Centrale Maths 2 PC 2010

Thème de l'épreuve Systèmes de racines et triplets admissibles
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction matricielle
Mots clefs symétries orthogonales, matrices nilpotentes, semblables, triplets admissibles

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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PC 4 heures Calculatrices autorisées 2010 Mathématiques II Les parties I et II sont indépendantes. La partie III est pour une large part indépendante des deux autres. I Systèmes de racines Les systèmes de racines interviennent dans divers domaines des mathématiques et en cristallographie. Le couple (E, h., .i) désigne un espace euclidien de dimension n 1. On note k . k la norme associée au produit scalaire h., .i. On rappelle qu'une réflexion de E est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan de E. Pour tout élément non nul de E, on note la réflexion de E par rapport à l'orthogonal de la droite Vect(). I.A ­ Soit un élément non nul de E. Montrer, pour tout vecteur x de E, l'identité : h, xi (x) = x - 2 h, i Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on appelle système de racines de F une partie non vide R de F vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. R est fini, engendre F et ne contient pas le vecteur nul ; 2. pour tout dans R, on a (R) = R ; 3. pour tout dans R, les seuls éléments de R colinéaires à sont et - ; h, i Z. 4. pour tout couple (, ) dans R2 , on a 2 h, i I.B ­ On suppose dans cette question que l'espace E est de dimension 1. Montrer que les systèmes de racines de E sont les ensembles {, -}, avec E \ {0}. I.C ­ Dans cette question, l'espace E est de dimension n 2. Pour tout couple (, ) de vecteurs non nuls de E, soit , l'angle géométrique entre et , c'est-à-dire l'unique élément de [0, ] donné par : kk.kk cos , = h, i. I.C.1) Soit R un système de racines de E et soient , deux éléments de R non colinéaires. kk kk a) Montrer, à l'aide de la propriété 4, que : 2 |cos , |.2 |cos , | 3. kk kk b) On suppose kk kk. Montrer que le couple (, ) se trouve dans l'une des configurations recensées dans le tableau ci-dessous (chaque ligne correspondant à une configuration) : , cos , kk/kk /2 0 /3 1/2 2/3 -1/2 /4 2/2 3/4 - 2/2 /6 3/2 5/6 - 3/2 1 1 1 2 2 3 3 I.C.2) Réciproquement, on suppose qu'un couple (, ) de vecteurs non colinéaires de E se trouve dans h, i est un entier relatif ; en l'une des configurations recensées dans le tableau ci-dessus. Montrer que le réel 2 h, i préciser la valeur. I.D ­ Dans cette question, l'espace E est de dimension n = 2. Pour tout système de racines R de E, on pose R = min{, | (, ) R2 , 6= et 6= -} I.D.1) Montrer que R est bien défini et est égal à /2, /3, /4 ou /6. I.D.2) Pour chaque valeur de k {2, 3, 4, 6}, représenter graphiquement un système de racines Rk tel que Rk = /k. Il n'est pas nécessaire de justifier que les figures tracées représentent bien des systèmes de racines. Quel est le cardinal de Rk ? Aucune justification n'est attendue. I.E ­ Dans cette question, l'espace E est de dimension n = 3. 26 avril 2010 17:32 Page 1/4 2009-009 Soient (e1 , e2 , e3 ) une base orthonormale de E et R0 = {ei - ej | 1 i, j 3, i 6= j}. I.E.1) Montrer que le sous-espace vectoriel de E engendré par la partie R0 est un plan vectoriel. I.E.2) Représenter graphiquement R0 dans le plan Vect(R0 ). Reconnaître l'un des systèmes de racines représentés à la question I.D.2. II Propriétés de M0 (n, K) · La lettre n désigne un entier supérieur ou égal à 1. · On note K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes. · On note respectivement M(n, K), GL(n, K), D(n, K) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K, le groupe des matrices inversibles de M(n, K), le sous-espace vectoriel de M(n, K) formé des matrices diagonales. · On désigne par M0 (n, K) l'ensemble des matrices de M(n, K) de trace nulle. · On note In la matrice identité et 0 la matrice nulle de M(n, K). · On dit qu'une matrice A de M(n, K) est nilpotente s'il existe un entier naturel non nul r tel que Ar = 0. De la même manière, on dit qu'un endomorphisme f est nilpotent s'il existe un entier naturel non nul r tel que f · · · f = 0. | {z } r fois · · Pour tout couple (A, B) d'éléments de M(n, K), le crochet [A, B] est défini par [A, B] = AB - BA. Pour tout A M(n, K), on définit l'endomorphisme A : M(n, K) - B - 7 M(n, K) [A, B] · On dit qu'un triplet (X, H, Y ) de trois matrices non nulles de M(n, K) est un triplet admissible si les trois relations suivantes sont vérifiées : [H, X] = 2X ; [X, Y ] = H ; [H, Y ] = -2Y On pose : 0 1 1 0 0 0 0 1 ; H0 = ; Y0 = ; J0 = X0 = 0 0 0 -1 1 0 -1 0 II.A ­ Généralités II.A.1) II.A.2) M0 (n, K). Montrer que M0 (n, K) est un K-espace vectoriel ; en préciser la dimension. Justifier que, pour tout couple (A, B) d'éléments de M(n, K), la matrice [A, B] appartient à II.B ­ Un isomorphisme Montrer que l'application j : K3 - x y - 7 z M0 (2, K) x y+z y - z -x est un isomorphisme de K-espaces vectoriels. II.C ­ Caractérisation des matrices nilpotentes Soit A une matrice non nulle de M0 (2, K). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i. La matrice A est nilpotente ; ii. Le spectre de A est égal à {0} ; 0 1 iii. La matrice A est semblable à la matrice . 0 0 II.D ­ Le cas complexe On suppose dans cette question que K est égal à C. II.D.1) Montrer que deux matrices non nulles de M0 (2, C) sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique. II.D.2) Ce résultat reste-t-il vrai pour deux matrices non nulles de M0 (n, C), avec n 3 ? II.E ­ Le cas réel On suppose dans cette question que K est égal à R. II.E.1) Soit A une matrice de M0 (2, R). On suppose que son polynôme caractéristique vaut X 2 + r2 , où r est un réel non nul. a) Justifier l'existence d'une matrice P GL(2, C) vérifiant : irH0 = P -1 AP . Que vaut la matrice A2 +r2 I2 ? 26 avril 2010 17:32 Page 2/4 2009-009 b) Soit f l'endomorphisme de R2 canoniquement associé à la matrice A, c'est-à-dire qui à un vecteur colonne u de R2 associe le vecteur Au. Soit w un vecteur non nul de R2 . Prouver que la famille 1r f (w), w est une base de R2 , et donner la matrice de f dans cette base. II.E.2) Montrer que deux matrices non nulles de M0 (2, R) sont semblables dans M(2, R) si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique. II.E.3) On munit l'espace vectoriel R3 de sa structure affine euclidienne canonique et de son repère canonique. Pour toute matrice A de M0 (2, R), on note QA l'ensemble des points de R3 dont l'image par l'application j possède le même polynôme caractéristique que A. a) Soit r un réel strictement positif. Montrer que chacune des parties QX0 , QrJ0 et QrH0 est une quadrique dont on précisera une équation. b) Représenter graphiquement l'allure des quadriques QX0 ,QJ0 et QH0 sur un même dessin. II.F ­ Un lemme Soient A, B et M trois éléments de M0 (2, K). II.F.1) Exprimer la trace de la matrice M 2 en fonction du déterminant de M . II.F.2) Démontrer que la matrice M est nilpotente si et seulement si la trace de la matrice M 2 est nulle. II.F.3) On suppose que les matrices A et [A, B] commutent. Démontrer que la matrice [A, B] est nilpotente. II.G ­ Description des triplets admissibles de M0 (2, K) II.G.1) Déterminer les matrices M de M(2, K) qui commutent avec X0 . Quelles sont les matrices M de M0 (2, K) qui commutent avec X0 ? II.G.2) Soit P une matrice de GL(2, K). Vérifier que (P X0 P -1 , P H0 P -1 , P Y0 P -1 ) est un triplet admissible. On se propose de démontrer que, réciproquement, tous les triplets admissibles de M0 (2, K) sont de cette forme. Pour toute la suite de la question II.G, soient X, H, Y trois éléments de M0 (2, K) tels que (X, H, Y ) forme un triplet admissible. II.G.3) Montrer en utilisant les questions II.F et II.C qu'il existe une matrice Q GL(2, K) vérifiant X = QX0 Q-1 . On fixe pour la suite de la question II.G une telle matrice Q GL(2, K). 0 1 . et v = Q II.G.4) On définit les vecteurs u = Q 1 0 a) En calculant le vecteur [H, X]u de deux manières différentes, démontrer que u est un vecteur propre de la matrice H. b) En calculantle vecteur [H, X]v de deux manières différentes, prouver l'existence d'un scalaire t vérifiant 1 t Q-1 . l'identité : H = Q 0 -1 c) Trouver une matrice T GL(2, K) commutant avec X0 et vérifiant la relation H = QT H0 (QT )-1 . On pose désormais P = QT . II.G.5) Soit Y M0 (2, K) telle que (X, H, Y ) soit un triplet admissible. a) b) c) Déduire de la question II.G.1 les matrices de M0 (2, K) qui commutent avec X. Calculer les matrices X (Y - Y ) et H (Y - Y ). En déduire que l'on a Y = Y . II.G.6) Démontrer l'identité (X, H, Y ) = (P X0 P -1 , P H0 P -1 , P Y0 P -1 ). III Systèmes de racines et triplets admissibles d'un sous-espace de M(n, K) III.A ­ Diagonalisation simultanée Soit V un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle. III.A.1) Soient f un endomorphisme de V diagonalisable et W un sous-espace non nul de V stable par f . Montrer que l'endomorphisme de W induit par f est diagonalisable. III.A.2) Soient f et g deux endomorphismes de V qui commutent, c'est-à-dire tels que f g = g f . Montrer que les sous-espaces propres de f sont stables par g. III.A.3) Soit I un ensemble non vide et soit {fi | i I} une famille d'endomorphismes de V diagonalisables commutant deux à deux. Montrer qu'il existe une base de V dans laquelle les matrices des endomorphismes fi , pour i I, sont diagonales. Indication : on pourra traiter d'abord le cas où tous les endomorphismes fi sont des homothéties, puis raisonner par récurrence sur la dimension de V . 26 avril 2010 17:32 Page 3/4 2009-009 III.B ­ Application On reprend dans cette partie les notations de la partie II. Soit A un sous-espace vectoriel non nul de M(n, K) stable par crochet, c'est-à-dire vérifiant : (A, B) A × A, [A, B] A On note E l'intersection de A et D(n, K). III.B.1) Soit H un élément de E. a) Calculer l'image par H de la base canonique de M(n, K). En déduire que H est un endomorphisme diagonalisable de M(n, K). b) Montrer qu'il existe une base de A dans laquelle les matrices des endomorphismes de A induits par les H , pour H E, sont diagonales. Pour toute application de E dans K, on pose : A = {M A | H (M ) = (H)M pour tout H E} III.B.2) Soit une application de E dans K. a) Montrer que A est un sous-espace vectoriel de A. b) Montrer que si A est non réduit à {0}, alors est une forme linéaire de E. On note E l'espace vectoriel des formes linéaires de E et S(A) l'ensemble des éléments de E \ {0} tels que A est différent de {0}. III.C ­ Un exemple On reprend dans cette question les notations des parties I et II ainsi que de la question III.B. On suppose désormais A B 3 t t | (A, B, C) (M(2, R)) , B = B et C = C A= C -tA où, pour tout M M(2, R), le symbole tM désigne la transposée de M. D 0 | D D(2, R) . On a donc E = 0 -D III.C.1) Montrer que A est un sous-espace vectoriel de M(4, R) stable par crochet. Montrer qu'on a A0 = E, où A0 désigne A lorsque est la forme linéaire nulle. Donner une base de A0 . D 0 III.C.2) Pour k {1, 2}, on note ek l'élément de E qui à toute matrice , 0 -D d1 0 D(2, R), associe le coefficient dk . où D = 0 d2 a) Vérifier que (e1 , e2 ) forme une base de E . On munit E de l'unique produit scalaire faisant de (e1 , e2 ) une base orthonormale. b) Soit R = {e1 - e2 , e2 - e1 , e1 + e2 , -e1 - e2 , 2e1 , -2e1 , 2e2 , -2e2 }. Montrer que l'ensemble R est un système de racines de E . On pourra pour cela dessiner la partie R dans le plan euclidien E et reconnaître l'un des systèmes de racines rencontrés dans la question I.D III.C.3) Soit R. Déterminer par le calcul le sous-espace vectoriel A . Vérifier que A est une droite vectorielle. M III.C.4) Établir la relation A = A0 A . R III.C.5) Démontrer l'égalité S(A) = R. III.C.6) 1 0 0 0 -1 0 On pose désormais = e1 - e2 , = 2e2 , H = 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 et H = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 -1 a) En utilisant les résultats de la question III.C.3, montrer qu'il existe un couple (X , X- ) A × A- et un couple (X , X- ) A × A- tels que (X , H , X- ) et (X , H , X- ) soient des triplets admissibles de A. On fixe deux tels triplets admissibles. b) Montrer que A est le plus petit sous-espace vectoriel de M(4, R) stable par crochet et contenant les matrices X , H , X- , X , H et X- . · · · FIN · · · 26 avril 2010 17:32 Page 4/4 2009-009

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 Centrale Maths 2 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Ludovic Béguin (École Polytechnique) et Guillaume Batog (ENS Cachan). Ce problème d'algèbre linéaire est constitué de trois parties indépendantes, à l'exception d'une question de la partie III. · Dans une première partie, on s'intéresse aux systèmes de racines d'un espace vectoriel euclidien ; on en démontre quelques propriétés et on les décrit complètement en dimensions 1 et 2, ce qui occasionne de jolis dessins. · La deuxième partie est une étude des matrices de trace nulle en dimension 2, à la fois sur R et sur C : on caractérise les matrices nilpotentes, les matrices semblables, puis on décrit tous les triplets admissibles. · Enfin, dans la troisième partie, on étend ceci à un sous-espace particulier de M (4, R) après un petit intermède de diagonalisation simultanée. Ce problème soulève peu de difficultés techniques mais, comme bien souvent (trop souvent) au concours Centrale, il est affreusement long et bien pénible à rédiger, surtout dans la dernière partie où les réponses aux questions se diluent au gré de calculs matriciels bestiaux ! On peut quand même déplorer l'absence d'applications concrètes des diverses propriétés démontrées au cours du problème ; les questions s'enchaînent bien, l'énoncé est agréablement directif, mais on ne comprend pas forcément ses objectifs. Indications Partie I I.A Déterminer la décomposition d'un vecteur x E associée à la somme directe E = Vect () Vect (). I.B Utiliser les propriétés 1 et 3 pour déterminer la forme générale d'un système de racines. Vérifier ensuite que les ensembles obtenus conviennent. I.C.1.a Appliquer la propriété 4 aux couples (, ) et (, ), puis utiliser l'inégalité (stricte) de Cauchy-Schwarz. I.C.1.b À l'aide de la question précédente, déterminer les valeurs possibles des entiers N1 = 2 kk |cos , | kk et N2 = 2 kk |cos , | kk I.D.1 Utiliser le résultat de la question I.C.1.b pour montrer l'existence de R = min , (, ) R2 , et non colinéaires I.D.2 Représenter un couple (, ) se trouvant dans l'une des configurations du tableau et utiliser les propriétés 2 et 3 pour compléter la figure. I.E.1 Il suffit d'exhiber une base de ce sous-espace vectoriel. I.E.2 Pour la représentation, il suffit de montrer que le triangle de sommets 0, e1 - e2 et e1 - e3 est équilatéral. Partie II II.A.1 Utiliser les propriétés de la trace. II.B On montrera d'abord que j est un morphisme injectif. II.D.1 Pour le sens indirect, on déterminera les spectres possibles et l'on utilisera la question précédente. II.E.1.b Raisonner par l'absurde et supposer que la famille proposée est liée. II.E.2 S'inspirer de la stratégie adoptée au cours de la question II.D.1 et invoquer la question II.E.1.a pour le nouveau cas de figure. II.E.3.a Noter qu'en dimension 2, le polynôme caractéristique d'une matrice ne dépend que de sa trace et de son déterminant. II.F.2 Utiliser les questions II.C, II.D.1 et II.E.2. II.G.2 On pourra commencer par montrer que P A P-1 , P B P-1 = P [A, B] P-1 pour tous A, B M (2, K) et P GL(2, K). II.G.3 Plus précisément, on utilisera la question II.F.3. II.G.4.a Noter que [H, X] = 2X et appliquer ceci au vecteur u. II.G.4.b Exprimer Hu et Hv en fonction de u et v, afin d'en déduire les images des vecteurs de la base canonique de K2 par la matrice Q-1 H Q. II.G.4.c Simplifier la relation désirée et utiliser la question II.G.1. II.G.5.c Utiliser les résultats des deux questions précédentes. II.G.6 Faire appel aux questions II.G.3, II.G.4.c et II.G.5.c. Partie III III.A.1 En considérant la matrice de f dans une base adaptée, montrer que l'endomorphisme induit fW est annulé par un polynôme scindé à racines simples. III.A.3 Raisonner par récurrence sur la dimension de V. Pour l'hérédité, on utilisera les sous-espaces propres de l'un des fi afin de décomposer V en somme directe de deux sous-espaces stricts A et B, auxquels on appliquera ensuite les résultats des questions III.A.2 et III.A.1. III.B.1.b Utiliser la question III.A.3. III.B.2.a Le plus élégant est de l'écrire comme intersection de sous-espaces propres. III.C.1 On trouvera des conditions nécessaires àA d'appartenance 0 en s'intéressant D 0 1 0 à la commutation avec H = , où D = . 0 -D 0 -1 III.C.3 En utilisant le fait que E est engendré par f1 = Diag(1, 0, -1, 0) et f2 = Diag(0, 1, 0, -1) on peut écrire A = M A f1 (M) = (f1 ) M f2 (M) = (f2 ) M . III.C.4 Utiliser les résultats des questions III.C.1 et III.C.3, ainsi que la description de A employée lors des calculs effectués à ces occasions. III.C.5 Noter que l'on a construit au cours des questions précédentes une base de vecteurs propres des endomorphismes H pour H E. III.C.6.a Exploiter les résultats de la question III.C.3. Comme les sous-espaces A , A- , A et A- sont des droites vectorielles, les choix des couples sont de toute manière assez restreints. Les conseils du jury D'après le rapport du jury, « ce sujet était de nature conceptuelle », faisant intervenir diverses techniques de démonstration (par condition nécessaire et suffisante, par contre-exemple, par récurrence sur la dimension d'un sousespace vectoriel, par chaîne d'implications pour prouver l'équivalence de trois assertions). Il est noté que « les différences entre les candidats ont davantage tenu à la capacité à formuler des raisonnements complets ». Le jury regrette enfin que « les candidats connaissent mal l'usage des quantificateurs ­ même exprimés en langage courant. » I. Systèmes de racines I.A Notons tout d'abord que, comme est un vecteur non nul, son orthogonal {} est un hyperplan. Soit maintenant x E : comme E = {} Vect (), il existe y {} et z Vect () tels que x = y + z. Par définition de la réflexion , on a de plus (x) = y - z = x - 2z Cherchons maintenant à exprimer z en fonction de x. Déjà, z Vect () donc il existe R tel que z = . Ainsi, y = x - . De plus, y {} si bien que h | yi = 0 = h | xi - h | i Il en découle que d'où = h | xi h | i comme h | i 6= 0 (x) = x - 2z = x - 2 = x - 2 Ainsi, x E (x) = x - 2 h | xi h | i h | xi h | i I.B L'espace E étant de dimension 1, il est de la forme E = R e, avec e un vecteur non nul de E. Soit R un système de racines de E. · D'après la propriété 1, cet ensemble est constitué de multiples non nuls de e ; en particulier, comme il est non vide, il en contient au moins un que l'on note . · D'après la propriété 3, les seuls éléments de R colinéaires à sont et -. De ce fait, R contient et -, et ne peut pas contenir d'autres vecteurs de E puisqu'ils sont tous colinéaires. Par conséquent, R est nécessairement de la forme {, -} avec E r {0}. Réciproquement, vérifions que les ensembles de cette forme sont effectivement des systèmes de racines. Soit R = {, -} avec E r {0}. (1) Cet ensemble R est bien fini, ne contient pas le vecteur nul et engendre forcément la droite vectorielle E. (2) Comme est la réflexion par rapport à {} = {0}, on a () = - et (-) = Ainsi (R) = R. De plus - = : il s'ensuit que - (R) = R également. (3) Les seuls éléments de R colinéaires à sont clairement et -. De même pour les éléments colinéaires à -. (4) Les seuls couples de R2 sont (, ), (-, -), (, -) et (-, ). Or 2h | i 2h- | - i = =2Z h | i h- | - i 2h | - i 2h- | i = = -2 Z h | i h- | - i et ce qui montre que 2h | i Z pour tout couple (, ) R2 . h | i