Centrale Maths 2 PC 2017

Thème de l'épreuve Vitesse de convergence d'une suite réelle et loi faible des grands nombres
Principaux outils utilisés suites et séries numériques, suites récurrentes, variables aléatoires, loi faible des grands nombres, intégrales généralisées
Mots clefs vitesse de convergence d'une suite réelle, moment exponentiel d'une variable aléatoire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î, '» Mathématiques 2 l' %, '--| __/ PCC tnncuuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N L'objet du problème est une étude de la vitesse de convergence de suites réelles. Dans la partie l, on définit la vitesse de convergence d'une suite à valeurs réelles et on en étudie quelques propriétés. Le but de la partie Il est d'obtenir, dans différents cas issus des probabilités, des majorations de suites convergentes vers 0. Les parties 1 et Il sont indépendantes. I Vitesse de convergence d'une suite réelle Dans cette partie, on utilisera les notations suivantes : N désigne l'ensemble des entiers naturels ; [RN désigne l'espace vectoriel des suites définies sur N à valeurs réelles ; E désigne le sous--ensemble de R'" constitué des suites (u,,)nEUR[N convergentes telles que ENEN, Vk}N, uk7É lim un n*>OO a toute suite (un)nEUR,N appartenant à E et de limite égale à EUR , on associe la suite (uä)nEURN définie à partir d'un certain rang par _ un+1_£ un--Ë EC désigne l'ensemble des éléments (un)nEURN de E telles que (uâ)nEURN soit convergente ; soit (un)"GN une suite appartenant à EC et soit EUR" la limite de (uâ)nEURN ; on dit que la vitesse de convergence de la suite (u,,)neN est : . lente si EUR" : 1, . géométrique de rapport ËC si Ë° EUR ]0, 1l, . rapide si ËC : 0 ; soit (un)nEUR[N une suite appartenant à E et de limite égale à EUR, et soit 7" un réel strictement supérieur à 1 ; on dit que la vitesse de convergence de la suite (un)new vers EUR est d'ordre 7" si la suite définie à partir d'un un+1 _ EUR lun _ El?" on rappelle qu'une suite (un)nEURN est stationnaire si Eno EUR Ù\l, Vn ) no, un : u certain rang par est bornée ; TLÛ' I.A + Des résultats générauoe I.A.l) Montrer que l'ensemble EC est non vide. I.A.2) L'ensemble EC est--il un sous--espace vectoriel de IRN '? I.A.3) Montrer que EC est strictement inclus dans E. I.A.4) Soit (un)nEURN un élément de EC. Montrer que ÆC appartient au segment {O, 1]. LB + Eæemples de calcul de vitesse de convergence I.B.1) Soit le un entier strictement positif et q un réel appartenant à l'intervalle ]0, 1l. Montrer que les suites ( (n + 1)k 1 1 ) , (nkqn) et (_|) appartiennent à EC et donner leur vitesse de convergence. nEN nEURlN TL. nEN 1 2" I.B.2) On considère la suite (vn)nEURÏN définie par Vn G N, on : (1 + +) . . . . e 1 a) Montrer qu'au v01smage de +00, Un : e -- 2n+1 + 0 <-->. 277, 277, b) Montrer que la suite (Un) appartient a EC et donner sa vitesse de convergence. 2017--03--02 09:50:48 Page 1/4 (CC) BY--NC-SA +oo I.B.3) On considère la suite (In)nEURN définie par 10 = 0 et Vn E N'", I,, : / ln (l + %) e" dac. 0 a) Montrer que la suite (In) est bien définie et appartient a E. b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la suite (L,) appartient a EC et donner sa vitesse de convergence. I.B.4) Sort oz un reel strictement superieur a 1. La serie de Riemann E --a converge vers un reel que l'on n 7121 n 1 notera EUR. On note (S,,)nEUR[N la suite définie par So : 0 et Vn ) 1, S,, : Z k--a. k=1 1 1 1 1 a) Montrer que Vn ; 1, < EUR S,, < a--1(n+1)a*1\ a-1ncH' b) En déduire que (Sn)nEURN appartient a EC et donner sa vitesse de convergence. LC * Vitesse de convergence d'ordre r d'une suite réelle I.C.1) Soit (an),,GN un élément de E dont la vitesse de convergence est d'ordre 7", où r est un réel strictement supérieur à 1. Montrer que la convergence de la suite (un)nEURN est rapide. 1.0.2) " 1 a) Montrer que la suite (Sn)neN définie par Vn E N, S,, = F est un élément de E. On note 5 la limite de cette suite. ko 17) Montrer ue our tout entier naturel n on a 1 < 5 S < 1 +00 1 q p ' ...+1)!\ "\(n+1)!k=02k' c) En déduire que la convergence de la suite (Sn)nEURN est rapide. d) Soit r un réel strictement supérieur a 1. Montrer que la convergence de la suite (S,,)nEURN vers 5 n'est pas d'ordre 7". I.C.3) On considère ] un intervalle réel de longueur strictement positive, f une application définie sur I à valeurs dans [et (un)nEURN une suite définie par no EUR I et Vn EUR IN, un+1 : f(un). On suppose que la suite (un)"Ew converge vers un élément EUR de I et que f est dérivable en EUR . (1) Montrer que f(Ë) : EUR. I)) Montrer que si la suite (u,,)nEURN n'est pas stationnaire alors elle appartient a EC. Donner sa vitesse de convergence en fonction de f'(Ë). 0) Montrer que si |f'(Ë)| > 1, alors (un)nEURN est stationnaire. d) Soit 1" un entier supérieur ou égal à 2. On suppose que la fonction f est de classe EUR" sur I et que la suite (an),,GN n'est pas stationnaire. Montrer que la vitesse de convergence de (un)nEURN est d'ordre r si et seulement si Vk @ {1,2, ...,r -- 1}, f<'"(Æ) : 0. II Autour de la loi faible des grands nombres Dans cette partie, toutes les variables aléatoires sont réelles discrètes et définies sur le même espace probabilisé (Q, A, [P). Pour toute variable aléatoire X d'espérance finie, on note - (X ) l'espérance de X. Soit 04 un réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire réelle discrète X admet un moment exponentiel d'ordre Oz si la variable aléatoire @"W est d'espérance finie. On pourra utiliser les deux propriétés suivantes sans avoir besoin de les démontrer. Soit n un entier strictement positif et soit X 1, ..., X... n variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes. Alors : -- si f est une application définie sur R à valeurs réelles, alors f (X 1), ..., f (X") sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes ; 'ÏL -- si les n variables aléatoires X 1, ..., X n sont d'espérance finie, alors la variable aléatoire H X ,- est d'espérance finie et ' -(etX ) est définie et continue sur le segment {--a, oz]. 17) Montrer que la fonction \11 est dérivable sur l'intervalle ]--a, 04 et déterminer sa fonction dérivée. II.C.3) On considère l'application fs définie par f _ {--oz,oz] --> [R+ 5' ti-->e*txÿ(t) a) Donner les valeurs de f5(0) et fg(0). b) En déduire qu'il existe un réel to appartenant à l'intervalle ]0, oz{ vérifiant 0 < fE(to) < 1. II.C.4) Montrer que pour tout réel t appartenant au segment {--a, oz] et tout n appartenant à D\l*, la variable aléatoire réelle ets" admet une espérance égale à (\I/(t))". 2017--03--02 09:50:48 Page 3/4 l@_ 11.0.5) a) Soit 75 un réel appartenant à l'intervalle ]0, a] et soit n appartenant à N*. Montrer que [P (à ? m +5) : "° (e'S" ? (etlm's')n)a puis que P (à 2 m +5) < (fe(t))n- TL TL S' b) En déduire qu'il existe un réel ?" appartenant à l'intervalle ]0, 1{ tel que Vn EUR N*, ? (--" 2 m + EUR) < r". n _n_m II.C.6) Montrer que la suite définie par: Vn EUR B\l*, ? ( TL nulle et dont la vitesse de convergence est géométrique. Comparer ce résultat a la majoration obtenue avec la loi faible des grands nombres. 2 EUR) Dans cette sous--partie II.D, on suppose qu'il existe un réel 0 strictement positif tel que la variable aléatoire réelle discrète X vérifie , (X) = 0 et Vw EUR Q, |X(w)| < 0. II.D.1) Montrer que la variable aléatoire X admet un moment exponenti0l d'ordre oz pour tout réel oz stricte-- ment positif. ) EUR) est majorée par une suite de limite Sn II.D + Une majoration de P ( n Les fonctions \Il et fE des questions II.C.2 et H.C.3 sont ainsi définies sur R. 1 X II.D.2) On considère Yla variable aléatoire réelle définie par Y : ë -- 2--. c a) Vérifier que X : --cY + (1 -- Y)c. b) Montrer que eX < YefC + (1 -- Y)e9 II.D.3) a) Montrer que - (ex) g cosh(c). b) En déduire que Vt EUR [R+*, 'Il(t) < c0sh(ct). 1 II.D.4) Montrer que Vt EUR IR", fE(t) < exp(--tEUR + ëc2t2). S TL 'ÏL EUR2 } EUR) < 2exp(--nfi). II.D.6) Soit n un entier naturel non nul, p un élément de l'intervalle ]0, 1{ et Z une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (n, p). II.D.5) Montrer que Vn EUR Ù\l*, Ü°( \ Z A l'aide de la question précédente, majorer P ('-- -- p' 2 EUR) en fonction de n, p et 5. n oooFlNooo 2017--03--02 09:50:48 Page 4/4 (CC) BY--NC-SA

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 Centrale Maths 2 PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (professeur en CPGE) ; il a été relu par Alban Levy (docteur en mathématiques) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). Ce sujet traite de la vitesse de convergence des suites réelles et en particulier de majorations de probabilités par des suites de limite nulle, ayant différentes vitesses de convergence, notamment dans le cadre de la loi faible des grands nombres. · La première partie traite de suites réelles convergentes et sans sous-suite stationnaire. Pour une telle suite u de limite , on s'intéresse à l'éventuelle limite c de la suite de terme général |un+1 - |/|un - |, définie au moins à partir d'un certain rang. Lorsque c existe, sa valeur permet de définir la vitesse de convergence de la suite u : lente lorsque c = 1, géométrique lorsque c ] 0 ; 1 [, rapide lorsque c = 0. On démontre des résultats généraux sur la vitesse de convergence et on étudie de nombreux exemples : suites de référence, suite d'intégrales généralisées, suites des sommes partielles de séries de Riemann convergentes, suite des sommes partielles d'une série exponentielle, suite récurrente définie par une relation de la forme un+1 = f (un ). · Dans la seconde partie, on établit d'abord trois résultats préliminaires d'analyse, tous indépendants. On s'intéresse ensuite à des variables aléatoires X admettant un moment exponentiel d'ordre pour > 0, c'est-à-dire telles que la variable aléatoire e |X| ait une espérance finie. On étudie dans un premier temps le cas de variables aléatoires suivant des lois du programme : loi de Poisson, loi géométrique, loi binomiale. On considère ensuite des suites (Xk )k>1 de variables aléatoires indépendantes et de même loi, vérifiant certaines hypothèses. En notant Sn la somme X1 + · · · + Xn pour n N et m l'espérance commune des Xk , on majore la probabilité P(|Sn /n - m| > ). On fait d'abord appel à l'inégalité donnée par la loi faible des grands nombres, puis on établit une majoration par une suite de limite nulle dont la convergence est plus rapide. Enfin, on traite le cas où m = 0, pour lequel on fait appel à la notion de convexité sans la nommer et sans avoir besoin de connaissances préalables sur cette notion qui n'est pas au programme. À l'exception de la question I.B.3 qui utilise la notion d'intégrale généralisée, la partie I peut être traitée dès la première année de classes préparatoires. La seconde partie nécessite d'avoir étudié les probabilités de deuxième année, ainsi que les séries de fonctions et les séries entières. Ce sujet est un peu long mais ne comporte aucune difficulté majeure. C'est un bon problème d'entraînement qui fait appel à de nombreuses notions d'analyse et probabilité des programmes de PCSI et PC. Indications I.A.3 Construire une suite u de limite nulle telle que u2n = u2n+1 pour tout n N. I.A.4 On pourra procéder par l'absurde pour montrer que c 6 1. I.B.2.b Utiliser le développement asymptotique de la question I.B.2.a pour trouver un équivalent de vn - e puis de vnc quand n tend vers +. I.B.3.a Appliquer le théorème de convergence dominée. I.B.3.b Suivre l'indication de l'énoncé puis appliquer encore le théorème de convergence dominée pour trouver un équivalent de In quand n tend vers +. I.B.4.a Penser à une comparaison série/intégrale. I.B.4.b Trouver un équivalent de Sn puis de Scn à l'aide de l'encadrement précédent. I.C.1 Majorer la suite (ucn )nN par une suite de limite nulle. I.C.2.d Procéder par l'absurde. I.C.3.b Pour montrer que u E, vérifier que s'il existe n N tel que un = , alors u est stationnaire. Écrire ensuite ucn à l'aide d'un taux d'accroissement pour étudier sa limite. I.C.3.c Utiliser les questions I.C.3.b et I.A.4. I.C.3.d Faire appel à la formule de Taylor-Young. II.A.2 On peut démontrer à l'aide d'une étude de fonctions que, pour tout réel t dans [ 0 ; 1 ], e (b-a)(1-t) 6 t + (1 - t)e b-a et en déduire le résultat voulu. II.B.2 Se servir du théorème de transfert à la fois pour caractériser l'existence des espérances et pour les calculer. II.C.1.a Vérifier que, pour u > 0, u 6 e u puis majorer |X| par une variable aléatoire d'espérance finie. II.C.1.b Justifier que X admet un moment d'ordre 2 à l'aide du développement en série entière de l'exponentielle. II.C.2.a Utiliser le théorème de continuité des séries de fonctions. II.C.2.b Intuitivement, on s'attend à ce que la dérivée de la fonction t 7- E(e tX ) d d e tX . soit la fonction t 7- E(X e tX ), c'est-à-dire à E(e tX ) = E dt dt Pour le démontrer rigoureusement, appliquer le théorème de la classe C 1 des séries de fonctions en utilisant la question II.A.3.b pour majorer les dérivées. II.C.3.b Démontrer que f est strictement décroissante au voisinage de 0+ . II.C.4 Utiliser les deux propositions rappelées et admises dans l'énoncé. II.C.5.a Penser à l'inégalité de Markov. II.C.5.b Se servir des questions II.C.5.a et II.C.3.b. II.C.6 Écrire l'ensemble (|Sn /n - m| > ) comme une réunion et utiliser la question II.C.5.b pour les familles (Xk )k>1 et (-Xk )k>1 . II.D.2.b Faire appel à la question II.A.2. II.D.3.a Appliquer l'inégalité de la question II.D.2.b. II.D.5 Reprendre la démarche de la question II.C.6 et utiliser les questions II.D.3.b et II.D.4. Choisir ensuite le réel t > 0 qui donne le meilleur majorant. II.D.6 Se souvenir qu'une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n et p a même loi que la somme de n variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre p. Introduire une famille de variables aléatoires (Xk )k>1 de loi de Bernoulli de paramètre p, mutuellement indépendantes, puis la famille (Xk - p)k>1 . I. Vitesse de convergence d'une suite réelle I.A.1 Soit u la suite définie par n N un = 1 n+1 La suite u appartient à RN , elle converge vers 0 et tous ses termes sont non nuls donc c'est un élément de E. De plus, n N un+1 - 0 1/(n + 2) n+1 = = un - 0 1/(n + 1) n+2 ucn = La suite (ucn )nN converge donc vers 1, ce qui implique que u Ec . On a par conséquent prouvé que L'ensemble Ec est non vide. I.A.2 La suite nulle est l'élément nul de RN . Or, elle n'est pas dans E, puisqu'elle est constante et égale à sa limite, elle n'est donc pas dans Ec . Par conséquent L'ensemble Ec n'est pas un sous-espace vectoriel de RN . En notant u la suite introduite à la question I.A.1, on remarque aussi que u-u n'appartient pas à Ec , ce qui prouve que Ec n'est pas stable par combinaison linéaire. I.A.3 Pour établir que Ec est strictement inclus dans E, il suffit de trouver un élément de E qui n'est pas dans Ec car, par définition, Ec est inclus dans E. Pour construire un élément de E qui n'est pas dans Ec , on cherche pour simplifier une suite de limite nulle, à termes différents de 0 au moins à partir d'un certain rang, qui ne doit pas être dans Ec , c'est-à-dire que la suite de terme général un+1 /un ne doit pas avoir de limite. On peut alors se souvenir des exemples de suites donnés dans le cours pour lesquels la règle de d'Alembert ne s'applique pas, ou bien fabriquer simplement, comme dans l'exemple ci-dessous, une suite de limite nulle pour laquelle les quotients un+1 /un ont des valeurs différentes selon la parité de n. Définissons la suite u telle que 1 3n Les deux suites extraites d'indices pairs et impairs sont alors convergentes et ont toutes deux pour limite 0 ; on en déduit que la suite u converge vers cette limite commune, c'est-à-dire 0. Comme tous les termes de la suite sont non nuls, on peut déjà affirmer que u appartient à E. De plus, pour tout n N, n N uc2n = et uc2n+1 = u2n = u2n+1 = u2n+1 - 0 u2n+1 = =1 u2n - 0 u2n u2n+2 - 0 u2n+2 1 = = u2n+1 - 0 u2n 3 Puisque les deux suites extraites (uc2n )nN et (uc2n+1 )nN ont des limites différentes, la suite (ucn )nN n'est pas convergente et ainsi u 6 Ec . Comme on a construit un élément de E qui n'est pas dans Ec , on peut conclure que L'ensemble Ec est strictement inclus dans E. I.A.4 Soit u Ec , notons sa limite. Par définition, un+1 - un - Soit n0 N tel que, pour tout n > n0 , un 6= . Pour tout n > n0 , ucn est bien défini et ucn > 0. Par passage à la limite dans cette inégalité, il vient c > 0. Démontrons ensuite par l'absurde que c 6 1. Supposons que c > 1. Soit r ] 1 ; c [ (qui est non vide puisque 1 < c ). Comme la suite (ucn )nN tend vers c , il existe un rang n1 > n0 tel que, pour tout n > n1 , ucn > r. Ainsi, pour tout n > n1 , c = lim ucn = lim n+ n+ |un+1 - | > r |un - | Il en découle, à l'aide d'une récurrence immédiate, que n > n1 |un - | > rn-n1 |un1 - | Or, r > 1, donc la suite géométrique (rn-n1 |un1 - |)n>n1 tend vers + (on sait que un1 est différent de puisque n1 > n0 ). Par comparaison, il s'ensuit que la suite (|un - |)n>1 tend aussi vers +, ce qui est absurde car (un )nN tend vers . On en conclut que c 6 1 et finalement que Si u Ec , alors lim ucn [ 0 ; 1 ]. n+ I.B.1 Soient k N et q ] 0 ; 1 [. Posons 1 u= v = (nk q n )nN (n + 1)k nN et w= 1 n! nN et étudions la convergence et la vitesse de convergence de ces trois suites. Observons dans un premier temps que les suites u, v et w sont des suites réelles de limite nulle, à termes strictement positifs ; ce sont donc des éléments de E. · Vitesse de convergence de la suite u : pour tout n N, ucn = un+1 - 0 un+1 1/(n + 2)k (n + 1)k = = = = k un - 0 un 1/(n + 1) (n + 2)k 1- 1 n+2 k La suite (ucn )nN converge vers 1, par conséquent u Ec et c = 1. La suite 1/(n + 1)k nN est dans Ec et sa vitesse de convergence est lente. · Vitesse de convergence de la suite v : pour tout n N, k vn+1 - 0 vn+1 (n + 1)k q n+1 1 = = = q 1 + vnc = vn - 0 vn nk q n n La suite (vnc )nN converge vers q, par conséquent v Ec et c = q. La suite (nk q n )nN est dans Ec et sa vitesse de convergence est géométrique de rapport q. · Vitesse de convergence de la suite w : pour tout n N, wnc = wn+1 - 0 wn+1 1/(n + 1)! n! 1 = = = = wn - 0 wn 1/n! (n + 1)! n+1 La suite (wnc )nN converge vers 0, par conséquent w Ec et c = 0. La suite (1/n!)nN est dans Ec et sa vitesse de convergence est rapide.