Centrale Maths 1 PC 2018

Thème de l'épreuve Étude de l'équation de diffusion
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, diagonalisation, probabilités
Mots clefs diffusion, méthode numérique, marche aléatoire, transformée de Fourier

Corrigé

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ü» Mathématiques 1 00 "a , !--l ---/ PC © communs EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Objectifs et notations 8 82 Ce problème étudie quelques aspects de l'équation de diffusion (1) : ô--{(t. a:) : ô--£(t, T). 35 Cette équation modélise l'évolution au cours du temps de la température le long d'une barre métallique unidi-- mensionnelle, ou encore l'évolution au cours du temps de la concentration d'une espèce chimique (par exemple un polluant dans une rivière assimilée à l'axe des m). Le problème est constitué de quatre parties. -- La partie 1 permet de démontrer quelques résultats sur la transformée de Fourier d'une fonction continue et intégrable sur [R. Ces résultats sont utilisés dans la partie Il. -- La partie Il aboutit à la résolution de l'équation (l) lorsqu'on impose à la solution f d'être de classe 82 et de vérifier certaines conditions. -- La partie III étudie la stabilité du schéma numérique correspondant a la discrétisation de t et de sc. -- La partie IV fournit une interprétation probabiliste du paramètre qui détermine la stabilité étudiée dans la partie III. Les parties III et IV sont indépendantes des parties 1 et H et largement indépendantes entre elles. On désigne par EUR2([R*+ >< [R, R) l'ensemble des fonctions de Ü?î >< [? dans R, de classe 82. Pour toute fonction h définie sur [R*+ >< IR, pour tout réel to > 0, on note h(t... ) la fonction partielle æ l--> h(t0, oe) définie sur [R ; de même, pour tout réel a:... on note h(', 120) la fonction partielle t l--> h(t, 370) définie sur |Rî. Si a et b sont deux entiers tels que a g b, on note [[a, b]] l'ensemble des entiers k vérifiant a < le g b. [R --> [R P t t»'...l >0, d'»' ---lf t' : 1 2 . our ou ree a ga es1gne a onc mn 90 33 |_) _ exp <_oe2) 0'\/27T 20 I Préliminaires Dans cette partie, on fixe un réel strictement positif 0. I.A * Quelques propriétés de ga Q 1. Montrer que 90 est intégrable sur [R. +oo +00 Q 2. En admettant que / exp(--x2) doe : \/7Î', donner la valeur de / ga(æ) dx. ÎOO foo Q 3. Étudier les variations de ga. Montrer que la dérivée seconde de 90 s'annule en changeant de signe en exactement deux points. Donner l'allure de la courbe représentative de ga et placer les deux points précédents. I.B -- Soit f une fonction de [R dans @, continue et intégrable sur [R. , . R --> C ' . , ' Q 4. Montrer que, pour tout reel {, la fonction 33 |_) f (33) exp (--i27r gaz) est intégrable sur [R. [R-->C +oo Ondéfinitalorslafonctionfï(f): {l-->/f( )e ( .2 EUR )d . OE "Xp --1 TF SC OE On dit que ff ( f) est la transformée de Fourier de f. Q 5. Montrer que 3" ( f) est continue sur [R. I.C -- Soit f une fonction de [R dans C, de classe 6". On suppose que f et sa dérivée )" sont intégrables sur [R. Q 6. Montrer que f tend vers zéro en +00 et en --00. Q 7. Montrer que, pour tout réel {, Î(f')({) : 2i7r£ÿ(f)(£). I.D * Q 8. Montrer que, pour tout entier naturel p, la fonction a: |--> 3:2p exp(--æ2) est intégrable sur R 2018-03--21 17:14:57 Page 1/4 (GQ BY--NC-SA +oo On note M,, = / oe2p exp(--oe2) dm. Q 9. Pour p entier naturel, donner une relation entre Mp +1 et Mp et en déduire que, pour tout p EUR D\l, 7r 2 ! M,, : C( l:) 2 "p. Q 10. Montrer que, pour tout réel {, il existe une suite réelle (cp({))pEURN telle que +oo Va: EUR IR, exp(--æ2) cos(27r£æ) : z c,,(ê) CXp(--OE2)OE2p p=0 +oo Q 11. En déduire que, pour tout réel 5, / exp(--oe2) exp(--i27r£æ) dac : fiexp(--7ËË). / 1 7-- - / Q 12. On pose 0 : 2--. Montrer qu il ex1ste un reel " tel que Î(ga) : ,ugg». 7ra La valeur de ,il n'est pas a expliciter. II Equation de diffusion avec une condition initiale gaussienne Dans cette partie, a désigne un réel strictement positif. On cherche les éléments f de EUR2([2*+ >< [R, [R) vérifiant i l'é uation de diffusion ' V(t oe) EUR [R* >< [R ÿ(t r) -- OE(t oe) ' ' q ' 7 + 7 at " _ ôæ2 ? 7 ii. les trois conditions de domination : pour tout réel T > 0, il existe des fonctions qôT, XT et 1[)T de R dans [R, continues et intégrables sur [R, telles que |f(ùfi)l < @T(OE) ôf Vt EUR ]O,Tl, Væ EUR [R, OE(t'æ)l < XT(OE) ; 82 film) < wT<æ> iii. la condition aux limites : Va: EUR [R, lÏI(I)1 f(t, oe) : g,,(OE). ta + [Rî >< IR --> [R (W) H 9W(OE) On admet que cette fonction vérifie également les trois conditions de domination ii. L'objectif est de démontrer que c'est la seule fonction de classe C'2 sur [Ri >< [R vérifiant i, ii et iii. Q 13. Montrer que la fonction vérifie les conditions i et iii. Pour cela, on note f une fonction qui vérifie i, ii et iii. II.A EUR Q 14. Justifier que, pour tout réel t > 0 et tout réel {, la fonction 33 H f (t,oe) exp(--2iw{æ) est intégrable sur [R. +00 On définit alors la fonction f sur [Rî >< [R par: V(t, EUR) EUR lRî >< [R, f(t,{) : / f(t, a:) exp(--i27rêoe) doe. Avec les notations de la partie 1, on a ainsi, pour tout réel t > O, f(t, ) : ÿ(f(t, ).) Q 15. Montrer que, pour tout nombre réel 5, lim f(t, £) : ÿ;(£). ta0+ On pourra utiliser une suite quelconque (in)"EURN de réels strictement positifs convergeant vers zéro. A +oo , , ôf Ôf . Q 16. Montrer que, pour tout reel { et tout reel t > O, ä(t'ê) : Ë O, Ë(t'ê> : --47r { f(t,£). 2018-03--21 17:14:57 Page 2/4 GC) BY--NC-SA II.B * Q 18. Montrer que, pour tout 5 EUR IR, il existe un réel K({) tel que pour tout t EUR [Rî, f(t, EUR) : K({) exp(--4w2{2t). Q 19. En utilisant la question 15, déterminer, pour tout réel {, la valeur de K (EUR) II.C* Q 20. En déduire l'existence d'un réel ua tel que, pour tout réel 5 et tout réel t > O, f(t. EUR) : u.exp(--2w252) Q 21. Donner la valeur de V0. On admet le résultat suivant : si u et n sont des fonctions de [R dans [R, continues et intégrablcs sur [R et vérifiant 3'(u) : 3'(v), alors u : 1). Q 22. Soit t un réel strictement positif. Déduire des questions 20 et 12 l'existence d'un réel Àt.a tel que f(t: ) : Àt.UQW [Rî --> Ü? +00 23. Montrer ue la fonction 1 : est constante. Q q t l--> / f(t, os) dx *00 On pourra utiliser le résultat de la question 17. Q 24. En déduire que, pour tout réel t strictement positif, f (t, ) : 9%. III Étude numérique Dans cette partie, on étudie, du point de vue numérique, un certain problème de diffusion. On fixe une fonction f, continue sur [R+ >< {O, 1] et de classe C'2 sur [Rî >< ]0. 1{, vérifiant l'équation de diffusion 8 82 Wt@EURRîXW1L -äewr=ägew ainsi que les conditions aux limites w e R.. f = f(t.1) : 0 On suppose connue la fonction f (0, -) et on se propose d'étudier une méthode de calcul numérique de f. III.A -- t 9 ' -- t Q 25. Soit t EUR RÎÏ et 95 EUR ]0, 1{. Donner la limite, quand 0 tend vers zéro, de .... 9 t,* h--2 t, t,*--h 82 Q 26. Soit t EUR Ü?ÎÏ et 3: EUR ]0,1{. Montrer que lim f< 1 + ) f( .r) + f< @ > : f(a:,t). h-->O h2 8562 III.B -- Soit 7" un réel strictement positif et q un entier naturel supérieur ou égal à 2. O 5 1 t T n ose : e r: --. p q+1 ? La méthode numérique retenue consiste à discrétiser t selon le pas T et 50 selon le pas 5, ce qui amène à chercher une valeur approchée de f(nT, k5), notée f,.(ls), pour n EUR IN et [EUR EUR [[0. (1 + 1]]. Compte tenu des questions 25 et 26, l'équation de diffusion et les conditions aux limites conduisent à imposer, k - k _ _ pour tout entier naturel n et tout k EUR [[1.q]], fn+1( ) fn( ) : f" +f"(k 1) ainsi que T fn(0) : fn(q + 1) = 0 et f0(k) : f(0, 166) (on rappelle que la fonction f(0. ) est supposée connue). (MD) Pour n EUR N, on pose Fn : ; . fn(q) On note lq la matrice identité d'ordre q, et on définit la matrice B carrée d'ordre q par () 1 0 0 1 0 1 0 ' 0 1 '- B _ ' '. 1 0 1 0 1 0 .. 0 1 0 2018-03-21 17:14:57 Page 3/4 l(<=<ä BY--NC-SA Ainsi, pour tous i, j dans [[1, g], le coefiicient de place (i,j) de B est égal à 1 si |i --j| : 1 et a 0 sinon. Enfin, on pose A : (1 -- 2r)Iq + TB. Q 27. Montrer que, pour tout 71 E N, Fn+1 : AF". Q 28. Justifier que les matrices A et B sont diagonalisables sur [R et que, pour tout 71 E N, F,, : A"FO. Q 29. Montrer que la suite (F")nEURN est bornée quel que soit le choix de F0 si et seulement si les valeurs propres de A appartiennent a {--1, 1]. ( 91 Soit A une valeur propre de B et soit Y = E yq Q 30. En considérant un coefficient de Ydont la valeur absolue est maximale, montrer que A E {--2,2] et justifier l'existence d'un élément 0 de {O, 7r], tel que A : 2cos EUR. ) un vecteur propre associé. Q 31. Montrer que, si on impose y0 : yq+l : 0, alors, pour tout [EUR EUR [[1, q]], ykÿl -- Àyk + yk+1 : O. Q 32. En déduire qu'il existe j EUR [[1, @] tel que A : 2cos ": 1. q Q 33. Déterminer le spectre de B et une base de vecteurs propres de B. Q 34. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur 7" pour que la suite (Fn)nEURN soit bornée quels que soient les choix de q et de F0- On dit alors que le schéma numérique retenu est stable. IV Équation de diffusion et marche aléatoire Le dé lacement d'une articule dans une direction donnée sous l'action des chocs avec les articules voisines p p p peut se modéliser par des déplacements successifs a droite ou a gauche équiprobables, d'une quantité strictement positive 6, qui interviennent à intervalles de temps réguliers, le temps entre deux chocs étant égal à T > 0. Une variable aléatoire est dite de Rademacher si elle est à valeurs dans { 1,--1} et si elle prend les valeurs 1 et --1 avec la même probabilité 1/2. Soit (X"),OEN une suite de variables de Rademacher mutuellement indépendantes, définies sur un espace proba-- bilisé (Q,/l, IP). TL On note, pour tout entier n 2 1, Sn : ZX]... j=1 Ainsi, la variable aléatoire (SS,, modélise la position de la particule au temps n7'. 1 TL IV.A * Pour toutnEURN*,on pose Y,,= ê(Xn+l) et Zn=ij' j=1 Soit n EUR N*. Q 35. Déterminer la loi de la variable aléatoire Yn et celle de la variable aléatoire Zn. Soit k un entier tel que --n g [EUR < n. Q 36. Montrer que, si n et k ne sont pas de même parité, alors [P(Sn : k) = O. n On rappelle que ( _) désigne le coefiicient binomial « j parmi n ». J 1 Q 37. Montrer que, si n et [C sont de même parité, U°(Sn : k) = ((le +nn)/2) 2Î' I V.B * Pour oe réel, on note LoeJ la partie entière de 33. Q 38. Pour tous réels 6 > 0 et T > O, calculer V <6S...,,D, variance de la variable aléatoire (SSH/TJ. 52 Q 39. Montrer que, pour tout réel 5, V (ôS...,,) est équivalent à --, lorsque 7' tend vers 0 par valeurs T supérieures. Q 40. Pour tout 71 G N* et tout k EUR Z, en posant p,,(k) : U'(S,, : k), montrer que pn+1(k) -- pn(k) * 52 pn(k + 1) -- 2pn(k) + pn(k -- 1) 7' _ 27 62 Q 41. En déduire une interprétation probabiliste de la condition de stabilité étudiée à la partie III. oooFlNooo 2018-03--21 17:14:57 Page 4/4 (CÔ BY--NC-SA

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 Centrale Maths 1 PC 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par Guillaume Duboc (ENS Lyon) et Tristan Poullaouec (professeur en CPGE). Ce sujet propose d'étudier différents aspects de l'équation de diffusion, aussi appelée équation de la chaleur. Comme on fêtait en 2018 le 250e anniversaire de la naissance de Joseph Fourier, dont les travaux sont à l'origine de la théorie analytique de la chaleur, il est possible que ce problème ait été conçu dans le but de lui rendre hommage. Il est constitué de quatre parties. · Dans la première, on définit la transformée de Fourier d'une fonction continue et intégrable, et on établit quelques propriétés de cette transformation. · La deuxième partie vise à démontrer l'existence et l'unicité d'une solution de l'équation de diffusion satisfaisant certaines conditions de domination et conditions aux limites. On commence par exhiber une solution, puis on utilise la transformée de Fourier pour prouver son unicité. Il est nécessaire dans cette partie de faire preuve d'un certain recul, car il faut fréquemment faire appel à des résultats démontrés plusieurs questions auparavant. · On s'intéresse dans la troisième partie à la résolution de l'équation de diffusion d'un point de vue numérique. Une méthode d'approximation des solutions par différences finies est présentée ; il s'agit d'une généralisation de la méthode d'Euler pour les équations différentielles. On justifie d'abord le choix de la méthode numérique, puis on établit une condition nécessaire et suffisante pour que cette méthode soit stable grâce à des outils d'algèbre linéaire. · Enfin, la dernière partie porte sur un modèle microscopique de diffusion : on s'intéresse au mouvement d'une particule sous l'effet de chocs avec des particules voisines, ce qui mène à l'étude d'une marche aléatoire. Ce sujet est de longueur et de difficulté raisonnables, y compris sur le plan calculatoire. La difficulté est progressive au sein de chaque partie : les premières questions sont des applications directes du cours tandis que les dernières sont plus techniques. Ce problème conduit en outre à mettre en oeuvre de nombreux raisonnements classiques d'analyse, d'algèbre linéaire et de probabilités : il permet donc de réviser de larges pans du programme et constitue un très bon sujet d'entraînement. Indications 2 Effectuer un changement de variable pour se ramener à l'intégrale dont la valeur est donnée par l'énoncé. 5 Appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre. 6 Commencer par montrer que f admet une limite finie en l'intégrabilité de f , puis prouver que cette limite est nulle. + - en exploitant 7 Faire une intégration par parties. 9 Partir de l'expression de Mp et intégrer par parties. 10 Développer la fonction cosinus en série entière. 11 Commencer par démontrer que pour tout R, Z + Z + 2 exp(-x ) exp(-i2x) dx = exp(-x2 ) cos(2x) dx - - Utiliser alors le résultat de la question 10. 15 Appliquer le théorème de convergence dominée. 16 Utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètre. On pourra s'appuyer sur les propositions (i) à (iii) pour montrer que l'hypothèse de domination est satisfaite. 2f f (t, ·) = (t, ·), et faire appel aux résultats 17 Se rappeler que pour tout t > 0, t x2 des questions 7 et 16. 18 Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question précédente. 22 Déterminer un réel t, tel que les fonctions f (t, ·) et t, g2 +2t aient la même transformée de Fourier. 23 Montrer que I est dérivable et que sa dérivée est nulle. 26 Appliquer la formule de Taylor-Young. 27 Regrouper les termes de rang n et de rang n + 1, puis réécrire matriciellement la relation obtenue. 29 Montrer l'implication directe par contraposée en choisissant F0 parmi les vecteurs propres de A. Pour la réciproque, décomposer un vecteur F0 arbitraire dans une base de vecteurs propres de A. 32 Établir une expression du terme général de la suite (yk )k[[ 0 ; q+1 ]] à partir de la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 satisfaite par cette suite. Déterminer alors pour quels réels les conditions y0 = yq+1 = 0 sont vérifiées. 34 Remarquer que les vecteurs propres de B sont aussi vecteurs propres de A. Déterminer alors une condition suffisante pour que les valeurs propres de A soient à valeurs dans [ -1 ; 1 ] indépendamment du choix de q, puis montrer que cette condition est aussi nécessaire. 37 Exprimer d'abord Sn en fonction de Zn . 39 Utiliser un encadrement de la partie entière. 40 Appliquer la formule des probabilités totales pour un système complet d'événements bien choisi. I. Préliminaires 1 Remarquons d'abord que la fonction g est définie et continue sur R, étant la composée de fonctions usuelles. Il faut donc étudier son intégrabilité au voisinage de + et -. D'après le théorème des croissances comparées, x2 x2 x2 g (x) = exp - 2 ---- 0 x+ 2 2 Cela signifie que g (x) = o 1/x2 au voisinage de +. Or la fonction x 7 1/x2 est positive et intégrable sur [ 1 ; + [ selon le critère de Riemann. D'après le théorème de comparaison des fonctions à valeurs positives, la fonction g est par conséquent intégrable sur [ 1 ; + [. De même, g (x) = o 1/x2 au voisinage de -, la fonction g est donc aussi intégrable sur ] - ; -1 ]. En conclusion, La fonction g est intégrable sur R. On aurait également pu remarquer que la fonction g est paire. Le fait qu'elle soit intégrable au voisinage de + implique donc qu'elle l'est aussi au voisinage de -. 2 Calculons la valeur de l'intégrale de g en effectuant le changement de variable u = x/( 2). Celui-ci s'inverse en x = 2u, ce qui donne dx = 2 du. Comme est strictement positif, il vient alors Z + Z + 1 x2 g (x) dx = exp - 2 dx 2 2 - - Z + 1 = exp(-u2 ) 2 du 2 - Z + Z + 1 2 g (x) dx = e-u du - - dont on conclut que Z + g (x) dx = 1 - L'intégrale Z + exp(-x2 ) dx - porte le nom d'intégrale de Gauss, et son calcul peut s'effectuer de plusieurs manières. On trouvera par exemple une méthode utilisant les intégrales de Wallis dans le sujet CCP Maths 1 PSI de 2013. 3 La fonction g est la composée de fonctions usuelles et elle est de classe C sur R. Calculons sa dérivée. Pour tout x R, 2 2 1 -2x -x x -x g (x) = × exp = - exp 2 2 3 2 2 2 2 2 2 Pour tout x R, g (x) est du signe de -x car l'exponentielle est toujours positive. La fonction g croît donc sur ] - ; 0 [ et décroît sur ] 0 ; + [. Calculons la dérivée seconde. Pour tout x R, 2 2 -x -2x -x 1 +x× exp g (x) = - 1 × exp 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 -x = x2 - 2 exp 2 2 5 2 Celle-ci est du signe de x2 - 2 : elle est positive sur ] - ; - ] [ ; + [, négative sur [ - ; ] et s'annule en changeant de signe en - et . Le tableau de variations et l'allure de la courbe représentative de g sont donnés ci-dessous. x g (x) - g (x) 0 0 0 1/( 2) + - 0 On peut s'aider pour le tracé des remarques suivantes : · La fonction g est clairement paire : sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. · lim g (x) = 0 d'après les croissances comparées : la courbe admet une asympx+ tote d'équation y = 0 au voisinage de +. · g (0) = 0, la courbe possède donc une tangente horizontale au point 0. · La dérivée seconde de g change de signe en - et . La courbe présente par conséquent des points d'inflexion en - et . y p - p - 0 x 4 Soit R. Pour tout x R, |f (x) exp(-i2x)| = |f (x)| et |f | est intégrable sur R par hypothèse. Donc La fonction x 7 f (x) exp(-i2x) est intégrable sur R pour tout R. 5 Posons h(x, ) = f (x) exp(-i2x) pour tous x, R, et appliquons le théorème de continuité des intégrales à paramètre. · Pour tout R, x 7 h(x, ) est continue par morceaux (et même continue). · Pour tout x R, 7 h(x, ) est continue. · Pour tout (x, ) R2 , |h(x, )| = |f (x)| et cette fonction est intégrable sur R. Par conséquent 6 Pour tout x R, La fonction F (f ) est continue sur R. Z x f (x) - f (0) = f (t) dt 0 Comme f est intégrable sur R, cette intégrale converge lorsque x tend vers +. Ainsi, f possède une limite finie en +, et par continuité de la valeur absolue, |f (x)| ---- || x+