Centrale Maths 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Transformation de Legendre ; optimisation
Principaux outils utilisés analyse réelle, fonctions de plusieurs variables, algèbre linéaire et bilinéaire, topologie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
              

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


MATHÉMATIQUES // Filière PC MATHÉMATIQUES || Nota : les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment. Partie I - Propriétés de la transformée de Legendre Dans toute la partie I - , I désigne un intervalle de IR et f une fonction à valeurs réelles, définie sur I . On note J ( f ) l'ensemble des réels p tels que la fonction définie sur I par x r--> (px -- f(x)) soit majorée ; si J ( f ) : ® , on définit la fonction g sur J(f) par: VpEUR J(f), s(p) = sup (px--f(x)) xEI La fonction g est appelée la transformée de Legendre de f ; on note g =£"( f ) . I.A - Exemples Calculer la transformée de Legendre g =.5"( f ) (en précisant l'ensemble J ( f ) ) et tracer le graphe de g , dans les cas suivants : I.A.1) f(x) : kx2 (ke IRî) ;] = IR. I.A.2) f(x) : ex ;1 = IR. I.A.3) f(x) : arctan(x) ;] : IR. I.B - Etude générale Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I . On suppose que J (f ) est non vide. I.B.1) Montrer que J (f ) est un intervalle : on montrera que, si a et b sont dans J(f) , alors pour tout te [O, 1], ta + (1 --t)b appartient à J(f) . I.B.2) Montrer que g =fif ) est convexe sur J (f ) , c'est-à-dire : V(a, b) & J(f) > 0 . Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES // Filière PC Filiè ere PC On sait que f '(I ) est un intervalle ; on note oc et B ses extrémités et l'on suppose oc0) et h'(lR) = IR}. Montrer que: a) fÏ(%)c%. b) Vhe%,fifih>) = h. C) $ est une bijection de % sur % . Partie II - Gênêralisation aux fonctions de plusieurs variables Soit n e N* . E désigne l'espace vectoriel euclidien IR" muni du produit scalaire canonique n x, = x- - ' ( y) 2 L yl ' xl L=l . ., x s1 x : (xl, xn) & E , on note X le vecteur colonne assoc1e X = 2 x Ainsi, si Y est le vecteur colonne associé à y e E, (x, y > = 'X Y. Soit f une application de E dans IR ,telle que, pour tout p e E , l'application de E dans IR définie par x |--> { p, x)--f (x) , soit majorée ; on définit alors la transformée de Legendre de f, notée .£"(f ), comme étant l'application de E dans IR définie par fif) : pl--)SU%( = 2f(p)- 1=1 ' Indication : on pourra calculer la dérivée de la fonction tr--> f (tp) . 11.4) En utilisant la question 11.8--b), déterminer pour tout p e E , un vecteur x(p)EUR E tel que g(p) = f(x(p)). Indication : on pourra utiliser ëe E tel que (grad F)(ë) : 0. Partie III - Problème d'optimisation E désigne l'espace vectoriel euclidien IR" (n & IN *) muni du produit scalaire canonique, noté (,) et de la norme associée, notée II Il . Si x EUR E , on note X le vec- . , - t teur colonne assoc1e et par extensmn "XII : llxll : A/ XX . Soit p un vecteur donné de E , A une matrice carrée réelle d'ordre n , symétri- que et ayant toutes ses valeurs propres positives ou nulles. Concours Centrale-Supélec 2000 3/5 MA THÉMA TIQUES II Filière PC On note F l'application de E dans IR définie par : F(x) = --'XAX = tPX--'XAX: Une partie C de E est dite convexe si : V(x,y)e C2, Vte [0,1], tx+(l--t)ye C. Soit C une partie fermée, non vide, convexe, de E . Lorsque F est majorée sur C, on s'intéresse à M , ensemble -- éventuellement vide -- des points de C où l'application F restreinte à C atteint sa borne supérieure : M : {xe C | F(x)= supF(y)}. yeC III.A - Convexité de M III.A.1) Soit x1 et x2 deux points de C et pour t e [O, 1] , x : tx1 + (1 --t)x2. Montrer que : F(x) : (1 --t)F(x2) +tF(x,) +t(1 --t) t(X1--X2)A(Xl--XZ). III.A.2) On suppose M non vide. Montrer que M est convexe. III.B - Cas particulier. Dans cette seule question III.B, on suppose de plus que toutes les valeurs pro- pres de A sont strictement positives. III.B.1) Démontrer qu'il existe un nombre k > 0 tel que : Vx & E 'XAXZk'XX. III.B.2) Montrer que M est non vide. III.B.3) Montrer que M ne contient qu'un élément. III.C - Une caractérisation des points de M III.C.1) Avec les mêmes notations qu'au III.A.1, montrer que : F(x) - F(x2) : --t2. '(X1--X2)A(X1-- X2) + t . '(P-- 2AX2)(X1--X2) . III.C.2) Montrer l'équivalence : xe M=>Lxe C et Vye C, t(P--2AX)(Y--X)SOJ Donner l'interprétation de la caractérisation trouvée au moyen du gradient de F au point x . III.B - Cas où C est borné Dans cette question III.B, on suppose de plus que l'ensemble C est borné, con- tenu dans la boule fermée de centre O et rayon R . Concours Centrale-Supélec 2000 4/5 MATHÉMATIQUES // Filière PC III.D.1) Démontrer que M est non vide. Trouver un exemple avec F non identiquement nulle où M a une infinité d'élé- ments. III.D.2) Démontrer qu'il existe un réel oc tel que : Vx & E, MAX" 5 oc|le| . III.D.3) Soit r un nombre réel strictement positif tel que : r > sup{6ocR2, 2R(Ilpll + 2ocR)} (où ce est défini au III.D.2). On se propose de construire par récurrence des suites (um) , (um) de points de C et une suite réelle (tm) telles que si U m (resp. Vm ) est le vecteur colonne associé à um (resp. Um ), on a pour tout m & IN : i) Vx & C, t(2AUm _ P)Vm s "'(2AUm _ P)X ; ii) tm = }_ t(P--2AUm)(Vm-- Um) ; iii) um+1 : um + zîm(vm -- um) . On suppose donné m & IN et um & C. a) Montrer l'existence de Um & C vérifiant la relation i). b) Montrer que tm défini par la relation ii) est dans l'intervalle [O, 1] . c) Montrer que u défini par la relation iii) est dans C . m+1 Déduire des questions a), b) et c) que pour tout u0 & C , les relations i), ii) et iii) permettent de définir les suites (um) , (um) et (tm) . III.D.4) Montrer que, si (um) est la suite définie à la question III.D.3), la suite (F(um)) est croissante et convergente. Montrer qu'il existe une suite extraite de la suite (um) qui converge vers un élé- ment de M . ooo FIN 000 Concours Centrale-Supé/ec 2000 5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Maths 2 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Cédric Peschard (ENS Ulm) ; il a été relu par Renaud Durand (ENS Ulm) et Théo Seffusatti (Mines Paris). Le problème comporte trois parties indépendantes, mais liées par un thème commun, la transformée de Legendre (mathématicien français, 1752­1833). À une fonction on associe une autre fonction. Il est apparu que cette transformation avait des liens avec certains domaines de recherche en sciences physiques (mécanique analytique, thermodynamique). Le problème est très riche grâce à la variété des théories utilisées : analyse des fonctions réelles, calcul différentiel, suites dans des espaces euclidiens, mais aussi algèbre linéaire et bilinéaire ou convexité. La première partie introduit la notion de transformée de Legendre dans le cas d'une fonction réelle. Après l'étude de quelques exemples, les techniques élémentaires de l'analyse réelle sont mises en oeuvre (majorations, dérivations, convexité) pour dégager les propriétés générales de cette transformation. En particulier le cas de fonctions satisfaisant certaines conditions de régularité est traité, et des résultats plus précis sont démontrés. Dans la deuxième partie, on reprend la notion de transformée de Legendre dans le cas d'une fonction d'un espace vectoriel de dimension finie dans lui-même. On se limite à des fonctions issues de l'algèbre linéaire, en fait des formes quadratiques. Formes bilinéaires, diagonalisation des matrices symétriques, mais aussi calcul différentiel sont les principales notions utilisées. Les questions font apparaître des analogies entre les situations des deux premières parties, car ce sont en fait des résultats particuliers d'une théorie plus vaste. La troisième partie s'attache à la description de parties d'un espace vectoriel de dimension finie vérifiant des contraintes de maximisation issues de la définition de la transformée de Legendre. À nouveau, l'algèbre, linéaire et bilinéaire, est le principal instrument, avec en plus les notions de convexité, de topologie (fermeture, compacité). Cette partie se conclut par la construction d'une suite convergeant vers un point vérifiant le maximum. Indications Partie I I.A.2 Distinguer plusieurs cas selon le signe de p. I.A.3 Quelles sont les limites en + et en - de px - f (x) ? I.B.1 La fonction correspondant à ta + (1 - t)b peut s'exprimer en fonction de celles qui correspondent à a et b. I.B.3 Si a 6 b, on peut comparer ax et bx lorsque x I. I.C.1 Rechercher d'abord x(p) en utilisant le fait que les fonctions étudiées sont dérivables et en établissant le tableau de variation de F I.C.2 Montrer que x(p) est dérivable, mais est-ce bien utile de calculer sa dérivée ? I.C.3 Quelle est la pente ? Trouver un point de contact. I.C.4.b Pour éviter des calculs compliqués, il vaut mieux revenir à la définition initiale. I.C.4.c Quelle est la réciproque de L ? Partie II II.1 Les matrices symétriques réelles sont diagonalisables. II.2 Exprimer B dans une base déjà introduite. II.3.b Suivre l'indication pour dériver la relation de la question précédente, puis considérer un cas particulier de la nouvelle égalité obtenue. -- II.3.C Appliquer l'égalité précédente au point qui annule grad F. Partie III III.A.1 On peut partir de l'expression tF(x1 ) + (1 - t)F(x2 ) et écrire : x1 = x + (x1 - x), et de même pour x2 . t III.A.2 Utiliser l'égalité précédente, et le fait que U AU > 0 pour tout U. III.B.1 Il y a beaucoup de méthodes possibles. On peut par exemple diagonaliser A. III.B.2 Obtenir une majoration de F qui permette de trouver lim kxk+ F. Considérer deux parties de C. III.B.3 Soient x1 et x2 deux éléments de M. Appliquer l'égalité obtenue à la question III.A.1. III.C.2 L'implication est simple. Dans les deux cas, appliquer l'égalité obtenue à la question III.C.1. III.D.1 C est fermé et borné, il est donc ... III.D.3.a Vm représente un extremum pour une certaine fonction. III.D.3.b Montrer séparément : tm > 0 et tm 6 1. III.D.4 Minorer F(um+1 ) - F(um ). Montrer d'abord que tm converge. Utiliser le critère trouvé à la question III.C.2. Partie I Propriétés de la transformée de Legendre I.A.1 La fonction F : x 7- px - kx2 est une fonction polynôme de degré 2, à coefficient dominant négatif. Elle est donc majorée. -p p = , et vaut : Son maximum est atteint en -2k 2k p 2 p p2 p2 p2 p -k = - = 2k 2k 2k 4k 4k On a par conséquent : J(f ) = R et g(p) = 1 2 p 4k I.A.2 La fonction F : x 7- px - ex tend vers - en +. Par contre, son comportement en - dépend du signe de p : ­ Si p < 0, F : px - ex tend vers + et donc la fonction F n'est pas majorée, et p / J(f ). ­ Si p = 0, -ex tend vers 0, de plus 0 majore F. Donc 0 J(f ) et g(0) = 0. ­ Si p > 0, px - ex tend vers -. La fonction étant C 1 on peut chercher un maximum en cherchant où s'annule la dérivée : F (x) = p - ex . La dérivée s'annule en un seul point, ln p. Finalement, J(f ) = R+ g(p) = p ln p - p g(0) = 0 pour p>0 Remarquons que la fonction est continue en 0. I.A.3 La fonction Arctan est bornée sur R. Distinguons suivant le signe de p. Lorsque p > 0, en +, F : px - Arctan x tend vers +, la fonction n'est pas majorée. De façon analogue, si p < 0, lim F = +. - Dans le cas où p = 0, la fonction F(x) = - Arctan x est majorée. J(f ) = {0} et g(0) = 1 2 I.B.1 Si a et b sont dans J(f ), les fonctions Fa : x 7 ax - f (x) et Fb : x 7 bx - f (x) sont majorées. Soient t [ 0 ; 1 ] et c = ta + (1 - t)b. Exprimons la fonction Fc : x 7 cx - f (x) en fonction de Fa et Fb : Fc (x) = cx - f (x) = (ta + (1 - t)b) x - (t + 1 - t)f (x) = t (ax - f (x)) + (1 - t)(bx - f (x)) Fc (x) = tFa (x) + (1 - t)Fb (x)