Centrale Maths 2 PC 2006

Thème de l'épreuve Correspondances algébriques et théorème de Poncelet
Principaux outils utilisés géométrie analytique, polynômes, algèbre linéaire, coniques

Corrigé

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on_ e......___... _ _ __ oe...:QÈËEË ......ää... mËN oOEmQ=OE - QOEÈOEQ oeS8ËU Dans ce problème, les figures ou les commentaires, même non demandés, qui éclaireraient les situations ou les hypothèses rencontrées seront les bienvenus. Dans tout le problème, gn désigne par @ un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (0; i, j ) , par (C) le cercle centré en O et de rayon donné R , R > 0 , et par Al , A2 et A3 les points de coordonnées respectives (R, O) , (O, R) et (--R, O) . Partie I - Un exemple pratique Dans cette partie, on désigne par (E) la courbe d'équation 4x2 + Sy2 -- 4Ry : 0 . I.A - Montrer que (E) est une ellipse. En déterminer deux axes de symétrie et un centre de symétrie. I.B - Étudier le signe de l'expression (4x2 + Sy2 -- 4Ry) -- 4(x2 + y2 -- R2) pour (x, y) E ]R2 . En déduire les positions relatives de (E) et (C) . I.C - 1.0.1) Soit (% ) l'ellipse de représentation paramétrique (x : acos9, y : bsin9) , où a et b sont deux réels non nuls et où le paramètre 6 décrit IR. Montrer que la. droite (D) d'équation y : mx +m' rencontre (% ) en un point unique si et seulement si il existe x E IR tel que x mx+m' _2+( 2 ) :] a la x mx+m' --2+m 2 =() a b En déduire que, dans ce cas, (D) est tangente à (% ) . I.C.2) En se ramenant àla question précédente, montrer que, si dans @ une droite coupe une ellipse en un seul point, elle lui est tangente. Est-ce encore le cas pour une parabole ? Pour une hyperbole ? I.C.3) Montrer que les droites d'équation x + y = R et --x + y = R sont tan- gentes à (E) en des points que l'on précisera. Tracer soigneusement (C) et (E) , ainsi que ces deux droites. I.D - On considère l'arc paramétré défini par : ------> 1--t2--.--> 2t --.> OM(t)= 2 i+ 2] ,avectElR. l+t 1+t Montrer que l'on définit ainsi une bijection de IR sur une partie (y) de (C) que l'on précisera. Si t est réel, on dira que t est le paramètre du point M (t) . LE - Soit t et u deux réels. Montrer que (1 -- p)x + sy --R(1 + p) = O est une équa- tion dela droite (M(t)M(u)) , si l'on a posé s : t+ u et p = tu. Si t = u , la notation (M (t)M (u)) désignera cette fois la tangente en M (t) à (y). On admettra sans le vérifier que l'équation trouvée convient encore dans ce cas. LF -' I. F. 1) Soit M un point de (y) , de paramètre t. Montrer que, sauf dans un cas particulier a préciser, son symétrique orthogonal M par rapport à (0; j -->) est un point de (y) , en exprimer le paramètre, notét Si A0 désigne le point de coordonnées (R, 212) , montrer que, lorsque t# 1 , la droite (ADM ) recoupe (y) au point de paramètre --1----t (on pourra utiliser les résultats de LE). I.F.2) Dans le cas particulier où tv: 1 et u= ,on pose toujours 8 _ t--+ u et p-- _ tu. l--t Montrer que la droite (M(t)M(u)) est tangenteà (E) (on pourra exprimer (p + 1)s en fonction de p seulement et utiliser les resultats de I. C. 2. ). LFB) En utilisant les questions qui précèdent, montrer que, si un point A de (C) est distinct des points A1 , A2 et A3 définis dans le préambule, alors une construction géométrique simple, que l'on détaillera, permet de construire deux autres points A' et A" de (C) tels que les côtés du triangle AA'A" soient tan- gents à (E) . Étudier le cas des points A,- pour i E {l, 2, 3} . LG - Récapituler les résultats de cette partie à l'aide d'une figure. Partie II - Correspondances algébriques Soit P une application de IR2 dans IR de la forme (x, y) l--> P(x, y) : ul, 1x2 + 2u1'2xy + u2'2y2 + v]x + v2y + w où les coefficients ui, ]- , , On lui aSsocie la relation % définie sur (y) x (y) par M(t)ÆM...) @ P(s, p) = 0 v,- et w sont des réels. où l'on a posé 3 : t+ u et p = tu . On dira que % est une 2-correspondance si ul ] , ul 2 et u2 2 ne sont pas tous les trois nuls, et une 1-correspondance si "1,1 : u1',2 : u2,2 : O,ma1s v1 et v2 non tous nuls. II.A - Exemple de 1- correspondance Soit A un point donné de @, différent de A3. Montrer que la relation sur (y)x(y) définie par M(t)ÆM(u)©AE(M(t)M(u)) est une l-correspondance. Donner un exemple simple de 1- correspondance qui ne soit pas de cette forme. II.B - Exemple de 2- correspondance Soit (F) le cercle de centre Q de coordonnées (or, 0) et de rayon r, r > 0 donnés. II.B.1) Si (D) est la droite d'équation ax + by : c, avec (a, b) :: (0,0), donner une expression du carré de la distance de 9 à (D) , noté d2(Q, D) . II.B.2) En déduire que, si t et u sont des réels, la droite (M(t)M(u)) est tan- gente à (F) si et seulement si 22 ((R +d)2--r2)p2--r s +2(R2+r2 --oz2)p+(R----or)2----r2 : 0 puis que cela définit ici une 2- correspondance. II.C - Si % est une 1- correspondance, montrer que l'ensemble des tE IR tels que" M (t)% M (t) est fini (ou vide). Montrer que cette propriété tombe en défaut pour une 2-- correspondance et une seule. Pour fournir certains des exemples demandés dans la partie qui suit, les candidats pourront mettre à profit l'exemple II.B en choisissant de façon adéquate le cercle (F) . Partie III - L'alternative de Poncelet Le but de cette partie est l'étude de l'existence, étant donné une 2- cor- respondance % vérifiant quelques propriétés supplémentaires, de paramètres réels (distincts ou non) 1t1 , t2, t3 et ::4 fermant un 4-cycle pour 9? , c'est-à-dire tels que M(zt,-)9YM(t,+ ]) pour 1 sis 3 et M(t,,)%M(t,). III.A - Comment interpréter géométriquement un 4- cycle dans le cas où % est la 2-- correspondance définie à la question II.B.2 ? Montrer par un choix de (F) qu'il peut y avoir une infinité de solutions, et qu'il peut n'y avoir aucune solution. III.B '- Pour tE IR , on pose t t 1 V(t) : III.B.1) --t etu étant réels, à quelle condition la famille {V(t), V(u)} est-elle liée dans 133 ? III.B.2) Soit P , Q, R E IR2[X] ; on pose : P(t) 3 W(t) : Q(t) EUR IR R(t) Montrer qu'il existe % E% 3(1R) unique telle que W(t) : MV(t) pour tout réel t. III.B.3) Caractériser à l'aide de % la liberté de la famille {P,Q,R} dans l'espace vectoriel IR[X ]. En déduire que si {P, Q, R} est libre, alors la famille {W(t), W(u)} est libre si et seulement si t: u . III.BA) a) On suppose, jusqu'à la fin de ce III.B, que {P, Q, R} est de rang 2. Montrer que % admet 0 comme valeur propre et en déduire qu'il existe trois réels a , b , 0 tels que 2 2 at u {W(t),W(u)} liée © 19 t u = O. 011 b) Montrer que ce déterminant est égal à (t--u)(a--bs+cp), avec 3 = t+ u et p = tu. Établir alors le résultat suivant, vrai sauf pour des valeurs particulières de (a, b, c) que l'on mettra en évidence : Il existe une 1- correspondance @@ telle que, chaque fois que les réels t et u vérifient M(t)9YOM(u) , la famille {W(t), W(u)} est liée. III.C - On considère une 2-- correspondance de la forme 4M(t)ÆM(u) @ P(s,p) : Ap2+ 23p8 + C32+ 2Dp + 2Es +F : 0 où A , B et C sont des réels non tous nuls, D , E et F des réels, et où p et s désignent encore tu et t+ u . III.C.1) Écrire P(s, p) sous la forme Pl(t)u2 + 2P2(t)u +P3(t), où Pl , P2 et P3 sont dans ]R2[X ]. Exemple 1. Lorsque P(s, p) = 32 -- 4 p , déterminer P 1 , P2 et P3 ainsi que le rang de la famille {P1, P2, P3}. Exemple 2. On considère, pour ce seul exemple, deux réels ou et [5 strictement positifs tels que o2 + {52 = R2 et on pose P(s, p) : a2(1 --p)2 + {5232 -- R2(1 + p)2 = 0 . Montrer que {P1, P2, P3} vérifie les hypothèses du III.B.4-a) puis déterminer la 1- correspondance définie comme dans le III.B.4-b). III.C.2) Montrer que si, pour u2 EUR IR, l'équation en u : P1(u2)u2 + 2P2(u2)u +P3(u2) : 0 possède deux solutions réelles (distinctes ou non) ul et u3 , alors on a M(ul)%M(u2) et M(u2)%M(u3) . III.C.3) a) On pose A(t) = Pâ(t) --Pl(t)P3(t). Montrer, par un exemple, qu'il est possible que Vt EUR IR, A(t) < 0 , ou que A(t) < 0 sauf en un point. Que penser dans chacun de ces cas de l'existence de 4- cycles ? On suppose maintenant qu'il existe tOEIR, supposé choisi, tel que A(t0) > 0 . On suppose en outre que P1(to) : 0 (ce qui, en fait, ne restreint nullement la généralité recherchée). b) Montrer qu'il existe alors un intervalle ouvert non vide {fo en tout point duquel A(t) >0 et Pl(t) :=0. c) En conclure que si la famille {P1, P2, P3} est libre, il n'existe aucun 4-- cycle formé de paramètres distincts. d) Si la famille {Pv P2, P3} est de rang 2, montrer qu'il existe une 1- corres- pondance 9Y0 telle que, chaque fois que l'on a L'l Efi, et M (t1)<% 0M(t2), il existe u] et u2 tels que af:1 , u1 , t2 , u2 soit un 4- cycle. Peut-on alors faire en sorte que ces quatre paramètres soient distincts ? III.C.4) a) Dans le cas de l'exemple de II_.B, montrer que l'hypothèse du III.B.4-a) quant au rang de {P, Q, R} équivaut à (R2 _ oc2)((R2 _ a2)2 _ 2r2(R2 + a2)) = 0 . b) Que signifie la condition R2--a2 : 0 ? Indiquer une construction géométri- que de 4-- cycles dans le cas où elle est vérifiée. Prouver géométriquement que cette construction convient. ooo FIN ooo

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 Centrale Maths 2 PC 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) ; il a été relu par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et David Lecomte (Professeur en CPGE). L'épreuve se compose de trois parties interdépendantes. · La première partie étudie l'ensemble des cordes d'un cercle (C) donné qui sont tangentes à une ellipse (E) située à l'intérieur de celui-ci. Le but est notamment de prouver qu'il existe une infinité de triangles inscrits dans (C) et dont les trois cotés sont tangents à (E). Une méthode de construction de tels triangles est également mise au point. · Dans la deuxième partie, une certaine classe de relations symétriques définies sur presque tous les points du cercle (C) est introduite : les correspondances algébriques de degré 1 et 2. Deux exemples de correspondances algébriques sont analysés. Le caractère réflexif de telles correspondances est aussi envisagé. · Enfin, dans la troisième partie, une propriété particulière des correspondances algébriques est mise en avant : l'existence et la nature des 4-cycles. Cette étude permet au final de démontrer le grand théorème de Poncelet pour deux cercles. Le sujet est de difficulté moyenne, mais sa longueur est redoutable. Il fait appel à des notions élémentaires de géométrie analytique : droites, cercles et coniques. Des outils d'algèbre linéaire en dimension finie sont aussi utilisés : rang, liberté d'une famille de vecteurs et polynômes. En résumé, c'est un sujet complet, excellent pour des révisions de géométrie. Indications Partie I I.B Écrire la condition pour qu'un point soit à l'intérieur ou à l'extérieur d'un cercle donné. I.C.1 Former une équation du second degré dont x est solution, puis considérer le discriminant réduit. I.C.2 Que vaut la pente de la tangente à (E ) au point d'intersection avec (D) ? I.C.3 Trouver les paramètres m et m pour chacune des deux droites considérées, puis utiliser le résultat de la question précédente. I.D Reconnaître le changement de variable de « l'arctangente moitié ». -- b Ensuite, pour trouver le paramètre I.F.1 Calculer l'ordonnée du vecteur MM. b avec (), comparer les équations des de la deuxième intersection de (A0 M) [ en utilisant le résultat de la question droites (M(t)M(1/(1-t))) et (A0 M(t)) précédente. I.F.2 Exprimer p en fonction de t, puis (p + 1)s en fonction de p pour vérifier que (M(t)M(u)) satisfait I.C.1 . Conclure à l'aide du résultat de la question I.C.2 . I.F.3 Considérer, pour un point de () de paramètre t, le symétrique orthogonal du point de paramètre (1/(1 - t)) par rapport à (O, - ). Partie II II.A Utiliser le résultat de la question I.E . II.B.2 Utiliser le résultat de la question I.E et celui de la question précédente. II.C Étudier le nombre de racines de l'équation P(2t, t2 ) = 0. Partie III III.A Que dire du quadrilatère M(t1 )M(t2 )M(t3 )M(t4 ) ? Pour un choix de (), penser à la question I.E et au cas où (C) et sont concentriques. III.B.3 Appliquer le résultat de la question précédente. III.B.4.a S'intéresser à la liberté de la famille {Z, V(t), V(u)} pour un vecteur Z du noyau de A , et utiliser le résultat de la question III.B.1 . III.B.4.b La question précédente permet de prouver le résultat. III.C.1 Pour chaque exemple, former la matrice A correspondante. Pour l'exemple 2, exploiter le résultat de la question précédente. III.C.3.a S'inspirer de la question II.B pour construire un exemple. Relier ensuite la nature et le nombre de solutions de l'équation quadratique de la question III.C.2 à l'existence de 4-cycles. III.C.3.c Étudier, lorsque (t1 , t2 , t3 , t4 ) est un 4-cycle, les racines des deux polynômes suivants : P1 (t1 )X2 + 2P2 (t1 )X + P3 (t1 ) et P1 (t3 )X2 + 2P2 (t3 )X + P3 (t3 ). III.C.3.d Utiliser les questions III.C.2 et III.C.3.b . III.C.4.a Calculer le déterminant de la matrice A associée à {P, Q, R}. III.C.4.b Exploiter la symétrie par rapport à l'axe des abscisses. I. Un Exemple Pratique I.A L'équation de la courbe (E) fait apparaître le terme (5y 2 - 4Ry) qui peut être vu comme le début d'un carré. En effet, 2 2 4 5 y - R = 5y 2 - 4Ry + R2 5 5 donc l'équation de la courbe est équivalente à 2 4 2 4x2 + 5 y - R = R2 5 5 2 2 y- R x2 5 2 + 2 = 1 R 2R 5 5 ou encore à où l'on reconnaît l'équation d'une ellipse du plan. (E) est une ellipse dont les coordonnées du centre sont (0; 2R/5) et dont les axes des symétries ont pour équations x = 0 et y = 2R/5. I.B Soit f la fonction réelle définie sur R2 par (x, y) R f (x, y) = (4x2 + 5y 2 - 4Ry) - 4(x2 + y 2 - R2 ) Si l'on simplifie f (x, y), on obtient f (x, y) = y 2 - 4Ry + 4R2 = (y - 2R)2 donc (x, y) R2 f (x, y) > 0 Considérons un point M0 appartenant à (E) et notons (x0 , y0 ) ses coordonnées. D'après le résultat de la question précédente, on a f (x0 , y0 ) > 0 Or, 4x0 2 + 5y0 2 - 4Ry0 = 0 donc -4(x0 2 + y0 2 - R2 ) > 0 aussi car M0 (E) x0 2 + y0 2 6 R2 La distance de l'origine O au point M est alors inférieure à R ; en conséquence, M0 est situé à l'intérieur du cercle (C). Or, M0 est un point arbitraire, donc L'ellipse (E) est située dans le disque délimité par (C). I.C.1 (D) et (E ) se rencontrent en un unique point si et seulement si le système d'inconnues (x, y) 2 2 x +y =1 a2 b2 mx + m = y admet une unique solution. Il vient alors que 2 2 1 = x + (mx + m ) a2 b2 y = mx + m 2 2 0 = 1 + m x2 + 2 mm x + m - 1 a2 b2 b2 b2 ce qui équivaut à y = mx + m La première équation est un trinôme du second degré puisque le coefficient dominant à savoir 1/a2 + m2 /b2 n'est pas nul. On sait qu'il admet une unique racine x si et seulement si son discriminant réduit est nul. Ce dernier vaut 2 2 mm 1 m2 m 1 m2 m2 = - + - 1 = - - 1 + 2 2 2 2 2 2 2 b a b b a b b La solution unique correspondant à nul vérifie alors 1 mm x=- 2 b 1 m2 + a2 b2 m2 mm x d'où 0 = 2 + 2 x+ 2 a b b mx + m x puis 0 = 2 +m a b2 Ainsi, si (D) et (E ) se rencontrent en un unique point, alors il existe un réel x tel que 2 x (mx + m )2 =1 2 + a b2 x + m mx + m = 0 a2 b2 Réciproquement, s'il existe un réel x0 solution de ce système d'équations, alors x0 est une solution de la première équation quadratique. Précisément, mm 1 {-1, 1} x0 = - 2 + 2 b 1 m + 2 2 a b Or, x0 vérifie la deuxième équation, d'où mm 1 x0 = - 2 b 1 m2 + 2 2 a b Par conséquent, est nul. Ainsi, x0 est l'unique solution du système et le point de coordonnées (x0 , mx0 + m ) est l'unique intersection de (D) et (E ). Appelons M0 ce point d'intersection. Une équation de la tangente TM0 à (E ) en M0 est x0 x y0 y + 2 =1 a2 b Comme TM0 et (D) passent par le même point M0 , il suffit de montrer que ces droites ont la même pente pour prouver qu'elles coïncident.