Centrale Maths 1 PC 2013

Thème de l'épreuve Étude d'une intégrale dépendant d'un paramètre
Principaux outils utilisés séries entières, séries de Fourier, intégrales dépendant d'un paramètre
Mots clefs noyau de Poisson, intégrale de poisson, transformée d'Abel

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(, % Mathématiques 1

"à «
_/ PC

EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Le problème se propose d'étudier par diverses méthodes une intégrale dépendant 
d'un paramètre. Cette intégrale
provient de l'étude du << noyau de Poisson >>

z+-->Re(l+Z)

1 -- z
défini sur le disque unité ouvert du plan complexe. Elle permet d'établir un 
lien entre séries entières et séries
de Fourier.

Les sous-parties III.B, III.C et III.D donnent des méthodes différentes en vue 
d'un même résultat. Elles
doivent être traitées comme indépendantes entre elles.

On utilise les notations habituelles pour les ensembles N , Z, R et C.

I Règle de convergence d'Abel

I.A -- Soit (an)neN* une suite réelle décroissante qui converge vers 0, et 
(bn)nEURN* une suite complexe telle
que la suite (Bn)neN* définie pour tout H E N* par B,, : 191 + - - - + b,, est 
bornée.

I.A.1) Montrer que, pour tout entier n > 2,

n n--1
î: akbk = Clan + Z(% -- ak+1)Bkz
Iç=1 k=1

I.A.2) En déduire que la série z a,,bn converge.

I.A.3) Application

EUR177.0

Montrer que, pour tout 9 E R \ 27rZ, la série Z
7121

sin noe
I .B -- On considère la série de fonctions 2 ( )

7121 \/H

I.B.1) Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur R.

converge.

, où 96 est une variable réelle.

I.B.2) Montrer qu'elle ne peut pas être la série de Fourier d'une fonction 
27r--périodique continue par mor--
ceaux.

On pourra commencer par rappeler la formule de Parseval.

I. C' -- Soit 19 la fonction de R dans R définie par

_+ cos(noe)

I.C.1) Montrer que p est bien définie, continue et 27r--périodique.

n=1

I.C.2) Déterminer la série de Fourier de p.
I.C.3) Montrer que la fonction 19 n'est pas de classe C1.

in9

II Étude de la série entière Z 6--32"
n

II.A -- Soit 9 E R.

EUR177.0 n
OE .

II.A.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière 2
n

II.A.2) Soit g la fonction de ]--1, ll dans @ définie par

+oo -
EUR1719

9(fIJ) = z

n=1

$

2013-04--16 14:28:45 Page 1/4 GC) BY-NC-SA

a) Montrer que g est de classe C1 sur ]--1,1[ et que, pour tout 515 EUR ]--1,1[,

ele--oe

oe2 --2oecos9+1

9'(OE) =
b) Montrer que, si 35 EUR ]--1,1[,

1 oesin9
=__1 2_2 1 ° _
Mac) 2 n(oe oecos9 + )+1 arctan (1 _ oecos9)

est bien défini et que h(oe) : g(oe).

II.B -- Soit 9 E R \ 27rZ.
II.B.1) Montrer que, pour tout H E N*,

" "39 1 . 1-- e19t "
0

k 1--ë%
k=1

+OO eik0 1 619
2 k 0 1 -- e19t

k:=1

II.B.2) En déduire que

On pourra utiliser le théorème de convergence dominée.
II.B.3) En déduire que
+00 eik9

k
k=1

1 ° 9
= _5 ln(2 -- 200s9) +i arctan(ä)

II.B.4) Montrer que, pour tout 9 EUR ]0, 7r[,

+Î sin(k9) _ 7r -- 9
k 2

k=1
7r--9
2 .

II.C -- Soit 7° : R --> R, une fonction 27r--périodique, impaire, telle que V9 
EUR ]0, 7r], 7°(9) :

II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de r.

II.C.2) Déterminer la série de Fourier de 7".

+00 1 7r2

II.C.3) En déduire que _ = --.
% (271 + 1)2 8

III Calcul de / ln(a:2 -- 2513 cos9 + 1) 019
0

III.A -- Intégrales impropres
III.A.1) Montrer que si 35 est un réel différent de 1 et de --1, alors 5152 -- 
2oe cos9 + 1 > 0 pour tout 9 E R.

III.A.2) Étudier la convergence des intégrales impropres
/ ln(sin @) d9 / ln(1 -- cos 9) d6' / ln(1 + cos @) dB
0 0 0

En déduire que, pour tout 515 E R, l'intégrale / ln(ac2 -- 2oe cos9 + 1) d9 
converge.
0

III.A.3) Montrer que, quand oe tend vers +oo,
27rln(oe) --/ ln(ac2 -- 2515 cos9 + 1) dB
0

admet une limite, que l'on déterminera.

III.A.4) Montrer que 515 i--> / ln(ac2 -- 2oe cos9 + 1) d9 est une fonction 
paire de la variable 35 E R.
0

2013-04--16 14:28:45 Page 2/4 @C) BY-NC-SA

III.B -- Première méthode de calcul : séries de Fourier
III.B.1) Soit 515 EUR ]--1,1[.
Déterminer la série de Fourier de la fonction fi : R --> R définie par Îi(9) : 
ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1).

On pourra utiliser le résultat de la question II.A.2.

III.B.2) En déduire que, pour tout 515 EUR ]--1,1[, on a / ln(ac2 -- 2oe cosô' 
+ 1) d9 : O.
0

En déduire la valeur de / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) d9 dans le cas ioe} > 1.
0

7T/2
III.B.3) Montrer que l'intégrale impropre / ln(cos @) d9 converge.
0
7T/2

III.B.4) Montrer que] ln(sin 9)d9 : 2/
0

7T/2
ln(sin @) d6' : 2/ ln(cos @) dB.
0 0

III.B.5) En déduire que / ln(sin 9) d9 : --7r ln 2.
0

III.B.6) En déduire que / ln(2 -- 2cos @) d9 : / ln(2 + 2cos @) d9 : O.
0 0

III.C -- Une deuoeième méthode : intégrale dépendant d'un paramètre
Soit f la fonction de R dans R définie par f(oe) : / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) 
dB.
0

III.C.1) Montrer que f est dérivable sur R \ {--1, 1} et que

2oe--2cosô'
oe2 --2oecosô'+ 1

Vac @ R\{--L1} f'<æ> = /
0
III.C.2) En déduire que Vac E R \ {--1, 1}

/ _ +oo (oe+1)t2+(oe--1)
f ... _ 4/0 (($ + 1)2t2 + (:D -- 1)2)(752 + 1)dt

III.C.3) En déduire que

f(OE) : {27rln(ioei) si ioe} > 1

0 si}oei<1 1 T -- 1 On déterminera d'abord des coefficients A et B fonctions de 95 tels que ((æ +(1î2Ë13-- (oe+_(Î)2)(à" + 1) = A + B t t T E R t | f t' ' t défn'es -- our ou e ue ces rac ions sooen | | . (ac+1)2T+(ac--1)2 T+1p q III.C.4) Montrer que f est continue sur R et que f(1) : f(--1) : 0. On pourra montrer que Vac E R, 952 -- 295 cosé' + 1 ; sin2 9 et utiliser le théorème de la convergence dominée. III.D -- Troisième méthode : racines de l'unité III.B.1) Montrer que Vac E R \ {--1, 1} 27r 2 n 2k' / ln(ac2 -- 2515 cosô' + 1) d6' : lim (W Z ln (oe2 -- 2515 cos --7T + 1)) 0 n-->+oo n n

k=1

III.B.2) Montrer que, pour tout 515 E R et pour tout n E N*,

77;
2h
(oe" -- 1)2 = H (352 -- 2oecos --7T + 1)
n
k=1

III.D.3) En déduire que

47rln(ioei) si ioe} > 1

27T
2 -- =
/0 ln(oe 2oecosô' + 1)d9 {0 si M < 1 III.D.4) En déduire / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) dû pour 515 E R \ {--1, 1}. 0 2013-04--16 14:28:45 Page 3/4 @C) BY-NC-SA III.D.5) Montrer que Vac E R et Vn E N* n--1 n--1 H(oe2 --2accos2kÎ7T +1) : (Zoek)2 k=1 k=O n--1 k7r \/ñ III.D.6 M t ' -- = . ) on rer que ,}:[1 sin 2 III.D.7) En déduire que n/2 ] 2 / ln(sin @) d9 : --7rn-- 0 Retrouver alors le résultat de la question III.B.6. IV Théorème de convergence radiale I V.A -- Soit (an),,eN une suite complexe. On suppose que la série Zan converge. Pour n E N, on note +OED n +OED T,, : î: ak et on définit les fonctions $,, et 3 de [O, 1] dans (C par $,,(æ) : Zakoek et s(oe) : Zakoek. k=n--i--1 k=0 k=0 IV.A.1) Justifier l'existence de s. IV.A.2) Soit 96 E [O, 1] et n E N*. Montrer +OED s(oe) -- $,,(æ) : rnoen+1 -- î: r;,(oek -- oek+1) k=n+1 IV.A.3) Montrer que 3 est continue sur [O, 1]. Pour la continuité en 1, fixer 5 > O et montrer que si l'entier naturel N 
vérifie [rn] < 5 pour tout n ; N, alors [s(oe) -- 3N(oe)[ < 25 pour tout 96 E [O, 1]. Majorer ensuite le module de s(oe) -- 3(1) : (8(OE) -- SN(OE)) + (SNCB) -- 8N(1))+(8N(1) -- 8(1))- IV.A.4) Application : retrouver le résultat de la question II.B.3. I V.B -- Soit 9 E R. Déterminer le développement en série entière de la fonction 1--962 F+ oe oe2--2oecos9+1 sur un intervalle que l'on précisera. I V.C -- Soit f : R --> R une fonction 27r--périodique et de classe C 1. On 
considère la série de Fourier de f en
cosinus et sinus, notée

00 + 2 (an cos(nt) + bn sin(nt))

n21
IV.C.1) Montrer que, pour tout 96 EUR ]--1,1[ et tout t E R,

+OED
. .. 1 % (1--oe2)f(U)
Co+îÏ(anoes)oe =ä 0 oe2_2oe008(t--u)+1

n=1

IV.C.2) En déduire que, pour tout t E R,

1 /27T (1 -- OE2)f(U)

t : l° --
f( ) oel>ril-- 27r OE2 -- 296 cos(t -- u) + 1

oooFINooo

2013-04--16 14:28:45 Page 4/4 GC) BY-NC-SA