Centrale Maths 2 PC 2011

Thème de l'épreuve Approximation de vecteurs à l'aide d'une rotation
Principaux outils utilisés groupe orthogonal, réduction des matrices symétriques
Mots clefs rotations, trace de matrices, optimisation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Y, '» Mathématique 2 "s' __./ PC EDNEDlIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées 2011 Notations -- Dans tout le problème, n est un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2. -- On note Mn7p(R) Pensemble des matrices a n lignes et p colonnes et à coefficients réels. -- En particulier, Mn71(R) désigne Pensemble des matrices colonnes à n lignes et à coefficients réels. Selon Fusage, on pourra librement identifier les espaces vectoriels Mn,1(R) et R". -- On note Mi,j le coefficient sur la i--ème ligne et j--ème colonne d7une matrice M. -- L7espace Mn,1(R) est muni de sa structure euclidienne usuelle. En particulier, si (V, W) EUR Mn,1(R)2, on pose " " 1/2  = ZW1Wi.1 et iiVii2 = (E l/i,21) i=1 i=1 -- La notation tJW désigne la transposée d7une matrice M, rg(M) son rang et, lorsque M est carrée, tr(M) sa trace. On rappelle que tr(AB) = tr(BA) pour tout A E Mk,l(R) et B E Mz,k(R). -- On note également O,,( &) le groupe des matrices orthogonales d7ordre n, ():; (R) le sous--groupe de O,, (R) for-- mé des matrices de O,,( &) de déterminant positif et O,? (R) Pensemble des matrices de O,, (R) de déterminant négatif. -- Par définition, une rotation est un automorphisme orthogonal de l7espace M...1(R) de déterminant l. Objectif du problème On se donne des vecteurs Xl, . . . , X..., Y1, . . . ,Y... de Mn71(R), et on cherche à déterminer, si c7est possible, une rotation ?" de Mn71(R) telle que r(X,-) = Y,- pour l< i $ m Cela revient à déterminer une matrice W E O:{ (R) réalisant WX,=Y, pour l£i tr((tM)N) est un produit scalaire sur M......(R). On pose désormais F = ......)N) et HMHF = ë" II.A.2) Montrer que, pour toute matrice W EUR MAR), on a Z HWX. = YAlâ = HWX = YH% i:1 II.A.3) Simplifier (WM, WN)F et HWMHp pour W EUR (QAR) et (M, N) E M......(R)? II.A.4) Simplifier aussi (MW, NW)F et HMWHp pour W EUR (Q...(R) et (M, N) E M,...AR)2 . II.B = Dans cette section, on suppose que m = n. II.B.1) Calculer HWHp pour W EUR (QAR). II.B.2) Montrer que si une suite (Mk)kEURN d7éléments de (QAR) converge vers M EUR MAR), alors M EUR (QAR) et en déduire que (QAR) est une partie fermée de MAR). II.B.3) Montrer que (QAR) est une partie compacte de MAR). II. C' = Dans cette section, m et n ne sont plus supposés égaux. II.C.1) Justifier l7eXistence d7une matrice W EUR (QAR) minimisant HWX = YHî=, c7est--a--dire vérifiant VZ EUR On(R)v llWX *Ylliw < HZX * Ylliw II.C.2) Montrer que les matrices W EUR (QAR) minimisant HWX = YHî= sont les matrices W EUR (QAR) maximisant (WX ,Y) F. II.C.3) Déterminer a l7aide de X et Y une matrice A E MAR) telle que, pour toute matrice W EUR (QAR), F : F II.D = Dans cette section, A désigne une matrice diagonale d7ordre n à coefficients positifs. II.D.1) Déterminer une matrice W/ EUR (QAR) maximisant (WC A)F. II.D.2) On suppose de plus que les coefficients diagonaux de la matrice A vérifient : A171 >...2Arm >Oet A...-=O pourr+l 2 An," 2 0. Ce résultat sera démontré dans la partie III. II.E.1) Déterminer a l7aide de P et Q une matrice W EUR (QAR) maximisant (W, A)F, et appartenant à (Q:,r (R) si et seulement si det P ' det Q > O. II.E.2) Montrer que si det A > 0, il existe une unique matrice W EUR (Q:,r (R) maximisant (W, A)F, au sens où VZ EUR OTÎ(R)7 F ? F 20 avril 2011 11:30 Page 2/4 @c) BY--NC-SA II.E.3) Dans cette question, on suppose que A,..., = 0. Déterminer une matrice W/ E O,? (R) maximisant (W/ , A) F. II.E.4) Dans cette question, on suppose que detA = 0 et que detP ' detQ < 0. Déduire de la question précédente une matrice W E C:," (R) maximisant (W, A) F. III Une décomposition matricielle Lbbjectif de cette partie est d7établir le résultat admis dans la partie précédente. Soit M EUR Mn,p(R) de rang ?" 2 l. III.A * Soit B = (ÊM)M. III.A.I) Montrer que B est une matrice symétrique réelle. Que peut--on en déduire? III.A.2) Montrer que B est positive, c7est--a--dire que pour tout V E Mp,1(R), (tl/)BV } 0. En déduire que les valeurs propres de B sont positives. III.A.3) Montrer que ker B = ker M. En déduire que rg(B) = 7". (M étant une matrice de MMO (R), on pose kerM = {x EUR M,...(R), MX = 0}.) III.B * Dans la suite de cette partie, on note : -- f Papplication linéaire de Rp dans R" canoniquement associée à M, -- g Vendomorphisme de Rp canoniquement associé à B, -- À1, . . . , Àp les valeurs propres (distinctes ou non) de g rangées par ordre décroissant : À12À22...2Àr>0=ÀT+1=....=ÀP -- et enfin (Ul, . . . , Up) une base orthonormée de Rp formée de vecteurs propres de g associés respectivement aux valeurs propres À1, . . . ,Àp. III.B.I) On pose u,- = \/À_,- pour 1 £ i £ p et u,- = Îf(v,) pour 1 £ i $ 7". Montrer que (tu,. .. ,u,) est une base orthonormée de lm(f). III.B.2) Soit A = (A,-7j) EUR Mn,p(R) la matrice dont les seuls coefficients non nuls sont A171, . . . , A..." qui valent #1» . . . ,u,... Montrer qu7il existe Q E O,, (R) et P E Op(R) telles que M = QAP*1 = QA(ÊP) IV Sur la trace des matrices orthogonales Dans cette partie, on étudie la trace maximale d7une matrice de O,? (R), ce qui va permettre d7aboutir dans les cas laissés en suspens dans la partie II a une matrice W EUR O,Ï( &) minimisant 2221 HWX, -- Y,Hâ. IV.A = IV.A.I) Déterminer la trace maximale d7une matrice de O,,( &). IV.A.2) Soit E un espace vectoriel euclidien, et w un automorphisme orthogonal de E. Justifier que les seules valeurs propres possibles pour w sont 1 et --l. IV.A.3) Montrer que --l est valeur propre de toute matrice W E O,? (R). IV.A.4) Montrer que si F est un sous--espace vectoriel d7un espace vectoriel euclidien E, stable par un automorphisme orthogonal w de E, alors Forthogonal de F est aussi stable par w. IV.A.5) Montrer que pour tout W E O,? (R), il existe P1 EUR O,,(R) et W1 EUR OZÎ1(R) tels que =l 0 ,,I W = P1 1' 1 (ÊP1) Ûn=1,1 Wl où 0... désigne la matrice nulle dans M...(R). IV.A.6) Conclure sur la trace maximale d7une matrice de O,? (R). IV.B * On rappelle que minimiser 2221 HWX, -- Y,Hâ revient à maximiser (W, A)F avec A E M,,(R) une certaine matrice qui peut s7écrire sous la forme QA(ÊP) avec (P, Q) E ('),,(R)2 et A E M,,(R) diagonale, à coefficients diagonaux vérifiant A1,1>H'>An,n>0 IV.B.I) Déterminer une matrice W/ E O,; (R) maximisant (WC A)F en commençant par écrire (WC A)F a l7aide de tr(W') et des coefficients W! pour 1 £ i £ n -- l. 1,757 IV.B.2) En déduire, lorsque det P ' det Q < 0, une matrice W E C:," (R) maximisant (W, A)F. 20 avril 2011 11:30 Page 3/4 @c) BY--NC-SA V Calcul numérique Dans cette partie, on étudie un algorithme permettant de calculer de manière approchée une matrice W E O:{ (R) minimisant Zîîl HWX, + Y,Hâ pour certaines matrices Y. V.A + Étude d'une suite de réels On considère 8 Fensemble des suites (æk)kEURN de réels vérifiant : æä+3 --pourkEURN 3æä+l æ0>0 etæk+1=æk' V.A.l) Écrire une instruction en Maple ou Mathematica permettant de calculer les trente premiers termes de la suite (æk)kEURN EUR 8 telle que æ0 = 0,1. V.A.2) Représenter graphiquement le comportement d7une suite (æk)kEURN EUR 8 pour un we > 0 quelconque. On effectuera les calculs nécessaires à une représentation soignée. V.A.3) Démontrer la convergence d7une telle suite et préciser sa limite. V.B + Étude d'une suite de matrices On considère }" Fensemble des suites (Zk)kEURN de matrices de Mn(R) vérifiant les deux conditions suivantes : i. ZO est inversible: ii. Zk+1 = Zk(tZka + 3In)(3tZkZ,EUR + L,)Î1 pour [EUR E N (I,, désigne la matrice identité d7ordre n). V.B.l) Montrer que pour toute matrice Z EUR MAR), la matrice 3ÊZZ + L, est bien inversible. V.B.2) Soit (21EUR)ng E J'". D7après la deuxième partie, Z0 peut s7écrire sous la forme QD(ÊP) avec (Q, P) E OMR)2 et D E Mn(R) diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs. On définit, pour tout [EUR E N, Passertion Pk ainsi : « Zk peut s7écrire sous la forme QDk(ÊP) avec Dk diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs ». Montrer que pour tout [EUR E N, Pk est vraie. V.B.3) Déterminer la limite de la suite (Zk)kEURN. V.C + Une application On fixe Xl, . . . ,X... des éléments de Mn,1(R), et on note X la matrice de M......(R) dont les colonnes sont Xl, . . . ,X.... On fixe également WO E O:{ (R), et on pose YO = W0X. On suppose de plus la matrice X de rang n V.C.l) Montrer qu7il existe un ouvert M de M......(R) contenant YO tel que pour tout Y E M, l7on ait det(Y(tX)) > O. V.C.2) Dans le cas où Y E M, quelle valeur donner a Z0 pour que la suite (21EUR)ng EUR }" converge vers W EUR OË(R) minimisant ZÎ21HWXÏ+ Y,Hâ ? oooFlNooo 20 avril 2011 11:30 Page 4/4 (CC) BY--NC-SA

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 Centrale Maths 2 PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Romain Cosset (Professeur agrégé) ; il a été relu par Christophe Fiszka (ENS Cachan) et Laetitia Borel-Mathurin (Professeur en CPGE). Le but de l'épreuve est de trouver une rotation permettant de transformer des vecteurs en une approximation d'autres vecteurs. Pour cela, on étudie le groupe des matrices orthogonales On (R) et en particulier le sous-groupe On+ (R). Le sujet se compose en 5 parties. · La première comprend à la fois des questions de cours et des petits calculs. La question I.A.3 sera très utilisée dans la suite de l'épreuve. · La deuxième partie est la plus longue (plus d'un tiers du sujet). Elle a pour but de définir un produit scalaire et de montrer que le problème revient à chercher une matrice W dans On+ (R) maximisant hW, AiF pour une certaine matrice A. De plus, les sous-parties D et E résolvent le problème dans des cas particuliers. · La troisième partie est plus théorique : elle démontre un résultat de décomposition matricielle admis dans la partie précédente. · La quatrième permet de résoudre le problème dans le cas général. La deuxième sous-partie reprend le même raisonnement que celui de la partie II. · Finalement, la dernière partie diffère des précédentes par les outils mis en oeuvre : on y étudie des suites du type un+1 = f (un ) et on utilise des propriétés de topologie. La dernière question, qui nécessite une vue d'ensemble du sujet, a pour but d'obtenir une méthode efficace pour résoudre le problème initial. Il est conseillé de traiter ce sujet dans l'ordre car des raisonnements se ressemblent. Par ailleurs, on utilise plusieurs fois (questions II.D.2, III.A.3 ou V.B.3) des résultats intermédiaires établis au cours des preuves des questions précédentes. L'utilisation par l'énoncé de la lettre W peut conduire à des erreurs : suivant les questions, W désigne une matrice fixée de On (R), On+ (R) ou de On- (R), ou une matrice quelconque de l'un de ces ensembles. De même, il fallait bien préciser sur quel ensemble on maximise les fonctions h·, AiF . Indications Partie I I.A.3 Utiliser le fait que les colonnes d'une matrice orthogonale forment une base orthonormée. Partie II t II.A.1 Appliquer la formule Tr ( A) = Tr (A). II.A.2 Revenir à la définition de la trace comme somme des termes diagonaux de la matrice. II.A.4 Utiliser la formule Tr (AB) = Tr (BA). II.B.1 Appliquer la question II.A.3. II.B.3 Montrer que On (R) est une partie bornée de Mn (R) et utiliser la question précédente. II.C.1 Que peut-on dire d'une fonction continue sur un compact ? Utiliser le résultat de la question II.B.3 pour conclure. II.C.3 Revenir à la définition du produit scalaire. II.D.1 Écrire hW , iF en fonction des coefficients des matrices W et . Majorer cette quantité et chercher les conditions d'égalité. II.E.1 Utiliser la question II.D.1. II.E.2 Reprendre la preuve de la question précédente et utiliser la question II.D.2. Partie III t III.A.2 Pour montrer que les valeurs propres de B sont positives, calculer V BV pour un vecteur propre V de B. III.A.3 Appliquer le théorème du rang aux endomorphismes canoniquement associés aux matrices M et B. Partie IV IV.A.1 Exploiter la question I.A.3. IV.A.5 Utiliser les questions IV.A.3 et IV.A.4 avec F l'espace vectoriel engendré par un vecteur propre associé à la valeur propre -1 de W On- (R). IV.A.6 Appliquer la question précédente et la formule Tr (AB) = Tr (BA) puis la question IV.A.1. Partie V t V.B.1 Prendre un vecteur du noyau de 3 Z Z + In et utiliser la question III.A.1 pour t avoir des conditions sur les valeurs propres de Z Z. V.B.3 Exprimer les coefficients diagonaux de Dk+1 en fonction de ceux de Dk et appliquer les résultats de la partie V.A. V.C.1 Étudier l'application Y 7 det(Y t X) au voisinage de Y0 . t t V.C.2 Écrire Y X sous la forme Q PPà l'aide de la partie III. Caractériser les 2 matrices minimisant la quantité m i=1 kWXi - Yi k2 en terme de Q et P à l'aide des questions II.C.3 et II.E.1. Utiliser la question V.B.3 pour connaître les limites possibles des suites de F . I. Questions préliminaires I.A.1 Un élément M de Mn (R) appartient au groupe orthogonal On (R) si et seulet ment si M M = In . En prenant le déterminant de cette relation, on obtient t t 1 = det( M M) = det( M) det(M) = det(M)2 Ainsi les matrices orthogonales sont de déterminant + -1 et donc Les matrices de On+ (R) sont de déterminant 1 et celles de On- (R) de déterminant -1. Par définition, les rotations étant des matrices orthogonales de déterminant 1, le groupe On+ (R) est l'ensemble des rotations. I.A.2 Si On- (R) était un sous-groupe de On (R) alors il devrait contenir In , l'élément neutre de On (R). Or l'identité a pour déterminant 1 et n'appartient pas à On- (R). On en déduit que L'ensemble On- (R) n'est pas un groupe. I.A.3 Les colonnes d'une matrice orthogonale forment une base orthonormée pour t le produit scalaire hx, yi = x y. La j e colonne de M est donc de norme 1 c'est-à-dire n P i=1 M2i,j = 1 Comme les M2i,j sont des réels positifs de somme 1, ils sont tous inférieurs à 1. Les valeurs absolues des coefficients de M sont inférieures ou égales à 1. Redémontrons que les colonnes de M forment une base orthonormée. Soit ei le vecteur de Mn,1 (R) dont la ie coordonnée est 1 et dont les autres sont nulles. Le vecteur Mei est alors la ie colonne de M notée Mi . On a donc hMi , Mj i = t ei t M Mej = t ei ej = i,j où i,j est égal à 1 si et seulement si i = j et est égal à 0 sinon. Si M est une matrice orthogonale alors t M l'est aussi. En appliquant le résultat précédent, on obtient que les lignes de M forment aussi une base orthonormée. I.B.1 La forme trigonométrique d'un nombre complexe z est z = |z| exp(i) où appartient à ] - ; ]. On a 1 = 2 2 = 2e i 4 1 = e i 3 2 = e i 2 3 Remplaçons ces valeurs dans la fonction f et simplifions la : pour R, f () = 1 - e i 1 2 + 2 - e i 2 2 2 = e i 3 - 2e i + e i 3 - 2e i(+ 4 ) 2 2 2 + e i 3 1 - 2e i(+ 4 - 3 ) = e i 3 1 - 2e i(- 3 ) 2 f () = 1 - 2e i(- 3 ) 2 2 + 1 - 2e i(- 12 ) 5 2 2 2 Les deux modules ci-dessus sont donc du type 1 - 2e i . En utilisant la formule 2 |z| = Re (z)2 + Im (z)2 , on obtient ainsi 1 - 2e i 2 1 - 2e i 2 2 2 = (1 - 2 cos()) + (2 sin()) = 1 + 4 cos()2 + sin()2 - 4 cos() = 5 - 4 cos() 5 + cos - f () = 10 - 4 cos - 3 12 D'où En utilisant la formule cos(a) + cos(b) = 2 cos((a - b)/2) cos((a + b)/2), il vient f () = 10 - 8 cos 3 cos - 24 8 I.B.2 D'après la question précédente, la fonction f est dérivable sur R de dérivée : 3 R f () = 8 cos sin - 24 8 La dérivée de f s'annule quand sin ( - 3/8) est nul, c'est-à-dire pour - 3/8 congru à 0 modulo . D'après la 2-périodicité de f , on peut restreindre l'étude à ] - ; ]. Dans cet intervalle, la fonction f peut admettre des maxima locaux en deux valeurs de : = 3 8 et = 3 5 - =- 8 8 Pour ces deux valeurs, on a 3 f = 10 - 8 cos cos(0) = 10 - 8 cos 8 24 24 et f 5 - = 10 - 8 cos cos(-) = 10 + 8 cos 8 24 24 Le nombre cos (/24) étant positif, on vérifie que f (3/8) est un majorant de f car la fonction cosinus est à valeurs dans [ -1 ; 1 ]. On en déduit que Les valeurs de minimisant f () sont les 3/8 + 2k pour k Z.