Centrale Maths 2 PC 2014

Thème de l'épreuve Symétries, quaternions et sommes de carrés
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, nombres complexes, arithmétique, programmation
Mots clefs Symétries, système de matrices, quaternions, division euclidienne

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


® / . î«î Mathemaüques 2  1 sur le corps @ des nombres complexes. Soient F et G deux sous--espaces supplémentaires de E (ie. E = F GB G). On appelle symétrie (vectorielle) de E par rapport à F parallèlement à G l'endomorphisme s de E défini par V(y, z) EUR F >< G, s(y + z) = y -- z. Pour tout endomorphisme u de E, on pose F,, = Ker(u -- Id E) et G,, = Ker(u + Id E) LA -- Symétries et involuti0ns I.A.1) Soient F et G deux sous--espaces supplémentaires de E et s la symétrie par rapport à F parallèlement à G. (1) Montrer que F = F3 et G = G,. b) Montrer que s o s = Id E. En déduire que s est un automorphisme de E. 0) Déterminer les valeurs propres et les sous--espaces propres de 3. On discutera selon les sous--espaces F et G. I.A.2) Soit 3 un endomorphisme de E tel que s o s = IdE. On pose F = Ker(s -- IdE) et G = Ker(s + IdE). (1) Montrer que F et G sont deux sous--espaces supplémentaires de E. b ) En déduire que s est une symétrie dont on précisera les éléments. LB -- Couples de symétries qui anticommutent I.B.1) Soient s et 15 deux symétries de E qui anticommutent, c'est-à--dire telles que s o t + t o s = 0. a) Prouver les égalités t(F3) = G3 et t(G3) = F3. b ) En déduire que F 8 et G 3 ont la même dimension et que n est pair. I.C -- H--systèmes On appelle H--système d'endomorphismes de E toute famille finie de symétries de E qui anticommutent deux a deux, c'est--à--dire toute famille finie (S1, ..., Sp) d'endomorphismes de E tels que V7:7£j SZ°Sj+S_ÏOS'L :D De même, on appelle H--système de matrices de taille n toute famille finie (Al, ..., A,) de matrices de M,,(C) telles que w A3 =1,, Vi;£j A,A,+A,A, =0 Dans les deux cas, p est appelé longueur du H--système. I.C.1) Montrer que la longueur p d'un H--système d'endomorphismes de E est majorée par n2. I.C.2) Montrer que l'existence d'un H--système (S1, ..., Sp) de E équivaut à l'existence d'un H--système de matrices de taille n. En déduire que la longueur d'un H--système de E ne dépend que de la dimension n de E et pas de l'espace E. On note p(n) le plus grand nombre entier p > 1 tel que E admet un H-système de cardinal p. I.C.3) Soit n un entier impair. Prouver que p(n) : l. I.D -- Majoration de p(n) I.D.1) On suppose ici que n est pair et on pose n : 2m. On considère : -- un H--système (Sl,..., Sp, T, U) de E, -- le sous--espace E0 : FT : Ker(T -- Id), -- pour j EUR [[l,p]], l'endomorphisme Rj : iU 0 S, de E. a ) Montrer que, pour tout j EUR [[1, p]], le sous--espace E() est stable par R,. b) Pour j EUR [[l,p]], soit sj l'endomorphisme de E0 induit par R,... Montrer que (sl, ..., sp) est un H--système de E0. c) En déduire p(2m) < p(m) + 2. I.D.2) Montrer que si n : 2dm avec m impair, alors p(n) < 2d + 1. LE -- Constructions de H--systèmes maoeimauoe I.E.1) Soient N : p(n) et (al, ..., aN) un H--système de matrices de taille n c'est--à--dire tel que En considérant les matrices suivantes de M2n((Ü) écrites par blocs _ a, 0 . _ 0 I,, _ 0 il,, Aj _ (0 _aj) (] EUR H17Nll)7 AN--l--1 _ (In 0 7 AN--l--2 _ _lln 0 7 montrer que p(2n) > N + 2. I.E.2) Déterminer p(n) en fonction de l'unique entier d EUR IN tel que n s'écrive n : 2dm avec m impair. I.E.3) Écrire, pour chacun des entiers n = l, 2, 4, un H--système de matrices de taille n de longueur p(n). II Quaternions et sommes de quatre carrés Pour (a, 19) EUR C2, on désigne par M(a, b) la matrice carrée complexe M(a, b) : (î _OEb) EUR M2(C). Une matrice de la forme M (a, 19) sera appelée quaternion. On considèrera en particulier les quaternions @ = 12 : M(1,0), ] : M(O, 1), J : M(i,0), K : M(O, --i) et on notera IH : {M(a, b) l (a, b) EUR C2} le sous--ensemble de M2(C) constitué par tous les quaternions. On veillera à ne pas confondre la matrice ] : M(O, l) et la matrice unité 12 = c : M(1,0). II.A -- Le « corps » des quaternions On munit l'ensemble C' : M2(C) des matrices complexes à deux lignes et deux colonnes de l'addition +, de la multiplication >< usuelles et de la multiplication par un réel notée - et définie usuellement par a b Àa Àb VÀEIR, VM_(C d)eC', À-M_(ÀC Ad) On rappelle que (C' , +, ><, -) est une algèbre sur le corps IR des réels. II.A.1) a ) Donner, sans justification, une base et la dimension de C' sur le corps IR. b) Montrer que [H est un sous--espace vectoriel réel de C' et que {e, I , J , K } en est une base sur le corps IR. c) Montrer que [H est stable par multiplication. II.A.2) Montrer que (ll--| \ {O}, ><) est un sous--groupe non commutatif du groupe linéaire (GL2(C), ><). (ll--|, +, ><) a toutes les propriétés d'un corps sauf la commutativité de >< : on dit que c'est un anneau à divisions (ou, parfois, un corps non commutatifi. II.A.3) a ) Calculer les produits deux a deux des matrices e,] , J , K . On présentera les résultats dans une table a double entrée. b) En déduire que (il , iJ , iK ) est un H--système. II.B -- Conjugaison et normes Ainsi tout élément q E [H s'écrit de manière unique q : wc + y] + zJ + tK avec a:, y, z, t E IR. Pour :o, y, z, t E IR et q : oee+yl+zJ+tK E [H on pose q* : oee--yl--zJ--tK EUR IH et N(q) : :c2+y2+2:2+t2 EUR IR+. II.B.1) a) Vérifier que, pour tout q E [H, q* est la transposée de la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de (1. 2014--02-10 12:32:41 Page 2/4 OE=C BY-NC-SA b} En déduire que, pour tout (q,r) EUR [H2, (qr)* : r*q*. c) Montrer que q** = q pour tout (1 E [H et que q l--> q* est un automorphisme du lR--espace vectoriel [H. d) Pour q E [H, exprimer qq* a l'aide de N (q) En déduire la relation valable pour tout (q, 7") EUR IH2 N (Q"'") = N (CDN (?") II.B.2) &) Soient (oe,y, z,t) EUR IR4 et q : ace + y] + Z.] + tK. Exprimer la trace de la matrice q EUR M2(C) en fonction du réel oe. b} En déduire que, pour tout (q, 7") EUR [l--l2, qr -- rq = q*r* -- r*q*. c} Soient &, b, c, d des quaternions. Établir la relation (acb*)d + d*(acb*)* : (acb*)*d* + d(acb*). En déduire l'identité (N(a) + N(b))(N(C) + N(d)) : N(ac -- d*b) + N(bc* + da). III Un théorème de Hurwitz Soit un entier naturel n > 1. On munit IR" du produit scalaire usuel et de la norme euclidienne usuelle définis, pour tout X = (oe1,....,aÿ,,) et Y : (y1, ...,y,,) de IR", par (XiY)=ZOE.-y. et iXi=,/£oeä z'=1 k=1 L'objet de cette partie est d'étudier l'existence d'une application bilinéaire B,, : (IP")2 --> IR" vérifiant vx. Y = nan. iiB.H = ... >< ... (HM) III.A -- Des formules pour n = 1, 2, 4, 8 III.A.1) Montrer l'existence d'une telle application bilinéaire B,, lorsque n est l'un des entiers 1, 2, 4. Pour n = 2 (respectivement 4) on pourra considérer le produit de deux nombres complexes (respectivement de deux quaternions). III.A.2) En utilisant la question II.B.2 montrer, pour n = 8, l'existence d'une application bilinéaire vérifiant (111.1). On ne demande pas d'expliciter une application bilinéaire Ba: mais seulement de prouver son existence. III.B -- Le théorème de Hurwitz Dans la suite on suppose que n > 3 et qu'il existe une application bilinéaire B telle que VX,Y EUR IR", HXH >< HYH : HB(X,Y)H (111.2) Soit (el, ..., e,,) la base canonique de il?" et, pour 72 EUR [[1, n]], soit u,- l'endomorphisme de il?" défini par VX EUR IR", u,(X) : B(X,e,) La matrice de u,- dans la base canonique de IR" sera notée A,. III.B.1) &) Prouver que, pour tout X EUR IR", on a VY = (311. ---7yn) EUR 'an Z y,y,(u,(X)lu,-(X)) : |lel2 î:in ij=1 i=1 b} En déduire que les endomorphismes u,- vérifient les relations v... = 1. ...,n,VX @ nan. iiu.i = ... et 1=1= (u. n -- 1 où p(n) est défini dans la section 1.0. III.B.3) Prouver que n est élément de {1,2,4,8}. IV Représentation des parties de N et quelques algorithmes Soient X et Y deux parties de IN. On note X + Y l'ensemble des sommes d'un élément de X et d'un élément de Y, c'est--à--dire X+Y : {oe+y \ oe EUR X,y E Y} C IN. 2014--02-10 12:32:41 Page 3/4 OE=C BY-NC-SA Dans les questions suivantes, on supposera que les parties X et Y considérées contiennent 0 de sorte que X + Y contiendra toujours X et Y. Soit N E l]\l*. On représente une partie X de [[O, Nl] par le tableau A indexé de 0 a N, tel que, pour 72 E [[O, Nl], on ait Ali] : 1 si 72 EUR X, Ali] : 0 sinon. I V.A -- Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure carres telle que, pour N E l]\l*, carres(N) retourne le tableau associé a l'ensemble des carrés inférieurs ou égaux a N . On n'utilisera pas la fonction racine carrée. On note 5" = {l, 2, 3, 5, 7, ...} C IN la réunion de {l} et de l'ensemble des nombres premiers. Le crible d'Ératosthène est l'algorithme qui, dans un tableau des entiers de 1 a N, consiste a : -- a l'étape 1, supprimer les multiples de 2 strictement supérieurs a 2 ; -- a l'étape 2, supprimer les multiples de 3 strictement supérieurs a 3 ; -- a l'étape k, supprimer les multiples stricts du plus petit entier pk qui n'a pas encore été supprimé. À la fin du processus, les entiers supérieurs ou égaux a 2 qui n'ont pas été supprimés sont les nombres premiers inférieurs ou égaux a N . (On ne demande pas de justifier ce résultat.) I V.B -- Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure Eratosthene utilisant l'al-- gorithme ci--dessus et telle que, pour N E l]\l*, Eratosthene (N) retourne le tableau C associé a l'ensemble X = {p EUR 5" l p < N} U {0}. On rappelle que C est un tableau de 0 et de 1, indexé de 0 a N et caractérisé par Clil=l <=> i=Oou(l<) un anneau commutatif. Pour p EUR l]\l*, on note C,,(A) l'ensemble des sommes de p carrés d'éléments de A. Prouver que pour tout anneau A, les ensembles C,,(A) sont stables pour la multiplication lorsque p vaut 1, 2, 4 ou 8. On pourra utiliser les formes bilinéaires B,, définies partie III et, éventuellement, se limiter au cas où l'anneau A est l'anneau Z des entiers relatifs. V.B -- Le théorème des quatre carrés On note @ : {me + y] + zJ + tK } a:, y, z, t E Z} l'ensemble des quaternions « entiers >>. V.B.l) &) Montrer que G est un sous--groupe de [H pour l'addition et qu'il est stable par multiplication. b} Montrer que pour tout (1 E [H, il existe ,a E @ tel que N(q -- u) < 1. c) Quel est l'ensemble des q E [H tels que Vu EUR @, N(q -- u) > 1 ? V.B.2) Soit p un nombre premier impair. Pour tout entier 7" EUR Z, on note g0(r) le reste de la division euclidienne de r2 par p. On a donc 0 < Sû("l") < p-- 1 et r2 -- g0(7") EUR pZ. &) Montrer que la restriction de go a {(), ..., 521} est injective. b) On considère les ensembles X = {p-- go(r) l 0 < r < %} et Y : {go(s) + 1l0 < 3 < %} Montrer que X et Y sont inclus dans {l, ..., p} et que leur intersection est non vide. En déduire qu'il existe U,?) E {O, ..., %} et m EUR {1,...,p -- 1} tels que u2 + 112 + 1 : mp. V.B.3) On suppose encore que p est un nombre premier impair. Justifier qu'il existe m EUR {1,...,p -- 1} et u : me + y] + zJ + tK EUR © \ {0} tels que N...) : mp. On choisit m minimal et on suppose que m > 1. &) Montrer que si m était pair, un nombre pair des entiers m, y, z, t serait impair et aboutir a une contradiction. / . _ + 2+ 2 On pourra ecrire (%)2 + (%)2 = --OE ;" . b) On suppose m impair. Montrer qu'il existe 1/ EUR @ tel que N(,u -- mu) < m2. c) Prouver que u' : %u(u -- mu)* est dans G \ {O} et que N (m') est un multiple de p strictement inférieur a mp. Oonclure. V.B.4) Montrer que tout entier naturel est somme de quatre carrés d'entiers. oooFlNooo 2014--02-10 12:32:41 Page 4/4 lËC BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Maths 2 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gauthier Gidel (ENS Ulm) ; il a été relu par Yvon Vigaud (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Ce sujet est consacré à l'étude des sommes de carrés dans un anneau commutatif A quelconque. Étant donné un entier p non nul, on cherche à établir des formules assurant la stabilité par produit de l'ensemble Cp (A) des éléments somme de p carrés dans A. Ces formules sont essentielles pour répondre à des questions classiques d'arithmétique comme « quels entiers naturels sont somme de deux carrés ? » Il utilise de nombreuses parties du programme d'algèbre, principalement les symétries vectorielles, la réduction des endomorphismes et les applications bilinéaires. Mais ce sujet fait aussi appel à des connaissances en arithmétique, en programmation et à des idées classiques analogues à celles utilisées sur les nombres complexes et les entiers de Gauss. L'énoncé comporte cinq parties dont une entièrement consacrée à l'algorithmique. · La première partie concerne l'étude des symétries et des familles de symétries anticommutant deux à deux. · La deuxième partie permet d'introduire les quaternions et d'en démontrer certaines propriétés. · Dans la troisième partie, on réutilise les deux parties précédentes pour l'étude des applications bilinéaires conservant la norme. Il en résulte un théorème dû à Hurwitz qui stipule que les formules recherchées n'existent pas pour p = 3. · La quatrième partie est consacrée à la programmation d'algorithmes pouvant permettre la vérification pratique des résultats démontrés. · La cinquième partie conclut ce sujet par une preuve du célèbre théorème des quatre carrés. En utilisant les propriétés arithmétiques des quaternions à coordonnées entières et en utilisant les résultats de la partie III, on démontre que tout entier naturel est la somme de quatre carrés d'entiers. Ce problème est long et comporte des questions difficiles. En particulier la question V.A où l'énoncé conseille même de traiter un cas particulier. Il est extrêmement compliqué de traiter ce sujet en quatre heures. Néanmoins, il recouvre une partie conséquente du programme d'algèbre et permet au passage de se familiariser sur les quaternions. Indications Partie I I.A.1.c Ne pas oublier que les espaces peuvent être triviaux. I.A.2.b Remarquer que si u est un endormorphisme de E et F un sous espace vectoriel de E alors dim u(F) 6 dim(F) I.C.1 Montrer qu'un H-système est libre. I.C.3 Penser à utiliser I.B.1. I.D.1.a Penser à utiliser I.B.1. I.D.1.b Utiliser le fait que U et Sj anticommutent. I.D.1.c Majorer p grâce à la définition d'un H-système et que dim(E0 ) = n . 2 I.D.2 Montrer le résultat par récurrence. I.E.1 Effectuer des calculs par blocs. I.E.2 Montrer le résultat par récurrence. I.E.3 Utiliser le processus de la question I.E.1. Partie II II.A.1.a Ne pas oublier que C est un espace vectoriel réel de dimension 2. II.A.2 Penser aux matrices M(i, 0) et M(0, 1). II.A.3.b Utiliser le tableau de la question précédente. II.B.1.b et c Voir la transformation comme la composée de la transposition et du passage au conjugué des coefficients et remarquer que ces deux endomorphismes commutent. II.B.1.d Écrire N(qr)e = qr(qr) et utiliser la question II.B.1.b. II.B.2.a Utiliser la linéarité de la trace. II.B.2.b Remarquer que q = yI + zJ + tK q = -q. II.B.2.c Appliquer la question précédente à un q et r bien choisis puis écrire N(ac - d b)e = (ac - d b)(ac - d b) Partie III III.A.1 Utiliser pour tous quaternions q et r l'égalité N(qr) = N(q)N(r). a III.A.2 Se servir de la question II.B.2.b en remarquant que pour H2 , b w w2 w a w w w w b w = N(a) + N(b) III.B.1.a Utiliser la linéarité du produit scalaire et de ui . III.B.1.b Appliquer l'identité précédente avec Y un vecteur de la base canonique de Rn . III.B.1.c Penser à la relation (a|b) = ka + bk2 - kak2 - kbk2 2 III.B.1.a Utiliser le fait que An et Ai anticommutent. III.B.3 Discuter selon que m = 1 ou que m > 3 et se ramener à l'étude de 3 × 2d-1 6 d + 1 Partie IV IV.A Utiliser une boucle while. IV.D Réutiliser les fonctions écrites pour les question IV.A et IV.C. Partie V V.A Constater que les applications bilinéaires et les relations associées de la partie III peuvent s'écrire dans un anneau A. V.B.1.b Remarquer que pour tout x dans R, il existe n dans N tel que |x - n| 6 1 2 V.B.1.c Traiter le cas d'égalité de la question précédente. V.B.2.a Se ramener à pZ {0, . . . , p - 1} = {0} V.B.2.b Utiliser le lemme des tiroirs et l'injectivité de ou alors raisonner sur les cardinaux. V.B.3.a Faire une disjonction de cas et utiliser l'indication sur des paires d'entiers impairs (dont la somme est toujours paire). V.B.3.b Effectuer la division euclidienne de x, y, z et t par m. V.B.3.c Utiliser le fait que N(qr) = N(q)N(r). I. Symétries vectorielles I.A.1.a Soit x appartenant à Fs . Alors puisque F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E, il existe un unique couple (y, z) appartenant à F × G tel que x = y + z. Ainsi, s(x) = s(y + z) = y - z de plus, d'où, (s est une symétrie) (x Fs ) s(x) = x = y + z et ainsi x = y z=0 donc x F. Si bien que Fs F. Réciproquement, soit x F. Alors en appliquant la définition de s avec z = 0 G, il vient et donc s(x) = x Finalement par double inclusion F Fs F = Fs Faisons de même pour G et Gs , Soit x Gs . Alors il existe un unique couple (y, z) appartenant à F × G tel que x = y + z. Ainsi, il vient y + z = x = -s(x) = -s(y + z) = -y + z Ainsi x appartient à G, donc Gs G. Soit x G, alors en appliquant la définition de s avec y = 0 F il vient s(x) = -x. Finalement, par double inclusion G = Gs I.A.1.b Soit x appartenant à E. Il existe un unique couple (y, z) dans F × G tel que x = y + z. Ainsi, s s(x) = s s(y + z) = s(y - z) = y + z = x d'où, s s = IdE L'endomorphisme s a donc pour inverse lui-même. L'application s est un automorphisme de E. I.A.1.c D'après la question I.A.1.a, Ker(s - IdE ) Ker(s + IdE ) = Fs Gs = F G = E. Dès lors trois cas se présentent : · Soient Fs = Ker(s - IdE ) 6= {0E } et Gs = Ker(s + IdE ) 6= {0E }. L'endomorphisme s a donc pour valeurs propres 1 et -1. · Soit Fs = {0E} et alors Gs = E. · Soit Gs = {0E} et alors Fs = E. Il en découle trois conclusions possibles : On a respectivement : soit Fs et Gs sont les deux espaces propres, les deux valeurs propres sont 1 et -1. Soit Gs est le seul espace propre, la seule valeur propre est -1. Ou soit Fs est le seul espace propre, la seule valeur propre est 1.