Centrale Maths 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Résolution de l'équation P(g)=f avec f et g deux endomorphismes
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire, diagonalisation simultanée, théorème de d'Alembert-Gauss
Mots clefs Vecteurs propres, valeurs propres, projecteurs, matrices d'applications linéaires

Corrigé

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Concours Centrale - Supélec 2007 Épreuve : MATHÉMATIQUES II Filière PC MA THÉMA TIQUES II Filière PC MATHÉMATIQUES || Préliminaires et notations : 0 Soit n EUR IN* . K désigne l'un des corps IR ou EUR. 0 K [X ] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K . ° L'espace IR" sera si nécessaire muni de son produit scalaire canonique, et rapporté à la base canonique qui est orthonormale. Partie I - On rappelle que E = K "" est un espace vectoriel sur K de dimension n pour les lois usuelles. On munit de plus E d'une multiplication notée >< et définie par : Pour tout x : (x1,...,xn) et y : (y1, ...,yn) dans E, x xy =(x1--y1,...,xn-yn). I.A - Soit x : (x1,...,xn) fixé dans E. Pour PEK[X] , on notera : P(x) : (P(xl), ...,P(xn)). I.A.1) Vérifier que (I) : P H P(x) est une application linéaire de K [X ] vers E , telle que (P -- Q) : CD(P) >< CD(Q) pour tout P, Q EK[X]. I.A.2) Montrer que Ax : {P(x), P E K [X ]} est un sous-espace vectoriel de E . Montrer que Ax est stable pour >< , c'est-à-dire que, si y, 2 EUR Ax alors y >< 2 EUR Ax . I.A.3) On suppose ici xi ==xj pour tout i,j EUR [[ 1, n]] tels que i:j. On note K "_ 1[X ] l'ensemble des polynômes de K [X ] dont le degré est inférieur ou égal à n -- 1 . Montrer que la restriction de (I) à K "_ 1[X ] est injective. Montrer que Ax est de dimension n . LB - Soit y : (y1, yn) donné dans E, ainsi que PEK[X] fixé de degré 2 1. On s'intéresse à l'ensemble noté Ry,P : Ry,P : {x E E/P(x) : y} . I.B.1) Montrer que si K = (D , Ry, P n'est jamais vide. I.B.2) Montrer que si K : IR, R % P peut être vide : donner un exemple. I.B.8) On suppose K = EUR, et P(X) : Xp avec p EUR IN*. Déterminer le cardinal de R...... noté Card(Ryap), en fonction de p et de my : Card({iEUR[[l,n]]/yi;æ0}). Concours Centrale-Supé/ec 2007 1/6 MA THÉMA TIQUES II Filière PC Filière PC I.B.4) D'une façon générale, donner un majorant de Card(Ry, P) en fonction de n et du degré de P. I.C - Pour F partie non vide de E , et P E K [X ] fixé de degré 2 1 , on s'intéresse à l'ensemble noté Rr,P : {x E E/P(x) E F} . 1.0.1) Exemple 1 : On prend K : IR, n = 2, P(X) : X2. Déterminer et des- siner F et RF. P , dans chacun des cas suivants : 1) I' : {(x,y) EUR IRZ/2x+y : l} , ii) r = {(...) EUR lR2/x--y = 1}, iii) r = {(x,y) EUR lR2/x2--y2 = 1} . 1.0.2) Exemple 2 : On prend K = ]R, n = 3 , P(X) : X2. Déterminer et don- ner la nature géométrique de F et RP, P , dans chacun des deux cas suivants : 1) F : {(x,y,z)ElR3/x+y--z =1}, ii) F : {(x,y,z)EURlR3/x--y =1}. I.C.8) Exemple 3 : On prend K : IR, n = 2 , P(X) : X3--X et soit: I' : {(x,y) EUR IRZ/x--y : O} . Déterminer et dessiner F et RP, P. I.D - Pour cette question, on pourra utiliser sur E la norme infinie définie par : si x : (x1,...,xn) est dans E, llxllOO : max lx,--| . lszsn I.D.1) On suppose que F est de cardinal fini. Donner un majorant de Card(Rn P) en fonction de Card (F) , de n et du degré de P. I.D.2) Si F est borné, montrer que RP, P est borné. Lorsque K : IR , donner un exemple pour lequel F est non borné et RP, P est borné. Lorsque K = (13, si RP, P est borné, montrer que F est borné. Partie II - Soit V un espace vectoriel sur K de dimension finie N 2 1 et ..?(V) l'espace vec- toriel sur K des endomorphismes de V, qui est aussi muni de la loi de composi-- tion 0 . On note idV l'application identité de V dans V. Concours Centrale-Supélec 2007 2/6 MA THÉMA TIQUES II Filière PC II.A-Soit nEIN*, nsN. On considère n projecteurs non nuls pl, p2, pn de fiV) tels que : ÏL 2 pk =idV,et piopJ- : 0 pourtout i,jEUR[[1,n]] tels que i:j. k = 1 n On pose % = { 2 xkpk/(xl, ...,xn)EKn}. k=1 II.A.1) Montrer que % est un K -espace vectoriel de dimension n, stable pour 0 . II.A.2) Montrer que l'application 'Il de E vers % , définie par : n 'P : (x1,...,xn)H 2 xkpk k=1 est un isomorphisme tel que, pour tout x, y E E, 'P(x >< y) : 'P(x) o 'P(y) . II.A.8) Montrer que, pour tout x E E et P E K[X] , OE(P(x)) : P('P(x)) . n II.B - Soit fEM, avec f = 2 Àkpk, où (7... ...,)»,JEK". k=1 On suppose x, := ?»]. pour tout i,j EUR [[ 1, n]] tels que i:j. ÏL II.B.1) Soit 536% avecg : 2 Mkpk,et PEK[X]. k =1 Montrer que g : P(f) si et seulement si P(kk) : ..., pour tout le E [[ 1, n]] . II.B.2) Montrer que pour tout j EUR [[ 1, n]] , il existe P]. E K[X] tel que Pj : Pj(f) - II.B.3) Montrer que f est diagonalisable, et préciser ses valeurs propres. II.C - Soit ;" EfiV) supposé diagonalisable. On note xl, xn ses valeurs pro- pres distinctes et on pose ?» = (>... xn) . Pour P @ K[X] donné, on note Rf,P = {g efiV)/f = P(g)} . II.C.1) Donner n projecteurs non nuls pl, p2, pn tels que ÏL ÏL 2 pk=idV,piopj : 0 pourtout i,jE[[l,n]] telsquezëj,etf : 2 Àkpk. k=l k=l On dispose ainsi de l'application 'P définie en II.A. Concours Centrale-Supélec 2007 3/6 MA THÉMA TIQUES II Filière PC II.C.2) Soit g E Rf7P. Montrer que fog : gof. Montrer que chaque sous-espace V ]-- : ker(f -- kjidv) est stable par g, pour tout j Ell1,nll - On suppose que g est diagonalisable. Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres pour f et propres pour g . II.C.3) Montrer que 'P(Rh P) C Rf. P et que, si toutes les valeurs propres de ;" sont simples, on a l'égalité 'P(Rh P) : Rf. P. On suppose que K = (D et que P(X ) : Xr avec rE IN* . Déterminer le cardinal de R P P lorsque toutes les valeurs propres de ;" sont simples. II.C.4) On suppose que K = C et que P(X) : X'" avec rE IN et r 2 2. Lorsque N 2 2 , montrer que Ridv, P est de cardinal infini. Montrer que R P P est de cardinal infini si et seulement si ;" admet au moins une valeur propre multiple. II.C.5) On suppose que K = C et que P(X) : X'" avec rE IN*. Si l'on suppose que les complexes ?... Àn sont tous non nuls, montrer que si g E R P P , alors g est diagonalisable. Si l'on suppose que M = 0 et que g E R f) P, montrer que g est diagonalisable si et seulement si f et g ont le même rang. II.D - Exemple 4: On prend K : IR, et ;" Efi]R') de matrice dans la base canonique : --1 F: y_ay_ay_a l l 1 l 1 Déterminer, par leur matrice G dans la base canonique, toutes les applications gEfilR'), telles que g2 = f. Partie III - Dans cette partie on considère un espace vectoriel euclidien V de dimension N 2 1 , muni d'un produit scalaire noté (....) , la norme euclidienne associée étant notée ||.ll . On note O(V) le groupe (pour la loi 0 ) des automorphismes orthogonaux de V. On note de plus S (V) l'ensemble des endomorphismes symétriques de V. Concours Centrale-Supé/ec 2007 4/6 MA THÉMA TIQUES II Filière PC Soit r E ]N* donné. Pour fEfiV) , on s'intéresse à R,.(f) : {g EfiV)/f : gr} et aux sous--ensembles S(V) fi R,.(f) ou O(V) n R,.(f). III.A - III.A.1) Montrer que si S(V) fi Rr(f) est non vide alors ;" EUR S(V) . III.A.2) On suppose ici que r est pair et f E S(V) . Montrer que S(V) fi Rr(f) est non vide si et seulement si toutes les valeurs propres de ;" sont dans IR+ . III.A.3) On suppose ici que r est impair et f E S(V) . Montrer que S(V) fi Rr(f) est non vide et est réduit à un seul élément. III.A.4) Exemple 5 : SoitA={1 1}. ll Déterminer toutes les matrices B E% 2(1R) telles que B2 = A . Déterminer toutes les matrices B E% 2(1R) symétriques telles que B3 = A . III.B - III.B.1) Montrer que si O(V) fi R,.(f) est non vide, alors ;" EUR O(V). III.B.2) Soit g E O(V). Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de V sta- ble par g , il en est de même de son orthogonal Fl . III.B.3) On suppose ici N = 2 et V orienté, et on suppose que f est la rotation d'angle de mesure 6 , avec 6 EUR IR. Déterminer O(V) n R,.( f). III.B.4) Exemple 6 : Soit A = {O _1}. 10 Déterminer toutes les matrices B E%2(C) telles que B2 = A . Déterminer toutes les matrices B E% 2(1R) orthogonales telles que B2 = A . III.C - Soit F un sous-espace vectoriel de V de dimension m , et f la symétrie orthogonale par rapport à F. III.C.1) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur r et m pour que R,( ;" ) soit non vide, et exhiber dans ce cas un élément g E O(V) n R,.( f) . III.C.2) Étudier S(V) n R,.(f). III.B - On suppose ici que N = 3 , et on considère l'espace euclidien V : IR3 orienté, muni de son produit scalaire canonique, la base canonique étant ortho-- normale directe. Concours Centrale-Supé/ec 2007 5/6 MA THÉMA TIQUES II Filière PC Soir r E ]N*, et soit f la rotation d'angle de mesure 9, avec 8 EUR ]R\2nZ, d'axe D : 1Ru,où Hull : 1 ;f#idV. III.D.1) Déterminer O(V) fi R,...(f). III.D.2) Déterminer O(V) fi Rr(--f). III.D.3) Exemple 7 : Déterminer, par leur matrice dans la base canonique, toutes les rotations g de V, telles que g3 soit la rotation d'axe dirigé par u : --Ë(O, 1, 1) et d'angle de TC mesure 5 . ooo FIN 000 Concours Centrale-Supé/ec 2007 6/6

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 Centrale Maths 2 PC 2007-- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rafik Imekraz (ENS Cachan) ; il a été relu par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). L'épreuve se compose de trois parties. · La première partie considère un sous-ensemble quelconque du K-espace vectoriel Kn (K = R ou C), un polynôme P de degré au moins 1, et s'intéresse aux propriétés de l'ensemble R,P = {(x1 , . . . , xn ) Kn | (P(x1 ), . . . , P(xn )) } On établit que si K = R, alors le caractère borné de implique celui de R,P ; si le corps de base est C, c'est une équivalence. · La deuxième partie introduit un endomorphisme f diagonalisable sur un K-espace vectoriel V de dimension finie (K = R ou C). On montre que l'on peut écrire f sous la forme f= n P i pi i=1 où les applications pi sont des projecteurs et les i les valeurs propres de f . Puis, étant donné un polynôme P K[X], cette décomposition est utilisée pour l'étude de l'ensemble Rf,P = {g L (V) | P(g) = f } Si P = Xr , on montre notamment que cet ensemble est fini si et seulement si les valeurs propres de f sont simples, et son cardinal est alors calculé. · Dans la dernière partie, l'espace V est supposé euclidien et l'étude précédente est reprise pour un endomorphisme f orthogonal ou symétrique. La recherche s'oriente naturellement vers les éléments orthogonaux ou symétriques de Rf,P . Le sujet est long. Les questions de fin de partie le sont d'autant plus qu'elles comportent souvent plusieurs sous-questions. Les trois parties sont globalement indépendantes, sauf pour les questions finales qui nécessitent les résultats des parties précédentes. Indications Partie I I.A.1 Utiliser la définition d'une application linéaire. I.A.2 Appliquer d'abord la question précédente puis utiliser la définition de la multiplication de E. I.A.3 Il suffit de montrer qu'un élément du noyau a plus de racines que son degré. Pour la dimension, penser au théorème du rang. I.B.1 Utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss. I.B.2 Penser à un polynôme dont la fonction associée n'est pas surjective sur R. I.B.3 Calculer le cardinal des composantes coordonnées des vecteurs de Ry,P . I.B.4 Même indication qu'à la question précédente. I.C.1 Expliciter des équations des ensembles Ry,P . I.C.2 Faire comme à la question précédente. I.C.3 Expliciter une équation de l'ensemble Ry,P . Penser à factoriser P(x) - P(y). I.D.1 Remarquer que R,P = y Ry,P et utiliser la question I.B.4. I.D.2 Pour le premier point, faire une démonstration par l'absurde, et montrer que si est borné et si R,P ne l'est pas, alors il existe M > 0 tel que pour tout réel K > 0 il existe un scalaire a de module supérieur à K tel que |P(a)| 6 M. Pour le deuxième point, essayer P = X2 . Enfin, se rappeler que l'image d'un disque fermé de C par un polynôme est une partie bornée de C. Partie II II.A.1 On pourra montrer que la famille (p1 , . . . , pn ) est libre. Pour la stabilité par la composition, on pourra utiliser la bilinéarité de . II.A.2 Utiliser la définition de la linéarité. Montrer que est injective, puis utiliser le fait que Kn et E sont de même dimension. Faire un calcul pour prouver la formule (x × y) = (x) (y). II.A.3 Remarquer que (xk ) = (x)k pour tout x E et pour tout entier naturel k, puis utiliser un argument de linéarité. II.B.2 Utiliser la question précédente avec des polynômes particuliers. II.B.3 Montrer à l'aide de la question II.B.1 que f annule un polynôme scindé à racines simples. II.C.1 Utiliser les n projecteurs associés à la somme directe des sous-espaces propres de f . II.C.2 Utiliser le fait que g induit un endomorphisme diagonalisable de Vj , puis appliquer à un vecteur de Vj l'égalité f g = g f . II.C.3 Pour l'inclusion, utiliser la question II.A.3 et remarquer que f = (). Pour l'égalité, constater que l'endomorphisme induit par g sur Vj est une homothétie quel que soit j [[ 1 ; n ]]. En notant son rapport µj , comparer g et ((µ1 , ..., µn )). II.C.4 Lorsque N = 2, montrer qu'il existe une infinité de matrices A qui vérifient la relation Ar = I2 . Traiter le cas N > 3 à l'aide du cas N = 2 et de calculs par blocs. n II.C.5 Introduire le polynôme (Xr - i ), puis raisonner en termes de matrices et i=1 utiliser le dernier résultat de la question II.C.2. II.D Calculer un polynôme caractéristique. Utiliser la question II.C.1 puis la question II.C.3. Partie III III.A.1 Pour tous endomorphismes f et g on a la relation (f g) = g f . III.A.2 Appliquer le théorème de diagonalisation en base orthonormée des endomorphismes symétriques (parfois nommé théorème spectral). III.A.3 Utiliser la même méthode qu'à la question précédente. III.A.4 Pour l'équation B2 = A, appliquer le théorème spectral et montrer que A est diagonalisable à valeurs propres simples. Utiliser la question II.C.3 pour connaître le nombre de matrices solutions, puis calculer la matrice A2 . Réutiliser ce calcul pour l'équation B3 = A avec B symétrique. Faire enfin appel au résultat de la question précédente. III.B.2 Rappeler pourquoi g(F) = F puis considérer un élément u de F et montrer que w F hg(u), wi = 0 III.B.3 Un automorphisme orthogonal d'un plan orienté est soit une symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle, soit une rotation. III.B.4 Calculer un polynôme caractéristique, puis appliquer la même méthode qu'à la question II.D. III.C.1 Justifier que F est stable par g, et appliquer le déterminant de L (F ) à la relation r g|F = -idF III.C.2 Utiliser les résultats des questions III.A.3 et III.A.2 en séparant les cas r pair et r impair. III.D.1 Raisonner encore avec les matrices. Montrer qu'une matrice d'un élément de O(V) Rr (f ) est nécessairement de la forme A 0 G= 0 où A est une matrice orthogonale d'ordre 2 et = + - 1. III.D.2 Procéder de la même façon qu'à la question précédente. III.D.3 Utiliser des matrices. Première Partie I.A.1 Utilisons la définition de la linéarité : pour tous polynômes P et Q et tous scalaires a et b, (aP + bQ) = (aP(x1 ) + bQ(x1 ), . . . , aP(xn ) + bQ(xn )) = a(P(x1 ), . . . , Q(xn )) + b(Q(x1 ), . . . , Q(xn )) (aP + bQ) = a(P) + b(Q) L'application est linéaire. Ainsi De même, P, Q K[X] (PQ) = (PQ(x1 ), . . . , PQ(xn )) = (P(x1 )Q(x1 ), . . . , P(xn )Q(xn )) = (P(x1 ), . . . , P(xn )) × (Q(x1 ), . . . , Q(xn )) P, Q K[X] (PQ) = (P) × (Q) I.A.2 Ax étant l'image de l'application linéaire , L'ensemble Ax est un sous-espace vectoriel de E. Montrons la stabilité de Ax par multiplication. Si u et v sont deux éléments de Ax , il existe par définition P et Q deux polynômes tels que u = (P) et v = (Q). Alors u × v = (P) × (Q) = (PQ) Or, PQ est un polynôme, donc u × v Im , d'où u × v Ax . Par conséquent L'ensemble Ax est stable par multiplication. Il est souvent utile d'interpréter des sous-ensembles d'un espace vectoriel comme des noyaux ou des images d'applications linéaires pour montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels. I.A.3 Notons |Kn-1 [X] la restriction de à Kn-1 [X]. Comme est linéaire, l'application |Kn-1 [X] l'est également. Soit P Ker |Kn-1 [X] . On a (P) = (P(x1 ), P(x2 ), . . . , P(xn )) = (0, 0, . . . , 0) d'où i [[ 1 ; n ]] P(xi ) = 0 Les nombres xi étant deux à deux distincts, P admet n racines distinctes. Comme son degré est inférieur à n - 1, il est nul. La restriction de à Kn-1 [X] est injective. Utilisons maintenant le théorème du rang : dim Kn-1 [X] = rg |Kn-1 [X] + dim Ker |Kn-1 [X] donc n = dim (Kn-1 [X])