Centrale Maths 2 PC 2008

Thème de l'épreuve Étude de suites récurrentes linéaires
Principaux outils utilisés suites numériques, algèbre linéaire, réduction
Mots clefs matrice compagnon, suites récurrentes linéaires

Corrigé

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- version du 20 fevrier 2008 16h38 MATHÉMATIQUES II Partie I - Recurrences lineaires En deduire l'expression de la matrice M -1 en fonction de a, b, c, d, e. On associe a une telle suite de S(C) la suite (Xn )nN de S(C2 ) definie par : xn n N, Xn = . xn+1 n N, xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0. Filière PC On suppose que A admet deux valeurs propres distinctes 1 et 2 et on note 1 0 . D= 0 2 2 + a1 + a0 = 0. Montrer que est valeur propre de A si et seulement si : c) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , du complexe et de l'entier n. I.A.5) Montrer que l'on a l'alternative suivante : · soit A admet deux valeurs propres distinctes et elle est diagonalisable ; · soit A admet une seule valeur propre et elle n'est pas diagonalisable. Q-1 AQ = T. a) Exprimer a1 et a0 en fonction de . b) Montrer que la matrice A est semblable a la matrice T et determiner les matrices Q inversibles de M2 (C) telles que : a) Determiner les matrices Q inversibles de M2 (C) telles que AQ = QD. b) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , des complexes 1 , 2 et de l'entier n. I.A.4) On suppose maintenant que A admet une seule valeur propre et on note 1 . T = 0 I.A.3) I.A.2) I.A.1) Determiner une matrice A de M2 (C) telle que pour tout entier positif n, on ait : Xn+1 = AXn . Page 1/4 I.A - Recurrences lineaires d'ordre 2 On considere ici les suites (xn )nN de S(C) pour lesquelles il existe des complexes a1 et a0 verifiant la propriete suivante : · On note e = det(M ). On suppose e 6= 0. · Calculer le produit matriciel d -b M . -c a a b Soit une matrice M de M2 (C), M = . c d Question preliminaire Notations · Dans ce probleme, S(C) designe l'espace vectoriel sur C des suites de complexes (xn )nN . · Pour k N, k > 2, S(Ck ) represente l'espace vectoriel des suites (Xn )nN formees de vecteurs de Ck . · On note Mk (C) l'espace vectoriel des matrices carrees a k lignes a coefficients dans C. · Enfin, si M est une matrice, tM designe sa transposee. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2008 - version du 20 fevrier 2008 16h38 MATHÉMATIQUES II Partie I - Recurrences lineaires En deduire l'expression de la matrice M -1 en fonction de a, b, c, d, e. On associe a une telle suite de S(C) la suite (Xn )nN de S(C2 ) definie par : xn n N, Xn = . xn+1 n N, xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0. Filière PC On suppose que A admet deux valeurs propres distinctes 1 et 2 et on note 1 0 . D= 0 2 2 + a1 + a0 = 0. Montrer que est valeur propre de A si et seulement si : c) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , du complexe et de l'entier n. I.A.5) Montrer que l'on a l'alternative suivante : · soit A admet deux valeurs propres distinctes et elle est diagonalisable ; · soit A admet une seule valeur propre et elle n'est pas diagonalisable. Q-1 AQ = T. a) Exprimer a1 et a0 en fonction de . b) Montrer que la matrice A est semblable a la matrice T et determiner les matrices Q inversibles de M2 (C) telles que : a) Determiner les matrices Q inversibles de M2 (C) telles que AQ = QD. b) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , des complexes 1 , 2 et de l'entier n. I.A.4) On suppose maintenant que A admet une seule valeur propre et on note 1 . T = 0 I.A.3) I.A.2) I.A.1) Determiner une matrice A de M2 (C) telle que pour tout entier positif n, on ait : Xn+1 = AXn . Page 1/4 I.A - Recurrences lineaires d'ordre 2 On considere ici les suites (xn )nN de S(C) pour lesquelles il existe des complexes a1 et a0 verifiant la propriete suivante : · On note e = det(M ). On suppose e 6= 0. · Calculer le produit matriciel d -b M . -c a a b Soit une matrice M de M2 (C), M = . c d Question preliminaire Notations · Dans ce probleme, S(C) designe l'espace vectoriel sur C des suites de complexes (xn )nN . · Pour k N, k > 2, S(Ck ) represente l'espace vectoriel des suites (Xn )nN formees de vecteurs de Ck . · On note Mk (C) l'espace vectoriel des matrices carrees a k lignes a coefficients dans C. · Enfin, si M est une matrice, tM designe sa transposee. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2008 - version du 20 fevrier 2008 16h38 MATHÉMATIQUES II Partie I - Recurrences lineaires En deduire l'expression de la matrice M -1 en fonction de a, b, c, d, e. On associe a une telle suite de S(C) la suite (Xn )nN de S(C2 ) definie par : xn n N, Xn = . xn+1 n N, xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0. Filière PC On suppose que A admet deux valeurs propres distinctes 1 et 2 et on note 1 0 . D= 0 2 2 + a1 + a0 = 0. Montrer que est valeur propre de A si et seulement si : c) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , du complexe et de l'entier n. I.A.5) Montrer que l'on a l'alternative suivante : · soit A admet deux valeurs propres distinctes et elle est diagonalisable ; · soit A admet une seule valeur propre et elle n'est pas diagonalisable. Q-1 AQ = T. a) Exprimer a1 et a0 en fonction de . b) Montrer que la matrice A est semblable a la matrice T et determiner les matrices Q inversibles de M2 (C) telles que : a) Determiner les matrices Q inversibles de M2 (C) telles que AQ = QD. b) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , des complexes 1 , 2 et de l'entier n. I.A.4) On suppose maintenant que A admet une seule valeur propre et on note 1 . T = 0 I.A.3) I.A.2) I.A.1) Determiner une matrice A de M2 (C) telle que pour tout entier positif n, on ait : Xn+1 = AXn . Page 1/4 I.A - Recurrences lineaires d'ordre 2 On considere ici les suites (xn )nN de S(C) pour lesquelles il existe des complexes a1 et a0 verifiant la propriete suivante : · On note e = det(M ). On suppose e 6= 0. · Calculer le produit matriciel d -b M . -c a a b Soit une matrice M de M2 (C), M = . c d Question preliminaire Notations · Dans ce probleme, S(C) designe l'espace vectoriel sur C des suites de complexes (xn )nN . · Pour k N, k > 2, S(Ck ) represente l'espace vectoriel des suites (Xn )nN formees de vecteurs de Ck . · On note Mk (C) l'espace vectoriel des matrices carrees a k lignes a coefficients dans C. · Enfin, si M est une matrice, tM designe sa transposee. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2008 xn+2 - 3xn+1 + 2xn = 0. xn+2 - 4xn+1 + 4xn = 0. n N, Xn = An X0 . Filière PC I.C - Des exemples (quasi) numeriques On introduit ici quelques exemples de polynomes P (X) et on se propose d'etudier le comportement a l'infini des suites (xn )nN de RP . I.C.1) Exemple 1 1 3 On considere ici le polynome : P (X) = X 3 - 2 X 2 + X - . 2 2 a) Ecrire la matrice A qui lui est associee. Justifier qu'elle est diagonalisable dans M3 (C). b) Choisir une valeur explicite simple de X0 R3 . Apres un calcul effectif des premiers termes de la suite (Xn )nN , conjecturer la limite de cette suite de vecteurs. 1 0 0 1 0 2 1 1 -1 - . et T = 0 1 1 1 c) Verifier que Q AQ = T ou Q = 2 2 1 1 1 1 0 0 2 2 d) Calculer T 2 , T 3 et T 4 . En deduire la valeur de T 4p+k pour p N et k {0, 1, 2, 3}. e) Exprimer pour tout entier naturel n le vecteur Yn = Q-1 Xn en fonction de Y0 = Q-1 X0 . En deduire que les suites (Xn )nN et (xn )nN de (RP ) et de RP convergent. Attention : (Yn )nN n'est pas dans (RP )! I.C.2) Exemple 2 Dans cette question, on considere le polynome : P (X) = X 3 - 2 X 2 + 2 X - 1. a) Determiner les valeurs propres de la matrice A associee a P (X). b) En deduire que les suites (xn )nN appartenant a RP sont periodiques et que, a toute suite (xn )nN appartenant a RP , on peut associer trois nombres complexes , , tels que : n n n N, xn = + cos + sin . 3 3 b) Montrer que reciproquement, toute suite de S(C3 ) pour laquelle on a Xn = An X0 pour tout n N, est element de (RP ). I.B.4) Montrer que (RP ) est le sous-espace de S(C3 ) engendre par les suites de vecteurs (An e1 )nN , (An e2 )nN , (An e3 )nN , ou (e1 , e2 , e3 ) designe la base canonique de C3 . En deduire la dimension de RP . Page 2/4 I.B.1) Calculer le polynome caracteristique de A. I.B.2) Verifier que : S(C) S(C3 ) est lineaire et injective. Est-elle surjective ? I.B.3) a) Soit (xn )nN RP . Montrer que son image (Xn )nN par verifie : on associe le sous-espace RP de S(C) forme des suites (xn )nN telles que pour tout n N, xn+3 + a2 xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0, 0 1 0 0 1 . ainsi que la matrice A = 0 -a0 -a1 -a2 P (X) = X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 , A tout polynome unitaire de C3 [X], I.B - Vers un ordre superieur, a petits pas On note l'application qui a (xn )nN element de S(C) associe la suite des vecteurs xn (Xn )nN de S(C3 ) definie par Xn = xn+1 pour tout n N. xn+2 x0 x1 x2 Ainsi, les trois premiers termes de la suite ((xn )nN ) sont x1 , x2 , x3 . x2 x3 x4 n N, b) Exemple 2 (xn )nN verifie la propriete suivante : n N, I.A.6) Deux exemples numeriques Dans les deux exemples qui suivent, il est demande de : · expliciter la matrice A, · donner une matrice de passage Q telle que T = Q-1 AQ soit d'une forme simple comme ci-dessus, · en deduire Xn puis xn en fonction de x0 , x1 et n (il sera tenu compte de la simplicite et de la clarte des choix effectues). a) Exemple 1 (xn )nN verifie la propriete suivante : MATHÉMATIQUES II xn+2 - 3xn+1 + 2xn = 0. xn+2 - 4xn+1 + 4xn = 0. n N, Xn = An X0 . Filière PC I.C - Des exemples (quasi) numeriques On introduit ici quelques exemples de polynomes P (X) et on se propose d'etudier le comportement a l'infini des suites (xn )nN de RP . I.C.1) Exemple 1 1 3 On considere ici le polynome : P (X) = X 3 - 2 X 2 + X - . 2 2 a) Ecrire la matrice A qui lui est associee. Justifier qu'elle est diagonalisable dans M3 (C). b) Choisir une valeur explicite simple de X0 R3 . Apres un calcul effectif des premiers termes de la suite (Xn )nN , conjecturer la limite de cette suite de vecteurs. 1 0 0 1 0 2 1 1 -1 - . et T = 0 1 1 1 c) Verifier que Q AQ = T ou Q = 2 2 1 1 1 1 0 0 2 2 d) Calculer T 2 , T 3 et T 4 . En deduire la valeur de T 4p+k pour p N et k {0, 1, 2, 3}. e) Exprimer pour tout entier naturel n le vecteur Yn = Q-1 Xn en fonction de Y0 = Q-1 X0 . En deduire que les suites (Xn )nN et (xn )nN de (RP ) et de RP convergent. Attention : (Yn )nN n'est pas dans (RP )! I.C.2) Exemple 2 Dans cette question, on considere le polynome : P (X) = X 3 - 2 X 2 + 2 X - 1. a) Determiner les valeurs propres de la matrice A associee a P (X). b) En deduire que les suites (xn )nN appartenant a RP sont periodiques et que, a toute suite (xn )nN appartenant a RP , on peut associer trois nombres complexes , , tels que : n n n N, xn = + cos + sin . 3 3 b) Montrer que reciproquement, toute suite de S(C3 ) pour laquelle on a Xn = An X0 pour tout n N, est element de (RP ). I.B.4) Montrer que (RP ) est le sous-espace de S(C3 ) engendre par les suites de vecteurs (An e1 )nN , (An e2 )nN , (An e3 )nN , ou (e1 , e2 , e3 ) designe la base canonique de C3 . En deduire la dimension de RP . Page 2/4 I.B.1) Calculer le polynome caracteristique de A. I.B.2) Verifier que : S(C) S(C3 ) est lineaire et injective. Est-elle surjective ? I.B.3) a) Soit (xn )nN RP . Montrer que son image (Xn )nN par verifie : on associe le sous-espace RP de S(C) forme des suites (xn )nN telles que pour tout n N, xn+3 + a2 xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0, 0 1 0 0 1 . ainsi que la matrice A = 0 -a0 -a1 -a2 P (X) = X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 , A tout polynome unitaire de C3 [X], I.B - Vers un ordre superieur, a petits pas On note l'application qui a (xn )nN element de S(C) associe la suite des vecteurs xn (Xn )nN de S(C3 ) definie par Xn = xn+1 pour tout n N. xn+2 x0 x1 x2 Ainsi, les trois premiers termes de la suite ((xn )nN ) sont x1 , x2 , x3 . x2 x3 x4 n N, b) Exemple 2 (xn )nN verifie la propriete suivante : n N, I.A.6) Deux exemples numeriques Dans les deux exemples qui suivent, il est demande de : · expliciter la matrice A, · donner une matrice de passage Q telle que T = Q-1 AQ soit d'une forme simple comme ci-dessus, · en deduire Xn puis xn en fonction de x0 , x1 et n (il sera tenu compte de la simplicite et de la clarte des choix effectues). a) Exemple 1 (xn )nN verifie la propriete suivante : MATHÉMATIQUES II 1 et T = 0 0 2µ 0 0 µ 1 . 0 µ 0 n N, Xn+1 = An Xn admet une solution et une seule pour tout a Ck . II.A.3) On note S l'ensemble des solutions du systeme (H). a) Verifier que S est un sous-espace vectoriel de S(Ck ). II.A - Resultats d'existence et d'unicite des solutions II.A.1) Soit (Xn )nN une solution de (H). Exprimer Xn en fonction de X0 et de la suite (Pn )nN . II.A.2) Montrer que le systeme avec condition initiale Xn+1 = An Xn pour tout n N, (Ha ) : X0 = a : S Ck n > 1, hn = On introduit la notation suivante : p=1 p n X 1 , Soient n0 N , a Ck , k > 2. On se propose d'etudier le systeme avec condition Xn+1 = An Xn , pour tout n N, initiale (Hn0 ,a ) : X n0 = a II.C - Probleme avec condition initiale au temps n0 et h0 = 0. Determiner la matrice Pn en fonction de n et de hn . xn II.B.2) Expliciter les solutions (Xn )nN = de ce systeme en fonction yn nN de n et de x0 , y0 . II.B.3) Donner une base de l'espace des solutions du systeme. II.B.4) Que peut on dire du comportement a l'infini de (Xn )nN ? II.B.1) II.B - Etude d'un exemple On considere ici le systeme Xn+1 = An Xn dans lequel, pour n N, n+1 0 . An = n + 2 -1 1 Xn+1 = An Xn X0 = ei k (ou (ei )16i6k designe la base canonique de C ) forme une base de l'ensemble S des solutions du systeme (H). c) En deduire que la famille des k solutions des k systemes Montrer que est isomorphisme. En deduire que S est de dimension k. telle que ((Xn )nN ) = X0 . b) On considere l'application Filière PC II.C.1) On suppose que pour tout p [0, n0 - 1] la matrice Ap est inversible et on considere (Xn )nN S(Ck ), une solution de (Hn0 ,a ). a) Exprimer d'une facon generale Xn0 +p (pour p N ) et Xn0 -p (lorsque 1 6 p 6 n0 ) a l'aide de la suite (An )nN . b) Justifier que le systeme (Hn0 ,a ) admet une solution et une seule. Page 3/4 dans lesquelles (Xn )nN designe un element inconnu de S(Ck ) et (An )nN est une suite de matrices de Mk (C). Dans la suite de cette partie, la suite (An )nN est fixee et on lui associe la suite de matrices (Pn )nN definie par P0 = Ik (matrice unite d'ordre k) et Pn+1 = An Pn pour tout entier naturel n. (H) : Cette partie aborde l'etude des systemes d'equations de la forme Partie II - De la recurrence lineaire en general · pour tout X0 R3 , (Xn )nN converge ? n En deduire que si le polynome P admet une racine double, la matrice A qui lui est associee n'est pas diagonalisable. c) A quelles conditions sur et µ a-t-on chacune des proprietes suivantes : · pour tout X0 R3 , lim Xn = 0? ou et µ designent deux nombres reels distincts. a) Preciser la matrice A associee a ce polynome. 1 1 b) On admet que Q-1 AQ = T avec Q = µ 2 µ2 P (X) = (X - )(X - µ)2 I.C.3) Exemple 3 Dans cette question, on considere le polynome : MATHÉMATIQUES II 1 et T = 0 0 2µ 0 0 µ 1 . 0 µ 0 n N, Xn+1 = An Xn admet une solution et une seule pour tout a Ck . II.A.3) On note S l'ensemble des solutions du systeme (H). a) Verifier que S est un sous-espace vectoriel de S(Ck ). II.A - Resultats d'existence et d'unicite des solutions II.A.1) Soit (Xn )nN une solution de (H). Exprimer Xn en fonction de X0 et de la suite (Pn )nN . II.A.2) Montrer que le systeme avec condition initiale Xn+1 = An Xn pour tout n N, (Ha ) : X0 = a : S Ck n > 1, hn = On introduit la notation suivante : p=1 p n X 1 , Soient n0 N , a Ck , k > 2. On se propose d'etudier le systeme avec condition Xn+1 = An Xn , pour tout n N, initiale (Hn0 ,a ) : X n0 = a II.C - Probleme avec condition initiale au temps n0 et h0 = 0. Determiner la matrice Pn en fonction de n et de hn . xn II.B.2) Expliciter les solutions (Xn )nN = de ce systeme en fonction yn nN de n et de x0 , y0 . II.B.3) Donner une base de l'espace des solutions du systeme. II.B.4) Que peut on dire du comportement a l'infini de (Xn )nN ? II.B.1) II.B - Etude d'un exemple On considere ici le systeme Xn+1 = An Xn dans lequel, pour n N, n+1 0 . An = n + 2 -1 1 Xn+1 = An Xn X0 = ei k (ou (ei )16i6k designe la base canonique de C ) forme une base de l'ensemble S des solutions du systeme (H). c) En deduire que la famille des k solutions des k systemes Montrer que est isomorphisme. En deduire que S est de dimension k. telle que ((Xn )nN ) = X0 . b) On considere l'application Filière PC II.C.1) On suppose que pour tout p [0, n0 - 1] la matrice Ap est inversible et on considere (Xn )nN S(Ck ), une solution de (Hn0 ,a ). a) Exprimer d'une facon generale Xn0 +p (pour p N ) et Xn0 -p (lorsque 1 6 p 6 n0 ) a l'aide de la suite (An )nN . b) Justifier que le systeme (Hn0 ,a ) admet une solution et une seule. Page 3/4 dans lesquelles (Xn )nN designe un element inconnu de S(Ck ) et (An )nN est une suite de matrices de Mk (C). Dans la suite de cette partie, la suite (An )nN est fixee et on lui associe la suite de matrices (Pn )nN definie par P0 = Ik (matrice unite d'ordre k) et Pn+1 = An Pn pour tout entier naturel n. (H) : Cette partie aborde l'etude des systemes d'equations de la forme Partie II - De la recurrence lineaire en general · pour tout X0 R3 , (Xn )nN converge ? n En deduire que si le polynome P admet une racine double, la matrice A qui lui est associee n'est pas diagonalisable. c) A quelles conditions sur et µ a-t-on chacune des proprietes suivantes : · pour tout X0 R3 , lim Xn = 0? ou et µ designent deux nombres reels distincts. a) Preciser la matrice A associee a ce polynome. 1 1 b) On admet que Q-1 AQ = T avec Q = µ 2 µ2 P (X) = (X - )(X - µ)2 I.C.3) Exemple 3 Dans cette question, on considere le polynome : MATHÉMATIQUES II Xn+1 = An Xn + bn , X n0 = a i=1 k X cin Zni = Zn . t c1n ... ckn . n N, Yn = i=1 k X cin Zni . Filière PC n+1 = n+2 -1 · · · FIN · · · Donner une expression de Cn puis de Yn en fonction de n, x0 et y0 . 0 et introduisons le Reprenons la suite des matrices (An )nN , An 1 1 t probleme avec second membre : Xn+1 = An Xn + bn avec bn = , -hn . n+2 II.E.1) Expliciter une suite de matrices (Zn )nN construite comme dans la question -1 precedente ainsi que la relation de recurrence matricielle Cn+1 = Cn +Zn+1 bn etablie dans la question precedente. II.E.2) On considere (Yn )nN une solution du probleme avec second membre verifiant la condition x Y0 = 0 . y0 II.E - Un exemple -1 Cn+1 = Cn + Zn+1 bn . Montrer que (Yn )nN est solution de G si et seulement si la suite (Cn )nN verifie la relation suivante pour tout entier naturel n : du vecteur Yn dans la base (Zn1 , ..., Znk ) : b) Soit (Yn )nN une suite quelconque de S(Ck). t 1 Pour tout n N, on note Cn = cn . . . ckn la matrice colonne des composantes Page 4/4 Yn = II.D.3) Pour tout entier naturel n, on note Zn la matrice carree de Mk (C) dont les k colonnes sont les vecteurs Zn1 , Zn2 , ..., Znk . a) Montrer que si (Yn )nN est une suite quelconque de S(Ck ) il existe des suites de complexes (c1n )nN , (c2n )nN ..., (ckn )nN , telles que pour tout n N, designe une base quelconque de l'espace des solutions du systeme homogene (H). II.D.2) Prouver que pour p N fixe, Zp1 , Zp2 , . . . , Zpk est une base de Ck . indication : montrer que la famille est libre en observant que le probleme Xn+1 = An Xn n'admet qu'une solution. Xp = 0 Dans ce qui suit, on suppose que toutes les matrices An sont inversibles et que : (Zn1 )nN , (Zn2 )nN , . . . , (Znk )nN II.D.1) Existence, unicite et calcul pratique a) Montrer que le probleme (Gn0 ,a ) admet une solution et une seule pour tout element a de Ck . b) Ecrire, dans le langage de calcul formel de son choix une procedure qui prend en arguments deux entiers naturels n et n0 , un vecteur a, et retourne le terme d'ordre n de la suite solution du probleme (Gn0 ,a ). Sont supposees donnees les fonctions n An , n bn , dans une syntaxe adaptee au langage. ou (An )nN designe encore une suite de matrices de Mk (C) fixee, (bn )nN une suite de S(Ck ) fixee et n0 un entier superieur ou egal a 1. On suppose, de plus, que pour p [0, n0 - 1], les matrices Ap sont inversibles. (G) : Xn+1 = An Xn + bn ou de problemes (Gn0 ,a ) : II.D - Equations avec second membre Cette question aborde l'etude de systemes de la forme II.C.2) On suppose qu'il existe p [0, n0 - 1] tel que Ap ne soit pas inversible. a) Le systeme (Hn0 ,a ) peut il ne pas avoir de solution ? b) Le systeme (Hn0 ,a ) peut il avoir plus d'une solution ? MATHÉMATIQUES II Xn+1 = An Xn + bn , X n0 = a i=1 k X cin Zni = Zn . t c1n ... ckn . n N, Yn = i=1 k X cin Zni . Filière PC n+1 = n+2 -1 · · · FIN · · · Donner une expression de Cn puis de Yn en fonction de n, x0 et y0 . 0 et introduisons le Reprenons la suite des matrices (An )nN , An 1 1 t probleme avec second membre : Xn+1 = An Xn + bn avec bn = , -hn . n+2 II.E.1) Expliciter une suite de matrices (Zn )nN construite comme dans la question -1 precedente ainsi que la relation de recurrence matricielle Cn+1 = Cn +Zn+1 bn etablie dans la question precedente. II.E.2) On considere (Yn )nN une solution du probleme avec second membre verifiant la condition x Y0 = 0 . y0 II.E - Un exemple -1 Cn+1 = Cn + Zn+1 bn . Montrer que (Yn )nN est solution de G si et seulement si la suite (Cn )nN verifie la relation suivante pour tout entier naturel n : du vecteur Yn dans la base (Zn1 , ..., Znk ) : b) Soit (Yn )nN une suite quelconque de S(Ck). t 1 Pour tout n N, on note Cn = cn . . . ckn la matrice colonne des composantes Page 4/4 Yn = II.D.3) Pour tout entier naturel n, on note Zn la matrice carree de Mk (C) dont les k colonnes sont les vecteurs Zn1 , Zn2 , ..., Znk . a) Montrer que si (Yn )nN est une suite quelconque de S(Ck ) il existe des suites de complexes (c1n )nN , (c2n )nN ..., (ckn )nN , telles que pour tout n N, designe une base quelconque de l'espace des solutions du systeme homogene (H). II.D.2) Prouver que pour p N fixe, Zp1 , Zp2 , . . . , Zpk est une base de Ck . indication : montrer que la famille est libre en observant que le probleme Xn+1 = An Xn n'admet qu'une solution. Xp = 0 Dans ce qui suit, on suppose que toutes les matrices An sont inversibles et que : (Zn1 )nN , (Zn2 )nN , . . . , (Znk )nN II.D.1) Existence, unicite et calcul pratique a) Montrer que le probleme (Gn0 ,a ) admet une solution et une seule pour tout element a de Ck . b) Ecrire, dans le langage de calcul formel de son choix une procedure qui prend en arguments deux entiers naturels n et n0 , un vecteur a, et retourne le terme d'ordre n de la suite solution du probleme (Gn0 ,a ). Sont supposees donnees les fonctions n An , n bn , dans une syntaxe adaptee au langage. ou (An )nN designe encore une suite de matrices de Mk (C) fixee, (bn )nN une suite de S(Ck ) fixee et n0 un entier superieur ou egal a 1. On suppose, de plus, que pour p [0, n0 - 1], les matrices Ap sont inversibles. (G) : Xn+1 = An Xn + bn ou de problemes (Gn0 ,a ) : II.D - Equations avec second membre Cette question aborde l'etude de systemes de la forme II.C.2) On suppose qu'il existe p [0, n0 - 1] tel que Ap ne soit pas inversible. a) Le systeme (Hn0 ,a ) peut il ne pas avoir de solution ? b) Le systeme (Hn0 ,a ) peut il avoir plus d'une solution ? MATHÉMATIQUES II

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 Centrale Maths 2 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Francesco Colonna-Romano (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Il s'agit d'un sujet d'algèbre linéaire essentiellement, mettant en lumière le lien entre les suites à récurrence linéaire et les produits de matrices. Il est constitué de deux parties de longueurs et difficultés similaires, c'est-à-dire longues et relativement peu difficiles. · La première partie traite des suites à récurrence linéaire d'ordre 2 dans un premier temps, d'ordre 3 ensuite. On y voit apparaître des matrices compagnon (nous y reviendrons). · La seconde partie, quant à elle, fait étudier ce qui est désigné sous le nom de « récurrence linéaire en général », c'est-à-dire les relations de récurrence du type Xn+1 = An Xn + bn où les matrices An et les vecteurs bn dépendent du rang n. Les connaissances requises du cours de deuxième année sont minimes. Il faudra tout de même se souvenir que la restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable reste diagonalisable. N'oubliez pas ce résultat utile, même s'il ne sert pas souvent. Au final, ce sujet est plutôt long et calculatoire, avec de nombreuses questions indépendantes. Il est possible de sauter certaines questions sans se retrouver coincé. Indications Partie I I.A.2 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A. a b I.A.3.a Poser Q = et chercher des conditions sur a, b, c et d. c d I.A.3.b Se servir de la relation A = QDQ-1 . I.A.4.a Utiliser la question I.A.2. I.A.4.b Commencer par chercher des matrices Q qui conviennent. I.A.4.c Se servir de la relation A = QTQ-1 . I.A.5 Que peut-on dire des matrices diagonalisables qui n'admettent qu'une seule valeur propre ? I.B.1 Développer par rapport à la dernière ligne. I.B.2 Chercher une suite qui n'admet pas d'antécédent par . I.B.3.a Montrer tout d'abord que Xn+1 = AXn pour tout n N. I.B.3.b Quel est l'unique antécédent possible de la suite (Xn )nN ? Est-il dans RP ? I.C.1.a Factoriser P en commençant par chercher une racine évidente. I.C.1.b Attention, la limite qui apparaît dépend du choix de X0 . I.C.1.d La matrice T4 est diagonale. Le calcul des matrices T4p est donc facile. I.C.1.e Quelle relation de récurrence vérifie la suite (Yn )nN ? Utiliser ensuite le résultat de la question précédente. I.C.2.a Quel est le polynôme caractéristique de la matrice A ? I.C.2.b Sachant que la matrice A est diagonalisable, que vaut A6 ? I.C.3.a Développer le polynôme P. I.C.3.b Au choix : que peut-on dire de l'endomorphisme t de C3 canoniquement associé à la matrice T et de Vect(e2 , e3 ) ? ou quelle est la dimension de l'espace propre associé à µ pour la matrice T ? I.C.3.c Essayer de se ramener à l'étude de la suite (Tn )nN . Partie II II.A.1 Raisonner par récurrence. II.A.2 Construire une solution par récurrence puis montrer, à nouveau par récurrence, que toute autre solution lui est égale. II.A.3.b Utiliser la question II.A.2. II.A.3.c L'application -1 est un isomorphisme. II.B.1 Montrer que les matrices Pn sont triangulaires inférieures et déterminer leurs éléments diagonaux. Puis utiliser la relation de récurrence entre les matrices Pn pour en déduire une relation de récurrence entre leurs coefficients. II.B.2 Se servir de la question II.A.1. II.B.3 Utiliser la question II.A.3.c. II.C.1.a Se servir de la formule de récurrence. II.C.1.b Utiliser la question précédente. II.C.2.a Si une matrice A n'est pas inversible, l'équation AX = a n'admet pas toujours de solution. II.C.2.b Si une matrice A n'est pas inversible, l'équation AX = a peut admettre plusieurs solutions. II.D.1.a S'inspirer de la question II.C.1.b. II.D.1.b Traduire dans le langage de calcul formel choisi la preuve de l'existence d'une solution au problème Gn0 ,a . II.D.2 Il suffit de montrer que la famille est libre. II.D.3.a La deuxième égalité est toujours vraie. Pour la première et le choix des cin , utiliser la question précédente. II.D.3.b Exprimer les Yn en fonctions des Cn en utilisant la question précédente et réécrire alors la relation de récurrence G. Pourquoi les matrices Zn+1 sont-elles inversibles ? II.E.1 Se souvenir des matrices Pn . II.E.2 Utiliser la formule de récurrence explicitée à la question précédente. Les conseils du jury Comme le mentionne le rapport du jury, la plupart des questions de ce sujet ne demandent que des connaissances élémentaires d'algèbre linéaire ; essentiellement produit de matrices de petites tailles, valeurs propres et indépendance linéaire. Sur ces points, le jury semble satisfait du niveau des candidats. Le sujet ayant été bien traité, la différence entre les copies s'est surtout faite sur la partie II et sur les qualités de méthode et d'ordre des candidats. Question préliminaire Calculons M d -b ad - bc -ba + ba e = = -c a cd - dc -bc + ad 0 0 e puisque e = ad - bc. Cela donne d M -c Comme e 6= 0, on obtient 1 M· e et donc M-1 = = eI2 -b a -b a d -c 1 e d -c = I2 -b a Partie I - Récurrences linéaires 0 1 I.A.1 Posons A = . Alors pour tout n N, on obtient -a0 -a1 0 1 xn xn+1 AXn = = -a0 -a1 xn+1 -a0 xn - a1 xn+1 En utilisant la relation de récurrence xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0, on trouve xn+1 AXn = = Xn+1 xn+2 Conclusion : A= 0 -a0 1 -a1 Afin de trouver quelle matrice A va convenir, on peut poser a b A= c d et chercher a, b, c et d vérifiant a b xn axn + bxn+1 xn+1 AXn = = = Xn+1 = c d xn+1 cxn + dxn+1 xn+2 On pense alors à prendre a = 0, b = 1, c = -a0 et d = -a1 et il n'y a plus qu'à vérifier que cela marche. I.A.2 Soit C. On sait que est valeur propre de A si et seulement si est une racine du polynôme caractéristique de A. Or, le polynôme caractéristique de A vaut -X 1 det (A - XI2 ) = det = -X(-a1 - X) + a0 = X2 + a1 X + a0 -a0 -a1 - X Ainsi, est valeur propre de A si et seulement si 2 + a1 + a0 = 0