Centrale Maths 1 PC 2010

Thème de l'épreuve Polynômes de Tchebychev et approximation polynomiale
Principaux outils utilisés polynômes, séries de Fourier, familles orthogonales
Mots clefs polynômes de Tchebychev, séries, coefficients de Fourier, inégalité de Bernstein, inégalité de Markov

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- version du 10 mars 2010 10h45 MATHÉMATIQUES I n k =0 ak x k a) Montrer que les fonctions Fn sont définies sur un même domaine D à préciser. b) Calculer F1 ( x ), F2 ( x ) et F3 ( x ) pour tout x D. I.A.1) I.A - Pour tout entier n N, on pose Fn ( x ) = cos(n arccos x ). Partie I - Polynômes de Tchebychev Filière Calculer Fn+1 ( x ) + Fn-1 ( x ) pour tout n N et tout x D. PC x R, n N , Tn+2 ( x ) = axTn+1 ( x ) + bTn ( x ). Déterminer deux réels a et b tels que I.B.3) (1 - x2 ) Tn ( x ) - xTn ( x ) + n2 Tn ( x ) = 0. Montrer que, pour tout n N et tout x réel, on a la relation suivante : b) En déduire le calcul de Fn (1) et de Fn (-1). I.B.1) Soit n N. a) Montrer que la fonction Fn est de classe C sur R. b) Pour x ] - 1, 1[, donner une expression simple de Fn ( x ). On justifiera soigneusement le calcul. I.B.2) Soit n N . q a) Montrer que arccos( x ) 2(1 - x ) quand x 1. I.B - I.A.5) Dans toute la suite de ce problème, on posera T0 ( x ) = 1. Pour n N , on notera Tn la fonction polynomiale vérifiant Tn ( x ) = 21-n Fn ( x ) pour tout x R. I.A.4) Écrire une fonction tchebychev qui prend en argument un nombre entier n et qui renvoie l'affichage de l'expression Fn ( x ). On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé. I.A.3) Déduire de ce qui précède que Fn se prolonge à R en une fonction polynomiale unique, dont on précisera le degré ainsi que le coefficient dominant. Dans la suite, on notera toujours Fn la fonction prolongée. I.A.2) d) Préciser les propriétés de parité de Fn en fonction de n. c) Calculer Fn (1), Fn (0) et Fn (-1) pour tout n N. Page 1/4 où a0 , . . . , an-1 sont des nombres réels et an un nombre réel non nul, nommé «coefficient dominant de f ». f : x 7 f ( x ) = On rappelle qu'une fonction polynomiale non nulle, de degré n, est une fonction définie sur un intervalle de R de la forme porte quelle puissance de 1/n. L'approche proposée consiste à se ramener à des résultats connus sur l'approximation des fonctions périodiques par leurs séries de Fourier, au moyen des polynômes de Tchebychev, dont on étudiera les principales propriétés dans la partie I. La partie II établit certaines inégalités dues à Markov et à Bernstein, permettant de majorer la norme infinie de la dérivée d'une fonction polynomiale sur un segment à l'aide de la norme infinie de la fonction polynomiale sur le même segment. La partie III établit le résultat annoncé concernant l'approximation à l'aide, en particulier, des inégalités de Markov et de Bernstein. -1 x 1 Le but de ce problème est de faire établir le résultat suivant d'approximation polynomiale. Une fonction f continue sur le segment [-1, 1] y est de classe C si et seulement si il existe une suite ( pn )nN de fonctions polynomiales, où pn est de degré n, telle que sup | f ( x ) - pn ( x )| tende vers 0 pour n + plus vite que n'im- Les calculatrices sont autorisées. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2010 - version du 10 mars 2010 10h45 MATHÉMATIQUES I n k =0 ak x k a) Montrer que les fonctions Fn sont définies sur un même domaine D à préciser. b) Calculer F1 ( x ), F2 ( x ) et F3 ( x ) pour tout x D. I.A.1) I.A - Pour tout entier n N, on pose Fn ( x ) = cos(n arccos x ). Partie I - Polynômes de Tchebychev Filière Calculer Fn+1 ( x ) + Fn-1 ( x ) pour tout n N et tout x D. PC x R, n N , Tn+2 ( x ) = axTn+1 ( x ) + bTn ( x ). Déterminer deux réels a et b tels que I.B.3) (1 - x2 ) Tn ( x ) - xTn ( x ) + n2 Tn ( x ) = 0. Montrer que, pour tout n N et tout x réel, on a la relation suivante : b) En déduire le calcul de Fn (1) et de Fn (-1). I.B.1) Soit n N. a) Montrer que la fonction Fn est de classe C sur R. b) Pour x ] - 1, 1[, donner une expression simple de Fn ( x ). On justifiera soigneusement le calcul. I.B.2) Soit n N . q a) Montrer que arccos( x ) 2(1 - x ) quand x 1. I.B - I.A.5) Dans toute la suite de ce problème, on posera T0 ( x ) = 1. Pour n N , on notera Tn la fonction polynomiale vérifiant Tn ( x ) = 21-n Fn ( x ) pour tout x R. I.A.4) Écrire une fonction tchebychev qui prend en argument un nombre entier n et qui renvoie l'affichage de l'expression Fn ( x ). On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé. I.A.3) Déduire de ce qui précède que Fn se prolonge à R en une fonction polynomiale unique, dont on précisera le degré ainsi que le coefficient dominant. Dans la suite, on notera toujours Fn la fonction prolongée. I.A.2) d) Préciser les propriétés de parité de Fn en fonction de n. c) Calculer Fn (1), Fn (0) et Fn (-1) pour tout n N. Page 1/4 où a0 , . . . , an-1 sont des nombres réels et an un nombre réel non nul, nommé «coefficient dominant de f ». f : x 7 f ( x ) = On rappelle qu'une fonction polynomiale non nulle, de degré n, est une fonction définie sur un intervalle de R de la forme porte quelle puissance de 1/n. L'approche proposée consiste à se ramener à des résultats connus sur l'approximation des fonctions périodiques par leurs séries de Fourier, au moyen des polynômes de Tchebychev, dont on étudiera les principales propriétés dans la partie I. La partie II établit certaines inégalités dues à Markov et à Bernstein, permettant de majorer la norme infinie de la dérivée d'une fonction polynomiale sur un segment à l'aide de la norme infinie de la fonction polynomiale sur le même segment. La partie III établit le résultat annoncé concernant l'approximation à l'aide, en particulier, des inégalités de Markov et de Bernstein. -1 x 1 Le but de ce problème est de faire établir le résultat suivant d'approximation polynomiale. Une fonction f continue sur le segment [-1, 1] y est de classe C si et seulement si il existe une suite ( pn )nN de fonctions polynomiales, où pn est de degré n, telle que sup | f ( x ) - pn ( x )| tende vers 0 pour n + plus vite que n'im- Les calculatrices sont autorisées. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2010 - version du 10 mars 2010 10h45 MATHÉMATIQUES I n k =0 ak x k a) Montrer que les fonctions Fn sont définies sur un même domaine D à préciser. b) Calculer F1 ( x ), F2 ( x ) et F3 ( x ) pour tout x D. I.A.1) I.A - Pour tout entier n N, on pose Fn ( x ) = cos(n arccos x ). Partie I - Polynômes de Tchebychev Filière Calculer Fn+1 ( x ) + Fn-1 ( x ) pour tout n N et tout x D. PC x R, n N , Tn+2 ( x ) = axTn+1 ( x ) + bTn ( x ). Déterminer deux réels a et b tels que I.B.3) (1 - x2 ) Tn ( x ) - xTn ( x ) + n2 Tn ( x ) = 0. Montrer que, pour tout n N et tout x réel, on a la relation suivante : b) En déduire le calcul de Fn (1) et de Fn (-1). I.B.1) Soit n N. a) Montrer que la fonction Fn est de classe C sur R. b) Pour x ] - 1, 1[, donner une expression simple de Fn ( x ). On justifiera soigneusement le calcul. I.B.2) Soit n N . q a) Montrer que arccos( x ) 2(1 - x ) quand x 1. I.B - I.A.5) Dans toute la suite de ce problème, on posera T0 ( x ) = 1. Pour n N , on notera Tn la fonction polynomiale vérifiant Tn ( x ) = 21-n Fn ( x ) pour tout x R. I.A.4) Écrire une fonction tchebychev qui prend en argument un nombre entier n et qui renvoie l'affichage de l'expression Fn ( x ). On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé. I.A.3) Déduire de ce qui précède que Fn se prolonge à R en une fonction polynomiale unique, dont on précisera le degré ainsi que le coefficient dominant. Dans la suite, on notera toujours Fn la fonction prolongée. I.A.2) d) Préciser les propriétés de parité de Fn en fonction de n. c) Calculer Fn (1), Fn (0) et Fn (-1) pour tout n N. Page 1/4 où a0 , . . . , an-1 sont des nombres réels et an un nombre réel non nul, nommé «coefficient dominant de f ». f : x 7 f ( x ) = On rappelle qu'une fonction polynomiale non nulle, de degré n, est une fonction définie sur un intervalle de R de la forme porte quelle puissance de 1/n. L'approche proposée consiste à se ramener à des résultats connus sur l'approximation des fonctions périodiques par leurs séries de Fourier, au moyen des polynômes de Tchebychev, dont on étudiera les principales propriétés dans la partie I. La partie II établit certaines inégalités dues à Markov et à Bernstein, permettant de majorer la norme infinie de la dérivée d'une fonction polynomiale sur un segment à l'aide de la norme infinie de la fonction polynomiale sur le même segment. La partie III établit le résultat annoncé concernant l'approximation à l'aide, en particulier, des inégalités de Markov et de Bernstein. -1 x 1 Le but de ce problème est de faire établir le résultat suivant d'approximation polynomiale. Une fonction f continue sur le segment [-1, 1] y est de classe C si et seulement si il existe une suite ( pn )nN de fonctions polynomiales, où pn est de degré n, telle que sup | f ( x ) - pn ( x )| tende vers 0 pour n + plus vite que n'im- Les calculatrices sont autorisées. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2010 x 7 f ( x ) g( x ) : ( f , g) 7 -1 Z 1 E×E R 1 Partie II - Inégalités de Bernstein et de Markov Calculer ( Tm | Tn ) pour tout (m, n) N × N. Que peut-on en déduire ? x [-1,1] sup | Tn ( x )| = 21-n n2 . Filière PC 1 j =1 x - xn,j . n 2n -1 n j =1 q n 2 P( x ) 1 - xn,j n,j P( xn,j ) Tn ( x ) (-1)n- j n j =1 n T (xn,j ) x - xn,j p 1 - x2 1 . n II.B - Inégalité de Bernstein II.B.1) Montrer que, pour tout x [ xn,1 , xn,n ], on a P( x ) = b) En déduire que P( x ) = Tn ( x ) . x - xn,j Soient n N , x R \ { xn,j , 1 6 j 6 n} et P En-1 . Tn ( x ) = Tn ( x ) Soit n N et x R \ { xn,j , 1 6 j 6 n}. Montrer que : a) Montrer que : II.A.5) II.A.4) Cette borne supérieure est-elle atteinte ? Dans l'affirmative, préciser pour quelles valeurs de x. II.A.3) Soit n N . Montrer que la fonction polynomiale Tn admet exactement n zéros deux à deux distincts et appartenant à ] - 1, 1[. Pour j {1, 2, . . . , n}, on notera xn,j le j-ième zéro de Tn dans l'ordre croissant. Donner la valeur de xn,j . II.A.2) , ], 1 6 nsin( ). 2n 2 ] a-t-on | sin(n )| = n sin( ) ? 2 Montrer que pour tout n N , [ e) Pour quelles valeurs de [0, d) Conclure. c) En déduire que : On cherche à montrer que l'inégalité | sin(n )| 6 n sin( ) est satisfaite pour tout n N et tout [0, ]. 2 a) Montrer que sin(n ) 6 n sin( ) pour tout n N et tout [0, ]. 2n 2 b) Montrer que, pour tout [0, ], on a sin( ) > . 2 Page 2/4 II.A II.A.1) I.C.4) b) Montrer qu'il existe une unique famille ( Qn )nN de fonctions polynomiales vérifiant les conditions suivantes : i) la famille ( Qn )nN est orthogonale pour le produit scalaire (·|·) ; ii) pour tout n N, Qn est de degré n et de coefficient dominant 1. Dans la suite, on suppose que l'espace E est muni de ce produit scalaire, que l'on note (.|.). I.C.3) a) Montrer qu'il existe une suite de fonctions polynomiales ( pn )nN telle que, pour tout n N, pn soit de degré n et de coefficient dominant 1, et que, pour tout n N , pn soit orthogonale à tous les éléments de En-1 . f ( x ) g( x )dx La question précédente montre que l'application suivante est bien défi- 1 - x2 Montrer que définit un produit scalaire sur E. I.C.2) nie : 1 - x2 1 Montrer que, pour tout couple ( f , g) de E × E, la fonction : est intégrable sur l'intervalle ] - 1, 1[. I.C.1) I.C - On note E l'espace vectoriel des fonctions polynomiales sur R et, pour tout n N, on note En le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynomiales de degré au plus n. MATHÉMATIQUES I x 7 f ( x ) g( x ) : ( f , g) 7 -1 Z 1 E×E R 1 Partie II - Inégalités de Bernstein et de Markov Calculer ( Tm | Tn ) pour tout (m, n) N × N. Que peut-on en déduire ? x [-1,1] sup | Tn ( x )| = 21-n n2 . Filière PC 1 j =1 x - xn,j . n 2n -1 n j =1 q n 2 P( x ) 1 - xn,j n,j P( xn,j ) Tn ( x ) (-1)n- j n j =1 n T (xn,j ) x - xn,j p 1 - x2 1 . n II.B - Inégalité de Bernstein II.B.1) Montrer que, pour tout x [ xn,1 , xn,n ], on a P( x ) = b) En déduire que P( x ) = Tn ( x ) . x - xn,j Soient n N , x R \ { xn,j , 1 6 j 6 n} et P En-1 . Tn ( x ) = Tn ( x ) Soit n N et x R \ { xn,j , 1 6 j 6 n}. Montrer que : a) Montrer que : II.A.5) II.A.4) Cette borne supérieure est-elle atteinte ? Dans l'affirmative, préciser pour quelles valeurs de x. II.A.3) Soit n N . Montrer que la fonction polynomiale Tn admet exactement n zéros deux à deux distincts et appartenant à ] - 1, 1[. Pour j {1, 2, . . . , n}, on notera xn,j le j-ième zéro de Tn dans l'ordre croissant. Donner la valeur de xn,j . II.A.2) , ], 1 6 nsin( ). 2n 2 ] a-t-on | sin(n )| = n sin( ) ? 2 Montrer que pour tout n N , [ e) Pour quelles valeurs de [0, d) Conclure. c) En déduire que : On cherche à montrer que l'inégalité | sin(n )| 6 n sin( ) est satisfaite pour tout n N et tout [0, ]. 2 a) Montrer que sin(n ) 6 n sin( ) pour tout n N et tout [0, ]. 2n 2 b) Montrer que, pour tout [0, ], on a sin( ) > . 2 Page 2/4 II.A II.A.1) I.C.4) b) Montrer qu'il existe une unique famille ( Qn )nN de fonctions polynomiales vérifiant les conditions suivantes : i) la famille ( Qn )nN est orthogonale pour le produit scalaire (·|·) ; ii) pour tout n N, Qn est de degré n et de coefficient dominant 1. Dans la suite, on suppose que l'espace E est muni de ce produit scalaire, que l'on note (.|.). I.C.3) a) Montrer qu'il existe une suite de fonctions polynomiales ( pn )nN telle que, pour tout n N, pn soit de degré n et de coefficient dominant 1, et que, pour tout n N , pn soit orthogonale à tous les éléments de En-1 . f ( x ) g( x )dx La question précédente montre que l'application suivante est bien défi- 1 - x2 Montrer que définit un produit scalaire sur E. I.C.2) nie : 1 - x2 1 Montrer que, pour tout couple ( f , g) de E × E, la fonction : est intégrable sur l'intervalle ] - 1, 1[. I.C.1) I.C - On note E l'espace vectoriel des fonctions polynomiales sur R et, pour tout n N, on note En le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynomiales de degré au plus n. MATHÉMATIQUES I 1 - x2 | P( x )| 1. x [-1,1] sup | P( x )| n. p T ( ) = a0 + k =1 [ak cos(k ) + bk sin(k )] n Soit T un polynôme trigonométrique de la forme x [-1,1] R R sup | T ( )| n sup | T ( )|. R sup | P( x )| 6 n sup | T ( )|. x [-1,1] x [-1,1] (On pourra faire intervenir le polynôme trigonométrique T ( ) = P(cos( ))). x [-1,1] II.C - Inégalité de Markov Soit P En . Montrer que : sup | P ( x )| n2 sup | P( x )|. d) Montrer que : c) En déduire que : Partie III - Approximation polynomiale Filière PC pj p. n j n est convergente. Montrer que la suite ( Rn ( j))nN est à décroissance rapide. p = n +1 + n N x [-1, 1], f (x) = n =0 n Fn (x). + Dans la suite de cette question III.B, on définit la fonction f sur le segment [-1, 1] par : est convergente. n >0 n Fn (x) III.B - Soit (n )nN une suite de S . III.B.1) Montrer que, pour tout x [-1, 1], la série III.A.2) Rn ( j) = Montrer que la série numérique On pose, pour n N, III.A.1) III.A - Soit (n )nN une suite de S et j N. On dit qu'une suite (n )nN de nombres réels est à décroissance rapide si pour tout entier k N, la suite (nk n )nN est bornée. On note S l'ensemble des suites de nombres réels à décroissance rapide. pVn d( f , Vn ) = inf k f - pk . Pour toute fonction f C ([-1, 1]), on pose Pour tout entier n N, Vn désigne l'ensemble des restrictions à [-1, 1] des éléments de En . On note C ([-1, 1]) le sous-espace de C ([-1, 1]) constitué des fonctions de classe C sur [-1, 1]. x [-1,1] f C ([-1, 1]), k f k = sup | f ( x )| . Dans toute cette partie, on note C ([-1, 1]) l'espace vectoriel des fonctions continues sur [-1, 1] à valeurs réelles. On le munit de la norme infinie : Page 3/4 b) Soit 0 R. Montrer qu'il existe une fonction polynomiale P En-1 tel que, pour tout R, on ait : T (0 + ) - T (0 - ) = 2P(cos ) sin . où a0 , a1 , b1 , . . . , an , bn R. a) Soit k N . Montrer qu'il existe une fonction polynomiale Bk de degré (k - 1) tels que : R, sin(k ) = Bk (cos( )) sin( ). II.B.3) x [-1,1] (On distinguera trois cas selon que x appartient à l'un des intervalles [-1, xn,1 [, [ xn,1 , xn,n ] ou ] xn,n , 1]). b) En déduire que pour tout n N et pour tout P En-1 , on a : p 1 - x2 | P( x )|. sup | P( x )| 6 n sup Montrer que x [-1,1] a) Soient n N et P En-1 tel que sup II.B.2) MATHÉMATIQUES I 1 - x2 | P( x )| 1. x [-1,1] sup | P( x )| n. p T ( ) = a0 + k =1 [ak cos(k ) + bk sin(k )] n Soit T un polynôme trigonométrique de la forme x [-1,1] R R sup | T ( )| n sup | T ( )|. R sup | P( x )| 6 n sup | T ( )|. x [-1,1] x [-1,1] (On pourra faire intervenir le polynôme trigonométrique T ( ) = P(cos( ))). x [-1,1] II.C - Inégalité de Markov Soit P En . Montrer que : sup | P ( x )| n2 sup | P( x )|. d) Montrer que : c) En déduire que : Partie III - Approximation polynomiale Filière PC pj p. n j n est convergente. Montrer que la suite ( Rn ( j))nN est à décroissance rapide. p = n +1 + n N x [-1, 1], f (x) = n =0 n Fn (x). + Dans la suite de cette question III.B, on définit la fonction f sur le segment [-1, 1] par : est convergente. n >0 n Fn (x) III.B - Soit (n )nN une suite de S . III.B.1) Montrer que, pour tout x [-1, 1], la série III.A.2) Rn ( j) = Montrer que la série numérique On pose, pour n N, III.A.1) III.A - Soit (n )nN une suite de S et j N. On dit qu'une suite (n )nN de nombres réels est à décroissance rapide si pour tout entier k N, la suite (nk n )nN est bornée. On note S l'ensemble des suites de nombres réels à décroissance rapide. pVn d( f , Vn ) = inf k f - pk . Pour toute fonction f C ([-1, 1]), on pose Pour tout entier n N, Vn désigne l'ensemble des restrictions à [-1, 1] des éléments de En . On note C ([-1, 1]) le sous-espace de C ([-1, 1]) constitué des fonctions de classe C sur [-1, 1]. x [-1,1] f C ([-1, 1]), k f k = sup | f ( x )| . Dans toute cette partie, on note C ([-1, 1]) l'espace vectoriel des fonctions continues sur [-1, 1] à valeurs réelles. On le munit de la norme infinie : Page 3/4 b) Soit 0 R. Montrer qu'il existe une fonction polynomiale P En-1 tel que, pour tout R, on ait : T (0 + ) - T (0 - ) = 2P(cos ) sin . où a0 , a1 , b1 , . . . , an , bn R. a) Soit k N . Montrer qu'il existe une fonction polynomiale Bk de degré (k - 1) tels que : R, sin(k ) = Bk (cos( )) sin( ). II.B.3) x [-1,1] (On distinguera trois cas selon que x appartient à l'un des intervalles [-1, xn,1 [, [ xn,1 , xn,n ] ou ] xn,n , 1]). b) En déduire que pour tout n N et pour tout P En-1 , on a : p 1 - x2 | P( x )|. sup | P( x )| 6 n sup Montrer que x [-1,1] a) Soient n N et P En-1 tel que sup II.B.2) MATHÉMATIQUES I RR 7 h(cos( )) e h(t)dt, e h(t) sin(nt)dt. e h(t) cos(nt)dt, - Z f (x) = n =0 n ( f ) Fn (x) , + Montrer qu'il existe une suite (n ( f ))nN à décroissance rapide telle que Montrer que la suite ( an ( fe))nN est à décroissance rapide. Que vaut bn ( fe) ? Montrer que la série de Fourier de fe converge normalement vers fe. - - Z Z 1 2 Page 4/4 III.D - Soit f C ([-1, 1]). On suppose que la suite (d( f , Vn ))nN est à décroissance rapide. III.D.1) Montrer qu'on peut construire une suite ( pn )nN de fonctions polynomiales telle que : · pour tout entier n, deg( pn ) 6 n · (k f - pn k )nN est à décroissance rapide. pour tout x [-1, 1]. Donner une expression de n ( f ) en fonction de f et de n. III.C.2) III.C.3) III.C.1) III.C - Soit f C ([-1, 1]). 1 bn (e h) = 1 h) = an (e h) = a0 (e On rappelle que les coefficients de Fourier de e h sont donnés par les formules suivantes, pour tout entier n N : e h: Les notations suivantes seront valables jusqu'à la fin du sujet. Pour une fonction h C ([-1, 1]), on note e h la fonction 2-périodique suivante : · · · FIN · · · a) Soit k N . Montrer que, pour P Ek-1 , ak ( fe) = ak (^ f - P ). e b) En déduire que la suite ( an ( f ))nN des coefficients de Fourier de la fonction fe est à décroissance rapide. c) Conclure. Montrer que la suite (d( f , Vn ))nN est à décroissance rapide. III.B.3) Le but de cette question est de montrer que la fonction f est de classe C . III.D.2) Montrer que f est de classe C sur [-1, 1]. Filière PC III.B.2) MATHÉMATIQUES I RR 7 h(cos( )) e h(t)dt, e h(t) sin(nt)dt. e h(t) cos(nt)dt, - Z f (x) = n =0 n ( f ) Fn (x) , + Montrer qu'il existe une suite (n ( f ))nN à décroissance rapide telle que Montrer que la suite ( an ( fe))nN est à décroissance rapide. Que vaut bn ( fe) ? Montrer que la série de Fourier de fe converge normalement vers fe. - - Z Z 1 2 Page 4/4 III.D - Soit f C ([-1, 1]). On suppose que la suite (d( f , Vn ))nN est à décroissance rapide. III.D.1) Montrer qu'on peut construire une suite ( pn )nN de fonctions polynomiales telle que : · pour tout entier n, deg( pn ) 6 n · (k f - pn k )nN est à décroissance rapide. pour tout x [-1, 1]. Donner une expression de n ( f ) en fonction de f et de n. III.C.2) III.C.3) III.C.1) III.C - Soit f C ([-1, 1]). 1 bn (e h) = 1 h) = an (e h) = a0 (e On rappelle que les coefficients de Fourier de e h sont donnés par les formules suivantes, pour tout entier n N : e h: Les notations suivantes seront valables jusqu'à la fin du sujet. Pour une fonction h C ([-1, 1]), on note e h la fonction 2-périodique suivante : · · · FIN · · · a) Soit k N . Montrer que, pour P Ek-1 , ak ( fe) = ak (^ f - P ). e b) En déduire que la suite ( an ( f ))nN des coefficients de Fourier de la fonction fe est à décroissance rapide. c) Conclure. Montrer que la suite (d( f , Vn ))nN est à décroissance rapide. III.B.3) Le but de cette question est de montrer que la fonction f est de classe C . III.D.2) Montrer que f est de classe C sur [-1, 1]. Filière PC III.B.2) MATHÉMATIQUES I

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 Centrale Maths 1 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Weiss (Professeur agrégé) ; il a été relu par Aurélie Lagoutte (ENS Cachan) et Guillaume Batog (ENS Cachan). Ce sujet traite de la caractérisation des fonctions de classe C parmi les fonctions continues sur le segment [ -1 ; 1 ]. La démonstration est articulée en trois parties. · La première partie établit différentes propriétés des polynômes de Tchebychev, qui constituent une famille particulière de polynômes orthogonaux. Il s'agit de questions classiques qu'il faut savoir résoudre, de même que les questions analogues concernant les autres familles classiques de polynômes orthogonaux (polynômes de Legendre, Hermite, etc.). · La deuxième partie s'intéresse aux liens entre la norme infinie d'une fonction polynomiale et celle de sa fonction dérivée. On établit les inégalités de Bernstein et de Markov. La première concerne les polynômes trigonométriques, la seconde les fonctions polynomiales standard. Cette partie fait appel aux propriétés de la fonction sinus et aux résultats sur les polynômes de Tchebychev établis auparavant. · La troisième partie examine la vitesse d'approximation d'une fonction continue sur le segment [ -1 ; 1 ] par des fonctions polynomiales (cette approximation est assurée par le théorème de Weierstrass). On commence par revoir des propriétés des suites à décroissance rapide, puis on fait le lien entre la décroissance rapide des coefficients de Fourier d'une fonction continue, la vitesse d'approximation polynomiale de celle-ci et son éventuel caractère C . Les trois parties du sujet dépendent fortement les unes des autres, mais l'énoncé donne le plus souvent possible la possibilité d'interconnecter les résultats de questions, de sorte que l'on ne reste pas bloqué. Indications I Polynômes de Tchebychev I.A.1.b Utiliser des formules trigonométriques, notamment cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b I.A.1.d Pour tout réel x, Arccos (-x) = - Arccos (x). I.A.3 Procéder par récurrence. Le cas n = 0 est à traiter à part, et l'on peut intuiter le coefficient dominant à partir des calculs effectués à la question I.A.1.b. I.A.4 Écrire un programme récursif en utilisant la relation de récurrence établie auparavant. I.B.2.a Calculer la limite du quotient des deux fonctions à comparer à l'aide du changement de variable x = cos(u). I.B.1.b On rappelle que Arccos (x) = -1/ 1 - x2 . I.B.2.b À l'aide de l'équivalent de la question précédente, déterminer lim Fn (x). x1 x<1 Utiliser la parité de Fn pour le calcul de Fn (-1). I.B.3 Pour montrer une égalité entre fonctions polynomiales, il suffit de la montrer sur un intervalle ouvert car une fonction polynomiale ne peut avoir plus de racines distinctes que son degré, lequel est fini. Calculer l'expression de Fn (x). I.C.1 Majorer la valeur absolue de la fonction par une fonction intégrable au voisinage de 1 et -1 respectivement. I.C.3.a Penser à la méthode d'orthogonalisation de Gramm-Schmidt. I.C.3.b Considérer deux suites qui vérifient les propriétés et montrer que la norme au carré de leur différence est nulle. I.C.4 Attention : T0 6= 21-0 F0 ! Il faut séparer les cas et calculer explicitement les intégrales, en pensant au changement de variable y = Arccos (x). II Inégalités de Bernstein et de Markov II.A.1.a Étudier les variations de 7 sin(n) - n sin(). II.A.1.b La fonction sinus est concave sur [ 0 ; /2 ]. II.A.1.e Chercher les solutions de l'équation sur chacun des intervalles [ 0 ; /(2n) ] et ] /(2n) ; /2 ]. Remarquer que l'inégalité de la question II.A.1.c est stricte sur ce second intervalle. II.A.2 Majorer l'expression de |Fn (x)| obtenue à la question I.B.1.b sur ] -1 ; 1 [ à l'aide de l'inégalité de la question II.A.1.d. Déterminer les points de [ 0 ; 1 ] en lesquels la borne supérieure est atteinte à l'aide de la question II.A.1.e. II.A.4 Écrire Tn sous forme factorisée. II.A.5.a Montrer que les deux termes de l'égalité coïncident en les xn,j . II.A.5.b Calculer Tn (xn,j ) puis substituer. II.B.1 Étudier la fonction x 7 1 - x2 . II.B.2.a Combiner II.A.5.b, II.B.1, II.A.4 et II.A.2. II.B.2.b Appliquer II.B.2.a à M-1 P où M = Sup x[ -1 ;1 ] 1 - x2 |P(x)|. II.B.3.a Penser à la formule de De Moivre. T(0 + ) - T(0 - ) = |T (0 )|. Utiliser ensuite les II.B.3.d Montrer que lim 0 2 sin() >0 résultats des deux questions précédentes. II.C La fonction polynomiale P appartient à En-1 . III.A.1 Étudier n j+2 III Approximation polynomiale n nN . III.B.2 Afin d'utiliser le théorème de dérivation terme à terme, montrer que la série P (k) de fonctions n Fn converge normalement sur [ -1 ; 1 ] pour tout k > 1 à l'aide de l'inégalité de Markov. III.B.3 Après avoir écrit la définition de d(f, Vn ), faire apparaître le reste d'ordre n de la série de fonctions de terme général n Fn . III.C.1 Se rappeler d'un théorème du cours concernant le comportement asymptotique des coefficients de Fourier d'une fonction de classe C k . III.C.3 Remarquer que f (x) = f (cos(Arccos (x))) pour tout x [ -1 ; 1 ], puis se servir de la question précédente. III.D.1 Utiliser la définition de la borne inférieure et considérer /nj . e pour III.D.2.a Remarquer que l'application f 7 fe est linéaire. Calculer ensuite ak (P) une fonction polynomiale P à l'aide du changement de variable t = cos(x), et reconnaître le produit scalaire défini dans la partie I.C. III.D.2.b Considérer la quantité an (f ^ - pn-1 ) avec une suite (pn )nN définie comme à la question III.D.1. Les conseils du jury Le rapport du jury permet d'établir une liste de points du programme qu'il est capital (et rentable) de bien maîtriser : · « Savoir rédiger une récurrence, et prendre le temps de le faire, est un exercice de style auquel les candidats doivent savoir se plier plutôt que de survoler les questions. » · Il est nécessaire « de prendre des valeurs absolues dans les questions de majoration ». · Les convergences simple, absolue et normale sont différentes. · Les équivalents sont à justifier. Concernant la stratégie à adopter le jour du concours, le rapport du jury signale qu'il ne faut pas ignorer les questions relatives à la programmation et au calcul formel. Il conseille également aux candidats de « parcourir l'intégralité du sujet avant de se lancer dans la rédaction de la solution. Cela leur permet de voir quels sont les thèmes abordés et d'abandonner éventuellement une partie pour en attaquer une autre où ils se sentiront plus à l'aise. » I. Polynômes de Tchebychev I.A.1.a La fonction cosinus étant définie sur R tout entier, la recherche du domaine de définition des fonctions Fn pour n entier se ramène à l'étude du domaine de définition de la fonction arc cosinus, lequel est [ -1 ; 1 ] (les fonctions Fn sont des composées de la fonction cosinus avec la fonction à valeurs réelles arc cosinus). Aussi, Les fonctions Fn ont pour domaine de définition commun D = [ -1 ; 1 ]. I.A.1.b Soit x appartenant à D. On a F1 (x) = cos (Arccos (x)) = x car la fonction arc cosinus est la bijection réciproque de la restriction à [ 0 ; ] de la fonction cosinus. x D Calculons F2 (x) : F1 (x) = x F2 (x) = cos (2 Arccos (x)) = 2 cos2 (Arccos (x)) - 1 x D F2 (x) = 2x2 - 1 puis de façon analogue : F3 (x) = cos (3 Arccos (x)) = cos (2 Arccos (x)) cos (Arccos (x)) - sin (2 Arccos (x)) sin (Arccos (x)) = F2 (x)F1 (x) - 2 sin2 (Arccos (x)) cos (Arccos (x)) = F2 (x)F1 (x) - 2 1 - F1 2 (x) F1 (x) F3 (x) = (2x2 - 1)x - 2(1 - x2 )x x D F3 (x) = 4x3 - 3x I.A.1.c Soit n un entier. On calcule successivement Fn (1) = cos(n Arccos (1)) = cos(n × 0) = 1 puis Fn (0) = cos(n Arccos (0)) = cos(n × ) = 2 et 0 si n est impair 1 si n 0 mod 4 -1 si n 2 mod 4 Fn (-1) = cos (n Arccos (-1)) = cos(n × ) = (-1)n n N 0 si n est impair Fn (1) = 1 Fn (0) = 1 si n = 0 mod 4 -1 si n = 2 mod 4 Fn (-1) = (-1)n