Centrale Maths 2 PC 2017

Thème de l'épreuve Vitesse de convergence d'une suite réelle et loi faible des grands nombres
Principaux outils utilisés suites et séries numériques, suites récurrentes, variables aléatoires, loi faible des grands nombres, intégrales généralisées
Mots clefs vitesse de convergence d'une suite réelle, moment exponentiel d'une variable aléatoire

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%, '--|
__/ PCC

tnncuuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

L'objet du problème est une étude de la vitesse de convergence de suites 
réelles. Dans la partie l, on définit la
vitesse de convergence d'une suite à valeurs réelles et on en étudie quelques 
propriétés. Le but de la partie Il
est d'obtenir, dans différents cas issus des probabilités, des majorations de 
suites convergentes vers 0.

Les parties 1 et Il sont indépendantes.

I

Vitesse de convergence d'une suite réelle

Dans cette partie, on utilisera les notations suivantes :

N désigne l'ensemble des entiers naturels ;
[RN désigne l'espace vectoriel des suites définies sur N à valeurs réelles ;
E désigne le sous--ensemble de R'" constitué des suites (u,,)nEUR[N 
convergentes telles que

ENEN, Vk}N, uk7É lim un
n*>OO

a toute suite (un)nEUR,N appartenant à E et de limite égale à EUR , on associe 
la suite (uä)nEURN définie à partir d'un
certain rang par

_ un+1_£
un--Ë

EC désigne l'ensemble des éléments (un)nEURN de E telles que (uâ)nEURN soit 
convergente ;

soit (un)"GN une suite appartenant à EC et soit EUR" la limite de (uâ)nEURN ; 
on dit que la vitesse de convergence
de la suite (u,,)neN est :

. lente si EUR" : 1,

. géométrique de rapport ËC si Ë° EUR ]0, 1l,

. rapide si ËC : 0 ;

soit (un)nEUR[N une suite appartenant à E et de limite égale à EUR, et soit 7" 
un réel strictement supérieur à 1 ;
on dit que la vitesse de convergence de la suite (un)new vers EUR est d'ordre 
7" si la suite définie à partir d'un
un+1 _ EUR
lun _ El?"

on rappelle qu'une suite (un)nEURN est stationnaire si Eno EUR Ù\l, Vn ) no, un 
: u

certain rang par est bornée ;

TLÛ'

I.A + Des résultats générauoe

I.A.l) Montrer que l'ensemble EC est non vide.

I.A.2) L'ensemble EC est--il un sous--espace vectoriel de IRN '?

I.A.3) Montrer que EC est strictement inclus dans E.

I.A.4) Soit (un)nEURN un élément de EC. Montrer que ÆC appartient au segment 
{O, 1].

LB + Eæemples de calcul de vitesse de convergence

I.B.1) Soit le un entier strictement positif et q un réel appartenant à 
l'intervalle ]0, 1l. Montrer que les suites

(

(n + 1)k

1 1
) , (nkqn) et (_|) appartiennent à EC et donner leur vitesse de convergence.
nEN nEURlN TL. nEN

1 2"
I.B.2) On considère la suite (vn)nEURÏN définie par Vn G N, on : (1 + +) .

. . . e 1
a) Montrer qu'au v01smage de +00, Un : e -- 2n+1 + 0 <-->.

277,

277,

b) Montrer que la suite (Un) appartient a EC et donner sa vitesse de 
convergence.

2017--03--02 09:50:48 Page 1/4 (CC) BY--NC-SA

+oo

I.B.3) On considère la suite (In)nEURN définie par 10 = 0 et Vn E N'", I,, : / 
ln (l + %) e" dac.
0

a) Montrer que la suite (In) est bien définie et appartient a E.

b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la suite (L,) appartient 
a EC et donner sa vitesse de
convergence.

I.B.4) Sort oz un reel strictement superieur a 1. La serie de Riemann E --a 
converge vers un reel que l'on
n

7121
n 1
notera EUR. On note (S,,)nEUR[N la suite définie par So : 0 et Vn ) 1, S,, : Z 
k--a.
k=1
1 1 1 1
a) Montrer que Vn ; 1, < EUR S,, < a--1(n+1)a*1\ a-1ncH' b) En déduire que (Sn)nEURN appartient a EC et donner sa vitesse de convergence. LC * Vitesse de convergence d'ordre r d'une suite réelle I.C.1) Soit (an),,GN un élément de E dont la vitesse de convergence est d'ordre 7", où r est un réel strictement supérieur à 1. Montrer que la convergence de la suite (un)nEURN est rapide. 1.0.2) " 1 a) Montrer que la suite (Sn)neN définie par Vn E N, S,, = F est un élément de E. On note 5 la limite de cette suite. ko 17) Montrer ue our tout entier naturel n on a 1 < 5 S < 1 +00 1 q p ' ...+1)!\ "\(n+1)!k=02k' c) En déduire que la convergence de la suite (Sn)nEURN est rapide. d) Soit r un réel strictement supérieur a 1. Montrer que la convergence de la suite (S,,)nEURN vers 5 n'est pas d'ordre 7". I.C.3) On considère ] un intervalle réel de longueur strictement positive, f une application définie sur I à valeurs dans [et (un)nEURN une suite définie par no EUR I et Vn EUR IN, un+1 : f(un). On suppose que la suite (un)"Ew converge vers un élément EUR de I et que f est dérivable en EUR . (1) Montrer que f(Ë) : EUR. I)) Montrer que si la suite (u,,)nEURN n'est pas stationnaire alors elle appartient a EC. Donner sa vitesse de convergence en fonction de f'(Ë). 0) Montrer que si |f'(Ë)| > 1, alors (un)nEURN est stationnaire.

d) Soit 1" un entier supérieur ou égal à 2. On suppose que la fonction f est de 
classe EUR" sur I et que la suite

(an),,GN n'est pas stationnaire. Montrer que la vitesse de convergence de 
(un)nEURN est d'ordre r si et seulement
si Vk @ {1,2, ...,r -- 1}, f<'"(Æ) : 0. II Autour de la loi faible des grands nombres Dans cette partie, toutes les variables aléatoires sont réelles discrètes et définies sur le même espace probabilisé (Q, A, [P). Pour toute variable aléatoire X d'espérance finie, on note - (X ) l'espérance de X. Soit 04 un réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire réelle discrète X admet un moment exponentiel d'ordre Oz si la variable aléatoire @"W est d'espérance finie. On pourra utiliser les deux propriétés suivantes sans avoir besoin de les démontrer. Soit n un entier strictement positif et soit X 1, ..., X... n variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes. Alors : -- si f est une application définie sur R à valeurs réelles, alors f (X 1), ..., f (X") sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes ; 'ÏL -- si les n variables aléatoires X 1, ..., X n sont d'espérance finie, alors la variable aléatoire H X ,- est d'espérance finie et ' -(etX ) est définie et continue sur le 
segment {--a, oz].

17) Montrer que la fonction \11 est dérivable sur l'intervalle ]--a, 04 et 
déterminer sa fonction dérivée.

II.C.3) On considère l'application fs définie par

f _ {--oz,oz] --> [R+
5' ti-->e*txÿ(t)

a) Donner les valeurs de f5(0) et fg(0).
b) En déduire qu'il existe un réel to appartenant à l'intervalle ]0, oz{ 
vérifiant 0 < fE(to) < 1. II.C.4) Montrer que pour tout réel t appartenant au segment {--a, oz] et tout n appartenant à D\l*, la variable aléatoire réelle ets" admet une espérance égale à (\I/(t))". 2017--03--02 09:50:48 Page 3/4 l@_ 11.0.5) a) Soit 75 un réel appartenant à l'intervalle ]0, a] et soit n appartenant à N*. Montrer que [P (à ? m +5) : "° (e'S" ? (etlm's')n)a puis que P (à 2 m +5) < (fe(t))n- TL TL S' b) En déduire qu'il existe un réel ?" appartenant à l'intervalle ]0, 1{ tel que Vn EUR N*, ? (--" 2 m + EUR) < r". n _n_m II.C.6) Montrer que la suite définie par: Vn EUR B\l*, ? ( TL nulle et dont la vitesse de convergence est géométrique. Comparer ce résultat a la majoration obtenue avec la loi faible des grands nombres. 2 EUR) Dans cette sous--partie II.D, on suppose qu'il existe un réel 0 strictement positif tel que la variable aléatoire réelle discrète X vérifie , (X) = 0 et Vw EUR Q, |X(w)| < 0. II.D.1) Montrer que la variable aléatoire X admet un moment exponenti0l d'ordre oz pour tout réel oz stricte-- ment positif. ) EUR) est majorée par une suite de limite Sn II.D + Une majoration de P ( n Les fonctions \Il et fE des questions II.C.2 et H.C.3 sont ainsi définies sur R. 1 X II.D.2) On considère Yla variable aléatoire réelle définie par Y : ë -- 2--. c a) Vérifier que X : --cY + (1 -- Y)c. b) Montrer que eX < YefC + (1 -- Y)e9 II.D.3) a) Montrer que - (ex) g cosh(c). b) En déduire que Vt EUR [R+*, 'Il(t) < c0sh(ct). 1 II.D.4) Montrer que Vt EUR IR", fE(t) < exp(--tEUR + ëc2t2). S TL 'ÏL EUR2 } EUR) < 2exp(--nfi). II.D.6) Soit n un entier naturel non nul, p un élément de l'intervalle ]0, 1{ et Z une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (n, p). II.D.5) Montrer que Vn EUR Ù\l*, Ü°( \ Z A l'aide de la question précédente, majorer P ('-- -- p' 2 EUR) en fonction de n, p et 5. n oooFlNooo 2017--03--02 09:50:48 Page 4/4 (CC) BY--NC-SA