Centrale Maths 1 PC 2015

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cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Dans ce problème, [K désigne le corps [R ou le corps @ et E est un [[<-espace vectoriel non nul. Si f est un endomorphisme de E , pour tout sous-espace F de E stable par f on note f F l'endomorphisme de F induit par f, c'est-à-dire défini sur F par f F(oe) = f (ac) pour tout a: dans F. Pour tout endomorphisme d'un [[<-espace vectoriel E on définit la suite f '" des puissances de f par keN f0 =IdE fk+1 : fofk : f'" of pour tout [EUR dans IN On note [K[X] l'espace vectoriel sur [K des polynômes à coefficients dans [K et, pour tout n de IN, [Kn[X] le sous-espace de [K[X] des polynômes de degré au plus égal à n. Pour n > 1, Mn([K) est l'espace des matrices carrées à n lignes et à éléments 
dans [K et Mn71([K) est l'espace
des matrices colonnes à n lignes et à éléments dans [K.

I Première partie
Dans cette partie, f est un endomorphisme d'un [[<-espace vectoriel E. LA -- Montrer qu'une droite F engendrée par un vecteur u est stable par f si et seulement si u est un vecteur propre de f. I.B -- I.B.1) Montrer qu'il existe au moins deux sous--espaces de E stables par f et donner un exemple d'un endomorphisme de [R2 qui n'admet que deux sous-espaces stables. I.B.2) Montrer que si E est de dimension finie n > 2 et si f est non nul et non 
injectif, alors il existe au
moins trois sous-espaces de E stables par f et au moins quatre lorsque n est 
impair.

Donner un exemple d'endomorphisme de [R2 qui n'admet que trois sous-espaces 
stables.
I .C --

I.C.1) Montrer que tout sous-espace engendré par une famille de vecteurs 
propres de f est stable par f.
Préciser l'endomorphisme induit par f sur tout sous--espace propre de f .

I.C.2) Montrer que si f admet un sous--espace propre de dimension au moins 
égale à 2 alors il existe une
infinité de droites de E stables par f.

I.C.3) Que dire de f si tous les sous--espaces de E sont stables par f ?
I .D -- Dans cette sous--partie, E est un espace de dimension finie.

I.B.1) Montrer que si f est diagonalisable alors tout sous-espace de E admet un 
supplémentaire dans E
stable par f.

On pourra partir d'une base de F et d'une base de E constituée de vecteurs 
propres de f.

I.D.2) Montrer que si [K = C et si tout sous--espace de E stable par f admet un 
supplémentaire dans E stable
par f , alors f est diagonalisable.

Qu'en est--il si [K = [R ?

II Deuxième partie

Dans cette partie, n et p sont deux entiers naturels au moins égaux à 2, f est 
un endomorphisme diagonalisable
d'un [[<-espace vectoriel E de dimension 71, qui admet p valeurs propres distinctes {À1,...,Àp} et, pour tout i dans [[1, pl], on note Ei le sous-espace propre de f associé à la valeur propre Ài. p II.A -- Il s'agit ici de montrer qu'un sous-espace F de E est stable par f si et seulement si F = EB(F 0 El). '=1 't p II.A.1) Montrer que tout sous--espace F de E tel que F : EB(F 0 Ei) est stable par f. i=1 II.A.2) Soit F un sous-espace de E stable par f et a: un vecteur non nul de F. 11 Justifier l'existence et l'unicité de x-- . dans E >< >< E tel que a: = sa. 'a 1 3 et [EUR EUR [[2, n -- 1]], combien y a-t-il de sous--espaces 
de E de dimension k et stables par f ?

II.B.4) Combien y a-t-il de sous-espaces de E stables par f dans ce cas ? Les 
donner tous.

III Troisième partie

III.A -- On considère l'endomorphisme D de dérivation sur [K[X] défini par D(P) 
= P' pour tout F dans
[K[X ]

III.A.1) Vérifier que pour tout n de IN, [Kn[X ] est stable par D et donner la 
matrice A,, de l'endomorphisme
induit par D sur [Kn[X ] dans la base canonique de [Kn[X ]

III.A.2) Soit F un sous--espace de [K[X ], de dimension finie non nulle, stable 
par D.

a ) Justifier l'existence d'un entier naturel 71 et d'un polynôme R de degré n 
tels que R EUR F et F C [Kn [X]
b) Montrer que la famille (D'(R))0 _ est une famille libre de F.

 2 tel que f" = 0 et
fn--1 # &

III.B.1) Déterminer l'ensemble des vecteurs u de E tels que la famille Bf... = 
( f "" (u))1 

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Centrale Maths 1 PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Damien Garreau (ENS Ulm) ; il a été relu par Gilbert
Monna (Professeur en CPGE) et Nicolas Martin (Professeur agrégé).

Ce sujet est consacré à l'étude des sous-espaces stables d'un endomorphisme.
Ses cinq parties sont indépendantes.
· La première partie rappelle les liens entre sous-espaces stables et 
diagonalisabilité. En particulier, on montre que lorsque le corps de base est 
C, la diagonalisabilité est équivalente à l'existence d'un supplémentaire 
stable pour tout
sous-espace stable.
· Dans la deuxième partie,
Lp on montre qu'un sous-espace F de E est stable si
et seulement si F =
i=1 (F  Ei ) où les (Ei )16i6p sont les sous-espaces
propres. On utilise ce résultat pour dénombrer les sous-espaces stables dans
le cas où p = n.
· La troisième partie est consacrée à l'étude des sous-espaces stables d'un 
endomorphisme nilpotent. Après avoir étudié le cas particulier de 
l'endomorphisme
de dérivation sur K[X], on montre un résultat général.
· Dans la quatrième partie, on montre que tout endomorphisme d'un espace
vectoriel réel de dimension finie admet au moins une droite ou un plan stable.
On détermine ensuite les solutions (x(t), y(t), z(t)) d'un système différentiel 
de
taille 3 donné qui représentent une paramétrisation d'une droite ou d'un arc
plan de R3 .
· La dernière partie caractérise les endomorphismes diagonalisables dans un 
cadre
euclidien : un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, il admet n
hyperplans stables d'intersection réduite au vecteur nul.
Les parties de ce problème sont équilibrées et chacune comporte des questions
délicates. La progression est linéaire et bien guidée. On se servira utilement 
de ce
sujet pour faire le point sur l'algèbre linéaire.

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Indications
Partie I
I.B.1 Penser aux sous-espaces vectoriels triviaux.
I.B.2 Utiliser le noyau et l'image de l'endomorphisme et le théorème du rang
pour le dernier cas.
I.C.3 Montrer que c'est une homothétie.
I.D.1 Utiliser le théorème de la base incomplète.
L
I.D.2 Considérer F = sp () E , puis montrer que F = E.
Partie II

II.A.3 Reconnaître un déterminant de Vandermonde.
II.A.5 Utiliser la question II.A.3.
II.A.6 Utiliser la question II.A.2.
II.B.2 Utiliser les questions II.B.1, II.A et I.A.
II.B.3 Utiliser la question II.A.
II.B.4 Reconnaître (1 + 1)n , puis utiliser la formule du binôme.
Partie III
III.A.2.a Considérer une base de F.
III.A.3 Utiliser la question III.A.2.c.
III.B.1 Montrer qu'il s'agit de E r Ker (f n-1 ).
III.B.3 Multiplier les éléments de Bf,u par des constantes bien choisies.
Partie IV
IV.B Utiliser le fait qu'un polynôme réel de degré impair admet toujours au
moins une racine réelle.
IV.C.1 Raisonner par l'absurde en montrant que   R.
IV.C.2 Calculer MZ de deux manières différentes, puis identifier les parties 
réelles
et imaginaires.
IV.D Utiliser les questions IV.B et IV.C.
IV.F.1 Calculer les valeurs propres de A et les vecteurs propres associés.
IV.F.2 Utiliser la question IV.F.1.
IV.F.3 Calculer x , puis faire disparaître les termes en y.
IV.F.4 Effectuer le changement de variable Y = P-1 X puis utiliser les questions
précédentes.
Partie V
V.A.1 Définir le produit scalaire canonique.
t

V.A.2 Montrer que u · v = U V.
t

V.C Déterminer les vecteurs propres de A, puis utiliser la question V.B.
V.D Utiliser l'équivalence entre A diagonalisable et t A diagonalisable.

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1. Première partie
I.A Supposons que u soit un vecteur propre de f . Il existe alors   K tel que
f (u) = u. Pour tout x  F, il existe µ  K tel que x = µu. Comme
f (x) = f (µu) = µf (u) = µu  F
La droite F est stable par f .
Réciproquement, supposons que F soit stable par f . Soit u un vecteur non nul 
de F.
Par hypothèse, f (u)  F donc il existe   K tel que f (u) = u.
Le vecteur u est propre pour f .
I.B.1 Comme f est un endomorphisme, il laisse E stable, et f (0) = 0. Ainsi,
Le sous-espace nul {0} et E tout entier sont stables par f .
L'idée dans R2 est de trouver une application linéaire qui ne laisse stable 
aucune droite. Considérons donc la rotation d'angle . Cette application est 
linéaire, et
elle envoie une droite sur une droite distincte pourvu que  ne soit pas congru 
à 0
modulo .
I.B.2 Si x  Ker (f ), alors f (f (x)) = f (0) = 0, autrement dit Ker (f ) est 
stable
par f . Puisque f n'est pas injective, Ker (f ) 6= {0}. Comme f est non nulle, 
Ker (f )
est distinct de E. Ainsi, il existe au moins trois sous-espaces distincts 
stables par f .
Les sous-espaces {0}, Ker (f ) et E sont stables par f .
Supposons maintenant que n est impair. Soit y = f (x)  Im (f ). Alors
f (y) = f (f (x))  Im (f )
autrement dit Im (f ) est stable par f . Montrons que l'image de f est 
distincte de {0},
Ker (f ) et E. Le théorème du rang appliqué à f s'écrit
rg (f ) + dim Ker (f ) = dim E = n
Comme n est impair, on ne peut avoir rg (f ) = dim Ker (f ). Par conséquent, 
l'image
et le noyau de f sont distincts. Vu que f est non nulle, son image n'est pas 
réduite
au vecteur nul. Enfin, f est non injective, d'où dim Ker (f ) 6= 0, ce qui 
implique que
rg (f ) 6= n, et donc l'image de f n'est pas E tout entier. Lorsque n est 
impair, il existe
donc au moins quatre sous-espaces stables distincts.
Les sous-espaces {0}, Ker (f ), Im (f ) et E sont stables par f .
Considérons l'endomorphisme de R2 de matrice

1 0
M=
1 1
dans la base canonique. Pour trouver les droites stables de f , cherchons les 
vecteurs
propres de f conformément à la question I.A. Il n'y a qu'une valeur propre  = 
1, et
l'identité MX = X conduit à x = 0. En conclusion, f ne possède qu'une seule 
droite
propre, d'équation x = 0.
I.C.1 Soient v1 , v2 , ..., vp des vecteurs propres de f associés aux valeurs 
propres
1 , 2 , ..., p . Montrons que V = Vect (v1 , v2 , . . . , vp ) est stable par f 
. Soit x  V. Il
p
P
existe (x1 , x2 , . . . , xp )  Kp tel que x =
xi vi .
i=1

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f (x) =

p
P

i=1

xi f (vi ) =

p
P

xi (i vi ) =

i=1

p
P

(i xi )vi  V

i=1

Tout sous-espace engendré par une famille
de vecteurs propres de f est stable par f .
Considérons le sous-espace propre E associé à une valeur propre . Par 
définition,
pour tout x  E , on a f (x) = x. Ainsi,
La restriction de f à E est l'homothétie de rapport .
I.C.2 Soit E un sous-espace propre de f de dimension au moins égale à 2. D'après
la question I.C.1, la restriction de f à E est une homothétie de rapport . En
particulier, une homothétie laisse les droites stables. Comme dim E > 2 et K = R
ou C, E contient une infinité de droites :
L'endomorphisme f laisse stable une infinité de droites.
I.C.3 Si tous les sous-espaces de E sont stables par f , alors en particulier 
toutes les
droites de E sont stables par f . D'après la question I.A, tous les vecteurs 
non nuls
de E sont vecteurs propres de f .
C'est un exercice classique d'en déduire que f est une homothétie.
Pour tout x  E r {0}, notons x l'élément de K r {0} tel que f (x) = x x. Fixons
x0  E r {0} et montrons que tous les x coïncident avec x0 .
· Pour tout x tel que la famille (x, x0 ) soit liée, il existe µ  K tel que x = 
µx0
car x0 6= 0 donc
f (x) = f (µx0 ) = µ f (x0 ) = µx0 x0 = x0 x
d'où x = x0 par unicité de x .
· Pour tout x tel que la famille (x, x0 ) soit libre,
f (x + x0 ) = x+x0 (x + x0 ) = x+x0 x + x+x0 x0
et
f (x + x0 ) = f (x) + f (x0 ) = x x + x0 x0
En soustrayant,
0 = (x+x0 - x )x + (x+x0 - x0 )x0
Puisque (x, x0 ) est libre, x+x0 = x et x+x0 = x0 d'où x = x0 .
Puisque f (x) = x0 x pour tout x  E r {0} et pour x = 0,
L'endomorphisme f est une homothétie.
I.D.1 Supposons f diagonalisable. Soit BD = (v1 , v2 , . . . , vn ) une base de 
vecteurs
propres. Soit F un sous-espace stable de E. Notons p la dimension de F. Si p = 0
ou n, il n'y a rien à prouver. Sinon, considérons BF = (e1 , e2 , . . . , ep ) 
une base de F.
D'après le théorème de la base incomplète, on peut compléter BF en une base B 
de E
avec n - p vecteurs de BD . Quitte à réordonner BD , on peut supposer qu'il 
s'agit de
(v1 , v2 , . . . , vn-p ). Considérons G = Vect (v1 , v2 , . . . , vn-p ). 
C'est un supplémentaire
de F puisque (e1 , . . . , ep , v1 , . . . , vn-p ) est une base de E, et 
d'après la question I.C.1
il est stable par f .
Tout sous-espace de E admet un supplémentaire stable par f .