Centrale Maths 1 PC 2021

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Mathématiques 1
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2021

Ce sujet est divisé en trois parties.

-- Dans la première partie, on étudie une marche aléatoire sur Z qui modélise 
la trajectoire d'une particule.
On s'intéresse en particulier au temps nécessaire pour que la particule 
revienne pour la première fois à son
point de départ, si cela arrive. Pour cela, on introduit une suite de nombres 
appelés nombres de Catalan et
on étudie leurs propriétés.

-- Dans la deuxième partie, entièrement indépendante de la première, on 
s'intéresse au calcul d'un déterminant
à l'aide d'une suite de polynômes orthogonaux.

-- Dans la troisième partie enfin, on utilise les résultats des deux premières 
parties pour calculer deux détermi-
nants associés aux nombres de Catalan.

I Etude d'une marche aléatoire sur Z
Soit (0,.4,P) un espace probabilisé et soit (X,,),en- une suite de variables 
aléatoires définies sur { et à valeurs

dans {--1,1}, mutuellement indépendantes, et telles que, pour tout n EUR N*,

P(X,=1)=p et P(X,=-1)=1-p, oùpel0,il.

n
On pose $, = 0 et, pour tout n EUR N°, S,, -- dx.
ki

La suite ($,),en modélise la trajectoire aléatoire dans Z d'une particule 
située en $, = 0 à l'instant initial
n = 0, et faisant à chaque instant n EUR N un saut de +1 avec une probabilité p 
et de --1 avec une probabilité
1 -- p, les sauts étant indépendants et p appartenant à ]0,1|.

Pour w EUR (, on représente la trajectoire de la particule par la ligne brisée 
joignant les points de coordonnées
(n, Sn (w)) en

2

1
3

0
UE

--1

--2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
Figure 1 Exemple de trajectoire possible
I. A --- Espérance et variance de S,

Dans cette sous-partie, n désigne un entier naturel non nul.
Soit Y,, la variable aléatoire sur Q égale au nombre de valeurs de k EUR ]1,n] 
telles que X, = 1.
Q 1. Quelle est la loi de Y,, ? En déduire l'espérance et la variance de Y,..

Q 2. Quelle relation a-t-on entre $,, et Y,, ? En déduire l'espérance et la 
variance de $,,. Justifier que $,,
et n ont même parité.

I.B - Chemins de Dyck et loi du premier retour à l'origine

Pour m EUR N*, on appelle chemin de longueur m tout m-uplet + = (7,,...,7%,) 
tel que Vi EUR [l,ml, 7, EUR {--1,1}.
k
On pose alors s,(0) -- 0 et, pour tout k EUR [1,m], s,(k) -- S
i=1

On représente le chemin + par la ligne brisée joignant la suite des points de 
coordonnées (k,s,(k)), k EUR [0, m].

M036/2021-03-08 07:53:02 Page 1/4 CIEL
Pour n EUR N°:

-- on appelle chemin de Dyck de longueur 2n tout chemin + = (71,...,72,) de 
longueur 2n tel que s,(2n) = 0
et Vk EUR [0,2n], s,(k) > 0;

-- on note C, le nombre de chemins de Dyck de longueur 2n.

On convient de plus que C, = I.

La suite (C°,),en est appelée suite des nombres de Catalan. On constate que ©, 
= 1 et C3 = 2.

2
2 | &
"a us 1
0 0 °
0 1 2 0 1 2 3 A0 1 2 3 A
k k

Figure 2 Représentation des chemins de Dyck de longueurs 2 et 4

Q 3. Donner sans démonstration la valeur de C, et représenter tous les chemins 
de Dyck de longueur 6.
Soit n EN et y= (71, %2n72) un chemin de Dyck de longueur 2n + 2. Soit r -- 
max{i EUR [0, n] | s,(2i) = 0}.
On suppose 0 < r < n et on considère les chemins à = (71,...,7%,) et 8 = (V2p49:., Vonr1): Q 4. Justifier à l'aide d'une figure que 92,11 = 1, %,:2 = --1 et que a et B sont des chemins de Dyck. Soit m EUR N* et soit y = (y,,...,7%,) un chemin de longueur m. Pour t EUR N, on note À, l'événement : « pour tout k EUR [l,m, X,,, = y, » ; en d'autres termes, t,7 tk -- Vk A4. -- [] (Xyix -- Vx). k=1 Q 5. Soit n EUR N* et soit 7 -- (71,...,%2,) un chemin de Dyck de longueur 2n. Pour t EUR N, exprimer P(4,.) en fonction de n et p. Soit T'la variable aléatoire, définie sur Q et à valeurs dans N, égale au premier instant où la particule revient à l'origine, si cet instant existe, et égale à 0 si la particule ne revient jamais à l'origine : 0 si Vk E N°, Sy (w) £ 0 Vu EUR Q, Ta) = À in EUR Ne | Sule = 0) sinon Q 6. Montrer que T'prend des valeurs paires et que, pour tout n EN, P(T =2n+2)=2C,pttt(i-pirtt, I.B.1) Série génératrice des nombres de Catalan Q 7. En utilisant la question 4, montrer VREN, Ciun=d OC y r=0 | C Q 8. À l'aide de la variable aléatoire 7, montrer que la série > -- converge.
n>0
1 r " 1 1
Q 9. En déduire que la série entière > C,t" converge normalement sur 
l'intervalle 7 -- 3: nl
n>0

On pose alors, pour tout t EUR Ï,
+00
fH)= D CE et g(t) = 2f(t).
n=0

O0
On rappelle que la série génératrice de T, donnée par Gr{t) -- > P(T' = nt", 
est définie si t EUR [---1,1|.
n=0
Q 10. À l'aide des questions précédentes, exprimer G# à l'aide de g et de P(T = 
0).
I
Q 11. En déduire que si p Æ 2° alors T'admet une espérance.

Q 12. Montrer que Vt EUR I, g(t)° = 2g(t) -- 4t.
Q 13. En déduire qu'il existe une fonction EUR : 1 -- {--1,1} telle que

VLEI, g(t)=1+e({t)Vi--4t

M036/2021-03-08 07:53:02 Page 2/4 (cc) BY-NC-SA
Q 14. Montrer que EUR est continue sur 1 \ } En déduire

VtEI, g(t)=1-V1-4#.
Q 15. En déduire que P(T Æ 0) = 1 -- 4/1 -- 4p(1 -- p). Interpréter ce résultat 
lorsque p -- =.
Q 16. Montrer que si p -- = alors T'n'admet pas d'espérance.

I.C --- Expression des nombres de Catalan et équivalent

Q 17. Justifier l'existence d'une suite de réels (a, ),en telle que

+O0
Vzel-1,1, vl+x=1+ Da,x"ti

n=0

et, pour tout n EUR N, exprimer a,, à l'aide d'un coefficient binomial.

1 2
Q 18. En déduire Vn EN, C, -- | ,
n+I\n

Q 19.  Rappeler l'équivalent de Stirling. En déduire un équivalent de C", 
lorsque n tend vers +00.

Q 20. À partir de la question précédente, retrouver le résultat des questions 
11 et 16.

IT Calcul d'un déterminant à l'aide d'un système orthogonal

Dans cette partie, on suppose que l'espace vectoriel R[X] est muni d'un produit 
scalaire (-|-) et on note || la
norme associée.

Pour tout n EUR N, on note G,, la matrice carrée de taille n + 1 suivante :

AH) GX) + Ga")
Ga = (AT) AD ne . AA
| (X"|1) (XTIX)  (X7 IX")

On cherche à obtenir une expression du déterminant de G,, à l'aide d'une suite 
de polynômes orthogonaux.

IT. À - Définition et propriétés d'un système orthogonal

Dans RIX] muni du produit scalaire (-}-), on appelle système orthogonal toute 
suite de polynômes (P,,),en
vérifiant les propriétés suivantes :

-- (P,),an est une famille orthogonale, c'est-à-dire : V(4, j) EUR N°, à £ j = 
(P;/P;) = 0;

-- pour tout n EUR N, P, est unitaire et de degré n.

Dans toute la partie IL, on considère un système orthogonal (V, ),en:

Q 21. Montrer que, pour tout n EUR N, la famille (V,, V,,.., V,) est une base 
orthogonale de l'espace vectoriel
R,, LX] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.

Q 22 SoineNet PE R|IX! tels que deg P < n. Montrer que (V,|P) = 0. Q 23. Soit (W,,),en un autre système orthogonal. Montrer que Vn EN, W,, = V,. II.B - Expression de det G,, à l'aide de la suite (V, ),ex Soit ne Net soit G? la matrice carrée de taille n + 1 suivante : (VolVo) (Vol) + (WW) G7 = ((VialVi)) a 00) ina) . en On note Q,, = (q; j)1ci.jen+1 la matrice de la famille (V,, V,,..., V,,) dans la base (1, X,..., X7) de R,[X]. Q 24. Montrer que Q, est triangulaire supérieure et que det Q,, = 1. Q 25. Montrer que Q,G,Q, -- G?, où Q, est la transposée de la matrice ©... Q 26. En déduire que det G,, -- LIVE i=0 M036/2021-03-08 07:53:02 Page 3/4 (cc) BY-NC-SA III Déterminant de Hankel des nombres de Catalan Dans cette partie, on introduit un produit scalaire particulier sur R[X] et une suite de polynômes. On vérifie qu'il s'agit d'un système orthogonal pour ce produit scalaire, ce qui permettra d'appliquer les résultats de la partie précédente. III. À --- Produit scalaire lL--x Q 27. Soit PE R|IX] et Q EUR R|X]. Montrer que la fonction x H P(4x)Q(4x) Te x est intégrable sur |0, 1]. Dans toute la partie III, on pose = | à V(P,Q)E RIX| x RIX|, (P|Q) -- aire | 1 | Pt 0 Q 28. Montrer que (-|-) est un produit scalaire sur R[X|. ITI.B -- Système orthogonal Soit (U, ),en la suite de polynômes définie par VU, = 1, VU, =X-1et VneN, U,,o =(X---2)U,,, --U,. Q 29. Pour tout n EUR N, montrer que U, est unitaire de degré n, et déterminer la valeur de U,, (0). Q 30. Soit0e R. Montrer que Vn EUR N, U,, (4 cos" 0) sin 0 = sin((2n + 1)6). x /2 Q 31. Soit (m,n) EUR N°. Calculer  sin((2m + 1)0) sin((2n + 1)0) dé. 0 Q 32. En déduire que (U,,),,.N est un système orthogonal et que, pour tout n EUR N, [U,, | = 1. Pour calculer la valeur de (U,, |U,,), on pourra effectuer le changement de variable x = cos* 6. ITI.C -- Application Pour tout n EUR N, on pose u,, = (X"|1). Q 33. À l'aide d'une intégration par parties, montrer 1 3 VnEN", du, 1 --Hn = a 82 (1 -- x)$2 dx = y. 2n -- I 0 Q 34. En déduire Vne N, nu, = C,. Q 35. Soit n EUR N. Déduire des parties précédentes la valeur du déterminant Co Ci Co | Chi Ch C | | | Cri Co Hy -- det(Ci4; 2)1ci jén+1 -- C 2n--2 Chi ° ° Con_1 Ch Ch+i UT Con-2 Con-1 Con ITTI.D -- Un autre déterminant de Hankel Dans cette sous-partie, on pose, pour tout n EUR N, Co Ci Co UT Ch --] Ch Ci Ca C3 Ch 1 Ch C oi ER oi Cou Co oi oi oi Ci C . . . : C . . : D, (X) = ' et H° -- ' . . . Con : Con_2 Ci On  Cnr . Con-2  Con-1 C1 : : Con2 I X e XMS XX" Cr Cru Con-3 Con2 Con-1 Q 36. Soit (n,k) EUR N° tel que k < n. Montrer (D, XF) = (0. Q 37. En déduire que Vn EUR N, D,, = U,,, puis déterminer, pour tout n EUR N*, la valeur du déterminant H". ee eFINeee M036/2021-03-08 07:53:02 Page 4/4 (cc) BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (professeur en CPGE) ; il a été 
relu
par Quentin Guilmant (ENS Lyon) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).

Ce problème, qui combine probabilités, séries entières et algèbre bilinéaire, 
est
consacré aux nombres de Catalan. Il est constitué de trois parties dont les deux
premières sont indépendantes.
· Dans la première partie, on étudie une marche aléatoire, et plus précisément
l'instant de premier retour à l'origine. C'est l'occasion d'introduire la suite
des nombres de Catalan, d'étudier leur série génératrice et d'établir quelques
propriétés utiles.
· Dans la très brève partie II, on effectue le calcul d'un déterminant à l'aide 
d'une
famille orthogonale de polynômes.
· La dernière partie utilise les résultats des deux autres pour calculer deux 
déterminants, appelés déterminants de Hankel, définis à l'aide des nombres de
Catalan.
C'est un sujet original, intéressant et bien articulé ; il ne comporte pas de 
difficulté
particulière hormis la dernière question de la partie I. De surcroît, les 
questions sont
bien détaillées et les résultats essentiels apparaissent explicitement dans 
l'énoncé,
ce qui permet de le traiter dans le temps imparti, même en prenant le temps de
s'approprier soigneusement toutes les notations introduites. Et comme il 
survole des
parties du programme assez différentes, il constitue un excellent entraînement 
avant
les écrits.

Indications
Partie I
1 Tout le monde aura reconnu un schéma de Bernoulli !
4 Observer que s (k) > 0 pour tout k  [[ 2r + 1 ; 2n + 1 ]].
5 S'inspirer des résultats et notations de la question I.A.
6 Pour   , se placer dans le cas où T() = 2n + 2 et poser k = Xk () pour
tout k  [[ 1 ; 2n + 1 ]] afin d'utiliser les résultats des questions 
précédentes.
Attention cependant,  n'est un chemin de Dyck qu'à un facteur -1 près.
7 Distinguer les cas r = 0, 0 < r < n et r = n. 8 Calculer T() dans le cas où p = 1/2. 10 Utiliser les résultats de la question 6. 11 Vérifier que GT a un rayon de convergence strictement supérieur à 1. 12 Partir de la définition de f et utiliser la relation fournie à la question 7. 14 Se servir des résultats des questions 13 et 9 pour montrer que  est continue. 15 Déterminer GT (1) à l'aide des résultats des questions 10 et 14. 16 Il suffit de vérifier que GT n'est pas dérivable (à gauche) en 1, en utilisant les résultats des questions précédentes. 18 Calculer les coefficients de la série entière g à l'aide des résultats des questions 14 et 17. 20 Remarquer d'abord que T admet une espérance si, et seulement si, f est dérivable (à gauche) en p(1 - p). Vérifier ensuite que f a pour rayon de convergence 1/4. Dans le cas p = 1/2, utiliser la croissance de f 0 sur ] 0 ; 1/4 [ pour montrer que si f 0 est dérivable en 1/4, sa série entière converge en 1/4, ce qui est en contradiction avec l'équivalent de Cn établi à la question 19. Partie II 22 Observer que P  Vect (V0 , . . . , Vn-1 ). 23 Montrer que (Wn - Vn | Wn - Vn ) = 0 à l'aide des résultats de la question précédente. Partie III 27 Faire apparaître le produit d'une fonction continue, donc bornée, sur [ 0 ; 1 ] et d'une fonction intégrable sur ] 0 ; 1 ]. 30 Penser à la relation sin(a + b) + sin(a - b) = 2 sin a cos b. 31 Noter cette fois que cos(a - b) - cos(a + b) = 2 sin a sin b. 32 Utiliser les résultats des questions 30 et 31. 34 Se servir des résultats des questions 33 et 18. 35 Commencer par observer que (P | Q) = (PQ | 1) afin de faire le lien avec Gn . 36 Développer Dn (X) selon la dernière ligne avec des cofacteurs de (Ci+j-2 )i,j . 37 Vérifier que (Dn )nN est un système orthogonal, puis calculer Dn (0). Publié dans les Annales des Concours I. Étude d'une marche aléatoire sur Z 1 À chaque instant k  [[ 1 ; n ]], le déplacement de la particule est une épreuve de Bernoulli de paramètre p, dont le succès correspond à un saut de +1 et l'échec à un saut de -1. Les sauts sont en outre indépendants. À l'issue de ces déplacements, on a répété n fois et de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p. On obtient alors un schéma de Bernoulli, dont le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p. Ainsi, comme on l'a vu en cours, La variable aléatoire Yn suit la loi B(n ; p). E(Yn ) = np et V(Yn ) = np(1 - p). de sorte que 2 Par définition, Yn est le nombre de valeurs de k  [[ 1 ; n ]] telles que Xk = 1. Le nombre de valeurs de k  [[ 1 ; n ]] telles que Xk = -1 est ainsi égal à n - Yn et Sn = n P Xk = Yn × 1 + (n - Yn ) × (-1) = Yn + Yn - n k=1 Sn = 2Yn - n soit Par linéarité de l'espérance, on a E(Sn ) = 2E(Yn ) - n, d'où E(Sn ) = 2np - n = n(2p - 1) De même, V(Sn ) = 4V(Yn ) donc V(Sn ) = 4np(1 - p) Enfin, Sn - n = 2(Yn - n) est un nombre pair, ce qui prouve que Les entiers Sn et n ont la même parité. Dans les questions qui suivent, les nombres k et s (k) correspondent aux valeurs prises respectivement par les variables aléatoires Xk et Sk (pour k  N ). En particulier, s (k) a la même parité que k. 3 Voici tous les chemins de Dyck de longueur 6. 2 s (k) s (k) 2 1 0 0 1 2 3 4 5 1 0 6 0 1 2 k 5 6 4 5 6 2 s (k) s (k) 4 k 2 1 0 3 0 1 2 3 4 5 6 1 0 0 1 2 k 3 k Publié dans les Annales des Concours et enfin s (k) 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 k Il y en a exactement 5, donc C3 = 5 4 Comme s (0) = 0, l'entier r = max {i  [[ 0 ; n ]] | s (2i) = 0} existe toujours. Par définition de l'entier r, on a s (2r) = 0. Comme  est un chemin de Dyck de longueur 2n + 2, la situation peut se représenter de la manière suivante : 3 s (k) 2 1 0 0 1 2r - 1 2r 2r + 1 2n + 2 k On peut déjà noter que nécessairement 1 = 2r+1 = 1 et 2r = 2n+2 = -1 De plus, s (k) > 0 pour tout k  [[ 0 ; 2r ]] donc
Le chemin  = (1 , . . . , 2r ) est un chemin de Dyck de longueur 2r.
Enfin, s (k) étant de même parité que k d'après le résultat de la question 2, 
cette
somme ne peut s'annuler que pour un entier k pair. Par définition de r, on a 
alors
s (k) > 1 pour tout k  [[ 2r + 1 ; 2n + 1 ]]. Comme
s (2r + 1) = s (2n + 1) = 1
d'après la figure, on peut en déduire que
Le chemin  = (2r+2 , . . . , 2n+1 ) est un chemin de Dyck de longueur 2(n - r).
Les résultats de cette question sont encore valables pour r = 0 ou r = n, en
considérant que l'un des chemins est de longueur nulle.
5 Les variables aléatoires Xn (pour n  N ) étant mutuellement indépendantes,
2n

t  N

P (At, ) =

 P (Xt+k = k )
k=1