Centrale Maths 1 PC 2020

Thème de l'épreuve Étude de certaines matrices symplectiques
Principaux outils utilisés orthogonalité, algèbre bilinéaire et réduction
Mots clefs matrices orthogonales, matrices symétriques, matrices antisymétriques, matrices symplectiques, algèbre bilinéaire

Corrigé

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Mathématiques 1

T

PC
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Calculatrice autorisée

2020

Étude de certaines matrices symplectiques

L'objet du problème est de définir et étudier la notion de matrice 
symplectique, et d'établir des résultats de
réduction dans certains cas particuliers.

Vocabulaire et notations

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul et J,, la matrice 
carrée de M,,(R) définie par blocs

par
on £,
me (où)

nm

où 0, est la matrice nulle à n lignes et n colonnes et 1,, est la matrice 
identité de même taille.
Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, la matrice transposée de toute 
matrice Mde M,, q(R) est notée MT.

On dit qu'une matrice M de M,,(R) est symplectique si et seulement si M'J,M = 
J,. On désigne par Sp, (R)
l'ensemble des matrices symplectiques de taille 2n x 2n.

On note O,,(R) le groupe orthogonal de M,,(R), S2,(R) l'ensemble des matrices 
symétriques de M,,(R) et
An (R) l'ensemble des matrices antisymétriques de M,,,(R).

Soit E un R-espace vectoriel. On appelle forme bilinéaire sur E toute 
application v définie sur E x E et à valeurs
dans R telle que pour tout Y EUR E,

XH d(X,Y) et XH v(Y,X)
soient toutes les deux linéaires sur E.

Soit d une forme bilinéaire ; 4 est dite alternée si et seulement si, pour tout 
X EUR E, d(X, X) = 0 ; v est dite
antisymétrique si et seulement si, pour tout (X,Y) EUR E?, (X,Y) = --#(Y,X).

Si i et j sont deux entiers naturels, on note 6; ; le nombre qui vaut 1 si i -- 
j et qui vaut 0 sinon.
On note e; la matrice colonne élémentaire dont le seul coefficient non nul vaut 
1 et est placé sur la ligne numéro i.

On munit M2, 1(R) du produit scalaire canonique noté (-,-) et de la norme 
euclidienne associée, notée ||-|. En
identifiant M,(R) et R, on a, pour tous X et Y dans M, 1 (R),

(X,Y)=XTY et  |X|2=XTX.

Si X EUR Mona(R), X1 désigne l'orthogonal de X, c'est-à-dire l'ensemble des 
éléments Y de M, 1(R) tels que
(X,Y) = 0. Si Fest un sous-espace vectoriel de M, 1(R), F+ désignera 
l'orthogonal de F c'est-à-dire l'ensemble
des éléments de M, 1(R) qui sont orthogonaux à tous les éléments de F°

Si À est une matrice de M,,,(R), on notera sp, (A) l'ensemble des valeurs 
propres réelles de A.

Si À est une matrice de M,,(R) et À est une de ses valeurs propres, on notera 
Æ\ le sous-espace propre de À
associé à la valeur propre À.

Soit E un espace vectoriel et X,,...,X,, des vecteurs de E. On note 
Vect(X,,....,X ) l'espace vectoriel engendré
par X1,...,X,.

Soit À une matrice de M,,(R) et F une partie de M,,,1(R). On dit que Fest 
stable par A si et seulement si,
pour tout X dans F, AX est un élément de F.

2020-02-13 00:51:26 Page 1/4 (cc) BY-NC-SA
I Cas des matrices de taille 2 Xx 2

Q 1. Dans cette question uniquement, n est un entier naturel non nul 
quelconque. Déterminer J° et montrer
que J, EUR Sp, (R) N A2, (R).
Dans la suite de cette partie, n = 1.

Q 2. Montrer qu'une matrice de taille 2 X 2 est symplectique si et seulement si 
son déterminant est égal

à 1.

Q 3. Soit M une matrice orthogonale de taille 2 x 2. On note M, -- (e | et M, = 
( | les deux colonnes
2 2

de M. Montrer l'équivalence
M est symplectique = M, = --J, M.

Q 4. Soit X1, EUR Mo(R) de norme 1. Montrer que la matrice carrée constituée 
des colonnes X, et --J,X;
est à la fois orthogonale et symplectique.

Q 5. Soit M une matrice de taille 2 X 2 symétrique et symplectique. Montrer que 
M est diagonalisable et
que ses valeurs propres sont inverses l'une de l'autre. Montrer qu'il existe 
une matrice P à la fois orthogonale et
symplectique telle que P {M P soit diagonale.

Q 6. Déterminer les matrices de taille 2 X 2 à la fois antisymétriques et 
symplectiques et montrer qu'elles
ne sont pas diagonalisables dans KR.

II Cas des matrices symplectiques et orthogonales
Soit K une matrice antisymétrique et 4 l'application de (M on 1(R)) dans R 
telle que
VOX, Y) EUR (Mona(R)) PA Y) = XTKY.

(On identifie de nouveau M, (R) et R.)

Q 7. Montrer que 4 est une forme bilinéaire sur M, 1(R).
Q 8. En calculant de deux manières &(X, X )'. montrer que & est alternée. 
Montrer de même que & est
antisymétrique.

Dans toute la suite du sujet, K = J,.

T] Vi
Q 9. Pour tout X -- "2 EUR Mon i(R) et pour tout Y -- 72 EUR Msn 1(R), montrer 
l'égalité
Ton Von

nm

PIX, Y) -- D (TrYpin -- TinY)-
k=1

Q 10. Montrer que pour tout (1,5) EUR {1,..,2n}°, w(e;, Cj) = dyim.j -- di,jin 
(ON POUrra commencer par le cas
où (i,j) EUR {1,...,n}° puis généraliser).
Q 11. Montrer que pour tout X EUR Mo, 1(R), J,X EUR X-- et calculer &(J,X, X).
Q 12. SiYe M,,1(R), on note Y"» l'ensemble des vecteurs Z de M, 1(R) tels que 
&(Y,Z) = 0. Montrer
que X7r =(J,X)+.
Q 13. Soit P une matrice symplectique et orthogonale dont les colonnes sont 
notées X,,...,X,,. Montrer
que, pour tout (2,3) EUR {1,..,2n}?,

IX] = 1
pX;, X;) -- dit. -- dijin

Q 14. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout à EUR {1,...,n}, X?" -- 
Xe,

Q 15. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout à EUR {1,...,n}, X,,, = 
--J,,X,;.

III Quelques généralités sur les matrices symplectiques

Q 16. Montrer que le déterminant d'une matrice symplectique vaut soit 1 soit 
--I.
Q 17. Montrer que l'inverse d'une matrice symplectique est une matrice 
symplectique.

Q 18. Montrer que le produit de deux matrices symplectiques est une matrice 
symplectique. L'ensemble
Sp.,, (R) est-il un sous-espace vectoriel de M, (R) ?

2020-02-13 00:51:26 Page 2/4 FO) 8y-Nc-sA
IV Réduction des matrices symétriques et symplectiques

Le but de cette partie est de montrer que, si M EUR 82, (R) N Sp, (R), il 
existe P EUR O3,(R) N Sp. (R) tel que
P'MP est diagonale de coefficients diagonaux d,,...,d>, avec pour tout k& EUR 
{1,...,n}, dyin = 1/dy:

IV.A -- Propriété
Soit M EUR S,,(R)N Sp, (R).

Q 19. Montrer que si À est valeur propre de M, 1/À cest également valeur propre 
de M. Donner un vecteur
propre associé.

Q 20. Soit À EUR sp_(M) et p = dimE,. Soit (X,,...,X,) une base de E,\. Montrer 
que (J,X,,...,J,X,) est
une base de E;,, et que

Q 21. Soient Y,,...,Y, des vecteurs de M,,, ,(R). Soit Y EUR M, 1(R). Montrer 
l'implication

Ye (Vect(V,., Vies DV) = JAY EUR (Vect(M,, VV Ji Vin)

Yo dn JY Y;
Q 22. Dans cette question À -- 1. Montrer que Æ, est de dimension paire et 
qu'il existe une base de Æ,
orthonormée de la forme (X5,..,X,,J,X,..,J,X,) où 2p est la dimension de FE.

Q 23. Qu'en est-il pour E , ?

Q 24.  Démontrer la propriété annoncée au début de la partie.

IV.B --- Mise en application sur un exemple

Dans la fin de cette partie, on note À la matrice

9 1 3 3
1[1 9 3 3
AZ 3x3 3 9 1
3 3 1 9

Q 25. Montrer que À EUR 8,(R) N Sp, (R).

Q 26. Construire une matrice orthogonale et symplectique P telle que P' AP soit 
diagonale.

V Étude du cas des matrices antisymétriques

V.A --- Un peu de théorie

Soit M EUR A3, (R) N Sp. (R). Soit m l'application linéaire canoniquement 
associée à M.
Q 27. Montrer l'égalité sp_(M) -- ().

Q 28. Montrer qu'il existe P EUR O,,(R) N Sp, (R) tel que P'M*P soit diagonale 
de coefficients diagonaux
d,.....,d», avec pour tout k EUR {1,...,n}, dy, = 1/dy.

Dans toute la suite de cette sous-partie, X désigne un vecteur propre de M° de 
norme 1 associé à une certaine
valeur propre À.

Q 29. Montrer que MX, J,X et J,MX sont des vecteurs propres de M? et donner les 
valeurs propres
associées à chacun de ces vecteurs.

Q 30. Dans cette question et dans la suite, on note F = Vect(X,MX,J,X,J,MX). 
Montrer que F est
stable par M7 et par J,.

Q 31. Montrer que toutes les valeurs propres de M? sont strictement négatives.

Q 32. Justifier que si À £ --1, Fest un espace vectoriel de dimension 4. 
Montrer que, dans ce cas,

_] 1
X,==MX,--J,X. MX)
| V--} =

est une base orthonormée de F. Donner alors la matrice de l'application m} 
induite par m sur F dans la base
obtenue.

Q 33. Montrer que F + est stable par M et par J,.

2020-02-13 00:51:26 Page 3/4 FO) 8y-Nc-sA
Q 34. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul q et des sous-espaces 
vectoriels de M,, 1(R), notés
F,..,Æ, tels que

(a) F@6-68Fr, = Ms,:1(R);

b) Vie {1,..,q}, F, est stable par M et par J, :

) Vie {1,..,q}, F- est stable par M et par J, :

d) Vije{l,..,q},i£j = VY,2)EF x F;,(Y,Z)=0=4%(Y,2);

e) Vie {1,..,q}, dimF, EUR {2,4}:

f) Vi EUR {1,..,q}, la matrice de l'application m F, induite par m sur F; dans 
une certaine base est de la

forme
V --ÀJ, 0: 9
J ou l .
' 02 2 7":

Q

PROS OT OST

V.B - Mise en application

Dans la fin de cette partie, on note B la matrice

0 --5 0 --3
115 0 3 0
B= 310 -3 0 5
3 0 5 0
1
Q 35. Calculer B? .:
1
Q 36. Déterminer un réel a et une matrice P tels que
0 a 0 0
T __ | --a 0 0 0
P EUR O,(R) N Sp,(R) et P'BP = o o 0 L/a
0 O0 --1/a 0

ee erFINee.e

2020-02-13 00:51:26 Page 4/4 CJEXES

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Paul Bonnet (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Bertrand Wiel (professeur en CPGE) et Gilbert Monna (professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur l'ensemble Spn (R) des matrices symplectiques dont la 
définition
est donnée dans l'énoncé. Il étudie les matrices de Spn (R) qui sont 
orthogonales puis
propose la démonstration de théorèmes de réduction sur les matrices 
symplectiques,
d'abord symétriques puis antisymétriques. Le sujet est composé de cinq parties 
de
longueurs et difficultés inégales, qui ne sont pas indépendantes.
· Dans la partie I, on établit une propriété générale de la matrice

0n,n In
Jn =
- In 0n,n
qui sera largement exploitée tout au long du sujet, avant de se concentrer sur
la dimension 2.
· La deuxième partie s'intéresse à une caractérisation des matrices appartenant 
à
l'intersection O2n (R)  Sp2n (R).
· La partie III est très courte. On y démontre des résultats généraux sur les
matrices symplectiques.
· La partie suivante prouve le théorème général concernant la réduction des 
matrices de S2n (R)  Sp2n (R) sur un modèle proche de la preuve du théorème
spectral. On l'applique ensuite sur un exemple.
· La dernière partie concerne un autre théorème de réduction, cette fois sur les
matrices de A2n (R)  Sp2n (R) (théorème de Cartan). La démarche de la partie IV 
est utilisée. Enfin, on applique le théorème sur un exemple.
Ce problème couvre largement la partie algèbre du programme en se concentrant
sur les espaces euclidiens. Il s'agit d'une épreuve technique qui requiert de 
la méthode.
Il faut maitriser les questions d'orthogonalité pour la mener à bien. En outre, 
certaines questions demandent beaucoup d'autonomie et des prises d'initiative. 
C'est un
excellent sujet de révision.

Indications
Partie I
1 Penser à un calcul par blocs pour J2n .
4 Utiliser la question 3 et montrer simplement que la matrice est orthogonale.
5 Penser au théorème spectral et utiliser la question 4.
Partie II
9 Effectuer le produit par blocs.
13 Identifier les coefficients des deux membres de PT Jn P = Jn .
14 Utiliser les questions 12 et 13 et le fait que (X1 , . . . , X2n ) est une 
base orthogonale.
15 Utiliser les questions 12 et 14. Régler la question du signe avec la 
question 13.

17 Penser à établir que M

-1 T

Partie III
-1
= MT
.
Partie IV

20 Montrer que l'application X 7 Jn X réalise un isomorphisme entre E et E1/ .
22 Remarquer que X  E1 \{0} = Jn X  E1 et construire récursivement une base.
24 Partir de la décomposition en somme directe orthogonale due au théorème 
spectral
et exploiter les questions précédentes.
26 Considérer la somme des colonnes pour démarrer ou jeter un coup d'oeil à la
question 35.
Partie V
27 Montrer tout d'abord que 0 est la seule valeur propre réelle possible puis 
utiliser
la question 16.
28 Utiliser la question 19.
34 Établir un résultat similaire à celui de la question 32 pour -1, en 
distinguant
si Jn X appartient à Vect (X, MX) ou non.

I. Cas des matrices de taille 2 × 2
1 Par un simple produit matriciel par blocs,

0n,n In
0n,n In
Jn 2 =
- In 0n,n
- In 0n,n

Jn 2

d'où

0n,n × In + In × 0n,n
0n,n 2 - In 2
=
- In × 0n,n - 0n,n × In
-In 2 + 0n,n 2

-In 0n,n
=
0n,n -In

!

J2n = -I2n

Ainsi,

Pour la seconde partie de la question, on calcule encore par blocs. D'une part,

T
0n,n In
T
Jn =
- In 0n,n
!
0n,n T (-In )T
=
In T
0T
n,n

0n,n -In
=
In 0n,n
JT
n = -Jn
d'où Jn  A2n (R). D'autre part,
2
JT
n Jn Jn = -Jn Jn = +Jn I2n = Jn

ainsi Jn  Sp2n (R). En conclusion,
Jn  A2n (R)  Sp2n (R)
Il est important de noter que
Jn T Jn = -Jn 2 = I2n
donc Jn est une matrice orthogonale. Il s'agit d'un point important qui 
facilitera beaucoup de calculs par la suite. En particulier, Jn est inversible.
2 On pose une matrice

Dès lors,

D'où
Il en découle que

b
A=
 M2 (R)
d

a c
0 1
a b
T
A J1 A =
b d
-1 0
c d

-c a
a b
=
-d b
c d

0
ad - bc
=
-(ad - bc)
0
a
c

AT J1 A = det(A)J1
A  Sp2 (R)  det A = 1

3 Si M est symplectique, d'après la question 2,
det M = 1
d'où M est une matrice de rotation de R2 . D'après le cours, on a

c'est-à-dire

y1 = -x2 et y2 = x1

-x2
M2 =
= -J1 M1
x1

Réciproquement, si M2 = -J1 M1 alors

x1
M=
x2
et

-x2
x1

det M = x1 2 + x2 2 = 1

(M orthogonale)

Par suite, M est symplectique d'après la question 2. En conclusion,
M  O2 (R)

M  Sp2 (R)  M2 = -J1 M1

4 Posons P = (X1 |-J1 X1 ) ; comme les colonnes de P vérifient la condition de 
la
question 3, si elle est orthogonale alors elle est symplectique. Prouvons donc 
qu'il
s'agit d'une matrice orthogonale. Nous savons que

0 -1
-J1 = J1 T =
1 0
est une matrice orthogonale et d'après le cours, il s'agit d'une matrice de 
rotation
d'angle /2, donc,
X1  -J1 X1
Comme X1 est de norme 1, -J1 X1 l'est également. Par suite, il s'agit d'une 
matrice
orthogonale qui vérifie la condition de la question 3.
La matrice P est orthogonale et symplectique.
5 D'une part, la matrice M est symétrique réelle donc, d'après le théorème 
spectral,
elle est diagonalisable et il existe (1 , 2 ) dans R2 et P0  O2 (R) tels que

1 0
T
P0 MP0 =
0 2
D'autre part, M est symplectique donc, d'après la question 2, son déterminant 
vaut 1.
Par suite,
1 = det M = 1 2
et

2 =

1
1

Si det P0 = 1, alors la matrice de changement de base P0 est orthogonale et 
symplectique. On pose alors P = P0 et la réponse est complète. Sinon, en notant 
X1
la première colonne de P0 qui est donc de norme 1, il vient, d'après la 
question 4,
que la matrice
P = (X1 |-J1 X1 )
est orthogonale et symplectique. Ainsi, -J1 X1  X1 d'où
X1  = Vect (-J1 X1 )