Centrale Maths 1 PC 2021

Thème de l'épreuve Marche aléatoire sur ℚ et déterminant de Hankel des nombres de Catalan
Principaux outils utilisés probabilités, séries entières, algèbre bilinéaire
Mots clefs marche aléatoire, loi binomiale, série génératrice, nombres de Catalan, système orthogonal, déterminant de Hankel

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Mathématiques 1
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2021

Ce sujet est divisé en trois parties.

-- Dans la première partie, on étudie une marche aléatoire sur Z qui modélise 
la trajectoire d'une particule.
On s'intéresse en particulier au temps nécessaire pour que la particule 
revienne pour la première fois à son
point de départ, si cela arrive. Pour cela, on introduit une suite de nombres 
appelés nombres de Catalan et
on étudie leurs propriétés.

-- Dans la deuxième partie, entièrement indépendante de la première, on 
s'intéresse au calcul d'un déterminant
à l'aide d'une suite de polynômes orthogonaux.

-- Dans la troisième partie enfin, on utilise les résultats des deux premières 
parties pour calculer deux détermi-
nants associés aux nombres de Catalan.

I Etude d'une marche aléatoire sur Z
Soit (0,.4,P) un espace probabilisé et soit (X,,),en- une suite de variables 
aléatoires définies sur { et à valeurs

dans {--1,1}, mutuellement indépendantes, et telles que, pour tout n EUR N*,

P(X,=1)=p et P(X,=-1)=1-p, oùpel0,il.

n
On pose $, = 0 et, pour tout n EUR N°, S,, -- dx.
ki

La suite ($,),en modélise la trajectoire aléatoire dans Z d'une particule 
située en $, = 0 à l'instant initial
n = 0, et faisant à chaque instant n EUR N un saut de +1 avec une probabilité p 
et de --1 avec une probabilité
1 -- p, les sauts étant indépendants et p appartenant à ]0,1|.

Pour w EUR (, on représente la trajectoire de la particule par la ligne brisée 
joignant les points de coordonnées
(n, Sn (w)) en

2

1
3

0
UE

--1

--2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
Figure 1 Exemple de trajectoire possible
I. A --- Espérance et variance de S,

Dans cette sous-partie, n désigne un entier naturel non nul.
Soit Y,, la variable aléatoire sur Q égale au nombre de valeurs de k EUR ]1,n] 
telles que X, = 1.
Q 1. Quelle est la loi de Y,, ? En déduire l'espérance et la variance de Y,..

Q 2. Quelle relation a-t-on entre $,, et Y,, ? En déduire l'espérance et la 
variance de $,,. Justifier que $,,
et n ont même parité.

I.B - Chemins de Dyck et loi du premier retour à l'origine

Pour m EUR N*, on appelle chemin de longueur m tout m-uplet + = (7,,...,7%,) 
tel que Vi EUR [l,ml, 7, EUR {--1,1}.
k
On pose alors s,(0) -- 0 et, pour tout k EUR [1,m], s,(k) -- S
i=1

On représente le chemin + par la ligne brisée joignant la suite des points de 
coordonnées (k,s,(k)), k EUR [0, m].

M036/2021-03-08 07:53:02 Page 1/4 CIEL
Pour n EUR N°:

-- on appelle chemin de Dyck de longueur 2n tout chemin + = (71,...,72,) de 
longueur 2n tel que s,(2n) = 0
et Vk EUR [0,2n], s,(k) > 0;

-- on note C, le nombre de chemins de Dyck de longueur 2n.

On convient de plus que C, = I.

La suite (C°,),en est appelée suite des nombres de Catalan. On constate que ©, 
= 1 et C3 = 2.

2
2 | &
"a us 1
0 0 °
0 1 2 0 1 2 3 A0 1 2 3 A
k k

Figure 2 Représentation des chemins de Dyck de longueurs 2 et 4

Q 3. Donner sans démonstration la valeur de C, et représenter tous les chemins 
de Dyck de longueur 6.
Soit n EN et y= (71, %2n72) un chemin de Dyck de longueur 2n + 2. Soit r -- 
max{i EUR [0, n] | s,(2i) = 0}.
On suppose 0 < r < n et on considère les chemins à = (71,...,7%,) et 8 = (V2p49:., Vonr1): Q 4. Justifier à l'aide d'une figure que 92,11 = 1, %,:2 = --1 et que a et B sont des chemins de Dyck. Soit m EUR N* et soit y = (y,,...,7%,) un chemin de longueur m. Pour t EUR N, on note À, l'événement : « pour tout k EUR [l,m, X,,, = y, » ; en d'autres termes, t,7 tk -- Vk A4. -- [] (Xyix -- Vx). k=1 Q 5. Soit n EUR N* et soit 7 -- (71,...,%2,) un chemin de Dyck de longueur 2n. Pour t EUR N, exprimer P(4,.) en fonction de n et p. Soit T'la variable aléatoire, définie sur Q et à valeurs dans N, égale au premier instant où la particule revient à l'origine, si cet instant existe, et égale à 0 si la particule ne revient jamais à l'origine : 0 si Vk E N°, Sy (w) £ 0 Vu EUR Q, Ta) = À in EUR Ne | Sule = 0) sinon Q 6. Montrer que T'prend des valeurs paires et que, pour tout n EN, P(T =2n+2)=2C,pttt(i-pirtt, I.B.1) Série génératrice des nombres de Catalan Q 7. En utilisant la question 4, montrer VREN, Ciun=d OC y r=0 | C Q 8. À l'aide de la variable aléatoire 7, montrer que la série > -- converge.
n>0
1 r " 1 1
Q 9. En déduire que la série entière > C,t" converge normalement sur 
l'intervalle 7 -- 3: nl
n>0

On pose alors, pour tout t EUR Ï,
+00
fH)= D CE et g(t) = 2f(t).
n=0

O0
On rappelle que la série génératrice de T, donnée par Gr{t) -- > P(T' = nt", 
est définie si t EUR [---1,1|.
n=0
Q 10. À l'aide des questions précédentes, exprimer G# à l'aide de g et de P(T = 
0).
I
Q 11. En déduire que si p Æ 2° alors T'admet une espérance.

Q 12. Montrer que Vt EUR I, g(t)° = 2g(t) -- 4t.
Q 13. En déduire qu'il existe une fonction EUR : 1 -- {--1,1} telle que

VLEI, g(t)=1+e({t)Vi--4t

M036/2021-03-08 07:53:02 Page 2/4 (cc) BY-NC-SA
Q 14. Montrer que EUR est continue sur 1 \ } En déduire

VtEI, g(t)=1-V1-4#.
Q 15. En déduire que P(T Æ 0) = 1 -- 4/1 -- 4p(1 -- p). Interpréter ce résultat 
lorsque p -- =.
Q 16. Montrer que si p -- = alors T'n'admet pas d'espérance.

I.C --- Expression des nombres de Catalan et équivalent

Q 17. Justifier l'existence d'une suite de réels (a, ),en telle que

+O0
Vzel-1,1, vl+x=1+ Da,x"ti

n=0

et, pour tout n EUR N, exprimer a,, à l'aide d'un coefficient binomial.

1 2
Q 18. En déduire Vn EN, C, -- | ,
n+I\n

Q 19.  Rappeler l'équivalent de Stirling. En déduire un équivalent de C", 
lorsque n tend vers +00.

Q 20. À partir de la question précédente, retrouver le résultat des questions 
11 et 16.

IT Calcul d'un déterminant à l'aide d'un système orthogonal

Dans cette partie, on suppose que l'espace vectoriel R[X] est muni d'un produit 
scalaire (-|-) et on note || la
norme associée.

Pour tout n EUR N, on note G,, la matrice carrée de taille n + 1 suivante :

AH) GX) + Ga")
Ga = (AT) AD ne . AA
| (X"|1) (XTIX)  (X7 IX")

On cherche à obtenir une expression du déterminant de G,, à l'aide d'une suite 
de polynômes orthogonaux.

IT. À - Définition et propriétés d'un système orthogonal

Dans RIX] muni du produit scalaire (-}-), on appelle système orthogonal toute 
suite de polynômes (P,,),en
vérifiant les propriétés suivantes :

-- (P,),an est une famille orthogonale, c'est-à-dire : V(4, j) EUR N°, à £ j = 
(P;/P;) = 0;

-- pour tout n EUR N, P, est unitaire et de degré n.

Dans toute la partie IL, on considère un système orthogonal (V, ),en:

Q 21. Montrer que, pour tout n EUR N, la famille (V,, V,,.., V,) est une base 
orthogonale de l'espace vectoriel
R,, LX] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.

Q 22 SoineNet PE R|IX! tels que deg P < n. Montrer que (V,|P) = 0. Q 23. Soit (W,,),en un autre système orthogonal. Montrer que Vn EN, W,, = V,. II.B - Expression de det G,, à l'aide de la suite (V, ),ex Soit ne Net soit G? la matrice carrée de taille n + 1 suivante : (VolVo) (Vol) + (WW) G7 = ((VialVi)) a 00) ina) . en On note Q,, = (q; j)1ci.jen+1 la matrice de la famille (V,, V,,..., V,,) dans la base (1, X,..., X7) de R,[X]. Q 24. Montrer que Q, est triangulaire supérieure et que det Q,, = 1. Q 25. Montrer que Q,G,Q, -- G?, où Q, est la transposée de la matrice ©... Q 26. En déduire que det G,, -- LIVE i=0 M036/2021-03-08 07:53:02 Page 3/4 (cc) BY-NC-SA III Déterminant de Hankel des nombres de Catalan Dans cette partie, on introduit un produit scalaire particulier sur R[X] et une suite de polynômes. On vérifie qu'il s'agit d'un système orthogonal pour ce produit scalaire, ce qui permettra d'appliquer les résultats de la partie précédente. III. À --- Produit scalaire lL--x Q 27. Soit PE R|IX] et Q EUR R|X]. Montrer que la fonction x H P(4x)Q(4x) Te x est intégrable sur |0, 1]. Dans toute la partie III, on pose = | à V(P,Q)E RIX| x RIX|, (P|Q) -- aire | 1 | Pt 0 Q 28. Montrer que (-|-) est un produit scalaire sur R[X|. ITI.B -- Système orthogonal Soit (U, ),en la suite de polynômes définie par VU, = 1, VU, =X-1et VneN, U,,o =(X---2)U,,, --U,. Q 29. Pour tout n EUR N, montrer que U, est unitaire de degré n, et déterminer la valeur de U,, (0). Q 30. Soit0e R. Montrer que Vn EUR N, U,, (4 cos" 0) sin 0 = sin((2n + 1)6). x /2 Q 31. Soit (m,n) EUR N°. Calculer  sin((2m + 1)0) sin((2n + 1)0) dé. 0 Q 32. En déduire que (U,,),,.N est un système orthogonal et que, pour tout n EUR N, [U,, | = 1. Pour calculer la valeur de (U,, |U,,), on pourra effectuer le changement de variable x = cos* 6. ITI.C -- Application Pour tout n EUR N, on pose u,, = (X"|1). Q 33. À l'aide d'une intégration par parties, montrer 1 3 VnEN", du, 1 --Hn = a 82 (1 -- x)$2 dx = y. 2n -- I 0 Q 34. En déduire Vne N, nu, = C,. Q 35. Soit n EUR N. Déduire des parties précédentes la valeur du déterminant Co Ci Co | Chi Ch C | | | Cri Co Hy -- det(Ci4; 2)1ci jén+1 -- C 2n--2 Chi ° ° Con_1 Ch Ch+i UT Con-2 Con-1 Con ITTI.D -- Un autre déterminant de Hankel Dans cette sous-partie, on pose, pour tout n EUR N, Co Ci Co UT Ch --] Ch Ci Ca C3 Ch 1 Ch C oi ER oi Cou Co oi oi oi Ci C . . . : C . . : D, (X) = ' et H° -- ' . . . Con : Con_2 Ci On  Cnr . Con-2  Con-1 C1 : : Con2 I X e XMS XX" Cr Cru Con-3 Con2 Con-1 Q 36. Soit (n,k) EUR N° tel que k < n. Montrer (D, XF) = (0. Q 37. En déduire que Vn EUR N, D,, = U,,, puis déterminer, pour tout n EUR N*, la valeur du déterminant H". ee eFINeee M036/2021-03-08 07:53:02 Page 4/4 (cc) BY-NC-SA