Centrale Maths 1 PC 2012

Thème de l'épreuve Approximation de fonctions et un théorème de Hardy-Littlewood
Principaux outils utilisés approximation uniforme de fonctions, polynômes, séries entières, limites
Mots clefs approximation uniforme, étude de fonctions, polynômes de Bernstein, théorème de Hardy-Littlewood

Corrigé

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PC 4 heures Calculatrices autorisées 2012 Mathématiques 1 3 4 n Si n et k sont deux entiers naturels, on note le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments. k I Approximation I.A ­ Quelques calculs préliminaires Dans cette sous-partie, x est un nombre réel et n est un entier naturel. n 3 4 Ø n k I.A.1) Montrer que x (1 - x)n-k = 1. k k=0 3 4 n Ø n k I.A.2) Montrer que k x (1 - x)n-k = nx. k k=0 3 4 n Ø n k I.A.3) Montrer que k(k - 1) x (1 - x)n-k = n(n - 1)x2 . k k=0 I.A.4) Déduire des questions précédentes que 42 3 4 n 3 Ø x(1 - x) n k k . x (1 - x)n-k = x- n n k k=0 I.B ­ Étude de S(x) Soit n N et x [0, 1]. Le but de cette sous-partie est de majorer la somme -3 4 n Ø k -- n k n-k S(x) = . -x - n - k x (1 - x) k=0 I.B.1) Majoration de S(x) : première méthode On note 1 k- V l'ensemble des entiers k {0, . . . , n} tels que --x - -- 6 , n n k 1 - W l'ensemble des entiers k {0, . . . , n} tels que --x - -- > , n n et on pose -3 4 -3 4 Ø -Ø -k -- n k k -- n k n-k n-k et SW (x) = . SV (x) = -x - n - k x (1 - x) -x - n - k x (1 - x) kW kV 1 a) Montrer que SV (x) 6 . n x(1 - x) . b) Montrer que SW (x) 6 n 5 c) En déduire que S(x) 6 . 4 n I.B.2) Majoration de S(x) : seconde méthode a) Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace Rn+1 muni de son produit scalaire canonique. 1 b) À l'aide de la question I.A.4, en déduire que S(x) 6 . 2 n 2 avril 2012 16:58 Page 1/4 I.C ­ Application à l'approximation uniforme Dans cette sous-partie, on note C l'espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans R. On munit C de la norme de la borne supérieure, notée ë ë : f C, ëf ë = sup |f (x)|. x[0,1] Pour f C et n N , on définit le n-ième polynôme de Bernstein de f , noté Bn (f ), en posant, pour tout x [0, 1] n 1 k 2 3n 4 Ø xk (1 - x)n-k . Bn (f )(x) = f n k k=0 Le but de cette sous-partie est d'étudier ëBn (f ) - f ë lorsque f est un élément de C vérifiant une hypothèse additionnelle. I.C.1) Un exemple Si f (x) = x2 pour tout x [0, 1], déterminer, pour tout n N , le polynôme Bn (f ) et en déduire la valeur de ëBn (f ) - f ë . I.C.2) Soit f C. Montrer, pour tout x [0, 1], la relation n 1 1 2 2 3n 4 Ø k - f (x) xk (1 - x)n-k . Bn (f )(x) - f (x) = f n k k=0 I.C.3) a) Montrer que si f est -lipschitzienne, alors ëBn (f ) - f ë 6 pour tout entier n > 1. 2 n c b) En déduire que si f est de classe C 1 , alors il existe un réel c tel que, pour tout n N , ëBn (f ) - f ë 6 . n 1 c) Étendre le résultat précédent au cas où f est une fonction continue, de classe C par morceaux. I.C.4) Soit f : [0, 1] R une fonction continue, C 1 par morceaux. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel r > 0, il existe un polynôme P à coefficients réels tel que x [0, 1], f (x) - r 6 P (x) 6 f (x) + r. II Un théorème de Hardy-Littlewood Soit (an )n>0 une suite réelle. On suppose que la série entière associée Ra = 1 et que la somme f de cette série, définie par x ]-1, 1[ f (x) = + Ø Ø an xn admet pour rayon de convergence an xn n=0 vérifie f (x) On note 1 1-x An = n Ø quand x 1, x < 1. et ak k=0 å an = (II.1) An . n+1 Ainsi, å an est la moyenne arithmétique des nombres a0 , . . . , an . Le but de cette partie est d'étudier le comportement des an lorsque n tend vers l'infini. On s'intéresse en particulier aux deux propriétés suivantes : lim an = 1 (II.2) lim å an = 1 (II.3) n et n II.A ­ L'hypothèse II.1 n'entraîne pas la propriété II.2 II.A.1) Déterminer une suite réelle (bn )n>0 telle que x ]-1, 1[, + Ø 1 = bn xn . 1 - x2 n=0 II.A.2) En déduire un exemple de suite (an )n>0 vérifiant II.1 mais ne convergeant pas vers 1. 2 avril 2012 16:58 Page 2/4 II.B ­ L'hypothèse II.1 n'entraîne pas la propriété II.3 1 ainsi que son rayon de conver(1 - t)2 gence. Préciser si la série converge aux bornes de l'intervalle de convergence. 1 1 et : x Ô . Déterminer des suites II.B.2) On considère les fonctions : x Ô (1 - x2 )2 (1 + x)2 (1 - x) (un )nN et (vn )nN telles que, pour tout x ]-1, 1[, II.B.1) Donner le développement en série entière de la fonction t Ô (x) = + Ø un xn et (x) = + Ø vn xn . n=0 n=0 On explicitera en fonction de n, suivant la parité de n, les réels un et vn . II.B.3) Calculer vån (moyenne arithmétique des nombres v0 , . . . , vn ). II.B.4) Construire à l'aide de un exemple de suite (an )n>0 vérifiant II.1 mais ne vérifiant pas la propriété II.3. Jusqu'à la fin de cette partie, on continue de supposer II.1 et on fait l'hypothèse supplémentaire : n N, an > 0. (II.4) L'objectif principal, après quelques observations concernant la suite (å an )n>0 , est de démontrer la propriété II.3 (théorème de Hardy et Littlewood). II.C ­ Majoration de la suite (å an )n>0 II.C.1) Pour tout x [0, 1[ et tout n N, montrer que f (x) > An xn . II.C.2) Montrer l'existence d'un entier N > 0 tel que n > N, f (e-1/n ) 6 2 . 1 - e-1/n II.C.3) En déduire que la suite (å an )n>0 est majorée. II.D ­ Minoration, à partir d'un certain rang, de (å an )n>0 par un réel > 0 On désigne par µ > 0 un majorant de la suite (å an )n>0 : n N, å an 6 µ. + Ø II.D.1) a) Pour tout x ]-1, 1[, montrer que (1 - x) Ak xk = f (x). k=0 b) En déduire que pour tout x [0, 1[ et tout N N + Ø f (x) 1 - xN (k + 1)xk . 6 AN -1 +µ 1-x 1-x k=N c) En déduire que pour tout x [0, 1[ et tout N N 4 3 xN +1 . f (x) 6 AN -1 + µ (N + 1)xN + 1-x II.D.2) Soit un réel strictement positif. a) Montrer qu'il existe un entier N0 > 0 tel que pour tout N > N0 , f (e-/N ) > 1 N > . 2 2(1 - e-/N ) b) Montrer que pour tout N > N0 å aN -1 1 > - µe- 2 A 1 1 1+ + e-/N N N (1 - e-/N ) B . c) Déterminer en fonction de la limite, quand N tend vers l'infini, du membre de droite dans l'inégalité précédente. d) Montrer qu'il existe un réel > 0 tel que cette limite soit strictement positive. II.D.3) Conclure qu'il existe un réel > 0 tel qu'à partir d'un certain rang on ait å an > . 2 avril 2012 16:58 Page 3/4 II.E ­ Démonstration de la propriété II.3, due à Karamata Soit g : [0, 1] R la fonction telle que g(x) = 1/x si x > e-1 et g(x) = 0 sinon. On fixe un réel ]0, e-1 [. On définit deux applications continues g + , g - : [0, 1] R ainsi : - g + est affine sur [e-1 - , e-1 ] et coïncide avec g sur [0, e-1 - ] [e-1 , 1] ; - g - est affine sur [e-1 , e-1 + ] et coïncide avec g sur [0, e-1 [ [e-1 + , 1]. Pour tout entier N > 0 on pose xN = e-1/N . On rappelle que dans cette sous-partie, on fait les hypothèses II.1 et II.4 Ú 1 Ú 1 II.E.1) Calculer g + (t) dt et g - (t) dt. 0 0 II.E.2) Soit P un polynôme à coefficients réels. Montrer que (1 - x) + Ø Ú an xn P (xn ) - n=0 x1 x<1 1 P (t) dt. 0 On considérera d'abord le cas particulier P (x) = xk , où k N. II.E.3) Établir l'existence de deux polynômes P , Q à coefficients réels tels que : x [0, 1], g - (x) - 6 P (x) 6 g(x) 6 Q(x) 6 g + (x) + . II.E.4) Établir l'existence d'un entier N1 > 0 tel que pour tout entier N > N1 , Ú 1 + Ø P (t) dt - (1 - xN ) an xnN P (xnN ) > 0 n=0 et (1 - xN ) + Ø an xnN Q(xnN ) 6 Ú 1 Q(t) dt + . 0 n=0 II.E.5) Déduire des trois questions précédentes que pour tout entier N > N1 1 - 5 6 (1 - xN )AN 6 1 + 5. II.E.6) Conclure. · · · FIN · · · 2 avril 2012 16:58 Page 4/4

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 Centrale Maths 1 PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Ce sujet d'analyse se compose de deux parties traitant de sujets différents et globalement indépendants. Une seule question de la première partie est réutilisée dans la seconde. · La première partie, très classique, traite de l'approximation uniforme des fonctions continues et de classe C 1 par morceaux par les polynômes de Bernstein. · La seconde partie, plus originale, aborde un théorème d'Hardy-Littlewood. P On considère une suite réelle (an )n>0 dont la série entière associée an xn admet 1 comme rayon de convergence et dont la somme f , définie sur ] -1 ; 1 [, admet au voisinage de 1 l'équivalent f (x) x1 1 x<1 1 -x On démontre dans un premier temps que cette propriété n'entraîne pas la convergence de la suite (an )n>0 vers 1 en explicitant un contre-exemple. On peut en effet se poser la question car la fonction x 7 1/(1 - x) est développable en série entière sur ] -1 ; 1 [ et la suite réelle (bn )n>0 associée à ce développement en série entière est constante égale à 1. On montre ensuite de la même manière que cette propriété n'entraîne pas non plus la convergence vers 1 de nla suite des moyennes de Cesàro de la 1 P suite (an )n>0 , c'est-à-dire . Ce critère est plus faible que ak n + 1 k=0 n>0 celui de la convergence de la suite (an )n>0 . En effet si la suite (an ) tend vers une limite réelle , alors la suite des moyennes de Cesàro de la suite converge également vers . Puis on ajoute une hypothèse supplémentaire sur la suite (an )n>0 : tous ses termes sont positifs. On démontre que la suite des moyennes de Cesàro est alors majorée, puis qu'elle est minorée par un réel strictement positif. Enfin, on montre que la suite des moyennes de Cesàro de la suite (an )n>0 converge vers 1 à l'aide de fonctions auxiliaires que l'on encadre par des polynômes. Il s'agit donc d'un sujet très riche qui aborde plusieurs thèmes d'analyse, des questions de majoration et de minoration de sommes, d'approximation, de calculs autour des séries entières, des équivalents de fonctions. Il constitue un bon entraînement sur ces sujets dans la perspective des concours. Indications n n-1 I.A.2 Penser à la relation k =n pour k et n deux entiers avec k 6 n. k k-1 n n-2 I.A.3 Utiliser l'égalité k(k - 1) = n(n - 1) pour deux entiers k 6 n. k k-2 I.A.4 Remarquer que k 2 = k(k - 1) + k pour pouvoir appliquer les résultats des questions précédentes. k I.B.1.b Utiliser l'inégalité t 6 t2 pour les réels t > 1 en l'appliquant à t = n x - n pour l'entier k dans W. I.B.1.c Appliquer les deux questions précédentes et étudier le maximum de la fonction w : x 7 1 + x(1 - x) définie sur [ 0 ; 1 ]. I.B.2.b Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs s s ! ! k n k n k n-k n-k x- x (1 - x) et x (1 - x) k k n 06k6n 06k6n puis utiliser les résultats des sections I.A.1 et I.A.4. I.C.1 S'inspirer de la question I.A.4 pour les calculs. I.C.2 Penser à la question I.A.1 en écrivant f (x) = f (x) × 1. I.C.3.a Après avoir utilisé la propriété de la fonction -lipschitzienne, retrouver l'expression étudiée à la question I.B et le résultat de cette question pour obtenir le résultat voulu. I.C.3.b Montrer que la fonction f est -lipschitzienne où = Sup |f | puis utiliser [ 0 ;1 ] la question précédente. I.C.3.c Montrer, en revenant à la définition et en utilisant la question précédente, qu'une fonction continue, de classe C 1 par morceaux est nécessairement lipschitzienne. Utiliser ensuite la question I.C.3.a. I.C.4 Utiliser la question précédente en choisissant n suffisamment grand. II.A.1 Se servir du développement en série entière de la fonction x 7 1/(1 - x) en l'appliquant à x2 . II.A.2 Utiliser la factorisation (1-x2 ) = (1-x)(1+x) pour construire à partir de la fonction x 7 1/(1 - x2 ) une fonction équivalente à la fonction x 7 1/(1 - x) lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures. II.B.1 Déduire le développement en série entière de la fonction t 7 1/(1 - t)2 de celui de la fonction t 7 1/(1 - t). II.B.2 Exprimer les fonctions et à l'aide de la fonction utilisée à la question II.B.1 et utiliser le produit de Cauchy de deux fonctions développables en série entière. II.B.4 Construire, à partir de la fonction , une fonction équivalente à la fonction x 7 1/(1 - x) lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures. II.C.1 Remarquer que x [ 0 ; 1 [ et utiliser la propriété II.4. 0 6 k 6 n 0 6 xn 6 xk II.C.2 Appliquer la propriété II.1 à la suite (e -1/n )n>1 qui tend vers 1 en étant inférieure à 1 lorsque n tend vers +. II.C.3 Appliquer le résultat de la question II.C.1 aux réels e -1/n lorsque n est un entier naturel non nul. Puis, utiliser la question II.C.2 en divisant par n + 1 et utiliser l'équivalent de 1 - e -x lorsque x tend vers 0 pour conclure. II.D.1.b Utiliser le résultat de la question II.D.1.a et décomposer la somme suivant que l'entier k est inférieur à N - 1 ou supérieur à N. II.D.1.c Employer l'inégalité obtenue à la question II.D.1.b et la multiplier par (1-x). + P Majorer ensuite 1 - xN par 1 et calculer (1 - x) (k + 1)xk . k=N II.D.2.a Utiliser la définition de la limite de (1 - x)f (x) quand x tend vers 1 par valeurs inférieures en l'ayant composée avec la suite (e -/N )N>1 . Utiliser également la convexité de la fonction exponentielle et donc la position de la courbe au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 0. II.D.2.b Appliquer l'inégalité obtenue à la question II.D.1.c à l'entier N de N et au réel e -/N , puis utiliser la question II.D.1.a. II.D.2.d Trouver une inégalité, équivalente à la stricte positivité de la limite, dans laquelle le réel µ est d'un côté de l'inégalité et les de l'autre puis étudier une fonction pour en déduire le signe et conclure. II.D.3 Utiliser les résultats des questions II.D.2.c et II.D.2.d en revenant à la définition de la limite. II.E.1 Déterminer explicitement g + et g - avant de calculer les intégrales. II.E.2 Suivre l'indication de l'énoncé, exprimer la somme en fonction de f et utiliser l'équivalent de la fonction au voisinage de 1 par valeurs négatives. Conclure en revenant à l'écriture d'un polynôme comme combinaison linéaire de puissances de x. II.E.3 Appliquer le résultat de la question I.C.4 aux fonctions g - - /2 et g + + /2 avec le réel r = /2. II.E.4 Revenir aux définitions des limites en appliquant la question II.E.2 à la suite (xN )N>1 . II.E.5 Utiliser la question II.E.3 pour encadrer l'expression + (1 - xN ) P an xN n g(xN n ) n=0 par les sommes correspondant aux polynômes P et Q. Utiliser la question II.E.4 pour minorer la somme relative à P et majorer celle relative à Q. Mettre à profit les questions II.E.3 et II.E.1 pour minorer l'intégrale de P sur [ 0 ; 1 ] en fonction de celle de g - . Minorer ensuite cette intégrale en fonction de en utilisant l'inégalité x > -1 ln(1 + x) 6 x Procéder de même pour majorer l'intégrale de Q sur [ 0 ; 1 ] en fonction de . + P Enfin calculer (1 - xN ) an xN n g(xN n ) en revenant à la définition de la fonction g. n=0 I. Approximation I.A.1 Soient x un nombre réel et n un entier naturel. D'après la formule du binôme de Newton, n P n k n x (1 - x)n-k = (x + (1 - x)) = 1 k k=0 n n-1 I.A.2 Soient n N et k [[ 1 ; n ]]. Montrons tout d'abord que k =n . k k-1 En effet, n! n! n n-1 = =n k =k k k-1 k !(n - k) ! (k - 1) ! (n - 1 - (k - 1)) ! Ensuite, n P k=0 k n P n k n k k x (1 - x)n-k = x (1 - x)n-k k k k=1 En appliquant le résultat précédent, il vient n n P P n k n - 1 k-1 k x (1 - x)n-k = nx x (1 - x)n-1-(k-1) k k=0 k=1 k - 1 n-1 P n - 1 k = nx x (1 - x)n-1-k k k =0 où l'on a fait le changement d'indice k = k - 1 dans la dernière somme. En utilisant le résultat de la question I.A.1, on obtient finalement n P n k k x (1 - x)n-k = nx k k=0 Il est également possible de raisonner à l'aide de la fonction f définie sur R par n P n k x R f (x) = x (1 - x)n-k k=0 k Cette fonction est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables. On calcule alors sa dérivée par n n P P n k-1 n k n-k x R f (x) = k x (1-x) - (n-k) x (1-x)n-k-1 k k k=0 k=0 n P n k En posant pour tout réel x, g(x) = k x (1 - x)n-k , on obtient, en se k k=0 servant du résultat de la question I.A.1 : pour tout réel x différent de 1 n n P P n k n k xf (x) = g(x) - nx x (1 - x)n-k-1 + x k x (1 - x)n-k-1 k k=0 k k=0 nx x = g(x) - + g(x) 1-x 1-x 1 xf (x) = (g(x) - nx) 1-x