Centrale Maths 1 PC 2016

Thème de l'épreuve Autour de la fonction gamma d'Euler et comportements asymptotiques
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, équivalents en l'infini, formule de Stirling, loi de Poisson
Mots clefs Intégration par parties, Gamma, Loi de Poisson, Stirling, Equivalents, Intégrales à paramètre

Corrigé

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Mathématiques 1 © F| PC c 4 heures Calculatrices autorisées N On utilise la fonction Gamma d'Euler P (partie I) pour calculer, en partie Il, une intégrale dépendant d'un paramètre. En partie III, en liaison avec des variables aléatoires suivant une loi de Poisson, on détermine l'équivalent, quand n --> +00, de sommes dépendant d'un paramètre entier n. Les trois parties sont largement indépendantes. I Autour de la fonction Gamma d'Euler +oo Pour oe EUR [R, on pose, lorsque cela a un sens, P(æ) : / 7î9Ü*1e*t dt. 0 LA EUR I.A.1) Quel est le domaine de définition D de la fonction P '? I.A.2) Pour tout x EUR 23, exprimer P(æ + 1) en fonction de x et de Nos). En déduire, pour tout 33 EUR @ et tout n EUR IN*, une expression de P(sc + n) en fonction de x, n et P(æ), ainsi que la valeur de P(n) pour tout n 2 1. +00 +00 I.A.3) Montrer l'existence des deux intégrales / eft2 dt et / eft4 dt et les exprimer à l'aide de P. 0 '0 LE -- I.B.1) Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b. Montrer que, pour tout t > 0 et tout 3: EUR la, b], r" < max(t",tb) g ta + tb I.B.2) Montrer que P est de classe 800 sur @. Soit [EUR EUR Ù\l* et 56 EUR D. Exprimer Plk)(æ), dérivée k--ième de F au point a:, sous forme d'une intégrale. I. C * I.C.1) Montrer que P' s'annule en un unique réel EUR dont on déterminera la partie entière. I.C.2) En déduire les variations de P sur @. Préciser en particulier les limites de P en 0 et en +oo. Préciser également les limites de P' en 0 et en +oo. Esquisser le graphe de P. II Une transformée de Fourier +oo Pour 55 EUR P, on pose F(oe) : / eft tig/4 em dt, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument 7r/ 2. 0 II.A EUR Montrer que la fonction F : R _} C est définie et de classe 600 sur R oel--àF(æ) Soit le un entier naturel non nul et soit x un réel. Donner une expression intégrale de F (I") (oe), dérivée k--ième de F en a:. Préciser F(O). II.B EUR II.B.1) Montrer qu'au voisinage de a: : 0, la fonction F peut s'écrire sous la forme F(SC) : 2 C" (133311 n=0 TL où 0" est la valeur de Gamma en un point à préciser. On exprimera en en fonction de n et de 00- 2016--04--30 16:01:14 Page 1/3 @@ BY--NC-SA Quel est le rayon de convergence de la série entière qui apparaît au second membre de (S) '? II.B.2) On admet que P(æ) ... 2mlH/2) ef m-->+oo Étudier si la série du second membre de (S) converge absolument lorsque |3:| : II.B.3) Soit R(æ) la partie réelle et [(m) la partie imaginaire de F(æ). Déterminer, au voisinage de O, le développement limité de R(æ) à l'ordre 3 et de [(cc) à l'ordre 4. II.C+ II.C.1) Prouver que F vérifie sur [R une équation différentielle de la forme F' +A F : 0, où A est une fonction a préciser. II.C.2) En déduire une expression de F (x) 1 . On pourra commencer par dériver la fonction x H _Ë ln(1 + 552) + îarctanæ. III Autour de la loi de Poisson Dans cette partie, A désigne un réel strictement positif. On rappelle qu'une variable aléatoire X, à valeurs dans IN, suit la loi de Poisson ?(À) de paramètre )\ si, pour tout 71 EUR N : Pour tout sous--ensemble A de [R, P(X EUR A) désigne la probabilité de l'événement X *1(A). On note G t : E tx : P X : le tk série génératrice de la variable aléatoire X . X k=0 III.A + Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson ?(À). III.A.1) Déterminer GX(t). III.A.2) Calculer l'espérance E(X ), la variance V(X ) et l'écart type de X. III.A.3) Soit ;L un réel strictement positif. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson ?(u) et telle que X et Y soient indépendantes. Déterminer la loi de X + Y. III.B + Soit (X")7121 une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de 101 ?(À). On rappelle que, quels que soient les entiers 1 EUR il < [2 < < ik et les intervalles Il, [2,...Ik de [R P(X,l EUR I,, X,2 EUR 12, X,-k EUR Ik) =HP( (X EUR 1...) j=1 III. B. 1) Pour tout entier n> 1, déterminer la loi de S,, -- X1 + X2 + + X. S' --nÀ III.B.2) Déterminer l'espérance et l'écart type des variables aléatoires S,, et T" : "Î. n III.B.3) Montrer que, pour tout 5 > 0, il existe un réel c(£) tel que, si c ; c(e) et n EUR N*, on a P(|T,,| ; c) //\ ... III.C + Dans cette sous--partie, on fixe deux réels @ et b tels que a < b. Pour tout entier n> 1 tel que a + Vn À> 0, on pose In:{kEURN|nÀ+aVnÀ 0 tel que f soit une fonction M --l1psch1tz1enne. III.C.2) a) Montrer que, si oe, h EUR [? et [L > 0, alors |hf(æ )--/+h f(t )dt|< 2016--04--30 16:01:14 Page 2/3 @c) BY--NC-SA b ) En déduire, lorsque 1" est non vide, une majoration de où p est le plus petit élément de In et q est le plus grand. 0) Montrer que &: k III.C.3) Pour tout [EUR EUR ]... on note ka71 : < -- % nÀ) exp(æk7n\/nÀ). Soit 6 > O. Démontrer l'existence d'un entier N (5) tel que, pour tout n 2 N (5) et tout [EUR EUR [... les inégalités suivantes soient satisfaites : )1--5 1 +oo EUR 17) (1 -- EUR)f(flîk,n) < yz... < (1 + 6)f(flîk,n)- . ,. ; . (nÀ)k fn)\ III.C.4) Exprimer, sous forme d mtegrale, ngmoe1OEîl: 14! e . { b) et Z P(Sn : k), où S" et Tn sont définies en IH.B. keln III.C.5) Comparer P(a EUR T n III.C.6) Déterminer les limites, quand n --> +00, de P(Tn } a), P(T : a), P(T > a) et P(T TL III.D + +00 III.D.1) Déduire de la question 111.06) la valeur de / f(x) dx. III.D.2) Déterminer un équivalent, lorsque n --> +00, de lnÀl +00 .  1. n-->+oo n-->+oo III.E + On suppose À < 1. nÀ III.E.1) Déterminer lim ((nÀ)"/ (nÀ -- lE)"et dt) . 'Ilù) 00 0 III.E.2) En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, en déduire un équivalent de D" quand n --> +00. III .F + Si À > 1, déterminer un équivalent de On lorsque n --> +00. 0 Considérer l'intégrale --| (r --1î)"et dt et choisir convenablement le réel r. n. *00 oooFlNooo 2016--04--30 16:01:14 Page 3/3 @c) BY--NC-SA

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 Centrale Maths 1 PC 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alban Levy (Agrégé de mathématiques) ; il a été relu par Nicolas Weiss (Professeur agrégé) et Antoine Sihrener (Professeur en CPGE). Ce sujet d'analyse est constitué de trois parties largement indépendantes. · La première partie se compose de questions classiques autour de la fonction gamma d'Euler Z + : x 7- tx-1 e -t dt 0 Il s'agit de donner son domaine de définition D, retrouver l'équation fonctionnelle liant (x + 1) et (x), montrer qu'elle est de classe C et esquisser son graphe. · La deuxième partie propose d'étudier quelques propriétés d'une transformée de Fourier, de déterminer son écriture en série entière, puis d'en trouver une expression en résolvant une équation différentielle. · La troisième partie s'oriente vers des calculs d'équivalents de suites, en les reliant à des variables aléatoires de Poisson et moult intégrales. On retrouve au passage la valeur de l'intégrale de Gauss. C'est la partie plus délicate, notamment parce qu'une partie importante des réponses ne sont pas données par l'énoncé, d'où l'importance de prendre son temps dans les calculs et de vérifier dès que possible que les réponses obtenues ne se contredisent pas. Ce sujet donne l'occasion de faire le point sur la dérivation sous le signe intégrale et sur le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre. La formule de Taylor avec reste intégral est régulièrement utilisée. Indications Exercice I I.A.1 Réaliser que l'intégration ne dépend que du comportement de tx-1 en 0. I.A.2 Intégrer par parties et tenter la récurrence. I.A.3 Changer de variable pour récupérer e -t dans l'intégrande. I.B.1 Reconnaître la monotonie en x. I.B.2 Bien vérifier les hypothèses de dérivation sous le signe intégrale. I.C.1 Penser au théorème de Rolle. I.C.2 Utiliser l'équation fonctionnelle. Exercice II II.A Bien vérifier les hypothèses de dérivation sous le signe intégrale. II.B.1 Utiliser l'équation fonctionnelle et la règle de d'Alembert. II.B.2 Calculer un équivalent du terme principal. II.B.3 Utiliser la série entière déjà obtenue. II.C.1 Dériver par partie. II.C.2 Relier g et A puis résoudre l'équation différentielle. Exercice III III.A.1 Partir de la définition de la fonction génératrice. III.A.2 Lancer le calcul ou utiliser les relations avec la fonction génératrice. III.A.3 Calculer la série génératrice de X + Y et caractériser sa loi. III.B.1 Écrire la fonction génératrice de Sn . III.B.2 Pour Sn , réaliser que l'on a déjà la réponse. Pour Tn , faire le calcul. III.B.3 Utiliser l'inégalité de Markov. III.C.1 Utiliser le théorème des accroissements finis. III.C.2.a Faire apparaître un taux de variation dans l'intégrale. III.C.2.b Séparer l'intégrale en une somme de plus petites. III.C.2.c Majorer la différence par 3 termes qui tendent vers 0. III.C.3.a Utiliser la définition de In et la formule de Stirling. III.C.3.b Utiliser un équivalent de k/(n) - 1 fourni par la définition de In . III.C.4 Utiliser les deux résultats de la question précédente. III.C.5 Partir de l'un pour arriver à l'autre. III.C.6 Se ramener à la limite de P(a 6 Tn 6 b). III.D.1 Utiliser le fait que P() = 1 pour toute probabilité P sur un ensemble . III.D.2 Se ramener à une probabilité de Tn . III.D.3 Utiliser An et d'autres termes contrôlés. III.E.1 Mettre en facteur (n)n et noter une convergence simple. III.E.2 Utiliser la formule de Taylor demandée et la question précédente. III.F Utiliser la même méthodologie que pour la question III.E. I. Autour de la fonction gamma d'Euler I.A.1 Déterminons le domaine de définition D de la fonction . Pour tout x R fixé, l'intégrande t 7- tx-1 e -t est continu sur R+ et intégrable en + car il se comporte en o(t-2 ). En 0+ , la fonction t 7- tx-1 est intégrable si et seulement si x > 0. Puisque lim e -t = 1 t0 le produit tx-1 e -t est intégrable en 0 si et seulement si x > 0. Ainsi, Le domaine de définition D de la fonction est R+ . I.A.2 Commençons par remarquer que pour tout x D, x + 1 D. L'existence des limites du produit -tx e -t quand t tend vers 0+ ou vers l'infini (0 dans les deux cas) garantit que l'intégrale de t 7- tx e -t sur R+ est de la même nature que l'intégrale de t 7- -xtx-1 e -t sur R+ , c'est-à-dire convergente d'après la question I.A.1. Dès lors, une intégration par parties donne Z + Z + + (x + 1) = tx e -t dt = [-tx e -t ]0 + xtx-1 e -t dt 0 0 d'où (x + 1) = x(x) par linéarité des intégrales généralisées. Pour x D montrons par récurrence que la propriété P(n) ci-dessous est vraie pour tout n N : n-1 P(n) : (x + n) = (x) (x + k) k=0 · P(1) : on a déjà montré que 1-1 (x + 1) = x(x) = (x) (x + k) k=0 · P(n) = P(n + 1) : si l'on suppose que n-1 (x + n) = (x) alors (x + k), k=0 (x + n + 1) = (x + n) · (x + n) n-1 = (x + n) · (x) n (x + n + 1) = (x) (x + k) k=0 (x + k) k=0 en utilisant la formule trouvée et la relation de récurrence. · Conclusion : la propriété P(n) est vérifiée à tout ordre n > 0. Par récurrence, on a donc montré que n-1 x D n N (x + n) = (x) (x + k) k=0 Le calcul direct (1) = Z + + 0 e -t dt = [-e -t ]0 =1 et l'application de la formule (x + 1) = x(x) fournissent par une récurrence immédiate la valeur de (n) pour tout entier n non nul : n N (n) = (n - 1)! 2 4 I.A.3 Les fonctions t 7- e -t et t 7- e -t sont continues sur R+ , positives, et majorées sur ] 1 ; + [ par e -t qui est intégrable. 2 4 Les fonctions t 7- e -t et t 7- e -t sont donc intégrables sur R+ . Les changements de variable u = t2 et u = t4 donnent, respectivement, Z + Z Z + Z 1 + -u -1/2 1 + -u -3/4 -t2 -t4 e dt = e u du et e dt = e u du 2 0 4 0 0 0 Z + Z + 1 1 1 1 -t2 -t4 d'où e dt = et e dt = 2 2 4 4 0 0 I.B.1 Il suffit de prouver que pour tout t > 0 fixé, la fonction x 7- tx est monotone sur R+ ; en effet, si cette fonction est décroissante, alors x > a implique tx 6 ta , tandis que x 6 b implique tx 6 tb si elle est croissante. Dans ces deux cas, x [ a ; b ] implique tx 6 Max (ta , tb ) Or, la monotonie de x 7- tx est immédiate puisque sa dérivée, x 7- ln(t) · e x ln(t) , est de signe constant (négatif si t 6 1, positif si t > 1). La seconde inégalité demandée est évidente car tous les termes considérés sont positifs, ce qui garantit t > 0 d'où t > 0 ta 6 ta + tb x [ a ; b ] et tb 6 ta + tb tx 6 Max (ta , tb ) 6 ta + tb I.B.2 On utilise l'extension aux fonctions C k du théorème de dérivation sous le signe intégrale. Soit k N, et a et b deux nombres tels que 0 < a < b. La fonction ( R+ × ] a ; b [ - R f: (t, x) 7- e -t tx-1 = e -t+(x-1) ln(t) vérifie bien toutes les hypothèses du théorème : (i) Pour tout t R+ , l'application x 7- f (t, x) est de classe C k et vérifie kf (t, x) = (ln t)k e -t tx-1 xk (ii) Pour tout x ] a ; b [ et tout p [[ 1 ; k ]], l'application t 7- p f /xp (t, x) est continue. Montrons qu'elle est de plus intégrable sur R+ . Par croissances comparées, la fonction t 7- g(t) = (ln t)p e -t/2 tx/2 a pour limite 0 en 0+ et en l'infini. Elle est donc bornée en valeur absolue par une constante M > 0, garantissant par le théorème de comparaison que x ] a ; b [ pf (t, x) = |g(t)| tx/2-1 e -t/2 6 Me -t/2 tx/2-1 xp dont on montre l'intégrabilité sur R+ . Cette fonction est intégrable en 0 car majorée par Mtx/2-1 avec x/2 - 1 > -1, intégrable en l'infini car se comporte en o(1/t2 ) par croissances comparées, et est continue donc intégrable sur R+ .