Centrale Maths 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Matrices directement orthogonalement semblables et cercle propre
Principaux outils utilisés algèbre, géométrie
Mots clefs groupe orthogonal, réduction des endomorphismes, cercles, quadriques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, % Mathématiques 2 "à « _/ PC EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées 2013 Matrices directement orthogonalement semblables et cercle propre Pour n entier supérieur ou égal à 2, on note MAR) l'espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels a n lignes, et GLAR) l'ensemble des matrices inversibles de MAR). On rappelle qu'une matrice M de MAR) est dite orthogonale si tM M = I,, où "M désigne la transposée de M et où I,, est la matrice identité. On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de MAR), et SO(n) le sous--ensemble de O(n) constitué des matrices orthogonales de déterminant 1. On rappelle que (O(n), ><) est un sous--groupe de (GLAR), ><) et que (SO(n), ><) est un sous--groupe de (O(n), ><). Le premier est appelé groupe orthogonal, le second groupe spécial orthogonal. Pour A E MAR), on note f A l'endomorphisme canoniquement associé à A, c'est--à--dire l'unique endomorphisme de R" dont la matrice dans la base canonique de R" est A. Si À est une valeur propre de A, on notera respectivement EAA) et E A f A) les sous-espaces propres associés à À, pour A et f A respectivement. On munit R2 de sa structure euclidienne orientée canonique, de sorte que la base canonique est orthonormée directe. Le produit scalaire est noté (l) et la norme euclidienne associée est notée H -- H. Pour tout couple (a, v) de vecteurs non nuls de R2, on dit que 9 est une mesure de l'angle orienté (a, @) lorsque (Ul'U) lu, "Ul _ llUll ll'Ull , _llUll ll'Ull' quelle base orthonormee d1recte. cos9 et sinb' : où [., ] désigne le produit mixte, c'est--à--dire le déterminant dans n'importe On appelle similitude de rapport k tout endomorphisme f de R2 pour lequel il existe un réel k > 0 et une matrice M de O(2) tels que la matrice de f dans la base canonique de R2 soit égale à kM . I Le groupe orthogonal en dimension 2 LA -- Les rotations planes I.A.1) Montrer que A E SO(2) si et seulement si il existe un réel t tel que A : Rt avec R,, : (COSt _ s1nt)_ sin t cos t I.A.2) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou Mathematica qui prend en entrée un 2) : Rt et un message quadruplet (a, b, c, d) de réels et qui renvoie, lorsque c'est possible, un réel t tel que (î d'erreur dans le cas contraire. I.A.3) Vérifier que l'application qui, a tout réel t, associe la matrice R,, est un morphisme surjectif du groupe (R, +) sur le groupe (SO(2), ><). Oe morphisme est--il bijectif ? /\ I.A.4) Montrer que, pour tout t de R et tout a non nul de R2, t est une mesure de l'angle orienté (a, pt(u)), où pt est l'endomorphisme (la rotation d'angle t) th canoniquement associé à Rt. Pour tout 16 EUR Rï et tout t E R, l'endomorphisme kpt est appelé similitude directe de rapport k et d'angle t. I.B -- Matrices semblables et sous-espaces propres Soit A, B E MAR) et P E GLAR) telles que B : P_1AP. I.B.1) Montrer que f A et fB ont les mêmes valeurs propres. I.B.2) Montrer que si À est une valeur propre de A, alors EÀ(fA) : fp(EAf3)). I.C -- Les réfleoeions planes I.C.1) On note K2 : (à _3). Vérifier que l'endomorphisme 00 : fK2 est une réflexion (symétrie orthogonale par rapport a une droite du plan) dont on précisera les éléments propres. 2013-04--16 14:30:22 Page 1/4 GC) BY--NC-SA I.C.2) Pour tout réel t, préciser l'endomorphisme at canoniquement associé a Rt_1 K2 Rt et en particulier ses éléments propres. I.C.3) Montrer, que pour toute matrice A de O(2) telle que det(A) : --1, il existe un réel t tel que A : (cos(2 t) sin(2 t)) sin(2 t) -- cos(2 t) II Matrices directement orthogona1ement semblables Pour A, B dans MAR), on dit que A est orthogonalement semblable a B (ce que l'on pourra abréger en: A os B) s'il existe une matrice P de O(n) telle que B : P_1AP et on dit que A est directement orthogonalement semblable a B (en abrégé : A dos B) s'il existe une matrice P de SO(n) telle que B = P _1AP . II.A -- Propriétés fondamentales de la similitude II.A.1) Montrer que pour toute A de MAR) on a A dos A, que pour tout (A, B) de Mn(R)2 si A dos B alors B dos A et que pour tout (A, B, C) de Mn(R)3 si A dos B et B dos C alors A dos C. On dira donc indifféremment que A est directement orthogonalement semblable a B ou que A et B sont directement orthogonalement semblables. On a les mêmes propriétés pour la relation de similitude orthogonale entre deux matrices carrées de même taille et on ne demande pas de refaire ici les vérifications. II.A.2) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables a ozÏn pour oz réel ? II.A.3) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables a A si A appartient a SO(2) ? II.A.4) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables a K 2 ? II.B -- Comparaison des relations de similitude. Avec SO(n) C O(n) C GLMR), si deux matrices sont directement orthogonalement semblables alors elles sont orthogonalement semblables et si deux matrices sont orthogonalement semblables alors elles sont semblables. II.B.1) Montrer que (0 0 0 2) et (î î) sont directement orthogonalement semblables. II.B.2) Montrer que (à g) et (_Î â) sont semblables mais ne sont pas orthogonalement semblables. 3 --1 0 orthogonalement semblables. II.B.3) Montrer que et sa transposée sont orthogonalement semblables mais ne sont pas directement III Cercle propre d'une matrice carrée réelle d'ordre 2 III.A -- Cercle propre 19 a Pour A _ (e d ) de M2(R) et (oe,y) de R2, on note pA(oe,y) le déterminant de la matrice A(oe,y) : a -- :D b -- y . . 2 , . ,, . e + y al _ gr et on cons1dere CPA la courbe de R définie par l equation : gpA(oe, y) = O. III.A.1) Vérifier que CPA est un cercle (on convient qu'un cercle peut être réduit a un point) ; on appellera CPA cercle propre de A. Préciser son centre CA et son rayon r A. III.A.2) Préciser, en fonction de A, le cardinal de l'intersection de CPA avec l'axe des abscisses R >< {O}. III.A.3) Que représentent les solutions de l'équation g0A(oe, O) = 0 pour A ? Préciser le nombre de valeurs propres réelles de A selon la valeur de AA : (a -- d)2 + 4 bc. III.B -- Deus: cas particuliers Soit A E M2(R). III.B.1) Comparer le cercle propre de A et celui de sa transposée. III.B.2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur CPA pour que A soit symétrique. III.B.3) a ) Déterminer les matrices dont le cercle propre est de rayon nul et caractériser géométriquement leur endomor-- phisme canoniquement associé. b) Lorsque le cercle propre est réduit a son centre, préciser l'endomorphisme canoniquement associé, d'une part quand ce centre appartient au cercle trigonométrique (de centre l'origine O = (O, O) et de rayon 1) et d'autre part quand ce centre appartient a l'axe des abscisses. 2013-04--16 143022 Page 2/4 @°) BY--NC-SA c) Que peut--on dire de la matrice A et de fA quand le cercle propre CPA est de rayon nul et de centre appartenant a l'axe des ordonnées {O} >< R ? III.C -- Cercle propre et matrices directement orthogonalement semblables Montrer que deux matrices A et B de M2(R) sont directement orthogonalement semblables si et seulement si elles ont le même cercle propre. III.D -- Rectangle propre Pour A : (î 19) dans M2(R) on considère les quatre points (éventuellement confondus) E = (d, --c), F = d (a,b), C : (d,b) et H = (a, --c). III.D.1) Dans le cas où A = ( 7), représenter le cercle et le quadrilatère EH F C . --13 III.D.2) Lorsque les quatre points E, F , C et H sont distincts montrer qu'ils sont les sommets d'un rectangle, que l'on appellera rectangle propre de A. III.D.3) Préciser les matrices pour lesquelles certains de ces points sont confondus, c'est--à--dire lorsque le rectangle est aplati. III.E -- Décomposition orthogonale d'un endomorphisme Soit A : (î 19) de M2(R). d III.E.1) Montrer qu'il existe un unique triplet (oz, @ , y) de R2 >< R+ que l'on précisera, tel que A soit directement orthogonalement semblable a (a + W _5 ). 5 a -- v III.E.2) Suivant les valeurs de (oz, @ , y) préciser le nombre de valeurs propres réelles de A. III.E.3) Montrer que pour tout endomorphisme f de R2, il existe des réels positifs ou nuls 16 et EUR, une rotation plane pt et une réflexion 0t/ tels que f : kpt + lat/. III.E.4) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou Mathematica qui prend en entrée un quadruplet (a, b, c, d) de réels et qui renvoie un quadruplet (k,Æ,t,t' ) tel que si A : (î 2) on ait f A : k'pt + KO}! . IV Cercle propre et réduction IV.A -- Cercle propre sécant avec l'aoee des abscisses Dans cette section on considère un cercle C(Q,r) de centre O et de rayon r non nul, sécant avec l'axe des abscisses. On note L1 et L2, de coordonnées respectives (À1,0) et (Ag, 0), avec Al < À2, les deux points d'intersection de C (O, r) avec l'axe des abscisses. Soit A : (î g) une matrice de cercle propre égal a C(Q, r). On conserve les notations E, F, C, H de III.D. IV.A.1) Montrer que A est diagonalisable. --> --> IV.A.2) Montrer que si c # 0, alors (L1E , L2E) est une base de R2 constituée de vecteurs propres pour f A. IV.A.3) Lorsque c = O, peut--on donner une base de vecteurs propres pour f A a l'aide du cercle propre et du rectangle propre ? IV.A.4) Montrer que le carré du cosinus de l'angle de deux vecteurs propres de A associés a deux valeurs propres distinctes est déterminé par le cercle C (O, r), et ne dépend pas du choix d'une matrice A de cercle propre égal C (O, r) (on pourra, si on le juge utile, introduire la projection orthogonale de Q sur l'axe des abscisses). Qu'en est--il si A est symétrique ? IV.A.5) Oaractériser géométriquement f A lorsque Q = C, avec O = (0,0), et r = 1. IV.A.6) Oaractériser géométriquement f A lorsque CPA est le cercle de diamètre le segment [0,1] avec [ = (1,0). I V.B -- Cercle propre tangent a l'aoee des abscisses Dans cette section on considère un cercle C (O, r) de centre O et de rayon r non nul, tangent a l'axe des abscisses. On appelle L, de coordonnées (À, 0), le point de contact de C (O, r) avec l'axe des abscisses. Soit A une matrice de cercle propre égal a C (O, r). 2013--04--16 14:30:22 Page 3/4 @C) BY--NC-SA IV.B.1) La matrice A est--elle diagonalisable ? Est--elle trigonalisable ? IV.B.2) Peut--on donner un vecteur propre a l'aide des points L, E, F , G et H ? IV.B.3) Que peut--on dire des matrices dont le cercle propre est tangent a l'axe des abscisses et de centre situé sur l'axe des ordonnées ? IV.B.4) Montrer qu'il existe un unique réel non nul oz tel que A soit directement orthogonalement semblable a la matrice T,\,a : (à î). Préciser oz a l'aide des éléments de la matrice A. Où peut--on retrouver ce nombre sur le cercle propre ? IV.B.5) Montrer qu'il existe une base orthonormée directe (e1,e2) du plan telle que l'on ait, pour tout u de R2, fA(u) : Àu + oz(e2lu)e1. I V.C -- Cercle propre disjoz'nt de l'aoee des abscisses Dans cette section on considère un cercle C (Q, r) de centre Q et de rayon r > 0 disjoint de l'axe des abscisses. On note K le projeté orthogonal de Q sur l'axe des abscisses. Soit A une matrice de cercle propre égal a C (Q, r). IV.C.1) Existe--t--il une matrice P de GL2(R) telle que la matrice P _1AP soit diagonale ? Existe--t--il une matrice P de GL2(R) telle que la matrice P _1AP soit triangulaire supérieure ? IV.C.2) Déterminer les points de C (Q, r) en lesquels la tangente a C (Q, r) contient K. IV.C.3) Si U est l'un de ces points, exprimer les valeurs propres de A, considérée comme élément de M2(C), a l'aide de l'abscisse de K et de la distance KU de K a U . IV.D -- Deuoe eoeemples . . . b . Dans cette section, on cons1dere dans R2 un cercle C(Q, r) de centre Q et de rayon r et A : (î ) une matrice d de cercle propre égal a C (Q, r). IV.B.1) Dans cette question, Q = (04,5) E R >< R*, r : fil et E : (oz + l5l,5). Préciser les valeurs propres de A et donner une matrice B dont les termes non diagonaux sont opposés et qui soit directement orthogonalement semblable a A, ainsi qu'une décomposition orthogonale de l'endomorphisme canoniquement associé a B. IV.B.2) Dans cette question Q = (0, oz) avec oz > 0 et r : a/2. Préciser les valeurs propres A et donner une matrice B dont les éléments non diagonaux sont opposés et qui soit directement orthogonalement semblable a A, ainsi qu'une décomposition orthogonale de l'endomorphisme canoniquement associé a B. Faire un dessin dans le cas où oz : 6 illustrant les questions IV.C.2 et IV.C.3. V Quadrique propre a !) PourA--(C d a--oe--iz b--y c+y d--oe--iz ) de M2(R) et (ac, y, z) de R3, on note wA(oe, y, z) la partie réelle du déterminant de la matrice ), où i est l'affixe complexe du point ] = (0,1). V.A -- V.A.1) Calculer wA(oe, y, z). V.A.2) Préciser la nature de la quadrique 7--[A d'équation wA(oe, y, z) = O. V.B -- V.B.1) Préciser l'intersection de 7--[A avec le plan d'équation z = O. V.B.2) Préciser l'intersection ZA de 7--[A avec le plan d'équation :E = (a + d)/2. V. C' -- V.C.1) Si la matrice A a deux valeurs propres non réelles, comment voir les valeurs propres de A sur "HA ? (On pourra s'intéresser a l'intersection de Z A avec le plan d'équation y = 0.) Peut--on voir une base de vecteurs propres a l'aide de "HA ? 7) faire un dess1n en perspective 1llustrant ce qui precede. V.C.2) Dans le cas où A = (_1 3 oooFINooo 2013-04--16 143022 Page 4/4 @°) BY--NC-SA

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 Centrale Maths 2 PC 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Émilie Liboz (Professeur agrégé à l'université), il a été relu par Clément Mifsud (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet est consacré à l'étude d'une relation de similitude entre matrices, appelée similitude directement orthogonale, en lien avec le groupe orthogonal. Les principales parties du programme d'algèbre traitées dans cette épreuve sont la description des groupes O(2) et SO(2) ainsi que la réduction des endomorphismes. Mais ce sujet fait appel aussi à de nombreuses connaissances de géométrie, comme l'étude de rotations planes ou de cercles, de coniques et même de quadriques dans la cinquième et dernière partie. · La première partie est dédiée à l'étude des groupes O(2) et SO(2) avec quelques rappels concernant la réduction de matrices semblables. · La deuxième partie définit la relation de similitude directement orthogonale puis établit quelques propriétés élémentaires. Elle se poursuit par des exemples. · On relie ensuite cette similitude avec un cercle défini à partir d'une matrice A appartenant à M2 (R), appelé cercle propre de la matrice, dans la partie III. Cette étude géométrique permet en fin de partie, puis dans la partie IV, d'obtenir des informations algébriques sur cette matrice, notamment ses valeurs propres et une décomposition de l'endomorphisme associé. · Enfin, la partie V traite du cas des matrices à valeurs propres non réelles en généralisant, à l'aide de quadriques, les raisonnements des parties précédentes. Ce problème est long (54 questions !) et comporte quelques questions particulièrement pointues ; il est donc difficilement traitable en quatre heures, mais il constitue un bon entraînement car il couvre de nombreuses parties du programme d'algèbre et de géométrie. Indications Partie I I.A.3 Pour montrer que, pour t, t R (t + t ) = (t)(t ) on peut calculer chaque côté de l'égalité séparément et les comparer. I.A.4 Utiliser les formules données dans l'énoncé pour caractériser une mesure d'un angle orienté. I.B.2 Traduire en égalités matricielles les propriétés suivantes pour u Rn : u E (fA ) et u fP (E (fB )) puis les composer par les matrices P et P-1 . I.C.1 Vérifier que K2 O(2) - SO(2) et déterminer les éléments fixés par 0 . I.C.2 Vérifier que Rt -1 K2 Rt O(2) - SO(2) et exprimer les éléments fixés par t en fonction de ceux fixés par 0 . I.C.2 Calculer le produit Rt -1 K2 Rt et utiliser la question précédente. Partie II II.A.3 Utiliser les questions I.A.1 et I.A.3. II.A.4 Utiliser la question I.C.3. II.B Chercher une « bonne » base de vecteurs propres de ces matrices. II.B.3 Construire explicitement une matrice de passage orthogonale et remarquer qu'elle et son opposé sont les seules solutions. Partie III III.B.1 Comparer les centres et les rayons des deux cercles. III.B.3 Utiliser les résultats des questions I.A.1, I.A.4 et III.A.1. III.C Pour montrer que deux matrices directement orthogonalement semblables ont le même cercle propre, étudier les matrices suivantes : -x -y -x -y A(x, y) = A + et B(x, y) = B + y -x y -x Pour la réciproque, il faut étudier les parties symétriques et antisymétriques de deux matrices qui ont le même cercle propre. III.D.3 Traduire le fait que les points sont confondus en termes de propriétés des coefficients de la matrice. III.E.1 Utiliser le résultat de la question III.C et comparer le cercle propre de la matrice A avec celui de la matrice donnée par l'énoncé. III.E.2 Comme à la question III.A.3, il faut étudier les points d'intersection du cercle propre avec l'axe des abscisses. III.E.3 Utiliser le résultat de la question III.E.1 et les descriptions matricielles des endomorphismes t et t faites à la partie I. Partie IV IV.A.3 Exprimer les valeurs propres dans le cas c = 0 en fonction de a et d et chercher les vecteurs propres de A pour ces valeurs propres. IV.A.4 Penser à utiliser des résultats basiques de géométrie du cercle et du triangle rectangle. IV.B.2 S'inspirer du raisonnement fait à la question IV.A.2. IV.B.3 Déterminer l'unique valeur propre d'une telle matrice. IV.B.4 Raisonner comme pour répondre à la question III.E.1. IV.C.1 Étudier les valeurs propres de A. IV.C.2 Voir ces points comme les points d'un autre cercle. IV.C.3 Exprimer xK et KU en fonction des coefficients de la matrice A afin de relier ces grandeurs aux valeurs propres de A. IV.D Utiliser la question III.E.1 pour déterminer la matrice directement orthogonalement semblable à A à partir du cercle propre. I. Le groupe orthogonal en dimension 2 I.A Les rotations planes I.A.1 Le groupe SO(2) est défini de la manière suivante : SO(2) = {A M2 (R), t A A = I2 et det(A) = 1} En général, pour montrer qu'une matrice A est un élément de O(2) on mont t trera indifféremment soit que A A = I2 , soit que A A = I2 , ou encore que les colonnes de la matrice A forment une famille orthonormée car toutes ces propriétés sont équivalentes. Soit t R. La matrice cos t Rt = sin t - sin t cos t a pour déterminant det(Rt ) = cos2 t + sin2 t = 1 et ses vecteurs colonnes sont clairement de norme 1 et orthogonaux. Cela suffit à assurer que Rt est un élément de SO(2). Réciproquement, considérons une matrice A SO(2) et montrons que A peut s'écrire sous la forme d'une matrice Rt , avec t R. Pour cela, traduisons les hypothèses connues sur cette matrice A : ( t A A = I2 a b A= SO(2) c d det A = 1 2 a + b2 = 1 (1) ac + bd = 0 (2) 2 2 c +d = 1 (3) ad - bc = 1. (4) L'égalité (1) implique les encadrements 0 6 a2 6 1 et 0 6 b2 6 1. Ainsi, le réel a appartient à [ -1 ; 1 ] et, sachant que l'image de la fonction cos est l'intervalle [-1, 1], on sait qu'il existe t R tel que a = cos t. Mais alors b2 = 1 - cos2 t = sin2 t donc b=+ - sin t. Les fonctions cos et sin étant respectivement paire et impaire, quitte à remplacer t par -t, on peut choisir b = - sin t. De la même manière, on peut trouver un réel u tel que d = cos u et c = sin u. La condition (4) donne alors l'égalité cos t cos u + sin t sin u = cos(t - u) = 1 ce qui impose t u[2] et donc que cos t = cos u ainsi que sin t = sin u. Par conséquent, la matrice A est égale à Rt et finalement, Une matrice A est un élément de SO(2) si et seulement s'il existe un réel t tel que A = Rt . I.A.2 Les réels a, b, c et d étant donnés, il faut commencer par vérifier que la matrice est bien un élément de SO(2), c'est-à-dire que les coefficients donnés vérifient bien le système des quatre équations de la question précédente.