Centrale Maths 1 PC 2015

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cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Dans ce problème, [K désigne le corps [R ou le corps @ et E est un [[<-espace vectoriel non nul. Si f est un endomorphisme de E , pour tout sous-espace F de E stable par f on note f F l'endomorphisme de F induit par f, c'est-à-dire défini sur F par f F(oe) = f (ac) pour tout a: dans F. Pour tout endomorphisme d'un [[<-espace vectoriel E on définit la suite f '" des puissances de f par keN f0 =IdE fk+1 : fofk : f'" of pour tout [EUR dans IN On note [K[X] l'espace vectoriel sur [K des polynômes à coefficients dans [K et, pour tout n de IN, [Kn[X] le sous-espace de [K[X] des polynômes de degré au plus égal à n. Pour n > 1, Mn([K) est l'espace des matrices carrées à n lignes et à éléments 
dans [K et Mn71([K) est l'espace
des matrices colonnes à n lignes et à éléments dans [K.

I Première partie
Dans cette partie, f est un endomorphisme d'un [[<-espace vectoriel E. LA -- Montrer qu'une droite F engendrée par un vecteur u est stable par f si et seulement si u est un vecteur propre de f. I.B -- I.B.1) Montrer qu'il existe au moins deux sous--espaces de E stables par f et donner un exemple d'un endomorphisme de [R2 qui n'admet que deux sous-espaces stables. I.B.2) Montrer que si E est de dimension finie n > 2 et si f est non nul et non 
injectif, alors il existe au
moins trois sous-espaces de E stables par f et au moins quatre lorsque n est 
impair.

Donner un exemple d'endomorphisme de [R2 qui n'admet que trois sous-espaces 
stables.
I .C --

I.C.1) Montrer que tout sous-espace engendré par une famille de vecteurs 
propres de f est stable par f.
Préciser l'endomorphisme induit par f sur tout sous--espace propre de f .

I.C.2) Montrer que si f admet un sous--espace propre de dimension au moins 
égale à 2 alors il existe une
infinité de droites de E stables par f.

I.C.3) Que dire de f si tous les sous--espaces de E sont stables par f ?
I .D -- Dans cette sous--partie, E est un espace de dimension finie.

I.B.1) Montrer que si f est diagonalisable alors tout sous-espace de E admet un 
supplémentaire dans E
stable par f.

On pourra partir d'une base de F et d'une base de E constituée de vecteurs 
propres de f.

I.D.2) Montrer que si [K = C et si tout sous--espace de E stable par f admet un 
supplémentaire dans E stable
par f , alors f est diagonalisable.

Qu'en est--il si [K = [R ?

II Deuxième partie

Dans cette partie, n et p sont deux entiers naturels au moins égaux à 2, f est 
un endomorphisme diagonalisable
d'un [[<-espace vectoriel E de dimension 71, qui admet p valeurs propres distinctes {À1,...,Àp} et, pour tout i dans [[1, pl], on note Ei le sous-espace propre de f associé à la valeur propre Ài. p II.A -- Il s'agit ici de montrer qu'un sous-espace F de E est stable par f si et seulement si F = EB(F 0 El). '=1 't p II.A.1) Montrer que tout sous--espace F de E tel que F : EB(F 0 Ei) est stable par f. i=1 II.A.2) Soit F un sous-espace de E stable par f et a: un vecteur non nul de F. 11 Justifier l'existence et l'unicité de x-- . dans E >< >< E tel que a: = sa. 'a 1 3 et [EUR EUR [[2, n -- 1]], combien y a-t-il de sous--espaces 
de E de dimension k et stables par f ?

II.B.4) Combien y a-t-il de sous-espaces de E stables par f dans ce cas ? Les 
donner tous.

III Troisième partie

III.A -- On considère l'endomorphisme D de dérivation sur [K[X] défini par D(P) 
= P' pour tout F dans
[K[X ]

III.A.1) Vérifier que pour tout n de IN, [Kn[X ] est stable par D et donner la 
matrice A,, de l'endomorphisme
induit par D sur [Kn[X ] dans la base canonique de [Kn[X ]

III.A.2) Soit F un sous--espace de [K[X ], de dimension finie non nulle, stable 
par D.

a ) Justifier l'existence d'un entier naturel 71 et d'un polynôme R de degré n 
tels que R EUR F et F C [Kn [X]
b) Montrer que la famille (D'(R))0 _ est une famille libre de F.

 2 tel que f" = 0 et
fn--1 # &

III.B.1) Déterminer l'ensemble des vecteurs u de E tels que la famille Bf... = 
( f "" (u))1