Centrale Maths 1 PC 2012

Thème de l'épreuve Approximation de fonctions et un théorème de Hardy-Littlewood
Principaux outils utilisés approximation uniforme de fonctions, polynômes, séries entières, limites
Mots clefs approximation uniforme, étude de fonctions, polynômes de Bernstein, théorème de Hardy-Littlewood

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PC
4 heures

Calculatrices autorisées

2012

Mathématiques 1

3 4
n
Si n et k sont deux entiers naturels, on note
le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments.
k

I Approximation
I.A ­
Quelques calculs préliminaires
Dans cette sous-partie, x est un nombre réel et n est un entier naturel.
n 3 4
Ø
n k
I.A.1) Montrer que
x (1 - x)n-k = 1.
k
k=0
3 4
n
Ø
n k
I.A.2) Montrer que
k
x (1 - x)n-k = nx.
k
k=0
3 4
n
Ø
n k
I.A.3) Montrer que
k(k - 1)
x (1 - x)n-k = n(n - 1)x2 .
k
k=0

I.A.4)

Déduire des questions précédentes que
42 3 4
n 3
Ø
x(1 - x)
n k
k
.
x (1 - x)n-k =
x-
n
n
k
k=0

I.B ­
Étude de S(x)
Soit n  N et x  [0, 1]. Le but de cette sous-partie est de majorer la somme
-3 4
n Ø
k -- n k
n-k
S(x) =
.
-x - n - k x (1 - x)
k=0

I.B.1) Majoration de S(x) : première méthode
On note
1
k- V l'ensemble des entiers k  {0, . . . , n} tels que --x - -- 6  ,
n
n
k
1
- W l'ensemble des entiers k  {0, . . . , n} tels que --x - -- >  ,
n
n
et on pose
-3 4
-3 4
Ø -Ø -k -- n k
k -- n k
n-k
n-k
et
SW (x) =
.
SV (x) =
-x - n - k x (1 - x)
-x - n - k x (1 - x)
kW

kV

1
a) Montrer que SV (x) 6  .
n
x(1 - x)

.
b) Montrer que SW (x) 6
n
5
c) En déduire que S(x) 6  .
4 n
I.B.2) Majoration de S(x) : seconde méthode

a) Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace Rn+1 muni de son produit 
scalaire canonique.
1
b) À l'aide de la question I.A.4, en déduire que S(x) 6  .
2 n

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I.C ­
Application à l'approximation uniforme
Dans cette sous-partie, on note C l'espace vectoriel des fonctions continues de 
[0, 1] dans R. On munit C de la
norme de la borne supérieure, notée ë ë :
f  C,

ëf ë = sup |f (x)|.
x[0,1]

Pour f  C et n  N , on définit le n-ième polynôme de Bernstein de f , noté Bn 
(f ), en posant, pour tout
x  [0, 1]
n
1 k 2 3n 4
Ø
xk (1 - x)n-k .
Bn (f )(x) =
f
n k

k=0

Le but de cette sous-partie est d'étudier ëBn (f ) - f ë lorsque f est un 
élément de C vérifiant une hypothèse
additionnelle.
I.C.1) Un exemple
Si f (x) = x2 pour tout x  [0, 1], déterminer, pour tout n  N , le polynôme Bn 
(f ) et en déduire la valeur de
ëBn (f ) - f ë .
I.C.2) Soit f  C. Montrer, pour tout x  [0, 1], la relation
n 1 1 2
2 3n 4
Ø
k
- f (x)
xk (1 - x)n-k .
Bn (f )(x) - f (x) =
f
n
k
k=0

I.C.3)

a) Montrer que si f est -lipschitzienne, alors ëBn (f ) - f ë 6  pour tout 
entier n > 1.
2 n

c
b) En déduire que si f est de classe C 1 , alors il existe un réel c tel que, 
pour tout n  N , ëBn (f ) - f ë 6  .
n
1
c) Étendre le résultat précédent au cas où f est une fonction continue, de 
classe C par morceaux.
I.C.4) Soit f : [0, 1]  R une fonction continue, C 1 par morceaux. Déduire de 
ce qui précède que, pour tout
réel r > 0, il existe un polynôme P à coefficients réels tel que x  [0, 1], f 
(x) - r 6 P (x) 6 f (x) + r.

II Un théorème de Hardy-Littlewood
Soit (an )n>0 une suite réelle. On suppose que la série entière associée
Ra = 1 et que la somme f de cette série, définie par
x  ]-1, 1[

f (x) =

+
Ø

Ø

an xn admet pour rayon de convergence

an xn

n=0

vérifie
f (x) 
On note

1
1-x

An =

n
Ø

quand x  1, x < 1. et ak k=0 å an = (II.1) An . n+1 Ainsi, å an est la moyenne arithmétique des nombres a0 , . . . , an . Le but de cette partie est d'étudier le comportement des an lorsque n tend vers l'infini. On s'intéresse en particulier aux deux propriétés suivantes : lim an = 1 (II.2) lim å an = 1 (II.3) n et n II.A ­ L'hypothèse II.1 n'entraîne pas la propriété II.2 II.A.1) Déterminer une suite réelle (bn )n>0 telle que
x  ]-1, 1[,

+
Ø
1
=
bn xn .
1 - x2
n=0

II.A.2) En déduire un exemple de suite (an )n>0 vérifiant II.1 mais ne 
convergeant pas vers 1.
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II.B ­

L'hypothèse II.1 n'entraîne pas la propriété II.3

1
ainsi que son rayon de conver(1 - t)2
gence. Préciser si la série converge aux bornes de l'intervalle de convergence.
1
1
et  : x Ô
. Déterminer des suites
II.B.2) On considère les fonctions  : x Ô
(1 - x2 )2
(1 + x)2 (1 - x)
(un )nN et (vn )nN telles que, pour tout x  ]-1, 1[,
II.B.1) Donner le développement en série entière de la fonction t Ô

(x) =

+
Ø

un xn

et

(x) =

+
Ø

vn xn .

n=0

n=0

On explicitera en fonction de n, suivant la parité de n, les réels un et vn .
II.B.3) Calculer vån (moyenne arithmétique des nombres v0 , . . . , vn ).

II.B.4) Construire à l'aide de  un exemple de suite (an )n>0 vérifiant II.1 
mais ne vérifiant pas la propriété II.3.

Jusqu'à la fin de cette partie, on continue de supposer II.1 et on fait 
l'hypothèse supplémentaire :
n  N, an > 0.

(II.4)

L'objectif principal, après quelques observations concernant la suite (å
an )n>0 , est de démontrer la propriété II.3
(théorème de Hardy et Littlewood).
II.C ­

Majoration de la suite (å
an )n>0

II.C.1) Pour tout x  [0, 1[ et tout n  N, montrer que f (x) > An xn .
II.C.2) Montrer l'existence d'un entier N > 0 tel que
n > N, f (e-1/n ) 6

2
.
1 - e-1/n

II.C.3) En déduire que la suite (å
an )n>0 est majorée.
II.D ­ Minoration, à partir d'un certain rang, de (å
an )n>0 par un réel > 0
On désigne par µ > 0 un majorant de la suite (å
an )n>0 : n  N, å
an 6 µ.
+
Ø
II.D.1) a) Pour tout x  ]-1, 1[, montrer que (1 - x)
Ak xk = f (x).
k=0

b) En déduire que pour tout x  [0, 1[ et tout N  N

+
Ø
f (x)
1 - xN
(k + 1)xk .
6 AN -1
+µ
1-x
1-x
k=N

c) En déduire que pour tout x  [0, 1[ et tout N  N
4
3
xN +1
.
f (x) 6 AN -1 + µ (N + 1)xN +
1-x
II.D.2) Soit  un réel strictement positif.
a) Montrer qu'il existe un entier N0 > 0 tel que pour tout N > N0 ,
f (e-/N ) >

1
N
>
.
2
2(1 - e-/N )

b) Montrer que pour tout N > N0
å
aN -1

1
>
- µe-
2

A

1
1
1+
+ e-/N
N
N (1 - e-/N )

B

.

c) Déterminer en fonction de  la limite, quand N tend vers l'infini, du membre 
de droite dans l'inégalité
précédente.
d) Montrer qu'il existe un réel  > 0 tel que cette limite soit strictement 
positive.
II.D.3) Conclure qu'il existe un réel  > 0 tel qu'à partir d'un certain rang on 
ait å
an > .
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II.E ­

Démonstration de la propriété II.3, due à Karamata

Soit g : [0, 1]  R la fonction telle que g(x) = 1/x si x > e-1 et g(x) = 0 
sinon.
On fixe un réel   ]0, e-1 [. On définit deux applications continues g + , g - : 
[0, 1]  R ainsi :
- g + est affine sur [e-1 - , e-1 ] et coïncide avec g sur [0, e-1 - ]  [e-1 , 
1] ;
- g - est affine sur [e-1 , e-1 + ] et coïncide avec g sur [0, e-1 [  [e-1 + , 
1].
Pour tout entier N > 0 on pose xN = e-1/N .
On rappelle que dans cette sous-partie, on fait les hypothèses II.1 et II.4
Ú 1
Ú 1
II.E.1) Calculer
g + (t) dt et
g - (t) dt.
0

0

II.E.2) Soit P un polynôme à coefficients réels. Montrer que
(1 - x)

+
Ø

Ú

an xn P (xn ) -

n=0

x1
x<1 1 P (t) dt. 0 On considérera d'abord le cas particulier P (x) = xk , où k  N. II.E.3) Établir l'existence de deux polynômes P , Q à coefficients réels tels que : x  [0, 1], g - (x) -  6 P (x) 6 g(x) 6 Q(x) 6 g + (x) + . II.E.4) Établir l'existence d'un entier N1 > 0 tel que pour tout entier N > N1 ,
Ú 1
+
Ø
P (t) dt - 
(1 - xN )
an xnN P (xnN ) >
0

n=0

et
(1 - xN )

+
Ø

an xnN Q(xnN ) 6

Ú

1

Q(t) dt + .

0

n=0

II.E.5) Déduire des trois questions précédentes que pour tout entier N > N1
1 - 5 6 (1 - xN )AN 6 1 + 5.
II.E.6) Conclure.
· · · FIN · · ·

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