Centrale Maths 1 PC 2018

Thème de l'épreuve Étude de l'équation de diffusion
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, diagonalisation, probabilités
Mots clefs diffusion, méthode numérique, marche aléatoire, transformée de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ü» Mathématiques 1 00

"a , !--l
---/ PC ©
communs EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Objectifs et notations

8 82
Ce problème étudie quelques aspects de l'équation de diffusion (1) : ô--{(t. 
a:) : ô--£(t, T).
35

Cette équation modélise l'évolution au cours du temps de la température le long 
d'une barre métallique unidi--
mensionnelle, ou encore l'évolution au cours du temps de la concentration d'une 
espèce chimique (par exemple
un polluant dans une rivière assimilée à l'axe des m).

Le problème est constitué de quatre parties.

-- La partie 1 permet de démontrer quelques résultats sur la transformée de 
Fourier d'une fonction continue et
intégrable sur [R. Ces résultats sont utilisés dans la partie Il.

-- La partie Il aboutit à la résolution de l'équation (l) lorsqu'on impose à la 
solution f d'être de classe 82 et
de vérifier certaines conditions.

-- La partie III étudie la stabilité du schéma numérique correspondant a la 
discrétisation de t et de sc.

-- La partie IV fournit une interprétation probabiliste du paramètre qui 
détermine la stabilité étudiée dans la
partie III.

Les parties III et IV sont indépendantes des parties 1 et H et largement 
indépendantes entre elles.

On désigne par EUR2([R*+ >< [R, R) l'ensemble des fonctions de Ü?î >< [? dans 
R, de classe 82.

Pour toute fonction h définie sur [R*+ >< IR, pour tout réel to > 0, on note 
h(t... ) la fonction partielle æ l--> h(t0, oe)
définie sur [R ; de même, pour tout réel a:... on note h(', 120) la fonction 
partielle t l--> h(t, 370) définie sur |Rî.

Si a et b sont deux entiers tels que a g b, on note [[a, b]] l'ensemble des 
entiers k vérifiant a < le g b.

[R --> [R
P t t»'...l >0, d'»' ---lf t' : 1 2 .
our ou ree a ga es1gne a onc mn 90 33 |_) _ exp <_oe2)
0'\/27T 20
I Préliminaires
Dans cette partie, on fixe un réel strictement positif 0.
I.A * Quelques propriétés de ga
Q 1. Montrer que 90 est intégrable sur [R.
+oo +00

Q 2. En admettant que / exp(--x2) doe : \/7Î', donner la valeur de / ga(æ) dx.

ÎOO foo
Q 3. Étudier les variations de ga. Montrer que la dérivée seconde de 90 
s'annule en changeant de signe en

exactement deux points. Donner l'allure de la courbe représentative de ga et 
placer les deux points précédents.

I.B -- Soit f une fonction de [R dans @, continue et intégrable sur [R.
, . R --> C ' . , '
Q 4. Montrer que, pour tout reel {, la fonction 33 |_) f (33) exp (--i27r gaz) 
est intégrable sur [R.

[R-->C

+oo
Ondéfinitalorslafonctionfï(f): {l-->/f( )e ( .2 EUR )d .
OE "Xp --1 TF SC OE

On dit que ff ( f) est la transformée de Fourier de f.
Q 5. Montrer que 3" ( f) est continue sur [R.

I.C -- Soit f une fonction de [R dans C, de classe 6". On suppose que f et sa 
dérivée )" sont intégrables
sur [R.
Q 6. Montrer que f tend vers zéro en +00 et en --00.

Q 7. Montrer que, pour tout réel {, Î(f')({) : 2i7r£ÿ(f)(£).

I.D *

Q 8. Montrer que, pour tout entier naturel p, la fonction a: |--> 3:2p 
exp(--æ2) est intégrable sur R

2018-03--21 17:14:57 Page 1/4 (GQ BY--NC-SA

+oo
On note M,, = / oe2p exp(--oe2) dm.

Q 9. Pour p entier naturel, donner une relation entre Mp +1 et Mp et en déduire 
que, pour tout p EUR D\l,
7r 2 !
M,, : C( l:)
2 "p.

Q 10. Montrer que, pour tout réel {, il existe une suite réelle (cp({))pEURN 
telle que

+oo
Va: EUR IR, exp(--æ2) cos(27r£æ) : z c,,(ê) CXp(--OE2)OE2p
p=0
+oo
Q 11. En déduire que, pour tout réel 5, / exp(--oe2) exp(--i27r£æ) dac : 
fiexp(--7ËË).
/ 1 7-- - /
Q 12. On pose 0 : 2--. Montrer qu il ex1ste un reel " tel que Î(ga) : ,ugg».
7ra

La valeur de ,il n'est pas a expliciter.

II Equation de diffusion avec une condition initiale gaussienne

Dans cette partie, a désigne un réel strictement positif. On cherche les 
éléments f de EUR2([2*+ >< [R, [R) vérifiant

i l'é uation de diffusion ' V(t oe) EUR [R* >< [R ÿ(t r) -- OE(t oe) '
' q ' 7 + 7 at " _ ôæ2 ? 7

ii. les trois conditions de domination : pour tout réel T > 0, il existe des 
fonctions qôT, XT et 1[)T de R dans [R,
continues et intégrables sur [R, telles que

|f(ùfi)l < @T(OE)

ôf

Vt EUR ]O,Tl, Væ EUR [R, OE(t'æ)l < XT(OE) ;
82
film) < wT<æ>

iii. la condition aux limites : Va: EUR [R, lÏI(I)1 f(t, oe) : g,,(OE).
ta +

[Rî >< IR --> [R
(W) H 9W(OE)

On admet que cette fonction vérifie également les trois conditions de 
domination ii. L'objectif est de démontrer
que c'est la seule fonction de classe C'2 sur [Ri >< [R vérifiant i, ii et iii.

Q 13. Montrer que la fonction vérifie les conditions i et iii.

Pour cela, on note f une fonction qui vérifie i, ii et iii.

II.A EUR

Q 14. Justifier que, pour tout réel t > 0 et tout réel {, la fonction 33 H f 
(t,oe) exp(--2iw{æ) est intégrable
sur [R.

+00
On définit alors la fonction f sur [Rî >< [R par: V(t, EUR) EUR lRî >< [R, 
f(t,{) : / f(t, a:) exp(--i27rêoe) doe.

Avec les notations de la partie 1, on a ainsi, pour tout réel t > O, f(t, ) : 
ÿ(f(t, ).)
Q 15. Montrer que, pour tout nombre réel 5, lim f(t, £) : ÿ;(£).

ta0+
On pourra utiliser une suite quelconque (in)"EURN de réels strictement positifs 
convergeant vers zéro.
A +oo
, , ôf Ôf .
Q 16. Montrer que, pour tout reel { et tout reel t > O, ä(t'ê) : Ë O, Ë(t'ê> : --47r { f(t,£).

2018-03--21 17:14:57 Page 2/4 GC) BY--NC-SA

II.B *
Q 18. Montrer que, pour tout 5 EUR IR, il existe un réel K({) tel que pour tout 
t EUR [Rî, f(t, EUR) : K({) exp(--4w2{2t).
Q 19. En utilisant la question 15, déterminer, pour tout réel {, la valeur de K 
(EUR)

II.C*

Q 20. En déduire l'existence d'un réel ua tel que, pour tout réel 5 et tout 
réel t > O,

f(t. EUR) : u.exp(--2w252)

Q 21. Donner la valeur de V0.
On admet le résultat suivant :

si u et n sont des fonctions de [R dans [R, continues et intégrablcs sur [R et 
vérifiant 3'(u) : 3'(v),
alors u : 1).

Q 22. Soit t un réel strictement positif. Déduire des questions 20 et 12 
l'existence d'un réel Àt.a tel que

f(t: ) : Àt.UQW
[Rî --> Ü?

+00

23. Montrer ue la fonction 1 : est constante.
Q q t l--> / f(t, os) dx
*00

On pourra utiliser le résultat de la question 17.
Q 24. En déduire que, pour tout réel t strictement positif, f (t, ) : 9%.

III Étude numérique

Dans cette partie, on étudie, du point de vue numérique, un certain problème de 
diffusion.
On fixe une fonction f, continue sur [R+ >< {O, 1] et de classe C'2 sur [Rî >< 
]0. 1{, vérifiant l'équation de diffusion

8 82
Wt@EURRîXW1L -äewr=ägew

ainsi que les conditions aux limites
w e R.. f = f(t.1) : 0
On suppose connue la fonction f (0, -) et on se propose d'étudier une méthode 
de calcul numérique de f.

III.A --

t 9 ' -- t
Q 25. Soit t EUR RÎÏ et 95 EUR ]0, 1{. Donner la limite, quand 0 tend vers 
zéro, de ....

9
t,* h--2 t, t,*--h 82
Q 26. Soit t EUR Ü?ÎÏ et 3: EUR ]0,1{. Montrer que lim f< 1 + ) f( .r) + f< @ > 
: f(a:,t).
h-->O h2 8562

III.B -- Soit 7" un réel strictement positif et q un entier naturel supérieur 
ou égal à 2.
O 5 1 t T

n ose : e r: --.

p q+1 ?

La méthode numérique retenue consiste à discrétiser t selon le pas T et 50 
selon le pas 5, ce qui amène à chercher
une valeur approchée de f(nT, k5), notée f,.(ls), pour n EUR IN et [EUR EUR 
[[0. (1 + 1]].
Compte tenu des questions 25 et 26, l'équation de diffusion et les conditions 
aux limites conduisent à imposer,

k - k _ _
pour tout entier naturel n et tout k EUR [[1.q]], fn+1( ) fn( ) : f" +f"(k 1) ainsi que
T
fn(0) : fn(q + 1) = 0 et f0(k) : f(0, 166) (on rappelle que la fonction f(0. ) 
est supposée connue).

(MD)
Pour n EUR N, on pose Fn : ; .
fn(q)

On note lq la matrice identité d'ordre q, et on définit la matrice B carrée 
d'ordre q par

() 1 0 0
1 0 1 0 '

0 1 '-
B _ ' '. 1 0
1 0 1
0 .. 0 1 0

2018-03-21 17:14:57 Page 3/4 l(<=<ä BY--NC-SA

Ainsi, pour tous i, j dans [[1, g], le coefiicient de place (i,j) de B est égal 
à 1 si |i --j| : 1 et a 0 sinon.

Enfin, on pose A : (1 -- 2r)Iq + TB.

Q 27. Montrer que, pour tout 71 E N, Fn+1 : AF".

Q 28. Justifier que les matrices A et B sont diagonalisables sur [R et que, 
pour tout 71 E N, F,, : A"FO.

Q 29. Montrer que la suite (F")nEURN est bornée quel que soit le choix de F0 si 
et seulement si les valeurs

propres de A appartiennent a {--1, 1].

( 91

Soit A une valeur propre de B et soit Y = E
yq

Q 30. En considérant un coefficient de Ydont la valeur absolue est maximale, 
montrer que A E {--2,2] et

justifier l'existence d'un élément 0 de {O, 7r], tel que A : 2cos EUR.

) un vecteur propre associé.

Q 31. Montrer que, si on impose y0 : yq+l : 0, alors, pour tout [EUR EUR [[1, 
q]], ykÿl -- Àyk + yk+1 : O.

Q 32. En déduire qu'il existe j EUR [[1, @] tel que A : 2cos ": 1.
q
Q 33. Déterminer le spectre de B et une base de vecteurs propres de B.

Q 34. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur 7" pour que la 
suite (Fn)nEURN soit bornée quels
que soient les choix de q et de F0-
On dit alors que le schéma numérique retenu est stable.

IV Équation de diffusion et marche aléatoire

Le dé lacement d'une articule dans une direction donnée sous l'action des chocs 
avec les articules voisines
p p p

peut se modéliser par des déplacements successifs a droite ou a gauche 
équiprobables, d'une quantité strictement

positive 6, qui interviennent à intervalles de temps réguliers, le temps entre 
deux chocs étant égal à T > 0.

Une variable aléatoire est dite de Rademacher si elle est à valeurs dans { 
1,--1} et si elle prend les valeurs 1
et --1 avec la même probabilité 1/2.

Soit (X"),OEN une suite de variables de Rademacher mutuellement indépendantes, 
définies sur un espace proba--
bilisé (Q,/l, IP).

TL
On note, pour tout entier n 2 1, Sn : ZX]...
j=1

Ainsi, la variable aléatoire (SS,, modélise la position de la particule au 
temps n7'.

1 TL
IV.A * Pour toutnEURN*,on pose Y,,= ê(Xn+l) et Zn=ij'
j=1

Soit n EUR N*.

Q 35. Déterminer la loi de la variable aléatoire Yn et celle de la variable 
aléatoire Zn.
Soit k un entier tel que --n g [EUR < n.

Q 36. Montrer que, si n et k ne sont pas de même parité, alors [P(Sn : k) = O.

n
On rappelle que ( _) désigne le coefiicient binomial « j parmi n ».
J

1
Q 37. Montrer que, si n et [C sont de même parité, U°(Sn : k) = ((le +nn)/2) 2Î'

I V.B * Pour oe réel, on note LoeJ la partie entière de 33.
Q 38. Pour tous réels 6 > 0 et T > O, calculer V <6S...,,D, variance de la 
variable aléatoire (SSH/TJ.

52
Q 39. Montrer que, pour tout réel 5, V (ôS...,,) est équivalent à --, lorsque 
7' tend vers 0 par valeurs
T

supérieures.
Q 40. Pour tout 71 G N* et tout k EUR Z, en posant p,,(k) : U'(S,, : k), 
montrer que

pn+1(k) -- pn(k) * 52 pn(k + 1) -- 2pn(k) + pn(k -- 1)
7' _ 27 62

Q 41. En déduire une interprétation probabiliste de la condition de stabilité 
étudiée à la partie III.

oooFlNooo

2018-03--21 17:14:57 Page 4/4 (CÔ BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par
Guillaume Duboc (ENS Lyon) et Tristan Poullaouec (professeur en CPGE).

Ce sujet propose d'étudier différents aspects de l'équation de diffusion, aussi 
appelée équation de la chaleur. Comme on fêtait en 2018 le 250e anniversaire de 
la
naissance de Joseph Fourier, dont les travaux sont à l'origine de la théorie 
analytique
de la chaleur, il est possible que ce problème ait été conçu dans le but de lui 
rendre
hommage. Il est constitué de quatre parties.
· Dans la première, on définit la transformée de Fourier d'une fonction continue
et intégrable, et on établit quelques propriétés de cette transformation.
· La deuxième partie vise à démontrer l'existence et l'unicité d'une solution de
l'équation de diffusion satisfaisant certaines conditions de domination et 
conditions aux limites. On commence par exhiber une solution, puis on utilise la
transformée de Fourier pour prouver son unicité. Il est nécessaire dans cette
partie de faire preuve d'un certain recul, car il faut fréquemment faire appel à
des résultats démontrés plusieurs questions auparavant.
· On s'intéresse dans la troisième partie à la résolution de l'équation de 
diffusion
d'un point de vue numérique. Une méthode d'approximation des solutions par
différences finies est présentée ; il s'agit d'une généralisation de la méthode
d'Euler pour les équations différentielles. On justifie d'abord le choix de la
méthode numérique, puis on établit une condition nécessaire et suffisante pour
que cette méthode soit stable grâce à des outils d'algèbre linéaire.
· Enfin, la dernière partie porte sur un modèle microscopique de diffusion : on 
s'intéresse au mouvement d'une particule sous l'effet de chocs avec des 
particules
voisines, ce qui mène à l'étude d'une marche aléatoire.
Ce sujet est de longueur et de difficulté raisonnables, y compris sur le plan 
calculatoire. La difficulté est progressive au sein de chaque partie : les 
premières questions
sont des applications directes du cours tandis que les dernières sont plus 
techniques.
Ce problème conduit en outre à mettre en oeuvre de nombreux raisonnements 
classiques d'analyse, d'algèbre linéaire et de probabilités : il permet donc de 
réviser de
larges pans du programme et constitue un très bon sujet d'entraînement.

Indications
2 Effectuer un changement de variable pour se ramener à l'intégrale dont la 
valeur
est donnée par l'énoncé.
5 Appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
6 Commencer par montrer que f admet une limite finie en
l'intégrabilité de f  , puis prouver que cette limite est nulle.

+
-

en exploitant

7 Faire une intégration par parties.
9 Partir de l'expression de Mp et intégrer par parties.
10 Développer la fonction cosinus en série entière.
11 Commencer par démontrer que pour tout   R,
Z +
Z +
2
exp(-x ) exp(-i2x) dx =
exp(-x2 ) cos(2x) dx
-

-

Utiliser alors le résultat de la question 10.
15 Appliquer le théorème de convergence dominée.
16 Utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètre. On pourra 
s'appuyer sur les propositions (i) à (iii) pour montrer que l'hypothèse de 
domination
est satisfaite.
2f
f
(t, ·) =
(t, ·), et faire appel aux résultats
17 Se rappeler que pour tout t > 0,
t
x2
des questions 7 et 16.
18 Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question précédente.
22 Déterminer un réel t, tel que les fonctions f (t, ·) et t, g2 +2t aient la 
même
transformée de Fourier.
23 Montrer que I est dérivable et que sa dérivée est nulle.
26 Appliquer la formule de Taylor-Young.
27 Regrouper les termes de rang n et de rang n + 1, puis réécrire 
matriciellement la
relation obtenue.
29 Montrer l'implication directe par contraposée en choisissant F0 parmi les 
vecteurs
propres de A. Pour la réciproque, décomposer un vecteur F0 arbitraire dans une
base de vecteurs propres de A.
32 Établir une expression du terme général de la suite (yk )k[[ 0 ; q+1 ]] à 
partir de
la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 satisfaite par cette suite. 
Déterminer
alors pour quels réels  les conditions y0 = yq+1 = 0 sont vérifiées.
34 Remarquer que les vecteurs propres de B sont aussi vecteurs propres de A.
Déterminer alors une condition suffisante pour que les valeurs propres de A 
soient
à valeurs dans [ -1 ; 1 ] indépendamment du choix de q, puis montrer que cette
condition est aussi nécessaire.
37 Exprimer d'abord Sn en fonction de Zn .
39 Utiliser un encadrement de la partie entière.
40 Appliquer la formule des probabilités totales pour un système complet 
d'événements bien choisi.

I. Préliminaires
1 Remarquons d'abord que la fonction g est définie et continue sur R, étant la
composée de fonctions usuelles. Il faut donc étudier son intégrabilité au 
voisinage
de + et -. D'après le théorème des croissances comparées,

x2
x2
x2 g (x) =  exp - 2 ---- 0
x+
2
 2

Cela signifie que g (x) = o 1/x2 au voisinage de +. Or la fonction x 7 1/x2 est
positive et intégrable sur [ 1 ; + [ selon le critère de Riemann. D'après le 
théorème
de comparaison des fonctions à valeurs positives, la
 fonction g est par conséquent
intégrable sur [ 1 ; + [. De même, g (x) = o 1/x2 au voisinage de -, la fonction
g est donc aussi intégrable sur ] - ; -1 ]. En conclusion,
La fonction g est intégrable sur R.
On aurait également pu remarquer que la fonction g est paire. Le fait qu'elle
soit intégrable au voisinage de + implique donc qu'elle l'est aussi au 
voisinage de -.
2 Calculons la valeur de l'intégrale de g en effectuant le changement de 
variable

u = x/( 2). Celui-ci s'inverse en x =  2u, ce qui donne dx =  2 du. Comme 
est strictement positif, il vient alors

Z +
Z +
1
x2
g (x) dx = 
exp - 2 dx
2
 2 -
-
Z +

1
= 
exp(-u2 ) 2 du
 2 -
Z +
Z +
1
2
g (x) dx = 
e-u du

-
-
dont on conclut que

Z

+

g (x) dx = 1

-

L'intégrale

Z

+

exp(-x2 ) dx

-

porte le nom d'intégrale de Gauss, et son calcul peut s'effectuer de plusieurs
manières. On trouvera par exemple une méthode utilisant les intégrales de
Wallis dans le sujet CCP Maths 1 PSI de 2013.
3 La fonction g est la composée de fonctions usuelles et elle est de classe C  
sur R.
Calculons sa dérivée. Pour tout x  R,
 2
 2
1
-2x
-x
x
-x

g (x) =  ×
exp
= -  exp
2
2
3
2
2
2 2
 2
 2
Pour tout x  R, g (x) est du signe de -x car l'exponentielle est toujours 
positive.
La fonction g croît donc sur ] - ; 0 [ et décroît sur ] 0 ; + [.

Calculons la dérivée seconde. Pour tout x  R,

 2
 2 
-x
-2x
-x
1

+x×
exp
g (x) = -
1 × exp
2
2
3
2
2
2 2
 2
 2

1
-x

=
x2 -  2 exp
2 2
 5 2

Celle-ci est du signe de x2 -  2 : elle est positive sur ] - ; - ]  [  ; + [, 
négative
sur [ - ;  ] et s'annule en changeant de signe en - et . Le tableau de 
variations
et l'allure de la courbe représentative de g sont donnés ci-dessous.
x
g (x)

-

g (x)
0

0
0
1/( 2)

+

-

0

On peut s'aider pour le tracé des remarques suivantes :
· La fonction g est clairement paire : sa courbe représentative est symétrique
par rapport à l'axe des ordonnées.
· lim g (x) = 0 d'après les croissances comparées : la courbe admet une asympx+

tote d'équation y = 0 au voisinage de +.
· g (0) = 0, la courbe possède donc une tangente horizontale au point 0.
· La dérivée seconde de g change de signe en - et . La courbe présente par
conséquent des points d'inflexion en - et .
y

p
-

p
-

0

x

4 Soit   R. Pour tout x  R, |f (x) exp(-i2x)| = |f (x)| et |f | est intégrable 
sur
R par hypothèse. Donc
La fonction x 7 f (x) exp(-i2x) est intégrable sur R pour tout   R.
5 Posons h(x, ) = f (x) exp(-i2x) pour tous x,   R, et appliquons le théorème
de continuité des intégrales à paramètre.
· Pour tout   R, x 7 h(x, ) est continue par morceaux (et même continue).
· Pour tout x  R,  7 h(x, ) est continue.
· Pour tout (x, )  R2 , |h(x, )| = |f (x)| et cette fonction est intégrable sur 
R.
Par conséquent
6 Pour tout x  R,

La fonction F (f ) est continue sur R.
Z x
f (x) - f (0) =
f  (t) dt
0

Comme f est intégrable sur R, cette intégrale converge lorsque x tend vers +.
Ainsi, f possède une limite finie  en +, et par continuité de la valeur absolue,

|f (x)| ---- ||
x+