Centrale Maths 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Propriétés de la matrice jacobienne
Principaux outils utilisés calcul différentiel, équations différentielles, réduction, intégrales à paramètre
Mots clefs jacobien, jacobienne, jacobienne orthogonale, jacobienne symétrique

Corrigé

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Mathématiques 1 : ._ä PC ° 4 heures Calculatrices autorisées N Notations et conventions -- Dans ce problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. -- On confond vecteur de [R" et matrice colonne correspondante, ce qui permet des écritures du type Am où A est une matrice carrée réelle de taille n et m un élément de [R". -- Si f est une fonction de classe C1 de [R" dans IR" et si a: est un élément de IR", on note f(x) = (f1($):f2(flî% "'7fn(x)) ce qui, compte tenu de la convention précédente, s'écrit aussi f 1 (m) f(x) = f2Ë'" f.koe) Si i et j sont deux entiers de [[l,n]], la j--ème dérivée partielle de f,- en a: est notée Djfi(oe) ou 3? (x). ] -- Le déterminant d'une matrice carrée A est noté det(A). -- Avec les notations précédentes, on appelle matrice jacobienne de f en m et on note J f(x) la matrice carrée réelle de taille n dont le terme situé sur la i--ème ligne et la j--ème colonne est Djfl(x). -- On appelle jacobien de f en a: et on note jacf(x), le déterminant det(Jf (x)) de la matrice jacobienne J f (x). -- On appelle divergence de f en a: et on note divf(oe), la trace de la matrice jacobienne J f(x) On a donc divf(oe) = tr(Jf(oe)) = ËDifi(x) Les quatre parties sont pour une large part indépendantes les unes des autres. I Une interprétation du jacobien I.A -- Soit A une matrice carrée réelle de taille n et b un élément de [R". Soit f l'application de [R" dans [R" définie par VOEEIR" f(x):Aæ+b Montrer que f est de classe C1 et préciser sa matrice jacobienne J f(x) en tout point m de IR". LB -- Dans cette section, 9 désigne une fonction de classe C1 de [R" dans IR. On fixe un élément a = (al,a2, ...,an) de [R". Soit cp la fonction de [R dans IR définie par (p(t) : g(ta) : g(talvta2a "'7tan) I.B.1) Justifier que cp est de classe C1 sur IR et, pour tout réel t, donner cp'(t). I.B.2) En déduire qu'au voisinage de 0 9(ta) = 9(0) + t(alDlg(0) + a2D29(0) + + anDn9(0)) + 000 LG -- Dans cette section, f désigne une fonction de classe C1 de IR" dans IR" vérifiant f (0) = 0. Pour t réel et j entier de [[l,n]], on note tj l'élément (O, ..., 0, t, 0, ..., O) de IR", le réel t étant situé au rang j. 1.0.1) On admettra que si des fonctions (t) = det(fi1(t), 502(t)7  tl--I>Id det(t1, ...,tn) = jac,<0> I.C.3) Dans le cas n = 2 (respectivement 71. = 3), donner une interprétation géométrique de la valeur absolue du jacobien de f en 0 a l'aide d'aires de parallélogrammes (respectivement volumes de parallélépipèdes). II Une interprétation de la divergence dans un cas particulier On désigne par A une matrice réelle carrée de taille 2 et on pose, pour tout 516 dans IR2, f (ac) : Aoe. II.A -- Pour 513 dans IRZ, exprimer div f(ÇÛ) a l'aide de A seulement. Pour (L dans IRZ, on note ua(t) la solution sur IR du problème de Cauchy X ' : AX, X (0) = & Autrement dit, ua est l'unique fonction Cl de IR dans IR telle que ua(0) : a et, pour tout réel t, uâ(t) : Aua(t). II .B -- Dans cette section et la suivante, on suppose A diagonale de la forme . /\ 0 A : dlag<)'l7 /\2) = ( 01 À2) II.B.1) Que vaut ua(t) ? II.B.2) Soit 0 et 19 deux éléments de |R2 et soit t un réel. Montrer que det(ua(t)7 ub(t)) = EURXP(t dîVf(a)) det(ua(0)7 ub(0)) II.B.3) Utiliser le résultat précédent pour interpréter le signe de divf(a) en termes de sens de variation de l'aire d'un certain parallélogramme comme fonction de t. II.C -- Eoeemple On suppose toujours que A : diag()... À2). II.C.1) On pose 0 = (01,02) et ua(t) : (oe1(t),oe2(t)). On suppose que /\1 # 0 et al > 0. Déterminer une fonction 6a telle que oe2(t) : 9a(oe1(t)) pour tout réel t. II.C.2) Dans cette question, a = (2,1) et b = (1,2). Pour chacun des cas suivants, illustrer sur une même figure les courbes représentatives des fonctions 9... Gb et 9a+b, ainsi que les parallélogrammes de sommets (0,0), ua(t), ub(t) et ua(t) + ub(t) pour t = 0 et une valeur de t strictement positive. b) À1=1etÀ2=--2. II.D -- II.D.1) Reprendre les questions II.B.1 et 11.132 dans le cas où A est triangulaire de la forme A=(è ?) det(ua(t)a ub(t)) = eXp(t dîvf(a)) det(ua(0)a ub(0)) II.B.2) Montrer que la relation est valable lorsque la matrice A possède un polynôme caractéristique scindé sur IR. II.D.3) Étendre ce résultat au cas d'une matrice réelle 2 >< 2 quelconque. 2014-02-08 18:10:56 Page 2/3 OE=C BY-NC-SA III Matrice jacobienne symétrique, antisymétrique Dans le début de cette partie f est une fonction de classe 02 de IR" dans lui--même. Si :U est un élément de IR", on note toujours f1(oe) a: f<æ> = ,f2<æ>, ...f..<æ>> = f2É ) f...(OE) Si 72, j et [{ sont trois entiers de [[17 n]], la dérivée partielle seconde de fk en :U par rapport aux variables :ci et 507- 82 est notée Di,jfk(OE) ou ÔæiâÊj (a:), ou encore ij(oe). III.A -- Justifier que, pour tout x dans IR" et tous i, j et k dans [[l,n]], on a zjk(oe) : fj7zk(oe). III.B -- Dans cette section, on suppose que la matrice jacobienne J f(oe) est antisymétrique pour tout x dans IR". III.B.1) Montrer que pour tout a: dans HQ", et tous 71, j et [EUR dans [[l,n]], fz',j,k(OE) : --fijkjj(aÿ). (cc) : O. III.B.3) Montrer qu'il existe une matrice carrée réelle A de taille 71. et un élément () de IR" tels que pour tout :U dans IR", f(oe) : Acc + b. Justifier que A est antisymétrique. III.B.2) En déduire que, pour tout oe dans IR" et tous 71, j et [EUR dans [[l,n]], on a ...-gk III.B.4) Soit f une fonction de classe C2 de IR" dans lui--même. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur f, la matrice jacobienne J f(oe) est--elle antisymétrique pour tout a: dans IR" ? III.C -- Maintenant f est une fonction de classe Cl de IR" dans lui--même. Montrer que la matrice jacobienne J f(ÇÛ) est symétrique pour tout x dans IR" si et seulement si il existe 9 de classe 02 sur IR" à valeurs dans IR telle que VOE EUR |Rn7 W EUR [l17nll7 fi(æ) : DiÿfïÜ) % n 1 On pourra considérer l'application g définie par g(æ) : Zæz/ fZ-(tæ) dt et on exprimera Dig(æ) sous =1 0 forme d'une seule intégrale. IV Matrice jacobienne orthogonale Dans cette partie, f est une fonction de classe 02 de IR" dans lui--même. On considère la proposition ($") Pour tout a: de HQ", la matrice jacobienne J f(oe) de f est orthogonale. Pour $ dans IR" et 73, j, [EUR dans [[l,n]], on note ai'j'k 

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 Centrale Maths 1 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Juliette Brun-Leloup (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). Ce sujet est consacré au calcul différentiel. Il propose d'établir des liens entre la matrice jacobienne d'une fonction d'une part, et l'expression de cette fonction ou certaines de ses propriétés d'autre part. Le sujet est composé de quatre parties. · La première partie introduit le jacobien de la fonction f : x 7- Ax + b où la variable x et b sont deux vecteurs de Rn et A une matrice carrée réelle de taille n. Des calculs classiques mais fondamentaux sont demandés ; ils sont réutilisés dans chacune des parties suivantes. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse à des propriétés vérifiées par les solutions du problème de Cauchy X = AX, X(0) = a avec A une matrice carrée réelle de taille 2 et a R2 . On étudie successivement les cas d'une matrice A diagonale, puis triangulaire, puis quelconque. · La troisième partie fournit une caractérisation d'une fonction de classe C 2 sur Rn dont la matrice jacobienne en tout point de Rn est antisymétrique. On fait ensuite de même pour une matrice symétrique. · Dans la quatrième partie, on montre une caractérisation d'une fonction de classe C 2 sur Rn dont la matrice jacobienne est orthogonale en tout point de Rn . Le sujet est intéressant et permet d'aborder des techniques de calcul différentiel pas toujours bien maîtrisées. Sa progression n'est guère graduelle : les deux premières parties sont tout à fait accessibles tandis que les deux dernières sont beaucoup plus techniques. Comme souvent, investir deux minutes au début de l'épreuve pour parcourir et évaluer l'énoncé permettait d'optimiser la gestion du temps : il fallait ici traiter rapidement les parties 1 et 2 afin de réserver l'essentiel du temps aux parties 3 et 4, a priori plus rémunératrices. Indications Partie I I.B.1 Interpréter comme une composée de fonctions. I.B.2 Utiliser le théorème de Taylor-Young. I.C.1 En remarquant que tj = tej avec ej le j e vecteur de la base canonique de Rn , établir l'égalité f (tj ) = tDj f (0) + tj (t) avec j une fonction continue sur R et s'annulant en zéro. Conclure par multilinéarité et en utilisant la continuité de la fonction fournie par l'énoncé. Partie II y II.C.1 Utiliser le fait que e xy = (e x ) pour (x, y) R2 . II.D.1 Pour la résolution de X = AX, commencer par déterminer la solution de l'équation en la deuxième coordonnée puis injecter la solution dans la première équation pour en faire une équation avec second membre. II.D.2 Montrer que pour A et B matrices réelles semblables, la relation souhaitée est vérifiée pour A si et seulement si elle l'est pour B. Conclure à l'aide des cas particuliers précédents. II.D.3 Observer que le seul cas non couvert par l'étude précédente est celui d'une matrice admettant deux valeurs propres complexes conjuguées et donc distinctes. Puis remarquer que les calculs de la question II.D.2 se déroulent à l'identique dans C. Partie III III.B.2 Utiliser successivement les relations des questions III.A et III.B.1. III.B.3 Utiliser la caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe de Rn puis considérer la fonction h(x) = f (x) - Ax avec A une matrice bien choisie. III.B.4 La question III.B.3 fournit une condition nécessaire, étudier si cette condition est suffisante. III.C En supposant Jf (x) symétrique pour tout x Rn , introduire la fonction g suggérée par l'énoncé. Vérifier les hypothèses de dérivation sous l'intégrale à l'aide d'une domination locale puis calculer Dj g pour j [[ 1 ; n ]] et procéder à une intégration par parties. Partie IV IV.A.1 Remarquer que les vecteurs colonnes de Jf (x) pour x Rn forment une base orthonormée de Rn puis procéder par dérivation. IV.A.2 Utiliser successivement les résultats de la question IV.A.1 en procédant comme à la question III.B.2. t IV.A.3 Reconnaître le produit matriciel Jf (x) X dans la relation précédente en posant X matrice colonne dont la pe ligne contient 2 fp /(xj xk ) (x). Puis utiliser le résultat de la question III.B.3. IV.B La question IV.A.3 fournit une condition nécessaire, étudier si cette condition est suffisante. IV.C Si Jf (x) est orthogonale pour tout x Rn , utiliser les résultats établis au cours de la question IV.A.3 et procéder à des changements dans l'ordre de sommation de l'expression de gf . Pour la réciproque, étudier le cas où g(x) = xp avec p [[ 1 ; n ]] puis g(x) = xp xq avec (p, q) [[ 1 ; n ]]2 . I. Une interprétation du jacobien I.A Notons A = ai,j (i,j)[[ 1 ; n ]]2 . Pour i [[ 1 ; n ]], on a x = (x1 , . . . , xn ) Rn fi (x) = n P ai,j xj + bi j=1 Ainsi, les fonctions coordonnées fi sont polynomiales donc de classe C 1 sur Rn . Par dérivation, on a fi (i, j) [[ 1 ; n ]]2 Dj fi (x) = (x) = ai,j xj f C 1 (Rn , Rn ) et x Rn Par suite Jf (x) = A I.B.1 Soit (a1 , . . . , an ) Rn et posons t Rn (t) = (1 (t), . . . , n (t)) = (ta1 , . . . , tan ) La fonction est de classe C 1 sur R puisque chacune de ses fonctions coordonnées i l'est. Comme = g , on en déduit que est de classe C 1 sur R comme composée de fonctions de classe C 1 . Par dérivation, il vient n P g i (t) = (t) × ((t)) xi i=1 t On conclut C 1 (R, R) et t R (t) = n P ai i=1 n P g (ta) = ai Di g(ta) xi i=1 I.B.2 D'après le théorème de Taylor-Young, comme est de classe C 1 sur R, elle admet en particulier un développement limité à l'ordre 1 en 0 : (t) = (0) + t (0) + o(t) Avec le résultat établi à la question précédente, il s'ensuit au voisinage de zéro g(ta) = g(0) + t (a1 D1 g(0) + . . . + an Dn g(0)) + o(t) I.C.1 Soit i [[ 1 ; n ]]. En utilisant le résultat établi ci-avant, on trouve au voisinage de zéro f (ti ) = f (0, . . . , 0, t, 0, . . . , 0) (1) = f (0) + t(0 × D1 f (0) + . . . + 1 × Di f (0) + . . . + 0 × Dn f (0)) + o(t) f (ti ) = tDi f (0) + o(t) Pour t réel, posons 1 [f (t ) - tD f (0)] i i i (t) = t 0 si t 6= 0 si t = 0 La fonction i est continue sur R comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas. Puis d'après l'égalité (1), on a 1 i (t) = o(t) = o(1) --- 0 = i (0) t0 t