Centrale Maths 2 PC 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexis Devulder (ENS Ulm) ; il a été relu par Éric
Ricard (Enseignant-chercheur à l'Université) et David Lecomte (Université de
Stanford).
L'objectif de ce problème est de déterminer les plans stables d'un
endomorphisme,
en dimension 3 puis en dimension 4, où l'on définit un nouveau produit
vectoriel.
Il traite essentiellement d'algèbre euclidienne et de réduction des
endomorphismes
et fait appel aux notions de produit vectoriel, de produit mixte, de comatrice,
d'adjoint, d'endomorphisme orthogonal, etc. Il constitue donc une bonne
révision de ces
concepts. Ce problème n'est globalement pas très difficile ; certaines
questions sont
néanmoins délicates et l'énoncé est plutôt long.
· La première partie associe à tout u L R3 un endomorphisme u
e L R3
défini à l'aide du produit vectoriel. On y étudie les propriétés de
l'endomorphisme u
e et de l'application u 7- u
e.
· La deuxième partie est courte mais plus délicate que la précédente. On y
établit
une méthode générale pour déterminer les plans stables de u à partir de l'étude
de u
e, puis on applique cette méthode à deux exemples.
· La troisième partie est longue. On y introduit un produit vectoriel de R4 × R4
vers R6 dont on étudie les propriétés. La plupart des questions sont assez
faciles,
hormis la question III.C qui demande plus de soin et d'intuition géométrique.
· La quatrième partie est la plus facile du problème et peut être résolue
rapidement. Elle traite de réduction des endomorphismes, est assez calculatoire
et
consiste surtout en l'étude d'un exemple.
Indications
Partie I
I.C Utiliser l'unicité de la question I.B.
g = (e
I.D Pour montrer que (u)
u) , montrer qu'elles ont même matrice dans la
base B.
I.E.2 Pour rg (u) = 2, montrer que Ker (u) Ker u
e, puis que dim Ker u
e 6 2.
Pour cela, montrer que (Ker u
e) (Ker u) = 0.
Partie II
II.A Exprimer la matrice de u dans une base orthogonale x, y , x y avec y P
et hx, y i = 0.
II.B Si z est un vecteur propre de u
e de norme 1, utiliser une base orthonormée
de z .
II.C Utiliser les questions II.A et II.B pour établir une « correspondance »
entre
les plans stables de u et les valeurs propres de u
e.
Partie III
III.C.1 Déterminer X, puis trouver un Y0 particulier tel que X × Y0 = C.
Conclure
à l'aide de III.A.
III.C.3 Pour la condition nécessaire, montrer que l'on peut appliquer le
résultat de
la question III.C.1 avec C = L (X).
III.C.4
Pour trouver
Vect (X, Y) dans le cas où A 6= 0, ne pas oublier que la matrice
a a
a pour déterminant 1, donc est inversible.
µ
Partie IV
IV.A Un endomorphisme est orthogonal si, et seulement si, il existe une base
orthonormale dont l'image est une base orthonormale par cet endomorphisme.
IV.B Trouver une base orthonormale dans laquelle u
e est diagonale, en déduire que
u
e est auto-adjoint.
IV.C Prouver la propriété demandée dans les cas particuliers des endomorphismes
orthogonaux puis auto-adjoints, puis généraliser à l'aide de la décomposition
fournie par l'énoncé.
I.
Étude dans E euclidien orienté de dimension 3
I.A On calcule u
e1 (e1 ), u
e1 (e2 ), etc. en utilisant les formules fournies par l'énoncé :
0
-1
3
u
e1 (e1 ) = 0 -3 = -1
1
-3
0
-1
0
3
u
e1 (e2 ) = -3 1 = 0
-3
0
-1
u
e1 (e3 ) = e2 e3 = e1
On obtient donc la matrice de u
e1 :
3
3
e 1 = -1
U
0
0 -1
1
0
0
On obtient la matrice de u
e2 par un calcul similaire :
2 0 0
e 2 = 0 0 0
U
-2 0 0
Cette question n'est pas là uniquement pour tester les capacités calculatoires
des candidats. Elle a pour rôle de leur donner deux exemples qui leur
permettent de mieux comprendre les objets étudiés et de guider l'intuition de
l'élève. N'hésitez pas à étudier ces exemples lorsque vous bloquez sur une des
questions suivantes.
I.B Soit u L (E). On commence par vérifier la formule demandée pour x et y
appartenant à la base B :
u
e(e1 e2 ) = u
e(e3 ) = u(e1 ) u(e2 )
u
e(e2 e3 ) = u
e(e1 ) = u(e2 ) u(e3 )
u
e(e3 e1 ) = u
e(e2 ) = u(e3 ) u(e1 )
On remarque par ailleurs que pour tout i {1, 2, 3} :
u
e(ei ei ) = u
e (0) = 0 = u (ei ) u (ei )
De plus le résultat reste vrai pour les couples (e2 , e1 ), (e3 , e2 ), (e1 ,
e3 ) par antisymétrie
du produit vectoriel et linéarité de u et de u
e.
On remarque ensuite que la formule reste valable pour tous vecteurs x et y dans
E,
le produit vectoriel étant bilinéaire et les applications u et u
e linéaires. On a donc :
(x, y) E2
u
e(x y) = u(x) u(y)
Raisonner ainsi en termes de linéarité permet souvent de gagner du temps et
d'éviter des calculs fastidieux.
D'autre part, si v est un endomorphisme de E vérifiant :
(x, y) E2
alors
v(x y) = u(x) u(y)
(x, y) E2
Or
e1 = e2 e3
Par conséquent
v(x y) = u
e(x y)
et
e2 = e3 e1
i {1, 2, 3}
e3 = e1 e2
v(ei ) = u
e(ei )
u
e et v coïncident donc sur une base de E ; comme ce sont des applications
linéaires,
elles sont égales.
v=u
e
I.C Il suffit de remarquer que :
Par conséquent
e 1 ) = e1
Id(e
e 2 ) = e2
Id(e
et
e = Id
Id
e 3 ) = e3
Id(e
Soient u et v dans L (E). On sait d'après la question précédente que u]
v est
l'unique endomorphisme w de E tel que
(x, y) E2
w(x y) = (u v)(x) (u v)(y)
Prenons alors un couple (x, y) d'éléments de E. On calcule :
Par suite
u
e ve(x y) = u
e(v(x) v(y)) = (u v)(x) (u v)(y)
Si u est inversible
On a donc
u]
v =u
e ve
^
-1 )
gE = u^
Id E = Id
u-1 = u
e (u
u
e est inversible et (e
u)
-1
-1 .
= ug
e = (e
I.D Notons U = (ui,j )i,j{1,2,3} et U
ui,j )i,j{1,2,3} .
e et com (U) et de constater
Pour répondre à cette question, il suffit de calculer U
qu'elles sont égales.
e = com (U)
U
De façon un peu plus conceptuelle, on peut prolonger la notation ui,j
de la façon suivante : pour (i, j) {1, 2, 3}2 et pour k et l entiers, on pose
ui+3k,j+3l = ui,j , par exemple : u4,5 = u1,2 . On peut alors écrire que
u
ei,j = he
u (ei ) , ej i
= hu (ei+1 ) u (ei+2 ) , ej i
= det (u (ei+1 ) , u (ei+2 ) , ej )
u
ei,j =
ui+1,j+1
ui+1,j+2
ui+2,j+1
ui+2,j+2
