résultat de la question 25. La parité de sinc joue un rôle 
dans
la preuve lorsque a ou b sont négatifs.
27 Réécrire la quantité dont on veut calculer la limite sous la forme d'une 
somme de
Z N
K, (t) dt où  et  sont à déterminer. Le résultat de la
termes de la forme
-N

question 26 permet alors de calculer la limite de chacun de ces termes.
Partie III
29 Après avoir écrit X sous forme d'une série de fonctions en utilisant le 
résultat de
la question 2, lui appliquer le théorème de dérivations terme à terme.
31 Écrire le développement limité de X à l'ordre 2.
32 Utiliser la formule de la question 2.
33 Voir f comme la série de fonctions donnée à la question 32. L'écrire à 
l'aide de
sinc . Majorer la somme partielle pour h > 0 puis passer à la limite lorsque h 
tend
vers 0. En déduire que la série de fonctions évaluée en 0 converge et conclure.
34 Noter que tous les termes sont positifs dans la série obtenue pour le calcul 
de
l'espérance de X2k .
35 Vérifier d'abord que Y est bien une variable aléatoire réelle discrète. 
Trouver une
expression de Y en fonction de X (2k) en utilisant le résultat de la question 
19.
36 Appliquer ce qui a été prouvé à la question 33 à Y. Puis, revenir à la 
définition
du moment pour conclure.
37 Il s'agit ici de rédiger correctement la récurrence en utilisant les 
résultats des
questions précédentes.
Partie IV
38 Utiliser la formule de la question 1 pour X puis développer chacun des termes
en série entière. Utiliser le théorème du transfert pour conclure.
39 Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral sur une fonction à valeurs 
complexes.
40 Il faut utiliser les hypothèses de cette partie IV.B qui n'ont pas encore 
servi.
Partir de la valeur absolue de la différence entre X (t) et la somme partielle 
de
la série entière souhaitée. Permuter somme finie et série pour faire apparaître 
le
membre de gauche de l'inégalité de la question précédente. Conclure en utilisant
notamment la formule de Stirling.

I. Fonction caractéristique d'une
variable aléatoire réelle
1 Soit t  R. Définissons la fonction
(
ft :

X() - C
7- e i tx

x

· L'ensemble X() = {x1 , x2 , . . . , xr } avec les xi deux à deux distincts 
est fini ;
· l'application ft est définie sur X() et à valeurs complexes.
Alors, d'après le théorème du transfert (cas X() fini) donné dans l'énoncé, ft 
(X)
est d'espérance finie et
E (ft (X)) =

r
P

P(X = xk )ft (xk )

k=1

Autrement dit, pour tout t  R, le complexe X (t) est bien défini et vérifie
t  R

X (t) =

r
P

ak e i txk

k=1

2 Soit t  R. Définissons ft sur X() comme dans la question 1.
· L'ensemble X() = {xn | n  N} avec les xn deux à deux distincts est 
dénombrable ;
· l'application ft est définie sur X() et à valeurs complexes.
Par conséquent, d'après le théorème du transfert (cas X() dénombrable) donné 
dans
l'énoncé, ft (X) est d'espérance finie si, et seulement si, la série
P
S=
P(X = xn )ft (xn )
n>0

converge absolument. Dans ce cas,
E(ft (X)) =

+
P

P(X = xn )ft (xn )

n=0

Étudions la convergence absolue de la série S. Son terme général vaut an e i 
txn par
définition des an et de ft . Pour tout n  N, il vient
an e i txn = an

car

an = P(X = xn ) > 0

P
Or Pan converge et vaut 1 car X est une variable aléatoirePréelle. Ceci prouve
que
|P(X = xn )ft (xn )| converge c'est-à-dire que la série
P(X = xn )ft (xn )
converge absolument. Ainsi, ft (X) admet une espérance et celle-ci vaut
E(e i tX ) =

+
P

P(X = xn )ft (xn )

n=0

Autrement dit

t  R

X (t) =

+
P

an e i txn

n=0