Centrale Maths 2 PC 2016

Thème de l'épreuve Études d'opérateurs linéaires sur des espaces de polynômes et de fonctions
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, polynômes, combinatoire
Mots clefs polynômes de Hilbert, surjections entre ensembles finis, opérateurs linéaires de R[X]

Corrigé

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Mathématiques 2 PC 4 heures Calculatrices autorisées 2016 Dans tout le texte, N est l'ensemble des entiers naturels, [R l'ensemble des réels, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à l et [R,JX] est l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus n. Pour a < b dans Z, on note [[a, b]] l'ensemble (a, b] 0 Z. Pour le EUR D\l*, on note Pk le polynôme ka1. On rappelle que IRn(X] est un [R--espace vectoriel de dimension n+l dont la famille (Pk) kEUR[Ü'n +1l] est une base. Pour P EUR Gîan], on note deg(P) le degré de P et, lorsque P est non nul, cd(P) désigne le coefficient dominant de P, c'est--à--dire le coefficient du monôme Xdcg(P>. k: le! Pour le EUR N et j EUR [[0, le], le coefficient binomial _ vaut _. ] J!(k -- J)! Pour un ensemble E et f : E + E, on définit par récurrence sur k; EUR Ù\l l'application fk : E --> E de la façon suivante : f() : ldE et fk+l : f 0 fk Si f est bijective, on note fi1 la réciproque de f et pour le EUR N, on note fik : (fil))? Pour p EUR N*, on note Mp(lR) l'ensemble des matrices carrées réelles de taille p. I L'opérateur de translation et l'opérateur de différence I.A -- L'opérateur de translation L'opérateur de translation est l'endomorphisme T de [Ran] donné par , . {MX} --> MX} ' P(X) |--> P(X+l) I.A.1) Pour un polynôme non nul P EUR Üîn(X], exprimer deg(r(P)) et cd(r(P)) a l'aide de deg(P) et cd(P). I.A.2) Soit P EUR [RÆX]. Pour le EUR N, donner l'expression de 7'k (P) en fonction de P. I.A.3) Donner la matrice M : (M ...-)1 "?anl ' P(X) l--> P(X + 1) -- P(X) I.B.1) Pour un polynôme non constant P EUR R,,]X], exprimer deg(ô(P)) et cd(6(P)) à l'aide de deg(P) et cd(P). 1.8.2) En déduire le noyau ker(6) et l'image lm(ô) de l'endomorphisme 6. I.B.3) Plus généralement, pour j EUR []l,n]], montrer les égalités suivantes : ker(ôj) : [RJ--ÿl]X] et Im(cW) : [R...,--]X] (1.3) I.B.4) Pour [EUR EUR IN et P EUR lR,,]X], exprimer 5'"(P) en fonction des Tj(P) pour j EUR ]]0, k]]. I.B.5) Soit P EUR [RnEUR1le- Montrer que Î<--1>W(")PU> = 0 (L4) j=0 I.B.6) Dans cette question, on se propose de montrer qu'il n'existe pas d'application linéaire u : R,, ]X ] % [Rn ]X ] telle que u 0 u : 6 . On suppose, par l'absurde, qu'une telle application u existe. a ) Montrer que u et 52 commutent. b) En déduire que [Rl]X ] est stable par l'application u. c) Montrer qu'il n'existe pas de matrice A EUR M2(IR) telle que 2* 0 1 A --(0 o) d) Conclure. I.B.7) Dans cette question, on cherche tous les sous--espaces vectoriels de R,, ]X ] stables par l'application 5 . a) Pour un polynôme non nul P de degré d < n, montrer que la famille (P, 6 P), 5d(P)) est libre. Quel est l'espace vectoriel engendré par cette famille '? b) En déduire que si V est un sous--espace vectoriel de [R,,]X ] stable par 5 et non réduit à {0}, il existe un entier d EUR ]]Û,n]] tel que V : Rd]X]. II Applications en combinatoire Pour tout couple (p, k) d'entiers naturels non nuls, on note S (p, [EUR) le nombre de surjections de ]]1, p]] dans ]]1, k]]. De façon cohérente, pour tout p EUR N*, on pose S(p, O) = O. II.A * Quelques cas particuliers II.A.1) Que vaut S(p,n) pour p < n ? II.A.2) Déterminer S(n, n). II.A.3) Déterminer S(n + 1,71). II.B * Recherche d'une empression générale II.B.1) Combien y a--t--il d'applications de []1, p]] dans []1, n]] '? II.B.2) Pour p 2 n, établir la formule nP= " (Z)S(p,k) (111) où S(p, O) = 0 par convention. II.B.3) En déduire une expression de S(p, n) pour p 2 n. II.B.4) En relisant la question I.B.5, commenter la cohérence de cette expression pour p < n. II. C -- Simplifier autant que possible les expressions suivantes : Z(_1)nfk (Z) ku et Z(_1)nfk: ("> kn+1 k=0 k=0 "' 2016--01--05 11:12:58 Page 2/4 ("à BY--NC-SA III Étude d'une famille de polynômes On considère la famille de polynômes H0 : 1 k'+1 Hk : % H)(X--j) pour % EUR [[LTLl ]: III.A + Généralités III.A.1) Montrer que la famille (Hk)ke[[0.nfl est une base de Ûîn{X]. III.A.2) Calculer 5(H0) et, pour [EUR EUR [[1,n]], exprimer 5(Hk) à l'aide de ka1- III.A.3) La matrice M définie à la question l.A.3 et la matrice M' de taille 11 + 1 donnée par 1 1 0 0 0 .. --. s M': = 0 1 0 0 1 sont--elles semblables ? III.A.4) Montrer que, pour k, l EUR [[O,n]], ôk--{a III.A.5) Montrer que, pour tout P EUR Rn{X], P = (ôk(P))(0)Hk k=0 III.B + Étude d'un eæemple III.B.1) Donner les coordonnées du polynôme X3 + 2X2 + 5X + 7 dans la base (H0, H1, H2, H3) de [Rng]. III.B.2) En déduire un polynôme P EUR [R5{X] tel que 62(P) : X3 +2X2 +5X+7 III.B.3) Déterminer les suites réelles (uk)kEURN telles que uk+2--2uk+l+uk=k3+2k2+5k+7 (keN) III.C + Polynômes à valeurs entières III.C.1) Soit [EUR EUR Z. Calculer Hn (k). On distinguera trois cas : [EUR EUR [[O,n -- l]], le 2 n et [EUR < 0. Pour ce dernier cas, on posera k : --p. III.C.2) En déduire que Hn (Z) C Z, c'est--à--dire que H" est à valeurs entières sur les entiers. III.C.3) Soit P EUR Rn{X] à valeurs entières sur les entiers. Montrer que 5(P) est aussi à valeurs entières sur les entiers. III.C.4) Montrer que P EUR [R,JX] est à valeurs entières sur les entiers si et seulement si ses coordonnées dans la base (H k) kEUR[lÛml sont entières. III.C.5) Soit P EUR MX] de degré d EUR D\l. Montrer que si P est à valeurs entières sur les entiers alors d!P est un polynôme à coefficients entiers. Étudier la réciproque. IV Généralisation de l'opérateur de différence et application Pour une application f : [Rî --> [R de classe 600, on définit l'application [Rî-->[R 5U)îlm-->f(m+D--f@) IV.A + IV.A.1) Montrer que 5(f) est de classe 800 sur [Rî. Comparer (5(f)), et 5(f'). 2016--01--05 11:12:58 Page 3/4 GQ BY--NC-SA TL _) et des f(oe+j) (où IV.A.2) Pour 71 EUR N et a: > O, exprimer (6"(f))(oe) a l'aide des coefficients binomiaux ( .? l'indice j appartient à [[O,n]]). IV.A.3) Expliquer pourquoi, pour tout a: > 0, il existe un 111 EUR ]0, li tel que (5(f))(OE) = f'(OE + %) IV.A.4) En déduire que pour tout 95 > O, pour tout 71 EUR D\l*, il existe un y,, EUR ]0, nl tel que ] " (--1)"_j (?) f(OE+J') = f("'(æ+yn)- (IV-1) =() On pourra procéder par récurrence sur n EUR W et utiliser les trois questions précédentes. I V.B * On considère dans toute la suite de cette partie un réel &. On suppose que pour tout nombre p premier, pa est un entier naturel. On se propose de montrer que oz est alors un entier naturel. IV.B.1) Montrer que pour tout entier le strictement positif, k°' appartient à D\l*. IV.B.2) Montrer que oz est positif ou nul. IV.B.3) On considère l'application fa définie sur [R*+ par fa (SC) : 33". Montrer que oz est un entier naturel si et seulement si l'une des dérivées successives de ]",l s'annule en au moins un réel strictement positif. I V.C * On applique la relation (l\/l) a la fonction fa et à l'entier n = La} + 1 (où U désigne la partie entière). On choisit désormais 33 EUR N*. IV.C.1) Montrer que l'expression .. (--1>"*fl'(">fi.<æ + j) -=O .] J est un entier relatif. IV.C.2) Les notations sont celles de la question IV.A.4. Quelle est la limite de l'expression fg"(oe + yn) quand 25 EUR IN* tend vers +oo '? IV.C.3) Conclure. oooFlNooo 2016--01--05 11:12:58 Page 4/4 ("à BY--NC-SA

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 Centrale Maths 2 PC 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Ce problème d'algèbre linéaire est composé de quatre parties. · La première porte sur l'étude de deux opérateurs linéaires de Rn [X], l'opérateur de translation et celui de différence. On détermine en particulier la matrice du premier opérateur dans la base canonique et son inverse. Elles permettent d'établir une formule d'inversion pour des suites liées par une formule ressemblant à celle du binôme de Newton. · La deuxième partie, plus courte, applique les résultats de la première au dénombrement des surjections de [[ 1 ; p ]] sur [[ 1 ; n ]]. · La troisième reprend l'étude de l'opérateur de différence dans une base adaptée, la famille des polynômes de Hilbert. On en déduit quelques propriétés des polynômes à valeurs entières sur Z. · La dernière partie, plus courte, étend l'opérateur de différence aux fonctions de classe C sur R+ et propose une application arithmétique. Hormis quelques questions purement combinatoires de la deuxième partie, qui peuvent effrayer les personnes insensibles aux charmes discrets du dénombrement, le sujet ne comporte pas de difficulté notable et n'utilise que des techniques très classiques d'algèbre linéaire. Les questions sont de plus bien détaillées et de difficulté progressive. Enfin, ce problème porte uniquement sur le cours de première année et peut donc parfaitement être traité en fin de PCSI. Indications Partie I I.A.1 Utiliser la formule du binôme de Newton pour faire apparaître le terme de plus haut degré du polynôme (P). I.A.3 Pour tout j [[ 1 ; n + 1 ]], calculer les coefficients du polynôme (Pj ) dans la base (Pk )k[[ 1 ; n+1 ]] grâce à la formule du binôme de Newton. I.A.4 Utiliser le résultat de la question I.A.3. I.A.5 Montrer par le calcul que est bijective. I.A.6 Procéder comme à la question I.A.3. I.A.8 Utiliser les résultats des questions I.A.7 et I.A.6. I.A.9 Se servir à nouveau de la formule du binôme de Newton. I.B.1 Déterminer le terme dominant de Xk pour tout k [[ 0 ; d ]], puis utiliser la linéarité de pour trouver celui de (P). I.B.2 Commencer par déterminer le noyau à l'aide de la question précédente. I.B.3 Trouver d'abord, en utilisant les questions I.B.1 et I.B.2, le degré de k (P) pour tout k N et pour tout polynôme non nul P. I.B.5 Utiliser les résultats des questions I.B.3, I.B.4 et I.A.2. I.B.6.b Se servir des questions I.B.4. et I.B.6.a. I.B.6.d Considérer la matrice dans la base {1, X} de l'endomorphisme induit par u. I.B.7.b Commencer par trouver qui peut être d. Utiliser ensuite la question I.B.7.a. Partie II II.A.3 Le plus simple est de voir comment construire une surjection de [[ 1 ; n + 1 ]] sur [[ 1 ; n ]], en raisonnant sur les antécédents des éléments de [[ 1 ; n ]]. II.B.2 Commencer par compter le nombre d'applications de [[ 1 ; p ]] dans [[ 1 ; n ]] dont l'image a pour cardinal k [[ 1 ; n ]]. II.B.3 Penser aux relations (I.1) et (I.2). II.C Utiliser les résultats des questions II.B.3, II.A.2 et II.A.3. Partie III III.A.3 On pourra reconnaître les matrices de dans des bases différentes. III.A.4 Établir d'abord l'expression du polynôme k (H ) pour (k, l) [[ 0 ; n ]]2 . III.A.5 Utiliser les résultats des questions III.A.1 et III.A.4. III.B.1 Appliquer la question III.A.5 ainsi que les résultats de la partie I pour n = 3. III.B.3 On pourra rechercher la solution particulière sous la forme d'une fonction polynomiale, en gardant en tête le résultat de la question précédente. III.C.1 Faire apparaître des coefficients binomiaux à l'aide de changements d'indice. III.C.4 Utiliser les résultats des questions III.C.3, III.A.5 et III.C.2. III.C.5 Se servir de la question précédente pour l'implication directe. Pour montrer que la réciproque est fausse, prendre un polynôme de degré 2. Partie IV IV.A.2 Procéder comme à la question I.B.4. IV.B.1 Utiliser la décomposition de k en facteurs premiers. IV.B.2 Se servir de la définition de . IV.C.2 Commencer par déterminer l'expression de f (n) . IV.C.3 Utiliser les résultats des questions IV.A.4, IV.C.1, IV.C.2 et IV.B.3 pour étudier la suite (vx )xN de terme général vx = f (n) (x + yn ). I. L'opérateur de translation et l'opérateur de différence I.A.1 Soit P Rn [X] un polynôme non nul. Il s'écrit P = d P ak Xk , avec ak R k=0 pour tout k [[ 0 ; d ]], d = deg(P) N et ad = cd(P) 6= 0. Il en découle que (P) = P(X + 1) = d X ak (X + 1)k = ad (X + 1)d + R1 k=0 où deg(R1 ) < d. De plus, on a d'après la formule du binôme de Newton d X d d (X + 1) = X = Xd + R2 =0 avec deg(R2 ) < d également. De ce fait, (P) = ad Xd + R1 + ad R2 = ad Xd + R où le polynôme R = R1 + ad R2 vérifie deg(R) < d. Comme ad 6= 0, ceci montre que (P) est un polynôme non nul de degré d et de coefficient dominant ad . Ainsi, Pour tout P Rn [X] non nul, deg( (P)) = deg(P) et cd( (P)) = cd(P). I.A.2 Soit P Rn [X]. Considérons la propriété P définie pour k N par P(k) : « k (P) = P(X + k) » · P(0) est vraie puisque 0 (P) = P = P(X + 0). · P(k) = P(k + 1) : supposons que la propriété P est vraie au rang k N. D'après la proposition P(k), on a k (P) = P(X + k) d'où k+1 (P) = ( k (P)) = (P(X + k)) = P(X + k + 1) Ainsi, la proposition P(k + 1) est vraie. · Conclusion : d'après le principe de récurrence, la proposition P(k) est vraie pour tout k N, ce qui signifie que P Rn [X] k N k (P) = P(X + k) I.A.3 m Par convention, on pose = 0 dès que p > m. p Pour déterminer cette matrice M, il faut calculer les images par des différents éléments de la base (Pk )k[[ 1 ; n+1 ]] . Soit j [[ 1 ; n+1 ]]. Comme Pj = Xj-1 , on déduit de la formule du binôme de Newton que j-1 j n+1 X X X j - 1 j-1 j-1 j-1 k (Pj ) = (X + 1) = X = Pi = Pi k i-1 i-1 k=0 i=1 i=1 en utilisant le changement d'indice i = k + 1 et la convention rappelée plus haut. Les coefficients de la matrice M de dans la base (Pk )k[[ 1 ; n+1 ]] sont donc j-1 (i, j) [[ 1 ; n + 1 ]]2 Mi,j = i-1 On reconnaît ici les coefficients binomiaux apparaissant dans le triangle de Pascal. En fait, M est tout simplement la transposée de ce triangle.