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Centrale Maths 1 PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Damien Garreau (ENS Ulm) ; il a été relu par Gilbert
Monna (Professeur en CPGE) et Nicolas Martin (Professeur agrégé).
Ce sujet est consacré à l'étude des sous-espaces stables d'un endomorphisme.
Ses cinq parties sont indépendantes.
· La première partie rappelle les liens entre sous-espaces stables et
diagonalisabilité. En particulier, on montre que lorsque le corps de base est
C, la diagonalisabilité est équivalente à l'existence d'un supplémentaire
stable pour tout
sous-espace stable.
· Dans la deuxième partie,
Lp on montre qu'un sous-espace F de E est stable si
et seulement si F =
i=1 (F Ei ) où les (Ei )16i6p sont les sous-espaces
propres. On utilise ce résultat pour dénombrer les sous-espaces stables dans
le cas où p = n.
· La troisième partie est consacrée à l'étude des sous-espaces stables d'un
endomorphisme nilpotent. Après avoir étudié le cas particulier de
l'endomorphisme
de dérivation sur K[X], on montre un résultat général.
· Dans la quatrième partie, on montre que tout endomorphisme d'un espace
vectoriel réel de dimension finie admet au moins une droite ou un plan stable.
On détermine ensuite les solutions (x(t), y(t), z(t)) d'un système différentiel
de
taille 3 donné qui représentent une paramétrisation d'une droite ou d'un arc
plan de R3 .
· La dernière partie caractérise les endomorphismes diagonalisables dans un
cadre
euclidien : un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, il admet n
hyperplans stables d'intersection réduite au vecteur nul.
Les parties de ce problème sont équilibrées et chacune comporte des questions
délicates. La progression est linéaire et bien guidée. On se servira utilement
de ce
sujet pour faire le point sur l'algèbre linéaire.
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Indications
Partie I
I.B.1 Penser aux sous-espaces vectoriels triviaux.
I.B.2 Utiliser le noyau et l'image de l'endomorphisme et le théorème du rang
pour le dernier cas.
I.C.3 Montrer que c'est une homothétie.
I.D.1 Utiliser le théorème de la base incomplète.
L
I.D.2 Considérer F = sp () E , puis montrer que F = E.
Partie II
II.A.3 Reconnaître un déterminant de Vandermonde.
II.A.5 Utiliser la question II.A.3.
II.A.6 Utiliser la question II.A.2.
II.B.2 Utiliser les questions II.B.1, II.A et I.A.
II.B.3 Utiliser la question II.A.
II.B.4 Reconnaître (1 + 1)n , puis utiliser la formule du binôme.
Partie III
III.A.2.a Considérer une base de F.
III.A.3 Utiliser la question III.A.2.c.
III.B.1 Montrer qu'il s'agit de E r Ker (f n-1 ).
III.B.3 Multiplier les éléments de Bf,u par des constantes bien choisies.
Partie IV
IV.B Utiliser le fait qu'un polynôme réel de degré impair admet toujours au
moins une racine réelle.
IV.C.1 Raisonner par l'absurde en montrant que R.
IV.C.2 Calculer MZ de deux manières différentes, puis identifier les parties
réelles
et imaginaires.
IV.D Utiliser les questions IV.B et IV.C.
IV.F.1 Calculer les valeurs propres de A et les vecteurs propres associés.
IV.F.2 Utiliser la question IV.F.1.
IV.F.3 Calculer x , puis faire disparaître les termes en y.
IV.F.4 Effectuer le changement de variable Y = P-1 X puis utiliser les questions
précédentes.
Partie V
V.A.1 Définir le produit scalaire canonique.
t
V.A.2 Montrer que u · v = U V.
t
V.C Déterminer les vecteurs propres de A, puis utiliser la question V.B.
V.D Utiliser l'équivalence entre A diagonalisable et t A diagonalisable.
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1. Première partie
I.A Supposons que u soit un vecteur propre de f . Il existe alors K tel que
f (u) = u. Pour tout x F, il existe µ K tel que x = µu. Comme
f (x) = f (µu) = µf (u) = µu F
La droite F est stable par f .
Réciproquement, supposons que F soit stable par f . Soit u un vecteur non nul
de F.
Par hypothèse, f (u) F donc il existe K tel que f (u) = u.
Le vecteur u est propre pour f .
I.B.1 Comme f est un endomorphisme, il laisse E stable, et f (0) = 0. Ainsi,
Le sous-espace nul {0} et E tout entier sont stables par f .
L'idée dans R2 est de trouver une application linéaire qui ne laisse stable
aucune droite. Considérons donc la rotation d'angle . Cette application est
linéaire, et
elle envoie une droite sur une droite distincte pourvu que ne soit pas congru
à 0
modulo .
I.B.2 Si x Ker (f ), alors f (f (x)) = f (0) = 0, autrement dit Ker (f ) est
stable
par f . Puisque f n'est pas injective, Ker (f ) 6= {0}. Comme f est non nulle,
Ker (f )
est distinct de E. Ainsi, il existe au moins trois sous-espaces distincts
stables par f .
Les sous-espaces {0}, Ker (f ) et E sont stables par f .
Supposons maintenant que n est impair. Soit y = f (x) Im (f ). Alors
f (y) = f (f (x)) Im (f )
autrement dit Im (f ) est stable par f . Montrons que l'image de f est
distincte de {0},
Ker (f ) et E. Le théorème du rang appliqué à f s'écrit
rg (f ) + dim Ker (f ) = dim E = n
Comme n est impair, on ne peut avoir rg (f ) = dim Ker (f ). Par conséquent,
l'image
et le noyau de f sont distincts. Vu que f est non nulle, son image n'est pas
réduite
au vecteur nul. Enfin, f est non injective, d'où dim Ker (f ) 6= 0, ce qui
implique que
rg (f ) 6= n, et donc l'image de f n'est pas E tout entier. Lorsque n est
impair, il existe
donc au moins quatre sous-espaces stables distincts.
Les sous-espaces {0}, Ker (f ), Im (f ) et E sont stables par f .
Considérons l'endomorphisme de R2 de matrice
1 0
M=
1 1
dans la base canonique. Pour trouver les droites stables de f , cherchons les
vecteurs
propres de f conformément à la question I.A. Il n'y a qu'une valeur propre =
1, et
l'identité MX = X conduit à x = 0. En conclusion, f ne possède qu'une seule
droite
propre, d'équation x = 0.
I.C.1 Soient v1 , v2 , ..., vp des vecteurs propres de f associés aux valeurs
propres
1 , 2 , ..., p . Montrons que V = Vect (v1 , v2 , . . . , vp ) est stable par f
. Soit x V. Il
p
P
existe (x1 , x2 , . . . , xp ) Kp tel que x =
xi vi .
i=1
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f (x) =
p
P
i=1
xi f (vi ) =
p
P
xi (i vi ) =
i=1
p
P
(i xi )vi V
i=1
Tout sous-espace engendré par une famille
de vecteurs propres de f est stable par f .
Considérons le sous-espace propre E associé à une valeur propre . Par
définition,
pour tout x E , on a f (x) = x. Ainsi,
La restriction de f à E est l'homothétie de rapport .
I.C.2 Soit E un sous-espace propre de f de dimension au moins égale à 2. D'après
la question I.C.1, la restriction de f à E est une homothétie de rapport . En
particulier, une homothétie laisse les droites stables. Comme dim E > 2 et K = R
ou C, E contient une infinité de droites :
L'endomorphisme f laisse stable une infinité de droites.
I.C.3 Si tous les sous-espaces de E sont stables par f , alors en particulier
toutes les
droites de E sont stables par f . D'après la question I.A, tous les vecteurs
non nuls
de E sont vecteurs propres de f .
C'est un exercice classique d'en déduire que f est une homothétie.
Pour tout x E r {0}, notons x l'élément de K r {0} tel que f (x) = x x. Fixons
x0 E r {0} et montrons que tous les x coïncident avec x0 .
· Pour tout x tel que la famille (x, x0 ) soit liée, il existe µ K tel que x =
µx0
car x0 6= 0 donc
f (x) = f (µx0 ) = µ f (x0 ) = µx0 x0 = x0 x
d'où x = x0 par unicité de x .
· Pour tout x tel que la famille (x, x0 ) soit libre,
f (x + x0 ) = x+x0 (x + x0 ) = x+x0 x + x+x0 x0
et
f (x + x0 ) = f (x) + f (x0 ) = x x + x0 x0
En soustrayant,
0 = (x+x0 - x )x + (x+x0 - x0 )x0
Puisque (x, x0 ) est libre, x+x0 = x et x+x0 = x0 d'où x = x0 .
Puisque f (x) = x0 x pour tout x E r {0} et pour x = 0,
L'endomorphisme f est une homothétie.
I.D.1 Supposons f diagonalisable. Soit BD = (v1 , v2 , . . . , vn ) une base de
vecteurs
propres. Soit F un sous-espace stable de E. Notons p la dimension de F. Si p = 0
ou n, il n'y a rien à prouver. Sinon, considérons BF = (e1 , e2 , . . . , ep )
une base de F.
D'après le théorème de la base incomplète, on peut compléter BF en une base B
de E
avec n - p vecteurs de BD . Quitte à réordonner BD , on peut supposer qu'il
s'agit de
(v1 , v2 , . . . , vn-p ). Considérons G = Vect (v1 , v2 , . . . , vn-p ).
C'est un supplémentaire
de F puisque (e1 , . . . , ep , v1 , . . . , vn-p ) est une base de E, et
d'après la question I.C.1
il est stable par f .
Tout sous-espace de E admet un supplémentaire stable par f .