Centrale Maths 1 PC 2025

PC
4 heures

Calculatrice autorisée

2025

Mathématiques 1

Un principe d'incertitude matriciel
Notations
Soit E un C-espace vectoriel. On note Id l'application identité de E. Un nombre 
complexe  est valeur propre d'un
endomorphisme  de E si Ker(-Id) = {0}. On note VP() l'ensemble des valeurs 
propres de . Pour tout   VP(),
Ker( - Id) est un sous-espace vectoriel de E, que l'on note E ().
qP
N
2
Si x = (x1 ,x2 , . . . ,xN ) est un élément de RN , on note x sa norme 
euclidienne canonique : x =
i=1 xi .
On note MN (R) l'ensemble des matrices carrées de taille N à coefficients réels.
On note IN la matrice identité de MN (R) et, si (1 , . . . ,N )  RN , on note 
diag(1 , . . . ,N ) la matrice diagonale
dont les éléments diagonaux sont 1 , . . . ,N .
L'ensemble des valeurs propres d'un élément A de MN (R) est noté Sp(A).
+
++
On note SN (R) l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille N . On 
note SN
(R) (resp. SN
(R)) l'ensemble des
matrices symétriques réelles positives (resp. définies positives) de taille N .

Partie A ­ Autour du principe d'incertitude d'Heisenberg
Dans cette partie, E désigne le C-espace vectoriel C  (R,C) des fonctions de R 
dans C indéfiniment dérivables.

I ­ Valeurs propres de l'opérateur dérivée seconde
Q1. Pour tout f  E, on pose (f ) = -f  . Montrer que l'on définit ainsi un 
endomorphisme  de E.
Q2. Montrer que R+  VP(). Pour tout réel   R+ , déterminer une base de E ().

II ­ Cas des fonctions gaussiennes
(
Pour tout a  R+ , on définit Ga

:

R
t

- C
2 (gaussienne de paramètre a). On admet la convergence et la
1
7- e- 2 at

valeur de l'intégrale suivante :
r

Z +
Ga (t)dt =
-

2
.
a

On fixe un réel a strictement positif.
Z +

Q3. Montrer pour tout réel  la convergence de l'intégrale
Ga (t)e-it dt.
-

R - C
Z +
ba :
On notera dans la suite G
 7-
Ga (t)e-it dt
-

ca est de classe C 1 .
Q4. Démontrer que l'application G
ca est solution sur R d'une équation différentielle du premier ordre que l'on 
explicitera.
Q5. Démontrer que G
r
2
c
En déduire que Ga =
G1/a .
a
1/6

Z +
Q6. Démontrer que les intégrales

G2a (u)du et

Z +

u2 G2a (u)du sont convergentes et déterminer leurs valeurs.

-

-

On définit le réel positif F (Ga ) (resp. T (Ga )) par la relation
F2 (Ga ) =

1

Z +

R +
2 - Ga (u)2 du

-

1
2
resp. T
(Ga ) = R +
2
G
a (u) du
-

ca (u)2 du
u2 G
!

Z +

2

2

u Ga (u) du.
-

1
2
Q7. Démontrer l'égalité T
(Ga ) = (F2 (Ga )), où  : x 7 4x
.
2
Pour f un élément non nul d'une certaine classe de fonctions S, on a T
(f )F2 (f )  14 (inégalité d'Heisenberg). Si
2
f représente un signal réel, T (f ) représente son étalement dans le domaine 
temporel et F2 (f ) son étalement dans
le domaine fréquentiel. Le principe d'incertitude d'Heisenberg dit alors qu'on 
ne peut pas localiser précisément et
simultanément un signal dans les deux domaines.
Les multiples des gaussiennes sont les seuls éléments de S qui réalisent 
l'égalité dans l'inégalité d'Heisenberg.
1
vérifie donc (x) =
L'application  : x 7 4x

min

f S\{0}
2
F
(f )=x

2
T
(f ), pour tout réel x strictement positif.

Le but du sujet dans la suite est d'établir pour des signaux discrets (éléments 
de RN ), un résultat semblable, relativement à une matrice A donnée (principe 
d'incertitude matriciel). Il s'agira en particulier de définir dans ce contexte
2
les analogues de T
, F2 et  et d'en étudier certaines propriétés.

Partie B ­ Laplacien d'une matrice
Dans cette partie B, N désigne un entier supérieur ou égal à 2.
On note G l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille N , à 
coefficients dans {0,1}, de diagonale nulle.
Si A = (ai,j )(i,j)[[1,n]]2 est un élément de G on définit
(A) = diag

N
X
k=1

a1,k ,

N
X

a2,k , . . . ,

N
X

!
aN,k

et LA = (A) - A.

k=1

k=1

I ­ Étude d'un élément de G

0
0
Soit B = 
0
1

0
0
1
0

0
1
0
0

1
0
.
0
0

Q8. Déterminer la matrice LB . Que vaut rg(LB ) ?
Q9. Calculer L2B . En déduire Sp(LB ) et pour tout réel   Sp(LB ), déterminer 
dim(E (LB )).
+
++
Q10. La matrice LB est-elle élément de SN
(R) ? de SN
(R) ?

II ­ Étude du noyau des éléments de G
Soit A un élément de G. On note 1N le vecteur colonne de taille N ne contenant 
que des 1.
Q11. Montrer que Vect (1N )  Ker(LA ). A-t-on l'égalité ?
Soit x = (x1 ,x2 , . . . ,xN )  RN .
On rappelle qu'on peut identifier les éléments de RN et les matrices colonnes 
de taille N . Ainsi, dans les questions
suivantes, x est identifié à la matrice colonne de taille
N dont les coefficients sont x1 , x2 , . . . ,xN , et sa transposée xT

est identifiée à la matrice ligne x1 x2 · · · xN .
2/6

Q12. Démontrer que :

X

ai,j x2i = xT (A) x.

(i,j)[[1,N ]]2

Q13. En déduire :
X

ai,j (xi - xj )2 =

1i