Centrale Maths 1 PC 2019

Thème de l'épreuve Réduction de sous-algèbres de L(E)
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des matrices et des endomorphismes, espaces euclidiens
Mots clefs sous-algèbre, codiagonalisabilité, cotrigonalisabilité, nilpotence, Burnside, sous-algèbre irréductible

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Mathématiques 1 OO)

pa

PC ©

4 heures Calculatrice autorisée ON
Réduction de sous-algèbres de £(E)

Dans tout le problème, K désigne R ou C et Æ est un K-espace vectoriel de 
dimension n > 1.

On note £(E) le K-espace vectoriel des endomorphismes de E et ,(K) le K-espace 
vectoriel des matrices
carrées à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K.

On note Mat; (u) la matrice, dans la base 8 de E, de l'endomorphisme u de £(E).
La matrice transposée de toute matrice M de M, (K) est notée M.

On dit qu'un sous-ensemble 4 de £(E) est une sous-algèbre de £(E) si 4 est un 
sous-espace vectoriel de £(E),
stable pour la composition, c'est-à-dire tel que u o v appartient à .4 quels 
que soient les éléments u et v de 4.
(Remarquer qu'on ne demande pas que Id; appartienne à 4.)

On dit qu'une sous-algèbre 4 de £(E) est commutative si pour tous u et v dans 
4, uo vu = vou.

Une sous-algèbre 4 de £(E) est dite diagonalisable (respectivement 
trigonalisable) s'il existe une base 3 de E
telle que Mat;(u) soit diagonale (respectivement triangulaire supérieure) pour 
tout u de A.

On dit qu'une partie 4 de M,,(K) est une sous-algèbre de M,,(K) si 4 est un 
sous-espace vectoriel stable pour le
produit matriciel. Elle est dite commutative si, pour toutes matrices À et B de 
À, AB = BA. Une sous-algèbre 4
de M,(K) est diagonalisable (respectivement trigonalisable) s'il existe P EUR 
GL, (K) telle que pour toute matrice
M de À, P !MP soit diagonale (respectivement triangulaire supérieure).

Si B est une base de E, l'application Mat; : £(E) -- M, (K) est une bijection 
qui envoie une sous-algèbre (respec-
tivement commutative, diagonalisable, trigonalisable) de Z(Æ) sur une 
sous-algèbre de M,(K) (respectivement
commutative, diagonalisable, trigonalisable).

Un sous-espace vectoriel F de E est strict si F'est différent de E.

On désigne par S,,(K) (respectivement A,(K)) l'ensemble des matrices 
symétriques de M, (K) (respectivement
antisymétriques). On désigne par T,(K) (respectivement TY(K)) le sous-ensemble 
de M,(K) constitué des ma-
trices triangulaires supérieures. (respectivement des matrices triangulaires 
supérieures à coefficients diagonaux
nuls).

I Exemples de sous-algèbres

IA --- Exemples de sous-algèbres de M, (K)

Q 1. Les sous-ensembles T, (K) et T(K) sont-ils des sous-algèbres de M,,(K) ?

Q 2. Les sous-ensembles S,(K) et A,(K) sont-ils des sous-algèbres de M,(K) ?

Q 3. On suppose n > 3. Les sous-ensembles S,(K) et A, (K) sont-ils des 
sous-algèbres de M,,(K) ?
I.B - Exemples de sous-algèbres de £(E)

Soit Fun sous-espace vectoriel de Æ de dimension p et 4, l'ensemble des 
endomorphismes de Æ qui stabilisent F,
c'est-à-dire A7 = {u EUR L(E)|u(F) CF}.

Q 4. Montrer que 4 est une sous-algèbre de Z(E).
Q 5. Montrer que dim A} = n? -- pn + p°.

On pourra considérer une base de Æ dans laquelle la matrice de tout élément de 
4, est triangulaire par
blocs.

Q 6. Déterminer max (n?-- pn + p°).
1 2.

Pour tout (ay,...,a, ,) EUR R", on pose

QG An_1 Qj
_ dj dj '" d2

J(ap,....., an_1) = l
Ap_1 An-2 '7 À

Ainsi, le coefficient d'indice (4,3) de J(ag,.....,a,_) est a; ; sii>jeta; ;1, 
Si < 3j. Soit À l'ensemble des matrices de M,(R) de la forme J(ap,....,a, 1) où (ap, ...,a, 1) EUR R". Soit J EUR M,{R) la matrice canoniquement associée à l'endomorphisme @ EUR £(R") défini par v'e;he;,, si jE{1,..,n--1l}et vle,) =e,, où (e,,....,e,) est la base canonique de R". IT. À -- Calcul des puissances de J Q 10. Préciser les matrices J et J°. (On pourra distinguer les cas n = 2 et n > 
2.)
Q 11. Préciser les matrices J" et JY pour 2 1. Soit 4 une sous-algèbre 
de £(ÆE) constituée d'endomor-
phismes nilpotents. On admet dans cette partie le théorème ci-dessous, qui sera 
démontré dans la partie V.

---- Théorème de Burnside
Soit Æ un C-espace vectoriel de dimension n > 2. Soit 4 une sous-algèbre de 
Z(E). Si les
seuls sous-espaces vectoriels de Æ stables par tous les éléments de .4 sont {0} 
et E, alors

A = L(E).

On se propose de démontrer par récurrence forte sur n EUR N* que si tous les 
éléments de 4 sont nilpotents, alors
Æ est trigonalisable.

Q 30. Montrer que le résultat est vrai si n = 1.
On suppose désormais que n > 2 et que le résultat est vrai pour tout entier 
naturel d  2.

On dira qu'une sous-algèbre 4 de Z(E) est irréductible si les seuls 
sous-espaces vectoriels stables par tous les
éléments de .4 sont {0} et E.

Soit 4 une sous-algèbre irréductible de £(E). Il s'agit donc de montrer que 4 = 
£(E).

V.A -- Recherche d'un élément de rang 1

Q 36. Soient x et y deux éléments de E, x étant non nul. Montrer qu'il existe u 
EUR À tel que u(x) = y.
On pourra considérer dans Æ le sous-espace vectoriel {u(x) | u EUR A}.

Q 37. Soit v EUR À de rang supérieur ou égal à 2. Montrer qu'il existe u EUR À 
et À EUR C tel que

0 < rg(v ou ov-- Au) < rgv. Considérer x et y dans E tels que la famille (v(x),u(y)) soit libre, justifier l'existence de u EUR .4 tel que u o v(x) = y et considérer l'endomorphisme induit par vo u sur Im v. Q 38. En déduire l'existence d'un élément de rang 1 dans .4. V.B --- Conclusion Soit u, EUR À de rang 1. On peut donc choisir une base B = (£,,...,e,) de E telle que (£,,...,EUR,) soit une base de ker up. Q 39. Montrer qu'il existe u,,...,u, EUR À de rang 1 tels que u;,(EUR,) = EUR; pour tout à EUR [1,n. Q 40.  Conclure. ee eFINeee 2019-03-13 14:25:19 Page 4/4 (cc) BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Philippe Bouafia (professeur agrégé en école 
d'ingénieurs) ; il a été relu par Quentin Guilmant (ENS Lyon) et William Aufort 
(professeur
en CPGE).

De nombreuses propriétés des matrices sont conservées à la fois par combinaison 
linéaire et par produit matriciel : le fait d'être diagonale, d'être 
triangulaire supérieure,
d'être triangulaire par bloc (avec une configuration des blocs fixée), etc. Un 
ensemble
constitué des matrices partageant une telle propriété porte le nom de 
sous-algèbre
de Mn (K) : c'est un sous-espace vectoriel de Mn (K) stable par produit. Il 
existe
une notion très proche de sous-algèbre d'endomorphismes, que ce problème propose
d'étudier.
· La première partie est essentielle pour se familiariser avec la notion 
nouvelle
de sous-algèbre. De nombreux exemples y sont abordés, notamment ceux cités
plus haut, et seront réutilisés ultérieurement.
· La deuxième partie s'intéresse au cas particulier des matrices circulantes. 
Les
premières questions montrent que cette sous-algèbre a des points communs avec
la sous-algèbre des matrices diagonales : même dimension, commutativité. La
fin de cette partie montre plus précisément que ces deux sous-algèbres sont
équivalentes, à un changement de base près. On retrouvera dans la partie IV
ce thème de la réduction des sous-algèbres, qui permet en quelque sorte de se
ramener aux exemples fondamentaux de sous-algèbres de Mn (K).
· La troisième partie pose la question de la dimension maximale d'une 
sousalgèbre strictement incluse dans Mn (R). De manière assez remarquable, étant
donné le problème considéré, la résolution passera par l'introduction d'un 
produit scalaire sur Mn (R) (ce qui explique pourquoi K = R dans cette partie).
· La quatrième partie montre que si une sous-algèbre de Mn (C) est constituée
de matrices nilpotentes, alors elles sont trigonalisables dans une même base.
· Enfin, la dernière partie, d'un niveau sensiblement plus élevé, se propose de
montrer un résultat admis lors de la partie précédente.
Comme on le voit, ce problème est centré sur le programme d'algèbre de PC, 
notamment sur la réduction des matrices et des endomorphismes. Il aborde de 
nombreux
points qui, bien que ne figurant pas explicitement au programme, sont néanmoins
classiques (matrices nilpotentes et circulantes). Les deux premières parties 
sont d'un
niveau moyen et permettent de tester ces connaissances. Mentionnons également 
qu'il
est indispensable de maîtriser les bases de l'algèbre linéaire de première 
année.

Indications
Partie I
3 Montrer que An (K) n'est pas stable par produit matriciel en adaptant le 
contreexemple obtenu à la question précédente. En ce qui concerne Sn (K), 
chercher en
premier lieu un contre-exemple simple dans le cas n = 3.
8 Montrer que (R) contient au moins une matrice non diagonalisable sur R.
9 Noter que les matrices suivantes sont diagonalisables avec une même matrice de
passage :

1 0
0 -1
et
0 1
1 0
Partie II
15 Remarquer que Jk  A pour tout k  N.
20 L'ensemble A est-il un sous-espace vectoriel complexe de Mn (C) ?
21 Choisir pour P une matrice de passage permettant la diagonalisation de J.
22 Considérer une base de vecteurs propres de J.
Partie III
25 Tout sous-espace vectoriel d'un espace euclidien est égal à son double 
orthogonal.
26 Utiliser (enfin) l'hypothèse de stabilité par produit : si N  A , alors NM  A
pour tout M  A .
29 Traiter rapidement la question dans le cas r > n puis utiliser les résultats 
de la
partie I.B et les questions 27 et 28 pour le cas r < n. Partie IV 32 S'inspirer de la question 5 pour la construction de la base B. Partie V 36 Montrer que {u(x) | u  A } est un sous-espace vectoriel stable par les éléments de A , et dans le cas malencontreux où il est réduit à {0}, construire un autre sous-espace stable contredisant l'irréductibilité de A . 37 Bien entendu, suivre l'indication présente dans le sujet en posant notamment l'endomorphisme z 7 u(v(z)) de l'espace Im v. Justifier proprement que son spectre est non vide, et choisir pour  l'une de ses valeurs propres. Enfin, pour montrer que l'endomorphisme v  u  v -  id est non nul, il suffit d'exhiber un vecteur en lequel il ne s'annule pas. 38 Considérer le rang minimal d'un élément non nul de A . 39 Construire les ui par composition à gauche de u0 avec un élément de A bien choisi. 40 Montrer que A contient tous les endomorphismes de rang 1. Dans ce but, on pourra étudier la surjectivité de l'application linéaire de A vers L (E, Vect (i )) qui envoie u sur ui  u. I. Exemples de sous-algèbres 1 On sait que Tn (K) et T+ n (K) sont des sous-espaces vectoriels de Mn (K). Montrons maintenant que si M = (mi,j )16i,j6n et N = (ni,j )16i,j6n sont deux matrices dans Tn (K), alors MN  Tn (K), ce qui revient à établir que pour tout (i, j) [[ 1 ; n ]]2 tel que i > j, le coefficient (MN)i,j du produit MN est nul. On calcule donc
(MN)i,j =
=
=

n
P

mi,k nk,j

(produit matriciel)

mi,k nk,j

(M est triangulaire)

mi,k × 0

(j < i 6 k donc nk,j = 0) k=1 n P k=i n P k=i (MN)i,j = 0 ce qui montre que Tn (K) est stable par produit. De manière similaire, on montre qu'il en est de même pour T+ n (K). Les ensembles Tn (K) et T+ n (K) sont des sous-algèbres de Mn (K). 2 Très souvent, les matrices carrées d'ordre 2 constituent un terrain de jeu privilégié pour la découverte d'exemples et de contre-exemples en algèbre linéaire. Ce sont des objets suffisamment « légers » pour se prêter aux calculs. Notamment, il ne faut pas rechigner à introduire et manipuler les coefficients d'une matrice 2 × 2 lorsque d'autres approches échouent. S2 (K) est un sous-espace vectoriel de M2 (K). Cependant, il n'est pas stable par produit comme le montre l'exemple suivant : 1 1 1 1 1 0 = 6 S2 (K) 1 0 0 0 0 0 | {z } | {z } S2 (K) L'ensemble A2 (K) n'est lui 0 -1 | {z S2 (K) non plus pas stable par produit : 0 1 1 = -I2 6 A2 (K) 0 -1 0 } | {z } A2 (K) A2 (K) Ni S2 (K) ni A2 (K) n'est une sous-algèbre de M2 (K). 3 Soit n > 3. L'ensemble An (K) n'est pas stable par produit. En effet, en 
adaptant
le contre-exemple de la question précédente, on trouve

0 -1
0 -1
1 0
 1 0
 = -I2
6 An (K)
0n-2
0n-2
0n-2
|
{z
}|
{z
}
An (K)

An (K)

où 0n-2 désigne la matrice carrée nulle d'ordre n - 2.

Qu'en est-il de l'ensemble Sn (K) ? Seule la stabilité par produit pose
problème. Si cette propriété était vérifiée, alors pour toutes matrices M et N
dans Sn (K), on aurait MN  Sn (K), c'est-à-dire (MN) = MN. D'un autre
côté, (MN) = N M = NM. Il faudrait ainsi que toutes les matrices symétriques 
commutent, ce qui semble faux pour n > 3. On s'oriente donc vers
un résultat négatif, ce qui nécessite d'exhiber un contre-exemple.
Commençons par le cas n = 3. On sait que S3 (K) est un sous-espace vectoriel de 
dimension 6 de M3 (K), dont une base est formée des trois matrices
diagonales élémentaires diag(1, 0, 0), diag(0, 1, 0) et diag(0, 0, 1) ainsi que 
des
trois matrices

0 1 0
0 0 0
0 0 1
1 0 0 , 0 0 1 et 0 0 0
0 0 0
0 1 0
1 0 0
Par des arguments de linéarité, on se convainc qu'un contre-exemple, s'il
existe, peut être trouvé parmi les matrices de la précédente base. En effet, il
se trouve que

0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0 0 0 1 = 0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
|
{z
}|
{z
} |
{z
}
S3 (K)

S3 (K)

6S3 (K)

Il ne reste plus qu'à adapter ce contre-exemple au cas général n > 3.

L'ensemble Sn (K) n'est pas stable par produit, comme le montre le 
contre-exemple

0
 1

 0

|

1 0
0 0
0 0
0n-3
{z

Sn (K)

0
1
0

}|

{z

0 0
 0 0

 0 1

0n-3

Sn (K)

1
0
0

}

|

{z

0 0
  0 0
=
  0 0

0n-3

6Sn (K)

}

Les ensembles An (K) et Sn (K) ne sont pas
des sous-algèbres de Mn (K) lorsque n > 3.
4 Il faut montrer les deux points suivants :
· L'ensemble AF est un sous-espace vectoriel de L (E) : tout d'abord, 
l'application nulle appartient clairement à AF . Soient maintenant u, v  AF et  
 K.
Pour tout vecteur x  F, on observe que (u + v)(x) = u(x) + v(x)  F
car u(x) et v(x) sont dans F, puisque u, v  AF . Ainsi (u + v)(F)  F.
· Stabilité par composition : prenons u et v dans AF et x  F. Par définition
de AF , on a v(x)  F. Comme u  AF , on a uv(x) = u(v(x))  F. Le vecteur x
étant quelconque, on a en réalité montré que uv(F)  F, c'est-à-dire uv  AF .
Par conséquent,
L'ensemble AF est une sous-algèbre de L (E).