Centrale Maths 2 PC 2015

Thème de l'épreuve Étude d'une fonction « bosse » et distributions
Principaux outils utilisés représentations graphiques, dérivation, intégrales à paramètre, suite de fonctions
Mots clefs suites de fonctions, théorème de convergence dominée, intégration par parties, intégrale à paramètre, distribution

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
        

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


î, % Mathématiques 2 L0 FI _c"/' pc @ cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N L'objet du problème est l'étude de quelques outils permettant l'étude des signaux déterministes. On note .7([R, [R) l'espace vectoriel des fonctions de [R dans [R. On dit qu'une fonction f de .7([R, [R) est a support compact s'il existe deux réels a et b vérifiant a < b tels que f est nulle en dehors du segment [a, b]. On considère dans tout le problème l'ensemble .78T des fonctions continues par morceaux de [R dans [R ; on appelle de telles fonctions des signaux réguliers. On note f (k) la fonction dérivée k-ième d'une fonction de classe E'" ; si k = 0, f (k) = f. I Etude de nouveaux espaces fonctionnels I.A -- Fonction test 800 à support compact On note 2? l'ensemble des fonctions de [R dans [R de classe 800 et à support compact. Dans cette sous-partie, on note cp la fonction définie par : {cp(oe)=0 si |x|21 2 --1--oe2) si |oe|<1 I.A.1) a ) Étudier les variations de cp. [) ) Tracer la représentation graphique de +oo æ-->--oo On note 5 l'ensemble des fonctions de [R dans [R de classe 8°° a décroissance rapide. I.B.1) Montrer que 5 est un espace vectoriel sur [R. I.B.2) Montrer que si f est dans 8 alors f @ est dans 5 pour tout entier naturel p. I.B.3) Montrer que si P est une fonction polynôme et si f est dans 5, alors P f appartient a 5. II Espace des distributions sur D II.A -- Définitions, eoeemples 17 On dit que la suite de fonctions ('Pn)new de D converge dans D vers la fonction cp de D et on note Lpn --> Lp si, pour tout entier [EUR E N, la suite de fonctions (cp£k))neN converge uniformément vers 900") et s'il existe un réel (1 > 0 tel que VnEIN,VOEE[R, |oe|>a= [R qui vérifie D Vw EUR 9. V( @ => T(%) --> T(tP) On note D' l'ensemble des distributions sur D. II.A.1) Montrer que si f E .78T alors l'application Tf définie par +oo VtP EUR @ Tf(0 U(oe)=0 sioe<0 Justifier que U définit une distribution sur D. II.A.3) Soit (1 un nombre réel. (1) Montrer que l'application du qui a tout 

a' æ-->a+ La différence f (a+) -- f (a"), appelée saut en a, est notée a(a). (1) Soient al, ...,ap des réels tels que (11 < < ap. Soit f : [R --> [R une fonction de classe 81 par morceaux. On suppose de plus que f est continue sur ]--oo,a1[ U ]a1, a2[ U U ]ap, +oo[. Montrer que P i=1 () ) Retrouver par cette méthode les résultats des questions II.B.3 et Il.B.4.b. II.C -- Suites de distributions sur D On dit que la suite de distributions (Tn)nEUR[N converge vers la distribution T si % E D, lim Tn(oo II.C.1) Pour n entier naturel non nul, on considère la fonction Un nulle sur les réels négatifs, affine sur l'intervalle [O, 1/n], égale à 1 pour les réels plus grand que 1/71 et continue sur [R. (1) Montrer que la suite de distributions régulières (TUn)neN converge vers TU. () ) Montrer que 1/n ch EUR D Td (

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Maths 2 PC 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Mathilde Perrin (Docteur en mathématiques) ; il a été relu par Émilie Liboz (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (Enseignantchercheur à l'université). Ce sujet d'analyse porte sur les distributions, qui généralisent la notion de fonction. Elles sont utiles aux physiciens, qui les ont manipulées bien avant leur formalisation, afin d'obtenir des « solutions » à des problèmes discontinus. Elles ont de nombreuses applications en ingénierie, en traitement du signal... · La partie I.A définit l'espace D des fonctions de classe C de R dans R qui sont nulles en dehors d'un segment. On montre que D est un espace vectoriel stable par dérivation qui contient une fonction « bosse » donnée par l'énoncé. Puis on construit une suite de fonctions de D définies par l'intégrale sur [ -1 ; 1 ] d'une fonction bosse dilatée. Cette partie très classique représente un tiers du problème et porte sur de nombreux outils d'analyse : représentation graphique, prolongement dérivable, intégrale à paramètre, convergence uniforme... Ses résultats ne sont pas réutilisées dans la suite. · La partie I.B est complètement indépendante des autres. Elle établit quelques résultats théoriques sur l'espace de Schwartz des fonctions de R dans R de classe C à décroissance rapide, c'est-à-dire dont toutes les dérivées sont négligeables en + et - par rapport à toute fonction puissance. Cet espace intervient en théorie des distributions, d'où sa présence dans le problème. · La partie II.A définit une distribution comme une application linéaire T sur D à valeurs dans R qui est continue en un sens faisant intervenir la convergence uniforme des dérivées de fonctions de D. On étudie des exemples comme les distributions régulières Tf définies à partir d'une fonction réelle f continue par morceaux sur R par Z + D Tf () = f (x)(x) dx - ou comme les distributions de Dirac a : 7- (a) pour a R qui ne sont pas régulières. Le but est de se familiariser avec cette nouvelle notion. · La partie II.B introduit la dérivation de distributions. Elle s'intéresse plus particulièrement aux distributions régulières Tf , dont on donne une formule générale de dérivation pour les fonctions f de classe C 1 sauf en un nombre fini de points : P (Tf ) = Tf + (ai ) ai i où (ai ) représente le saut de discontinuité de f au point ai . En ce sens, on peut définir une « dérivée » d'une fonction non dérivable ! · La partie II.C étudie des suites de distributions et de dérivées de distributions. L'épreuve se termine sur une question difficile qui demande d'étudier la convergence de trois suites de distributions régulières. Cette épreuve est longue et difficilement faisable en 4 heures, mais elle a le mérite d'aborder un sujet très important en mathématiques. Elle constitue un bon sujet de révision ou d'entraînement sur l'analyse réelle, les suites de fonctions, l'intégration et tout particulièrement le théorème de convergence dominée. Indications I.A.1.c Montrer par récurrence que est de classe C k sur R en établissant une formule générale pour (k) et en utilisant le théorème de la limite de la dérivée. I.A.1.d Montrer que D est un sous-espace vectoriel de F (R, R) contenant . I.A.3.b Effectuer le changement de variable y = nx. I.A.4 Montrer que la fonction f n est de classe C k sur R pour tout entier naturel k en utilisant le théorème de la classe C k des intégrales à paramètre. I.A.5.b Montrer que la fonction In est nulle en dehors de [ -1 - 1/n ; 1 + 1/n ] en utilisant l'expression de In obtenue à la question I.A.5.a. I.A.5.d Utiliser l'expression de In obtenue à la question I.A.5.a. et étudier la convergence de la suite (In (x))nN dans les cas |x| < 1, |x| = 1 et |x| > 1. I.A.5.e Raisonner par l'absurde. I.B.3 Utiliser la formule de Leibniz. II.A.1 Appliquer le théorème de convergence dominée sur [ -a ; a ] à une suite de fonctions bien choisie. II.A.3.b Comparer a (n ) et lim Tf (n ). n II.B.1 Montrer que si (n )nN est une suite de fonctions de D qui converge dans D vers D, alors la suite (n )nN converge dans D vers . II.B.2 Lorsque f est de classe C 1 , effectuer une intégration par parties pour des fonctions de classe C 1 . Lorsque f est supposée continue et de classe C 1 par morceaux, choisir une subdivision adaptée à f et décomposer (en utilisant la relation de Chasles) l'intégrale sur les intervalles de cette subdivision, où la fonction f est de classe C 1 . Appliquer ensuite la formule d'intégration par parties pour des fonctions de classe C 1 sur chaque intervalle de la subdivision. II.B.5.a Décomposer (en utilisant la relation de Chasles) l'intégrale sur les intervalles de la subdivision (ai )16i6p donnée, sur lesquels la fonction f est prolongeable en une fonction continue et de classe C 1 par morceaux. Appliquer la formule démontrée à la question II.B.2 sur chaque intervalle. II.C.1.a Effectuer le changement de variable u = nt puis appliquer le théorème d'intégration d'une limite uniforme sur un segment à la suite de fonctions fn (u) = u(u/n) sur [ 0 ; 1 ]. II.C.1.b Calculer directement la dérivée (TUn ) en utilisant la formule d'intégration par parties pour les fonctions de classe C 1 sur [ 0 ; 1/n ], ou utiliser le résultat de la question II.B.2 pour les fonctions continues et de classe C 1 par morceaux. II.C.1.f Utiliser les résultats des questions II.C.1.a, II.C.1.e et II.B.3. II.C.2.c Montrer que la suite (Tfn )nN tend vers la distribution 0 lorsque n Z + en remarquant que pour tout n N , fn (x) dx = . De la même - manière, montrer que la suite (Tgn )nN tend vers la distribution 1 en reZ + marquant que gn (x) dx = n/(n + 1) ---- 1. Enfin, effectuer une - n intégration par parties pour calculer Thn () puis conclure en utilisant l'égalité des accroissements finis d'une part, le théorème de convergence dominée d'autre part. I. Étude de nouveaux espaces fonctionnels I.A.1.a Commençons par étudier la régularité de . Puisqu'elle est paire, il suffit de l'étudier sur R+ . Elle est continue sur ] 0 ; 1 [ comme composée de fonctions qui le sont, et sur ] 1 ; + [ où elle est constante. Étudions ses limites à gauche et à droite en x = 1. Par définition de , la limite à droite est nulle. Lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures, on a x2 lim- (1 - x2 ) = 0+ donc lim- - = - puis lim (x) = 0 1 - x2 x1 x1 x1- Puisque lim- (x) = lim+ (x) = (1) = 0, est continue en 1 donc sur R+ entier. x1 x1 est dérivable sur [ 0 ; 1 [ comme composée de fonctions qui le sont, avec 2x x2 x [ 0 ; 1 [ (x) = - exp - 60 (1 - x2 )2 1 - x2 d'où le tableau de variation suivant : x (x) - (x) -1 + 0 0 0 1 - + 0 1 0 0 0 0 y 1 I.A.1.b La représentation graphique de admet une tangente horizontale en x = 0. -1 0 y = (x) 1 x D'après un calcul effectué à la question suivante, lim (x) = lim+ (x) = 0 x1- x1 Cela assure que le graphe de admet une demi-tangente horizontale à gauche en x = 1 (et une demi-tangente horizontale à droite en x = -1, par parité). I.A.1.c Par parité de , il suffit de montrer qu'elle est de classe C sur R+ . Elle est constante donc de classe C sur ] 1 ; + [. Sur [ 0 ; 1 [, la fonction x 7- -x2 /(1 - x2 ) est de classe C comme produit de fonctions qui le sont. L'exponentielle étant de classe C sur [ 0 ; 1 [, l'est aussi comme composée de fonctions qui le sont. Étudions maintenant en x = 1. Montrons par récurrence que la propriété P(k) : « est de classe C k sur R+ et il existe un polynôme à coefficients réels Pk tel que pour tout x [ 0 ; 1 [ Pk (x) x2 (k) (x) = exp - 2 2k (1 - x ) 1 - x2 et (k) (x) = 0 pour x [ 1 ; + [. » est vraie pour tout k N. · P(0) est vérifiée avec le polynôme P0 (x) = 1 car est continue au point 1 d'après la question I.A.1.a. · P(k) = P(k + 1) : (k) est dérivable sur ] 1 ; + [, de dérivée nulle, et dérivable sur [ 0 ; 1 [ comme produit et composée de fonctions qui le sont, avec x [0;1[ où (k+1) (x) = Pk+1 (x) x2 exp - 1 - x2 (1 - x2 )2(k+1) Pk+1 (x) = Pk (x)(1 - x2 )2 + 4k xPk (x)(1 - x2 ) - 2xPk (x) qui est bien un polynôme réel. Par hypothèse de récurrence, (k) est continue sur R+ et dérivable sur R+ r{1}. Le théorème de la limite de la dérivée permet alors d'affirmer que est de classe C k+1 sur R avec (k+1) (1) = 0. Calculons la limite de (k+1) en x = 1. Puisqu'elle est nulle sur ] 1 ; + [, sa limite à droite en 1 est également nulle. En utilisant la croissance comparée m N lim y m e-y = 0 y+ avec y = 1/(1 - x2 ) lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures, l'expression de (k+1) sur [ 0 ; 1 [ établie ci-dessus entraîne lim (k+1) (x) = 0 x1- Les limites à gauche et à droite de (k+1) en x = 1 coïncident, donc la limite de la fonction (k+1) au point x = 1 existe et est égale à 0. Par le théorème de la limite de la dérivée, on en déduit que (k) est dérivable en x = 1 et (k+1) (1) = 0. Ainsi la fonction (k+1) est continue sur R+ et est de classe C k+1 sur R+ , ce qui achève de démontrer que la propriété P(k + 1) est vraie. · Conclusion : est de classe C sur R. I.A.1.d Montrons que l'ensemble D est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel F (R, R). D'une part, on observe que la fonction identiquement nulle appartient à D. D'autre part, vérifions que D est stable par combinaisons linéaires. Soient R et f, g D nulles en dehors des segments [ a ; b ] et [ c ; d ] respectivement. La combinaison linéaire f + g est clairement de classe C sur R par les théorèmes généraux. Elle est de plus à support compact puisque nulle en dehors du segment [ Min (a, c) ; Max (b, d) ] car ce segment contient à la fois [ a ; b ] et [ c ; d ]. Ainsi f + g D et D est stable par combinaisons linéaires. On a démontré à la question I.A.1.c que la fonction est de classe C , et par définition elle est nulle en dehors du segment [ -1 ; 1 ]. On en déduit que D, et comme est non nulle, D est un espace vectoriel sur R non réduit à {0}. I.A.2 Soit f D. La fonction f étant de classe C sur R, elle est dérivable sur R et sa dérivée f est également de classe C sur R. Par ailleurs, soient a et b deux réels vérifiant a < b tels que f soit nulle en dehors du segment [ a ; b ]. Sa dérivée f est par conséquent elle aussi nulle en dehors du segment [ a ; b ], elle est donc à support compact. On en déduit que Si f D alors f D.