Centrale Maths 1 PC 2019

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4 heures Calculatrice autorisée ON
Réduction de sous-algèbres de £(E)

Dans tout le problème, K désigne R ou C et Æ est un K-espace vectoriel de 
dimension n > 1.

On note £(E) le K-espace vectoriel des endomorphismes de E et ,(K) le K-espace 
vectoriel des matrices
carrées à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K.

On note Mat; (u) la matrice, dans la base 8 de E, de l'endomorphisme u de £(E).
La matrice transposée de toute matrice M de M, (K) est notée M.

On dit qu'un sous-ensemble 4 de £(E) est une sous-algèbre de £(E) si 4 est un 
sous-espace vectoriel de £(E),
stable pour la composition, c'est-à-dire tel que u o v appartient à .4 quels 
que soient les éléments u et v de 4.
(Remarquer qu'on ne demande pas que Id; appartienne à 4.)

On dit qu'une sous-algèbre 4 de £(E) est commutative si pour tous u et v dans 
4, uo vu = vou.

Une sous-algèbre 4 de £(E) est dite diagonalisable (respectivement 
trigonalisable) s'il existe une base 3 de E
telle que Mat;(u) soit diagonale (respectivement triangulaire supérieure) pour 
tout u de A.

On dit qu'une partie 4 de M,,(K) est une sous-algèbre de M,,(K) si 4 est un 
sous-espace vectoriel stable pour le
produit matriciel. Elle est dite commutative si, pour toutes matrices À et B de 
À, AB = BA. Une sous-algèbre 4
de M,(K) est diagonalisable (respectivement trigonalisable) s'il existe P EUR 
GL, (K) telle que pour toute matrice
M de À, P !MP soit diagonale (respectivement triangulaire supérieure).

Si B est une base de E, l'application Mat; : £(E) -- M, (K) est une bijection 
qui envoie une sous-algèbre (respec-
tivement commutative, diagonalisable, trigonalisable) de Z(Æ) sur une 
sous-algèbre de M,(K) (respectivement
commutative, diagonalisable, trigonalisable).

Un sous-espace vectoriel F de E est strict si F'est différent de E.

On désigne par S,,(K) (respectivement A,(K)) l'ensemble des matrices 
symétriques de M, (K) (respectivement
antisymétriques). On désigne par T,(K) (respectivement TY(K)) le sous-ensemble 
de M,(K) constitué des ma-
trices triangulaires supérieures. (respectivement des matrices triangulaires 
supérieures à coefficients diagonaux
nuls).

I Exemples de sous-algèbres

IA --- Exemples de sous-algèbres de M, (K)

Q 1. Les sous-ensembles T, (K) et T(K) sont-ils des sous-algèbres de M,,(K) ?

Q 2. Les sous-ensembles S,(K) et A,(K) sont-ils des sous-algèbres de M,(K) ?

Q 3. On suppose n > 3. Les sous-ensembles S,(K) et A, (K) sont-ils des 
sous-algèbres de M,,(K) ?
I.B - Exemples de sous-algèbres de £(E)

Soit Fun sous-espace vectoriel de Æ de dimension p et 4, l'ensemble des 
endomorphismes de Æ qui stabilisent F,
c'est-à-dire A7 = {u EUR L(E)|u(F) CF}.

Q 4. Montrer que 4 est une sous-algèbre de Z(E).
Q 5. Montrer que dim A} = n? -- pn + p°.

On pourra considérer une base de Æ dans laquelle la matrice de tout élément de 
4, est triangulaire par
blocs.

Q 6. Déterminer max (n?-- pn + p°).
1 2.

Pour tout (ay,...,a, ,) EUR R", on pose

QG An_1 Qj
_ dj dj '" d2

J(ap,....., an_1) = l
Ap_1 An-2 '7 À

Ainsi, le coefficient d'indice (4,3) de J(ag,.....,a,_) est a; ; sii>jeta; ;1, 
Si < 3j. Soit À l'ensemble des matrices de M,(R) de la forme J(ap,....,a, 1) où (ap, ...,a, 1) EUR R". Soit J EUR M,{R) la matrice canoniquement associée à l'endomorphisme @ EUR £(R") défini par v'e;he;,, si jE{1,..,n--1l}et vle,) =e,, où (e,,....,e,) est la base canonique de R". IT. À -- Calcul des puissances de J Q 10. Préciser les matrices J et J°. (On pourra distinguer les cas n = 2 et n > 
2.)
Q 11. Préciser les matrices J" et JY pour 2 1. Soit 4 une sous-algèbre 
de £(ÆE) constituée d'endomor-
phismes nilpotents. On admet dans cette partie le théorème ci-dessous, qui sera 
démontré dans la partie V.

---- Théorème de Burnside
Soit Æ un C-espace vectoriel de dimension n > 2. Soit 4 une sous-algèbre de 
Z(E). Si les
seuls sous-espaces vectoriels de Æ stables par tous les éléments de .4 sont {0} 
et E, alors

A = L(E).

On se propose de démontrer par récurrence forte sur n EUR N* que si tous les 
éléments de 4 sont nilpotents, alors
Æ est trigonalisable.

Q 30. Montrer que le résultat est vrai si n = 1.
On suppose désormais que n > 2 et que le résultat est vrai pour tout entier 
naturel d  2.

On dira qu'une sous-algèbre 4 de Z(E) est irréductible si les seuls 
sous-espaces vectoriels stables par tous les
éléments de .4 sont {0} et E.

Soit 4 une sous-algèbre irréductible de £(E). Il s'agit donc de montrer que 4 = 
£(E).

V.A -- Recherche d'un élément de rang 1

Q 36. Soient x et y deux éléments de E, x étant non nul. Montrer qu'il existe u 
EUR À tel que u(x) = y.
On pourra considérer dans Æ le sous-espace vectoriel {u(x) | u EUR A}.

Q 37. Soit v EUR À de rang supérieur ou égal à 2. Montrer qu'il existe u EUR À 
et À EUR C tel que

0 < rg(v ou ov-- Au) < rgv. Considérer x et y dans E tels que la famille (v(x),u(y)) soit libre, justifier l'existence de u EUR .4 tel que u o v(x) = y et considérer l'endomorphisme induit par vo u sur Im v. Q 38. En déduire l'existence d'un élément de rang 1 dans .4. V.B --- Conclusion Soit u, EUR À de rang 1. On peut donc choisir une base B = (£,,...,e,) de E telle que (£,,...,EUR,) soit une base de ker up. Q 39. Montrer qu'il existe u,,...,u, EUR À de rang 1 tels que u;,(EUR,) = EUR; pour tout à EUR [1,n. Q 40.  Conclure. ee eFINeee 2019-03-13 14:25:19 Page 4/4 (cc) BY-NC-SA