Centrale Maths 2 PC 2002

Thme de l'preuve Produit vectoriel de R4 R4 dans R6 ; recherche de plans stables par un endomorphisme
Principaux outils utiliss espaces euclidiens, produit vectoriel, dterminants, rduction des endomorphismes
Mots clefs rn, plan stable, dterminant

Corrig

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Maths 2 PC 2002 -- Corrig Ce corrig est propos par Alexis Devulder (ENS Ulm) ; il a t relu par ric Ricard (Enseignant-chercheur  l'Universit) et David Lecomte (Universit de Stanford). L'objectif de ce problme est de dterminer les plans stables d'un endomorphisme, en dimension 3 puis en dimension 4, o l'on dfinit un nouveau produit vectoriel. Il traite essentiellement d'algbre euclidienne et de rduction des endomorphismes et fait appel aux notions de produit vectoriel, de produit mixte, de comatrice, d'adjoint, d'endomorphisme orthogonal, etc. Il constitue donc une bonne rvision de ces concepts. Ce problme n'est globalement pas trs difficile ; certaines questions sont nanmoins dlicates et l'nonc est plutt long.  La premire partie associe  tout u L R3 un endomorphisme u e L R3 dfini  l'aide du produit vectoriel. On y tudie les proprits de l'endomorphisme u e et de l'application u 7- u e.  La deuxime partie est courte mais plus dlicate que la prcdente. On y tablit une mthode gnrale pour dterminer les plans stables de u  partir de l'tude de u e, puis on applique cette mthode  deux exemples.  La troisime partie est longue. On y introduit un produit vectoriel de R4  R4 vers R6 dont on tudie les proprits. La plupart des questions sont assez faciles, hormis la question III.C qui demande plus de soin et d'intuition gomtrique.  La quatrime partie est la plus facile du problme et peut tre rsolue rapidement. Elle traite de rduction des endomorphismes, est assez calculatoire et consiste surtout en l'tude d'un exemple. Indications Partie I I.C Utiliser l'unicit de la question I.B. g = (e I.D Pour montrer que (u) u) , montrer qu'elles ont mme matrice dans la base B. I.E.2 Pour rg (u) = 2, montrer que Ker (u) Ker u e, puis que dim Ker u e 6 2. Pour cela, montrer que (Ker u e) (Ker u) = 0. Partie II II.A Exprimer la matrice de u dans une base orthogonale x, y , x y avec y P et hx, y i = 0. II.B Si z est un vecteur propre de u e de norme 1, utiliser une base orthonorme de z . II.C Utiliser les questions II.A et II.B pour tablir une  correspondance  entre les plans stables de u et les valeurs propres de u e. Partie III III.C.1 Dterminer X, puis trouver un Y0 particulier tel que X  Y0 = C. Conclure  l'aide de III.A. III.C.3 Pour la condition ncessaire, montrer que l'on peut appliquer le rsultat de la question III.C.1 avec C = L (X). III.C.4 Pour trouver Vect (X, Y) dans le cas o A 6= 0, ne pas oublier que la matrice a a a pour dterminant 1, donc est inversible.  Partie IV IV.A Un endomorphisme est orthogonal si, et seulement si, il existe une base orthonormale dont l'image est une base orthonormale par cet endomorphisme. IV.B Trouver une base orthonormale dans laquelle u e est diagonale, en dduire que u e est auto-adjoint. IV.C Prouver la proprit demande dans les cas particuliers des endomorphismes orthogonaux puis auto-adjoints, puis gnraliser  l'aide de la dcomposition fournie par l'nonc. I. tude dans E euclidien orient de dimension 3 I.A On calcule u e1 (e1 ), u e1 (e2 ), etc. en utilisant les formules fournies par l'nonc : 0 -1 3 u e1 (e1 ) = 0 -3 = -1 1 -3 0 -1 0 3 u e1 (e2 ) = -3 1 = 0 -3 0 -1 u e1 (e3 ) = e2 e3 = e1 On obtient donc la matrice de u e1 : 3 3 e 1 = -1 U 0 0 -1 1 0 0 On obtient la matrice de u e2 par un calcul similaire : 2 0 0 e 2 = 0 0 0 U -2 0 0 Cette question n'est pas l uniquement pour tester les capacits calculatoires des candidats. Elle a pour rle de leur donner deux exemples qui leur permettent de mieux comprendre les objets tudis et de guider l'intuition de l'lve. N'hsitez pas  tudier ces exemples lorsque vous bloquez sur une des questions suivantes. I.B Soit u L (E). On commence par vrifier la formule demande pour x et y appartenant  la base B : u e(e1 e2 ) = u e(e3 ) = u(e1 ) u(e2 ) u e(e2 e3 ) = u e(e1 ) = u(e2 ) u(e3 ) u e(e3 e1 ) = u e(e2 ) = u(e3 ) u(e1 ) On remarque par ailleurs que pour tout i {1, 2, 3} : u e(ei ei ) = u e (0) = 0 = u (ei ) u (ei ) De plus le rsultat reste vrai pour les couples (e2 , e1 ), (e3 , e2 ), (e1 , e3 ) par antisymtrie du produit vectoriel et linarit de u et de u e. On remarque ensuite que la formule reste valable pour tous vecteurs x et y dans E, le produit vectoriel tant bilinaire et les applications u et u e linaires. On a donc : (x, y) E2 u e(x y) = u(x) u(y) Raisonner ainsi en termes de linarit permet souvent de gagner du temps et d'viter des calculs fastidieux. D'autre part, si v est un endomorphisme de E vrifiant : (x, y) E2 alors v(x y) = u(x) u(y) (x, y) E2 Or e1 = e2 e3 Par consquent v(x y) = u e(x y) et e2 = e3 e1 i {1, 2, 3} e3 = e1 e2 v(ei ) = u e(ei ) u e et v concident donc sur une base de E ; comme ce sont des applications linaires, elles sont gales. v=u e I.C Il suffit de remarquer que : Par consquent e 1 ) = e1 Id(e e 2 ) = e2 Id(e et e = Id Id e 3 ) = e3 Id(e Soient u et v dans L (E). On sait d'aprs la question prcdente que u] v est l'unique endomorphisme w de E tel que (x, y) E2 w(x y) = (u v)(x) (u v)(y) Prenons alors un couple (x, y) d'lments de E. On calcule : Par suite u e ve(x y) = u e(v(x) v(y)) = (u v)(x) (u v)(y) Si u est inversible On a donc u] v =u e ve ^ -1 ) gE = u^ Id E = Id u-1 = u e (u u e est inversible et (e u) -1 -1 . = ug e = (e I.D Notons U = (ui,j )i,j{1,2,3} et U ui,j )i,j{1,2,3} . e et com (U) et de constater Pour rpondre  cette question, il suffit de calculer U qu'elles sont gales. e = com (U) U De faon un peu plus conceptuelle, on peut prolonger la notation ui,j de la faon suivante : pour (i, j) {1, 2, 3}2 et pour k et l entiers, on pose ui+3k,j+3l = ui,j , par exemple : u4,5 = u1,2 . On peut alors crire que u ei,j = he u (ei ) , ej i = hu (ei+1 ) u (ei+2 ) , ej i = det (u (ei+1 ) , u (ei+2 ) , ej ) u ei,j = ui+1,j+1 ui+1,j+2 ui+2,j+1 ui+2,j+2