Centrale Maths 2 PC 2018

Thème de l'épreuve Étude de la fonction zêta de Riemann
Principaux outils utilisés comparaison série-intégrale, intégrales à paramètre, probabilités, théorème de convergence dominée
Mots clefs suites de fonctions, séries de fonctions, intégrales généralisées, arithmétique, nombres premiers

Corrigé

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1, Mathématiques 2
":
--/' PC
EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2018

Objectifs et notations

Le fil conducteur du problème est l'étude de certaines questions liées à la 
fonction zêta, notée Ç, définie par

00 1
@@ = n=1"_æ

-- Dans la partie l, on introduit la fonction EUR et on étudie son allure 
(variations, limites, courbe représentative).

-- La partie Il étudie une fonction f définie comme la somme d'une série de 
fonctions. Le développement en
série entière de la fonction f fait intervenir la fonction Ç.

-- La partie III utilise la fonction Ç pour construire une loi de probabilité 
sur IN* et montrer des résultats liant
les probabilités et l'arithmétique.

I Fonction zêta

On note Ç la fonction de la variable réelle 9: définie par

+00 1
C(OE) = Æ
n=l
On note DC son ensemble de définition.
Q 1. Déterminer DÇ.
Q 2. Montrer que C est continue sur ÿç.
Q 3. Étudier le sens de variation de C.
Q 4. Justifier que Ç admet une limite en +oo.
n+1 n
dt 1 dt
Q5. SoitæEURDçetsoitnEURNtelquen22.Montrer: /--<--< --.
tOE nm 759"
n nil
Q 6. En déduire, que pour tout 93 EUR DC,
1 + 1 < Ç( ) < 1 + 1
(oe-1)2H \ oe \ oe--l
Q 7. Déterminer la limite de Ç(3:) lorsque 3: tend vers 1 par valeurs 
supérieures.
Q 8. Déterminer la limite de Ç(a:) lorsque 55 tend vers +oo.
Q 9. Donner l'allure de la courbe représentative de EUR .

II Étude d'une fonction définie par une somme

Dans cette partie, f désigne la fonction définie par

On note Df l'ensemble de définition de f.

II.A -- Ensemble de définition et variations

Q 10. Déterminer DJ».

Q 11. Montrer que f est continue sur Dj et étudier ses variations.

II. B -- Équivalents

Soit [EUR EUR D\l*.
Q 12. Calculer f(k).
Q 13. En déduire un équivalent de f en +00.

Q 14. Pour tout 33 EUR Df, vérifier que 33 + k EUR Dj, puis calculer f(3: + k) 
-- f(x).

Q 15. En déduire un équivalent de f en --k. Quelles sont les limites à droite 
et à gauche de f en --k '?

II.C -- Série entière

On considère la série entière de la variable réelle ac donnée par 2 (--1)'"Ç(k 
+ 1):ck .
kEURN*

Q 16. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière. Y a--t--il 
convergence en :c = ::R '?
Q 17. Montrer que f est de classe C"'°° sur Dj et calculer f(k>(oe) pour tout 
33 EUR Df et tout k EUR *.
Q 18. Montrer qu'il existe A EUR IR*+ tel que

1
* _ (@ g ! A _
VkEURN,VoeEURl 1,1[, lf (OE)l k< +(OE+1)z...)

Q 19. En déduire que f est développable en série entière sur ]--1, 1[ et que

+oo

Vsc EUR ]-1,1[, f(oe) = Z(--1)kç(k + 1)oek

k=1
II. D -- Intégrales

Q 20. Déterminer pour quels 35 EUR [R l'intégrale ci--dessous est convergente

1 1
tm--
dt
/...
0

1
Q 21. En remarquant que, pour tout t EUR [0,1[7 m = 2 t", montrer que
n=0

1
VæEUR]--1,+oo[, f(oe)=/1:tldt
0

Q 22. Déduire des questions précédentes une expression intégrale de Ç(k + 1) 
pour tout k EUR D\l*.
Q 23. Montrer enfin que

+00

1
VlEUREURlN*, ÇUEUR+1)=Ë/
'0

uk

d
e"--1 u

III Probabilités

Rappels d'arithmétique

On rappelle ici quelques propriétés élémentaires d'arithmétique.
-- Pour tout (a, b) EUR D\l*2, on dit que @ divise b s'il existe k EUR IN* tel 
que b : ka. On dit aussi que a est un
diviseur de b, ou encore que b est multiple de a.

Pour tout (1 EUR D\l*, on note alN* l'ensemble des multiples de a dans D\l*. 
Ainsi, et divise b si et seulement si
b EUR aN*.

-- Pour tout (a, b) EUR D\l*2, le plus grand commun diviseur (PGCD) de a et b 
est l'entier naturel noté 0. /\ b tel
que

a /\ b = max {n EUR D\l* tel que n divise @ et n divise b}

-- Pour tout (a, 17) EUR IN*2 et tout n EUR N', on a l'équivalence

n divise @ /\ b (=> n divise @ et n divise b

-- On dit qu'un entier naturel p supérieur ou égal à 2 est un nombre premier si 
ses seuls diviseurs sont 1 et p.
Soit ? l'ensemble des nombres premiers. On rappelle que ? est infini.

On note pl < 192 < p3 < < p,, < pn+1 < la suite des nombres premiers rangés 
dans l'ordre croissant.
Ainsi, pl : 2, p2 : 3, 193 = 5, etc.

-- Si n EUR D\l*, si (11, ..., q,, sont des nombres premiers distincts et, 
alors pour tout @ EUR D\l*, on a l'équivalence
n
(Vi EUR [[1,n]], q, divise a) (=> Hq, divise a
i=1

-- Pour tout 0. EUR IN* tel que a. 2 2, il existe p EUR ? tel que p divise a.

III.A -- Loi zêta

Q 24. Soit 50 EUR [R tel que ce > 1. Montrer qu'on définit la loi de 
probabilité d'une variable aléatoire X à
valeurs dans W en posant

1
Ç(OEW

On dira qu'une telle variable aléatoire X suit la loi de probabilité zêta de 
paramètre x.

VnEUR D\l*, [P(X=n) :

Dans les questions suivantes de cette sous--partie III.A, on suppose que X est 
une variable aléatoire qui suit la
loi zêta de paramètre x > 1.

Q 25. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $ pour que X 
admette une espérance finie.
Exprimer alors cette espérance a l'aide de C.

Q 26. Plus généralement, pour tout [EUR EUR IN, donner une condition nécessaire 
et suffisante portant sur x pour
que X k admette une espérance finie. Exprimer alors cette espérance a l'aide de 
Q.

Q 27. En déduire la variance de X.

1
Q 28. Montrer que, pour tout @ EUR D\l*, [P(X EUR aN*) : Ê'

III.B -- Mutuelle indépendance

Soit 3: un réel tel que sc > 1 et soit X une variable aléatoire qui suit la loi 
zêta de paramètre 93.
Soit enfin (gl, ..., q,,) EUR ?", un n--uplet de nombres premiers distincts.
Q 29. Montrer que les événements (X EUR q1D\l*), ..., (X EUR q,,N*) sont 
mutuellement indépendants.

Cela entraine, et on ne demande pas de le démontrer, que leurs complémentaires 
sont mutuellement indépen--

dants.
n

Pour tout n EUR D\l*, on note Bn l'événement B,, = m (X (;Ë pkù\l*).

k=1
Q 30. Montrer que lim IP(B,,) : IP(X : l). En déduire que
"*)00
l _ " l
VoeEUR]l,+oo[, _: lim 1----
Ç(OE) "n+°° k=1 p£

III.C -- Deus: variables indépendantes suivant une loi zêta

Soit 95 EUR [R tel que oe > 1. Soient X et Ydeux variables aléatoires 
indépendantes suivant chacune une loi de
probabilité zêta de paramètre 35. Soit A l'événement « Aucun nombre premier ne 
divise X et Ysimultanément ».

Pour tout n EUR N', on note C,, l'événement
0. = 0 ((X $ p.N*> u (Y & p.N*>)
k=1

Q 31. Exprimer l'événement A à l'aide des événements C'". En déduire que

II.D -- Dean: variables indépendantes suivant une loi uniforme

Soient Un et Vn deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme 
sur |Ïl, n]]. On note Wn : Un AV".
Q 32. Pour tout [EUR E W, montrer que

71

[Pan EUR klN*) : (ln/M )2

On admet que, pour tout [EUR E W, la suite (IP(W

" = k)),OEW converge vers un réel @.
Q 33. Montrer que

VE>Û, EMEN*telqueVmEURN*,màM=>l--e< êkg1

k=l
Q 34. En déduire que (Æk)kEURw définit une loi de probabilité sur D\l*.

On note W une variable aléatoire sur IN* qui suit cette loi de probabilité. En 
adaptant la méthode de la
question 33, on peut établir que, pour tout partie B de D\l*, [P(W E B) : lim 
[P(Wn E B). On ne demande pas
n-->oo

de démontrer ce résultat.

Enfin, on admet le résultat suivant : si X et Ysont deux variables aléatoires à 
valeurs dans IN* et si, pour tout
a E W, IP(X EUR alN*) : [P(Y EUR alN*), alors X et Yont la même loi de 
probabilité.

Q 35. Préciser la loi de W. En considérant Ë1, que peut--on alors en conclure ?

oooFlNooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Clément
Mifsud (professeur en CPGE) et Sophie Rainero (professeur en CPGE).

Ce sujet a pour objet la fonction  de Riemann, définie par la somme de la série
de fonctions
+
P 1
 : x 7-
x
n=1 n

Cette fonction est importante en mathématiques ; elle intervient notamment en 
arithmétique dans l'étude des nombres premiers.
· Dans la première partie, on étudie  sur son ensemble de définition. Cela peut
sembler facile ; néanmoins, il faut rédiger de manière rigoureuse.
· La deuxième partie introduit la fonction auxiliaire

+
P
1
1
f : x 7-
-
n
n=1 n + x

L'ensemble de définition de f n'étant pas un intervalle, l'étude de la fonction 
f
demande un peu de prudence. Ensuite, on fait le lien entre le développement
en série entière de f et la fonction . Il en découle une expression sous forme
intégrale de (k) pour k  N et k > 2.

· Enfin, la troisième partie allie, avec élégance, les probabilités, 
l'arithmétique
et la fonction . Comme il y a très peu d'arithmétique au programme de PC,
le sujet introduit toutes les notions et propriétés nécessaires. Après avoir 
défini
deux variables aléatoires, on s'intéresse à la probabilité que deux entiers 
tirés
au hasard soient premiers entre eux (c'est-à-dire que 1 soit leur seul diviseur
positif commun). On établit un lien entre la fonction  et les nombres premiers.
La dernière question, point d'orgue du sujet, montre que si on tire deux entiers
de manière uniforme dans [[ 1 ; n ]], alors la probabilité qu'ils soient 
premiers
entre eux tend vers 1/(2) lorsque n  +.
Ce sujet est un beau problème d'analyse. Certaines questions assez techniques ­
comme la dérivation des intégrales à paramètre ­ sont à faire très 
méticuleusement,
mais cet effort sera récompensé en fin de problème par l'obtention de jolis 
résultats.
On peut ainsi proposer ce sujet d'une part comme outil de révision des séries de
fonctions, des intégrales à paramètre, des fonctions développables en série 
entière et
des probabilités, et d'autre part, pour être émerveillé par les mathématiques.

Indications
Partie I
2 Montrer la convergence normale sur tout segment de D .
Partie II
10 Déterminer l'ensemble des réels x tels que pour tout n  N , n + x 6= 0.
11 Montrer que f est décroissante sur tout intervalle I tel que I  Df .
12 Pour m  N , exprimer f (m) en fonction de f (m - 1).
13 Utiliser la question précédente pour trouver un équivalent de f (M) quand M 
tend
vers +. En déduire un candidat naturel pour un équivalent de f (x) quand x
tend vers +, puis prouver que ce candidat est bien un équivalent.
14 Pour m  N , écrire f (x + m) en fonction de f (x + m - 1).
15 Dans la relation trouvée à la question 14, isoler le terme (x + k)-1 .
16 Utiliser le critère de d'Alembert.
17 Appliquer le théorème de dérivabilité k-ième des séries.
19 Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral.
22 Appliquer le théorème de dérivabilité k-ième des intégrales à paramètre pour
dériver k fois la fonction f , puis utiliser la question 19.
Partie III
27 Calculer la variance de X grâce à V(X) = E(X2 ) - E(X)2 .
29 Utiliser l'équivalence de l'énoncé sur les nombres premiers divisant un 
entier ainsi
que la question 28.
30 Appliquer le théorème de continuité monotone pour l'intersection 
d'événements,
puis utiliser la question 28.
31 Montrer que les n événements (X  pi N )  (Y  pi N ), pour i  [[ 1 ; n ]], 
sont
mutuellement indépendants.
!
+
T
33 En utilisant la question 32, majorer, pour tous m, n  N , P
(Wn = k)
k=m+1

par une quantité qui ne dépend pas de n.

35 Comparer W avec une variable aléatoire de loi  de paramètre 2.

I. Fonction zêta
1 Soit x  R. La série
1/nx est une série de Riemann de paramètre x. D'après
le cours, cette série converge si et seulement si x > 1. Ainsi,
P

D = ] 1 ; + [
2 Pour tout n  N , notons n : x 7- n-x définie sur ] 1 ; + [. Ainsi
+

x  ] 1 ; + [ = D

(x) =

P

n (x)

n=1

Appliquons le théorème de continuité des séries de fonctions.
· Pour tout n  N , la fonction n est continue sur I.
+ [ avec  < . Montrons la convergence normale de la
· Soient ,   ] 1 ;P
série de fonctions
n sur I = [  ;  ]. Pour tout n  N , n est une fonction
positive et décroissante sur I, ainsi

sup |n (x)| = sup n (x) = n ()
xI

xI

P
sup |n (x)| converge. Par conséquent, n
xI
P
converge normalement donc uniformément sur I. Ainsi, la série
n converge
uniformément vers  sur tout segment de D .
Comme   D , on en déduit que

P

Le théorème de continuité des séries de fonctions permet de conclure que
La fonction  est continue sur D .

3 Soient x, y  ] 1 ; + [ et n  N . On suppose que x < y et n > 2. Alors 1x = 1y
et n-x > n-y . Par combinaison de séries convergentes, on en déduit que

+
P
1
1
(x) - (y) =
-
x
ny
n=1 n

+
P
1
1
1
1
= x- y +
-
x
2
2
ny
n=3 n
1
1
1
1
car pour tout n  N , x - y > 0
> x- y
2
2
n
n
1
1
(x) - (y) > 0
car x - y > 0
2
2
La fonction  est strictement décroissante sur D .
Attention à ne pas raisonner de la manière suivante :
M  N ,

M
P

n-y <

n=1

M
P

n-x

n=1

donc par passage à la limite lorsque M tend vers +
(y) < (x)
En effet, les inégalités strictes ne passent pas à la limite. C'est pour cela
qu'un terme strictement positif a été isolé dans l'expression de (x) - (y).
4 Grâce à la question 3, on sait que la fonction  est décroissante sur ] 1 ; + 
[.
De plus, la fonction  est positive, car pour tout x  D , (x) est une somme de

termes positifs. On en déduit que  est minorée par 0. D'après le théorème de la
limite monotone, on a montré que
La fonction  admet une limite finie en +.
L'énoncé ne précise pas s'il veut qu'on démontre l'existence d'une limite finie
ou pas. Dans le doute, on recommande de démontrer que la limite est finie.
5 Soit x  D = ] 1 ; + [. Considérons n  N tel que n > 2. La fonction t 7- t-x
étant décroissante sur ] 0 ; + [, elle est décroissante sur [ n - 1 ; n + 1 ]  
] 0 ; + [.
On en déduit que pour tout t  [ n ; n + 1 ], t-x 6 n-x donc par croissance de
l'intégrale, il vient
Z n+1
1
t-x dt 6 x
n
n
La majoration s'obtient de même en intégrant sur [ n - 1 ; n ] l'inégalité t-x 
> n-x .
x  D

n  N

n>2

=

Z

n+1

n

1
1
dt 6 x 6
tx
n

Z

n

1

n-1 t

x

dt

6 Soient x  D = ] 0 ; + [ et M  N avec M > 2. En sommant les inégalités
obtenues à la question précédente pour n  [[ 2 ; M ]], on a
Z n+1
Z n
M 1
M
M
P
P
P
1
1
dt
6
6
dt
x
x
x
t
n=2 n
n=2 n
n=2 n-1 t
En utilisant la relation de Chasles, il vient
Z M+1
Z M
M 1
P
1
1
dt
6
6
dt
x
x
x
t
n
t
n=2
2
1

Ajoutons 1 = 1x à chacun des membres de la ligne ci-dessus, puis calculons les
intégrales des membres de droite et de gauche. Comme x  D , en particulier, x 
6= 1,
on obtient
M 1
P
(M + 1)1-x
21-x
M1-x
1
-
6
6
-
+1
1+
1-x
1 - x n=1 nx
1-x
1-x

Lorsque M tend vers +, M1-x et (M+1)1-x convergent vers 0 car x > 1. Par passage
à la limite, on en conclut que
x  D

1+

1
1
6 (x) 6 1 +
(x - 1)2x-1
x-1

7 Lorsque x tendvers 1+ , par continuité de x 7- (x - 1)2x-1 en 1+ , (x - 1)2x-1
tend vers 0+ , donc (x - 1)2x-1 -1 tend vers +. D'après la question 6, la 
fonction 
est ainsi minorée par une fonction tendant vers + en 1+ . On en déduit que
La fonction  tend vers + en 1+ .
8  Lorsque x tend vers +, x - 1 et 2x-1 tendent vers +. Ainsi, (x - 1)-1
et (x - 1)2x-1 -1 tendent vers 0 lorsque x tend vers +. En appliquant le 
théorème
d'encadrement au résultat de la question 6, on en déduit que
La fonction  tend vers 1 en +.