Centrale Maths 2 PC 2019

Thème de l'épreuve Étude de la fonction (sin + 1)/cos
Principaux outils utilisés séries entières, dénombrement, intégration par parties, dérivation sous l'intégrale, récurrence
Mots clefs zêta, série entière, Stirling, Taylor, permutation alternante, montante, descendante

Corrigé

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Mathématiques 2 OO
pl

PC ©

4 heures Calculatrice autorisée ON

Le sujet est composée de trois parties.

Dans la partie I, on définit une suite (a, ), d'entiers naturels via le 
développement en série entière d'une fonction
auxiliaire et on s'intéresse en particulier à la suite extraite (a:,,1), formée 
des termes de rang impair.

Dans la partie IT, on détermine un équivalent, lorsque n tend vers l'infini, de 
a,,,, en faisant appel à des outils
analytiques et notamment à la fonction zêta de Riemann.

Dans la partie IIT, on définit les permutations alternantes. On procède d'abord 
à leur dénombrement, avant de
s'intéresser à des aspects probabilistes.

La partie II fait appel, très ponctuellement, à des résultats de la partie I. 
La partie III utilise des résultats des
parties I et IT.

I Introduction d'une fonction auxiliaire

Soit l'intervalle ? = ]|-x/2,7/2[. On considère la fonction f définie sur I par
1 1
COS æ

On note f(7) la dérivée d'ordre n de f et, par convention, fl0 -- f.

IA --  Dérivées successives
Q 1. Exprimer les dérivées f', f" et f(%) à l'aide des fonctions usuelles.
Q 2. Montrer qu'il existe une suite de polynômes (P,),en à coefficients réels 
telle que
P,(snx)
VneN, Vrel, Gr) =
f() (cos x)"+1

On explicitera les polynômes F,, P,, P,, P, et, pour tout entier naturel n, on 
exprimera P,., en fonction de P,
et P'.
n

Q 3. Justifier que, pour tout entier n > 1, le polynôme P, est unitaire, de 
degré n et que ses coefficients
sont des entiers naturels.

Q 4. Montrer
Vzel, 2f'(x) = f(x)? +1.
Pour tout entier naturel n, on pose a, = fl"(0) = P, (0).
Q 5. Montrer 2a, = af + 1 et
k _ nm
Vn EUR N*, 2@,,1 = ÿ L ApAn_g
k=0

I.B --- Développement en série entière

2. A a
On note À le rayon de convergence de la série entière --x" et g sa somme.
y g
n!

neN
Q 6. À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer
LR
VNEN, Vrel0,r/2X, Jr" < f(x). es mi 2019-03-26 11:18:34 Page 1/4 CHELLES Q 7. En déduire la minoration À > x/2.

Q 8. Montrer

Q 9. Montrer
Vxel, f(x) = g(x).
Considérer les fonctions arctan f et arctan g.
Q 10. En déduire que R = x/2.
I.C -- Partie paire et partie impaire du développement en série entière

Q 11. Justifier que toute fonction h : [1 -- R s'écrit de façon unique sous la 
forme À = p+iavecp:1--R
une fonction paire et 2 : 1 -- KR une fonction impaire.

Q 12. En déduire

+00

a
Vxæe I, tan(x = 2 En ni ani et

-- ( (2n +1)! COS ZX 2

tr

SO

On note t la fonction définie sur 1 par t(x) = tan(x).
Q 13. Pour tout entier naturel n, exprimer #(0) en fonction des réels (a,);e\.
Q 14.  Rappeler, sans justification, l'expression de {" en fonction de t.

Q 15. En déduire

" 2n
Vn E N°, ni -- >, (au LE ) Xp_1 don_2k+1"
k=1

II Équivalent de @., 1]

IT. À -- La fonction zêta
Pour tout s > 1, on pose Ç(s) = > -- ,

Q 16. Montrer que Ç est continue sur |1, +oc|.

+00
I
Q 17.  Encadrer > -- par deux intégrales et en déduire lim Ç(s) = 1.
nd n° S8-->+00

Q 18. Déterminer C(s) tel que
+00 1
Vs EUR I, +00/; > OL JS -- C(s) G(s).
k=1

II.B --- Une formule pour la fonction cosinus

Pour tout entier naturel n et tout réel x, on pose L,(x) -- [cost (cos t)" dt.
0

Q 19. Montrer

Vn e [2,+o0[, VreR. (: _ =.) La) = 22Tr (à) et (: _ æ.) LU) _ Lot),

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Q 20. Montrer

ko

Vn EUR N°, Vz ER, SiN(TX) = T&

Bo (-%)

Q 21. En déduire

Vn e N°, Vxe |0,1{, COS(TX) = : ET pe II (: : =)

IT.C -- Un autre développement de tangente
Dans toute cette sous-partie IL.C, on pose J = [0,1/2[ et, pour tout entier 
naturel n et tout réel x de J,

+0 f +0 92p+1,2p-1
CIE re)

p=l \k=n+1

Q 22. Montrer

+00
vn EN", Vs EUR 1, +00, ) ------ < TT k=n+1 (2k -- 1) 2(5--1) (2n--1)S1 Q 23.  Justifier que, pour tout entier naturel n, la fonction $, est définie sur J. Q 24. Montrer que la suite (S ,) converge simplement sur J vers la fonction nulle. Q 25. En dérivant x + In(cos(rx)), montrer 21,027) Lt) = 8x 1 Vx EUR J, 7 tan(rx) -- HS 2 , 2 + LG nt HR (2k -- 1) Q 26. Montrer 21,,(2x) 1, (x) +00 Vn e N°, Vz ed, rtan(rx) + S,(x) = + T2) Le 2227 --1)(2p)at p=1l Q 27. Montrer l'inégalité { cos(t) < sin(t), pour tout t de [0,x/2|. Q 28. En déduire , 4x Vn e N*, Vx e [0,1 O<--L(x) < --1,(x) n O1 limite Im EUR . puis, pour x EUR |0,1/, la limite Em TL (x) Q 29. En déduire l'égalité +00 Væ EUR J, rtan(rx) = > 2(27 --1)C(2p)x "1.
p=1l
IT.D -- Un équivalent de @,.,;
Q 30. Montrer
2 (277 -- 1) (2n +1)!
Vn EUR N, Qoni1 = ) (n + ) en + 2).

rn2r+2

Q 31. En déduire un équivalent de @:,.,, lorsque n tend vers l'infini.

2019-03-26 11:18:34 Page 3/4 (cc) BY-NC-SA
III Permutations alternantes

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit (æ,,%,...,x,) une liste de n 
nombres réels. On dit que la liste
(t,,...,2%,) est alternante montante si (--1)'(x;, -- x;_,) > 0 pour tout à EUR 
[2,n]. On dit qu'elle est alternante

descendante si (--1)'(x, -- x; _,) < 0 pour tout à EUR [2,n|]. Autrement dit, la liste (x,,......,x,) est alternante montante si elle vérifie les inégalités x, < %9 > æ3 < %4 > +
Elle est alternante descendante si elle vérifie les inégalités inverses.

Par exemple, (1,5,3,11,8,9) est alternante montante car 1 < 5 > 3 < 11 > 8 <9et (7,4,5,2,12) est alternante descendante car 7 > 4<57>2< 12. On dit qu'une permutation o de l'ensemble [1,n] est alternante montante (respectivement alternante descen- dante) si la liste (o(1),...,o(n)) est alternante montante (respectivement alternante descendante). Par exemple, avec n = 7 et en représentant toute permutation © par la liste des images (o(1),..,o(7)), on constate que (1,5,4,6,2,7,3) représente une permutation alternante montante et (3,2,6,4,7,1, 5) une permu- tation alternante descendante. ITT. À --- Dénombrement des permutations alternantes Q 32. Déterminer les permutations alternantes montantes de [1,n] pour n =2,n=3,n=4. Q 33. Montrer, pour tout n > 2, que le nombre de permutations alternantes 
montantes est égal au nombre
de permutations alternantes descendantes.

Sin > 2, on note B, le nombre de permutations alternantes montantes de [1,n], 
et on convient que £, = B, = 1.

Q 34. Soient k et n deux entiers tels que 2 < k < n et À une partie à k éléments de ]1,n]. On considère les listes (x1,......,x,) constituées de k éléments deux à deux distincts de À. Montrer que le nombre de ces listes qui sont alternantes montantes est égal à 5,. Le nombre de celles qui sont alternantes descendantes est le même, mais on ne demande pas de le justifier. TL n Q 35. Montrer, pour tout entier n Z 1, 26,,1 -- > (.) Brbn_x:
k=0

Pour k EUR [0,n], dénombrer les permutations o alternantes (montantes ou 
descendantes) de ]1,n +1]
telles que o(k +1) = n +1.

Q 36. En déduire que B, = à,, pour tout n EUR N.
ITII.B - Permutations aléatoires

Pour tout entier n > 2, on munit l'ensemble Q,, des permutations de [1,n] de la 
probabilité uniforme. On note
p, lR probabilité qu'une permutation dans (?, soit alternante montante. On 
convient de plus que po = p, = 1.

Q 37. Montrer que la suite (p,,) tend vers 0. Donner un équivalent de p,,,, 
quand n tend vers l'infini.
On définit une variable aléatoire M, sur Q,, en associant à toute permutation o 
EUR Q, l'entier M, (0) tel que :

-- M,{o) =2 si o(1) > o(
-- M,{o) =3 si o(1) < o(2) < o(3): -- M,{o) = 4 si o(1) < o( N Sn D V À. E V À E -- M,(o) = n+1si cest alternante montante. En d'autres termes, M,{(o) = k+1, où k est le plus grand entier tel que (o(1),...,o(k)) soit alternante montante. On note E(M,,) l'espérance de M... Q 38. Pour tout à EUR ]0,n], montrer P(M, > à) = p,.

in (1 I
Q 39.  Exprimer E(M,,) en fonction de po, p1, ..., p,. En déduire lim E(M,,) = 
--
n--00 COS

ee oeFrFINeee

2019-03-26 11:18:34 Page 4/4 (cc) BY-NC-SA

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Centrale Maths 2 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alban Levy (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par
Vincent Lerouvillois (ENS Lyon) et Vincent Puyhaubert (professeur en CPGE).

Ce sujet en trois parties explore certaines propriétés de la fonction
f : x 7- (sin x + 1)/ cos x
et des coefficients de son développement en série entière.
· Dans la première partie, on étudie la forme des dérivées de f puis son 
développement en série entière. On utilise la formule de Taylor avec reste 
intégral, et
quelques raisonnements par récurrence.
· La deuxième partie introduit la fonction  de Riemann, dont on étudie la 
continuité et la limite en l'infini. Grâce aux intégrales à paramètre
Z /2
In (x) =
cos(2xt)(cos t)n dt
0

on obtient un développement en série entière de la fonction tangente qui fait
intervenir cette fonction .
· La dernière partie est plus originale : à coups de dénombrements, on étudie
certaines permutations dites alternantes, les reliant finalement à la fonction f
par des probabilités.
Ce sujet comporte quelques difficultés. Dans plusieurs questions, le résultat 
attendu n'est pas explicitement donné. Les dénombrements de la troisième partie 
sont
assez délicats.

Indications
Partie I
1 Utiliser la règle de dérivation d'un quotient et l'identité cos2 x + sin2 x = 
1 pour
simplifier les calculs.
2 Construire la suite Pn par récurrence.
3 Démontrer la propriété par récurrence en utilisant l'expression de Pn+1 en 
fonction
de Pn obtenue à la question précédente.
4 Développer f 2 (x) + 1.
5 Appliquer la formule de Leibniz.
6 Utiliser la question 3 en remarquant qu'un entier naturel est positif par 
définition.
7 Utiliser le lemme d'Abel.
8 Calculer g 2 par produit de Cauchy.
9 Dériver Arctan (f ) et Arctan (g).
10 Faire une preuve par l'absurde.
11 Prouver l'existence en donnant une décomposition explicite en fonction de 
h(x)
et h(-x) ; l'unicité sera prouvée par l'absurde.
12 Décomposer la fonction f en somme de deux fonctions, l'une paire et l'autre
impaire.
13 Faire le lien entre les coefficients de la série entière et les dérivées de 
la fonction.
15 Utiliser la formule de Leibniz puis évaluer en 0 en retirant les termes nuls.
Partie II
16 Montrer la convergence normale de la série de fonctions sur [ a ; + [, a > 1.
17 Utiliser la monotonie de t 7 1/ts pour faire une comparaison série intégrale.
18 Séparer la somme définissant  en la somme des termes pairs et celle des 
termes
impairs.
19 Pour x  R, intégrer par parties la quantité 4x2 In (x).
20 Calculer I0 (x) puis faire une preuve par récurrence.
21 Utiliser l'égalité sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) et la question précédente.
22 Utiliser une comparaison série/intégrale de (2t - 1)-s pour t  [ k - 1 ; k [.
23 Utiliser la question 22 puis majorer par une série géométrique.
24 Réutiliser la question 22.
25 Dériver x 7 ln(cos(x)) en vérifiant bien les hypothèses de dérivation d'une
intégrale à paramètre ; utiliser la question 21.
26 Développer  dans la somme donnée, grâce à la question 18, puis en faire 
ressortir Sn .
27 Étudier la fonction t 7- sin(t) - t cos(t) sur [ 0 ; /2 ].
28 Utiliser l'inégalité de la question 27 avant d'intégrer par parties.
29 Faire tendre n vers l'infini dans le résultat de la question 26 en montrant 
que
certains éléments tendent vers 0.
30 Utiliser l'unicité du développement en série entière de tan à partir des 
questions 12
et 29.
31 Utiliser la formule de Stirling et la question 17.

Partie III
32 Dresser la liste de toutes les permutations et identifier les éléments 
alternants
montants.
33 Utiliser l'application  :  7 (i 7 n + 1 - (i)) et vérifier notamment qu'il 
s'agit
d'une bijection de n dans lui-même.
34 Noter A = {a1 < · · · < ak } et remarquer qu'une liste d'éléments deux à deux distincts peut se noter (a(1) , . . . , a(k) ) avec  injective. 35 La question est difficile. Vérifier à l'aide d'arguments combinatoires que le nombre de permutations alternantes de [[ 1 ; n + 1 ]] telles que (k + 1) = n + 1 est égal à n × k × n-k k 36 Réaliser que les suites (n )n et (n )n satisfont la même relation de récurrence. P 37 Utiliser le fait que le rayon de convergence de la série n xn /n! est strictement supérieur à 1. 38 Utiliser des arguments similaires à ceux de la question 35 pour compter les permutations de [[ 1 ; n ]] telles que (1), . . . , (i) est alternante montante. 39 Remarquer que pour tout k, P(Mn = k) = P(Mn > k - 1)- P(Mn > k) et injecter
cette égalité dans la somme définissant l'espérance.

I. Introduction d'une fonction auxiliaire
1 En tant que quotient de fonctions indéfiniment dérivables et non nulles sur I,
la fonction f l'est aussi. Calculons ses dérivées successives par les règles 
usuelles de
dérivation. Soit x  I, alors
f  (x) =

cos2 x - (sin x + 1)(- sin x)
cos2 x + sin2 x + sin x
sin x + 1
=
=
cos2 x
cos2 x
cos2 x

en utilisant l'égalité cos2 x + sin2 x = 1. Il vient de même
f  (x) =
et f (3) (x) =
Ainsi,

cos3 x - (sin x + 1)(-2 sin x cos x)
sin2 x + 2 sin x + 1
=
cos4 x
cos3 x

(2 sin x cos x + 2 cos x) cos3 x - (-3 cos2 x sin x)(sin2 x + 2 sin x + 1)
cos6 x
f  (x) =

sin x + 1
cos2 x

f  (x) =

sin2 x + 2 sin x + 1
cos3 x

x  I

f (3) (x) =

sin3 x + 4 sin2 x + 5 sin x + 2
cos4 x

2 Montrons par récurrence que la propriété
P(n) :

Pn  R[X] x  I

f (n) (x) =

Pn (sin x)
(cos x)n+1

est vraie pour tout n entier.
· P(0) est vraie puisqu'on a montré à la question 1 que pour tout x  I,
f (x) =

P0 (sin x)
1 + sin x
=
cos x
(cos x)1

avec P0 = 1 + X  R[X].
· P(n) = P(n + 1) : si l'on suppose que
x  I

f (n) (x) =

Pn (sin x)
(cos x)n+1

alors
f (n+1) (x) =
=
f (n+1) (x) =

cos x Pn (sin x) × (cos x)n+1 + Pn (sin x)(n + 1)(cos x)n sin x
(cos x)2n+2
Pn (sin x) × (cos x)2 + Pn (sin x)(n + 1) sin x
(cos x)n+2
Pn (sin x) × (1 - sin2 x) + Pn (sin x)(n + 1) sin x
(cos x)n+2

car cos2 x + sin2 x = 1. On obtient donc P(n + 1) en posant
Pn+1 = (1 - X2 ) · Pn + (n + 1)Pn · X