Centrale Maths 1 PC 2013

Thème de l'épreuve Étude d'une intégrale dépendant d'un paramètre
Principaux outils utilisés séries entières, séries de Fourier, intégrales dépendant d'un paramètre
Mots clefs noyau de Poisson, intégrale de poisson, transformée d'Abel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, % Mathématiques 1 "à « _/ PC EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées 2013 Le problème se propose d'étudier par diverses méthodes une intégrale dépendant d'un paramètre. Cette intégrale provient de l'étude du << noyau de Poisson >> z+-->Re(l+Z) 1 -- z défini sur le disque unité ouvert du plan complexe. Elle permet d'établir un lien entre séries entières et séries de Fourier. Les sous-parties III.B, III.C et III.D donnent des méthodes différentes en vue d'un même résultat. Elles doivent être traitées comme indépendantes entre elles. On utilise les notations habituelles pour les ensembles N , Z, R et C. I Règle de convergence d'Abel I.A -- Soit (an)neN* une suite réelle décroissante qui converge vers 0, et (bn)nEURN* une suite complexe telle que la suite (Bn)neN* définie pour tout H E N* par B,, : 191 + - - - + b,, est bornée. I.A.1) Montrer que, pour tout entier n > 2, n n--1 î: akbk = Clan + Z(% -- ak+1)Bkz Iç=1 k=1 I.A.2) En déduire que la série z a,,bn converge. I.A.3) Application EUR177.0 Montrer que, pour tout 9 E R \ 27rZ, la série Z 7121 sin noe I .B -- On considère la série de fonctions 2 ( ) 7121 \/H I.B.1) Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur R. converge. , où 96 est une variable réelle. I.B.2) Montrer qu'elle ne peut pas être la série de Fourier d'une fonction 27r--périodique continue par mor-- ceaux. On pourra commencer par rappeler la formule de Parseval. I. C' -- Soit 19 la fonction de R dans R définie par _+ cos(noe) I.C.1) Montrer que p est bien définie, continue et 27r--périodique. n=1 I.C.2) Déterminer la série de Fourier de p. I.C.3) Montrer que la fonction 19 n'est pas de classe C1. in9 II Étude de la série entière Z 6--32" n II.A -- Soit 9 E R. EUR177.0 n OE . II.A.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière 2 n II.A.2) Soit g la fonction de ]--1, ll dans @ définie par +oo - EUR1719 9(fIJ) = z n=1 $ 2013-04--16 14:28:45 Page 1/4 GC) BY-NC-SA a) Montrer que g est de classe C1 sur ]--1,1[ et que, pour tout 515 EUR ]--1,1[, ele--oe oe2 --2oecos9+1 9'(OE) = b) Montrer que, si 35 EUR ]--1,1[, 1 oesin9 =__1 2_2 1 ° _ Mac) 2 n(oe oecos9 + )+1 arctan (1 _ oecos9) est bien défini et que h(oe) : g(oe). II.B -- Soit 9 E R \ 27rZ. II.B.1) Montrer que, pour tout H E N*, " "39 1 . 1-- e19t " 0 k 1--ë% k=1 +OO eik0 1 619 2 k 0 1 -- e19t k:=1 II.B.2) En déduire que On pourra utiliser le théorème de convergence dominée. II.B.3) En déduire que +00 eik9 k k=1 1 ° 9 = _5 ln(2 -- 200s9) +i arctan(ä) II.B.4) Montrer que, pour tout 9 EUR ]0, 7r[, +Î sin(k9) _ 7r -- 9 k 2 k=1 7r--9 2 . II.C -- Soit 7° : R --> R, une fonction 27r--périodique, impaire, telle que V9 EUR ]0, 7r], 7°(9) : II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de r. II.C.2) Déterminer la série de Fourier de 7". +00 1 7r2 II.C.3) En déduire que _ = --. % (271 + 1)2 8 III Calcul de / ln(a:2 -- 2513 cos9 + 1) 019 0 III.A -- Intégrales impropres III.A.1) Montrer que si 35 est un réel différent de 1 et de --1, alors 5152 -- 2oe cos9 + 1 > 0 pour tout 9 E R. III.A.2) Étudier la convergence des intégrales impropres / ln(sin @) d9 / ln(1 -- cos 9) d6' / ln(1 + cos @) dB 0 0 0 En déduire que, pour tout 515 E R, l'intégrale / ln(ac2 -- 2oe cos9 + 1) d9 converge. 0 III.A.3) Montrer que, quand oe tend vers +oo, 27rln(oe) --/ ln(ac2 -- 2515 cos9 + 1) dB 0 admet une limite, que l'on déterminera. III.A.4) Montrer que 515 i--> / ln(ac2 -- 2oe cos9 + 1) d9 est une fonction paire de la variable 35 E R. 0 2013-04--16 14:28:45 Page 2/4 @C) BY-NC-SA III.B -- Première méthode de calcul : séries de Fourier III.B.1) Soit 515 EUR ]--1,1[. Déterminer la série de Fourier de la fonction fi : R --> R définie par Îi(9) : ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1). On pourra utiliser le résultat de la question II.A.2. III.B.2) En déduire que, pour tout 515 EUR ]--1,1[, on a / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) d9 : O. 0 En déduire la valeur de / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) d9 dans le cas ioe} > 1. 0 7T/2 III.B.3) Montrer que l'intégrale impropre / ln(cos @) d9 converge. 0 7T/2 III.B.4) Montrer que] ln(sin 9)d9 : 2/ 0 7T/2 ln(sin @) d6' : 2/ ln(cos @) dB. 0 0 III.B.5) En déduire que / ln(sin 9) d9 : --7r ln 2. 0 III.B.6) En déduire que / ln(2 -- 2cos @) d9 : / ln(2 + 2cos @) d9 : O. 0 0 III.C -- Une deuoeième méthode : intégrale dépendant d'un paramètre Soit f la fonction de R dans R définie par f(oe) : / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) dB. 0 III.C.1) Montrer que f est dérivable sur R \ {--1, 1} et que 2oe--2cosô' oe2 --2oecosô'+ 1 Vac @ R\{--L1} f'<æ> = / 0 III.C.2) En déduire que Vac E R \ {--1, 1} / _ +oo (oe+1)t2+(oe--1) f ... _ 4/0 (($ + 1)2t2 + (:D -- 1)2)(752 + 1)dt III.C.3) En déduire que f(OE) : {27rln(ioei) si ioe} > 1 0 si}oei<1 1 T -- 1 On déterminera d'abord des coefficients A et B fonctions de 95 tels que ((æ +(1î2Ë13-- (oe+_(Î)2)(à" + 1) = A + B t t T E R t | f t' ' t défn'es -- our ou e ue ces rac ions sooen | | . (ac+1)2T+(ac--1)2 T+1p q III.C.4) Montrer que f est continue sur R et que f(1) : f(--1) : 0. On pourra montrer que Vac E R, 952 -- 295 cosé' + 1 ; sin2 9 et utiliser le théorème de la convergence dominée. III.D -- Troisième méthode : racines de l'unité III.B.1) Montrer que Vac E R \ {--1, 1} 27r 2 n 2k' / ln(ac2 -- 2515 cosô' + 1) d6' : lim (W Z ln (oe2 -- 2515 cos --7T + 1)) 0 n-->+oo n n k=1 III.B.2) Montrer que, pour tout 515 E R et pour tout n E N*, 77; 2h (oe" -- 1)2 = H (352 -- 2oecos --7T + 1) n k=1 III.D.3) En déduire que 47rln(ioei) si ioe} > 1 27T 2 -- = /0 ln(oe 2oecosô' + 1)d9 {0 si M < 1 III.D.4) En déduire / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) dû pour 515 E R \ {--1, 1}. 0 2013-04--16 14:28:45 Page 3/4 @C) BY-NC-SA III.D.5) Montrer que Vac E R et Vn E N* n--1 n--1 H(oe2 --2accos2kÎ7T +1) : (Zoek)2 k=1 k=O n--1 k7r \/ñ III.D.6 M t ' -- = . ) on rer que ,}:[1 sin 2 III.D.7) En déduire que n/2 ] 2 / ln(sin @) d9 : --7rn-- 0 Retrouver alors le résultat de la question III.B.6. IV Théorème de convergence radiale I V.A -- Soit (an),,eN une suite complexe. On suppose que la série Zan converge. Pour n E N, on note +OED n +OED T,, : î: ak et on définit les fonctions $,, et 3 de [O, 1] dans (C par $,,(æ) : Zakoek et s(oe) : Zakoek. k=n--i--1 k=0 k=0 IV.A.1) Justifier l'existence de s. IV.A.2) Soit 96 E [O, 1] et n E N*. Montrer +OED s(oe) -- $,,(æ) : rnoen+1 -- î: r;,(oek -- oek+1) k=n+1 IV.A.3) Montrer que 3 est continue sur [O, 1]. Pour la continuité en 1, fixer 5 > O et montrer que si l'entier naturel N vérifie [rn] < 5 pour tout n ; N, alors [s(oe) -- 3N(oe)[ < 25 pour tout 96 E [O, 1]. Majorer ensuite le module de s(oe) -- 3(1) : (8(OE) -- SN(OE)) + (SNCB) -- 8N(1))+(8N(1) -- 8(1))- IV.A.4) Application : retrouver le résultat de la question II.B.3. I V.B -- Soit 9 E R. Déterminer le développement en série entière de la fonction 1--962 F+ oe oe2--2oecos9+1 sur un intervalle que l'on précisera. I V.C -- Soit f : R --> R une fonction 27r--périodique et de classe C 1. On considère la série de Fourier de f en cosinus et sinus, notée 00 + 2 (an cos(nt) + bn sin(nt)) n21 IV.C.1) Montrer que, pour tout 96 EUR ]--1,1[ et tout t E R, +OED . .. 1 % (1--oe2)f(U) Co+îÏ(anoes)oe =ä 0 oe2_2oe008(t--u)+1 n=1 IV.C.2) En déduire que, pour tout t E R, 1 /27T (1 -- OE2)f(U) t : l° -- f( ) oel>ril-- 27r OE2 -- 296 cos(t -- u) + 1 oooFINooo 2013-04--16 14:28:45 Page 4/4 GC) BY-NC-SA

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 Centrale Maths 1 PC 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pauline Tan (ENS Cachan) ; il a été relu par Samuel Baumard (ENS Ulm) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Cette épreuve porte principalement sur l'étude de l'intégrale dépendant d'un paramètre, appelée intégrale de Poisson, Z ln(x2 - 2 x cos + 1) d 0 pour laquelle on propose trois méthodes de calcul différentes. · La première partie commence par établir la P règle de convergence d'Abel, qui permet de prouver la convergence de la série e i n /n. Ce résultat sera utilisé à plusieurs reprises par la suite. Il est suivi de deux exercices d'application. P · La deuxième partie est consacrée à l'étude de la série entière e i n xn /n, dont on exprime la somme g à l'aide de fonctions usuelles, notamment g(1). · La troisième partie de ce problème met en oeuvre trois méthodes pour calculer l'intégrale de Poisson, avec successivement des séries de Fourier, une intégrale dépendant d'un paramètre puis les racines de l'unité. · Enfin, une quatrième partie établit le théorème de convergence radiale et propose deux exercices d'application. Ce théorème établit la continuité P P en 1 de la somme d'une série entière an xn de rayon 1 telle que la série an converge. Ce sujet couvre une large partie du programme d'analyse de deuxième année, puisque sont utilisés les résultats concernant les séries de fonctions, les séries de Fourier et les séries entières, mais aussi les intégrales dépendant d'un paramètre et les intégrales impropres. Il nécessite par ailleurs une bonne maîtrise des formules de trigonométrie et des changements de variable. C'est un problème relativement long mais bien balisé. En particulier, les titres des parties et des sous-parties guidaient le candidat sur les connaissances à mobiliser. Toutefois, la progression n'est pas linéaire : certains résultats ne sont que des applications de résultats préliminaires et ne sont pas réutilisés par la suite. En outre, le même résultat est démontré dans trois sous-parties indépendantes, ce qui pouvait surprendre, voire désorienter. Indications I Règle de convergence d'Abel I.A.2 Utiliser le fait qu'une série absolument convergente est convergente. I.B.1 Écrire sin comme une somme d'exponentielles complexes. I.C.1 Remarquer la convergence normale sur R de la série. I.C.3 Raisonner par l'absurde en appliquant le théorème de Parseval à la dérivée de p. II Étude de la série entière P e i n xn n II.A.2.b Montrer que h et g coïncident sur ] -1 ; 1 [. II.B.1 Reconnaître dans l'intégrale la somme des premiers termes d'une suite géométrique. II.B.3 Reconnaître dans l'intégrale du résultat de la question II.A.2.b l'expression de g . II.B.4 Voir le sinus comme une partie imaginaire. II.C.3 Appliquer le théorème de Parseval puis séparer les termes pairs et les termes P impairs dans 1/n2 . III Calcul de Z ln(x2 - 2 x cos + 1) d 0 III.A.3 Écrire la différence sous forme d'une intégrale puis encadrer cette intégrale. III.B.2 Pour le cas où |x| > 1, factoriser par x2 dans le logarithme et se ramener au cas précédent. III.B.6 Commencer par prouver la première égalité (grâce la question II.A.4) puis démontrer que la somme est nulle. III.C.2 Effectuer le changement de variable t = tan(/2). III.C.3 Réduire au même dénominateur puis multiplier toute l'égalité par ce dénominateur pour ramener le problème à une décomposition dans une base de C1 [X]. III.C.4 Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité. Pour appliquer le théorème de convergence dominée, distinguer le cas où on peut utiliser l'indication de l'énoncé et le cas où on peut majorer par une constante. III.D.1 Reconnaître une somme de Riemann. III.D.2 Faire apparaître les racines n-ièmes de l'unité en factorisant les polynômes du second degré. III.D.4 Utiliser la question III.D.2 pour x 6= 1 et conclure par continuité. III.D.6 Utiliser la question III.D.5 avec x = 1. Exprimer alors sin(4) en fonction de sin et de cos puis établir que n-1 n-1 Q Q k k sin = cos 2n 2n k=1 k=1 pour pouvoir utiliser la question III.D.4. III.D.7 Écrire pour tout entier n N et pour tout k [[ 1 ; n - 1 ]] un encadrement de l'intégrale Z (k+1)/(2n) ln(sin ) d k/(2n) IV Théorème de convergence radiale IV.A.2 Remarquer que ak = rk-1 - rk pour tout k > 1. IV.A.4 Appliquer le résultat de la question IV.A.3 à la suite (e i n /n)nN . IV.B Factoriser le dénominateur pour utiliser les développements en série entière des fonctions usuelles. IV.C.1 Utiliser le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions normalement convergente. IV.C.2 Appliquer le résultat démontré à la question IV.A.3 en utilisant le théorème de Dirichlet. I. Règle de convergence d'Abel I.A.1 On remarque que B1 = b1 et que bk = Bk - Bk-1 pour tout k > 2. Il en résulte que, pour tout n > 2, n n P P ak b k = a1 b 1 + ak b k k=1 k=2 n P = a1 B 1 + = a1 B 1 + ak (Bk - Bk-1 ) k=2 n P ak B k - k=2 = a1 B 1 + n P n P ak B k - k=1 = ak B k - n P ak+1 Bk n-1 P ak+1 Bk k=1 n-1 P ak B k + an B n - ak b k = an B n + k=1 n-1 P k=1 k=1 soit ak Bk-1 k=2 k=2 = n P n-1 P ak+1 Bk k=1 n-1 P (ak - ak+1 ) Bk k=1 La transformation d'Abel peut être rapprochée de l'intégration par parties. En effet, l'analogue discret de l'intégration est la sommation, tandis que la dérivation est discrétisée comme une différence finie. Ainsi, par exemple, pour calculer l'intégrale sur un segment [ 0 ; X ] d'un produit de fonctions f g définies sur cet intervalle (avec f supposée dérivable), l'intégration par parties consiste à évaluer le produit de la fonction f avec une primitive G de la fonction g aux bornes 0 et X dans un crochet d'intégration et à soustraire l'intégrale sur [ 0 ; X ] du produit f G : Z X Z X f (t) g(t) dt = f (X) G(X) - f (0) G(0) - f (t) G(t) dt 0 0 où une primitive G et la dérivée f peuvent s'écrire, pour tout x [ 0 ; X ], Z x f (x + h) - f (x) G(x) = g(t) dt et f (x) = lim h>0 h 0 h0 La transformation d'Abel réalise l'opération analogue pour les suites. La suite (an )nN devient (an+1 - an )nN (ce qui correspond à une discrétisation de la dérivation avec un pas h = 1) tandis que la suite (bn )nN est sommée pour obtenir (Bn )nN avec Bn = b1 +· · ·+bn pour tout n > 1 (noter l'analogie avec l'expression de G). En posant a0 = b0 = B0 = 0, le résultat démontré à la question I.A.1 devient n P ak B k = an B n - a0 B 0 - k=0 n-1 P (ak+1 - ak ) Bk k=0 ce qui est, au décalage des bornes supérieures des sommes près, la formulation discrète de l'intégration par parties.