Centrale Maths 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Équation différentielle linéaire d'ordre n à coefficients constants
Principaux outils utilisés équations différentielles, espaces vectoriels, polynômes, séries entières, théorème de convergence dominée
Mots clefs equation différentielle, série entièrem récurrence

Corrigé

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Concours Centrale - Supélec 2008 Épreuve : MATHÉMATIQUES I Filière PC MATHÉMATIQUES I Filière PC MATHÉMATIQUES I Objectifs On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu'elle est homogène, puis lorsque celle-ci admet un « second membre » d'un type particulier. La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes. Notations 2 · Pour tout couple ( m, n ) IN : * si m n l'ensemble { k IN, m k n } est noté [ [ m, n ] ] ; * m, n vaut 1 si m = n , 0 sinon. 2 · Si ( p, q ) IN , on note C I q [ X ] l'ensemble constitué des éléments de C I [ X ] de degré inférieur ou égal à q et C I q[ X ] I q, p [ X ] celui constitué des éléments de C p divisibles par X . · Si u est une application linéaire, Ker ( u ) et Im ( u ) désignent respectivement son noyau et son image. 0 · Si u est un endomorphisme, par convention, u est l'application identité, et p+1 p = uou . pour tout entier naturel p , on pose u · On considère un intervalle I de IR contenant au moins deux éléments. On dira que l'intervalle I est un voisinage de 0 s'il existe un réel > 0 tel que [ ­ , ] I . On note E le CI espace vectoriel des applications de classe C de I dans C I , 0 E son élément nul, id E l'application identité de E et D l'endomorphisme « dérivation » de E , c'est-à-dire tel que : f E, D ( f ) = f . · Pour tout y de E , et pour tout k entier strictement positif, y ième (0) dérivée k de y . Par convention y = y . (k) désigne la · Si P C I [ X ] et z C I , on note deg ( P ) le degré de P et P z l'application de I zt dans C I définie par : t I, P z ( t ) = P ( t )e . Concours Centrale-Supélec 2008 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Filière PC Partie I 2 Soient z C I et ( p, q ) IN tel que p q . I.A - Montrer que C I q, p [ X ] est un CI espace vectoriel de dimension finie et préciser sa dimension. I.B - Montrer qu'on peut définir une application z de C I [ X ] dans E définie par : P C I [ X ], z ( P ) = P z . Montrer que z est linéaire et injective. I q [ X ] et I.C - Déduire des questions précédentes que les images par z de C C I q, p [ X ] sont des sous-espaces vectoriels de E de dimensions finies que l'on précisera. Dans la suite de ce problème, n est un entier naturel non nul, = ( 0, ... n ) un n+1 I élément de C tel que n n'est pas nul, et on note ( H ) l'équation différentielle, d'inconnue y élément de E : n k y (H) (k) = 0E . k=0 Partie II On se propose, dans cette partie, de déterminer S H , l'ensemble des solutions de ( H ) définies sur I . On admettra que dim ( S H ) = n . n k k D . II.A - Justifier que S H = Ker k=0 On note p le nombre de racines distinctes du polynôme A = n k X k I [X] ; de C k=0 on note r 1, r 2 ...r p ses racines et m 1, m 2 ...m p leurs ordres de multiplicité respectifs. Concours Centrale-Supélec 2008 2/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC II.B - Vérifier que S H contient le sous-espace vectoriel de E : p Ker ( ( D ­ r j id E ) mj ). j=1 On admettra que cette somme est directe. * II.C - Dans cette question, r C I et m IN . a) Soit P un élément non nul de C I [ X ] . Justifier l'existence d'un élément Q de C I [ X ] tel que d°Q < d°P et ( D ­ r id E ) ( P r ) = Q r . b) En déduire par récurrence la propriété suivante pour tout entier k de [ [ 1, m ] ] : k I k ­ 1 [ X ] , alors P r Ker ( ( D ­ r id E ) ) . si P C m c) En conclure que Ker ( ( D ­ r id E ) ) est un sous-espace vectoriel de E de dimension au moins m . II.D - Déduire de ce qui précède que, pour tout élément y de E , on a l'équivalence suivante, y S H si et seulement si il existe une famille ( P j ) j [ [ 1, p ] ] d'éléments de C I [ X ] telle que : p j [ [ 1, p ] ] , deg ( P j ) < m j et t I, y ( t ) = P j ( t )e r jt . j=1 II.E - Dans le cas où I est un voisinage de 0 , prouver que pour tout réel strictement positif tel que ] ­ , [ I , les solutions de ( H ) sont développables en série entière sur ] ­ , [ . Partie III Dans cette partie, on considère un polynôme B de C I [ X ] , non nul. On note d le degré du polynôme B . On choisit un nombre complexe z et on note m l'ordre de multiplicité (éventuellement nul) de z en tant que racine du polynôme n A = k X k de C I [X] . k=0 On se propose de résoudre l'équation différentielle, d'inconnue y élément de E , notée ( L ) : n ( L) k y (k) = B z . k=0 Concours Centrale-Supélec 2008 3/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC III.A - Vérifier qu'on peut définir une application , de C I m + d, m [ X ] dans E , définie par n P C I m + d, m [ X ], ( P) = k D k ( P z ) k=0 puis montrer que celle-ci est linéaire. I d[ X ]) . III.B - Prouver que est injective et que Im ( ) z ( C I m + d, m [ X ] tel que z III.C - Démontrer qu'il existe un unique élément de C soit solution de ( L ) , définie sur I , puis préciser, en fonction de , l'ensemble des solutions de ( L ) sur I . III.D - Dans le cas où l'intervalle I est un voisinage de 0 , les solutions de ( L ) sont-elles développables en série entière sur tout intervalle ] ­ , [ ( > 0 ) tel que ] ­ , [ I ? Partie IV On suppose, dans cette dernière partie, que 0 vaut 1 et que : M = max k . k [ [ 0, n ] ] On considère également un élément b de E et on note ( L b ) l'équation différentielle, d'inconnue y élément de E : n k y ( Lb ) (k) = b. k=0 + IV.A - Soit IR * tel que ] ­ , [ I et que ( L b ) admette une solution développable en série entière sur l'intervalle ] ­ , [ . Montrer que b est également développable en série entière sur l'intervalle ] ­ , [ . Qu'en est-il alors des autres solutions de ( L b ) ? IV.B - Montrer que, si p IN , alors il existe un unique élément p de C I p [ X ] tel que : n (k) k p k=0 p X = -------- . p! Prouver qu'il existe un unique élément ( p, j ) j [ [ 0, p ] ] de C I p p = X p+1 tel que : j p, j ------j!- . j=0 Concours Centrale-Supélec 2008 4/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC IV.C - Prouver que : ( p, q ) IN 2 min { n, p ­ q } q p ( k p , q + k ) = p, q k=0 IV.D - Lorsque p est un entier strictement positif, traduire sous forme matrip+1 I cielle le système linéaire précédent d'inconnue ( p, j ) j [ [ 0, p ] ] , élément de C , puis écrire une procédure qui, en fonction de n et du système , détermine l'unique solution de celui-ci. IV.E j a) Vérifier que : p IN, j [ [ 0, p ] ], p, p ­ j ( 2M ) . b) En déduire que, pour tout t IR et pour tout entier q , alors : q q ( t ) ( 2M+ t ) . On suppose dorénavant que b est une application de I dans C I développable en série entière sur un intervalle ] ­ , [ ( > 0 ) inclus dans I . On note r le rayon (n) n de convergence de la série entière b ( 0 ) z et on suppose que r > 2M . IV.F a) Montrer qu'il existe élément de ]0, [ tel que la suite de fonctions ( f p ) p IN définie par : p p IN t I , f p ( t ) = b (q) ( 0 ) q ( t ) q=0 converge sur ] ­ , [ . On note f la limite de cette suite de fonctions, définie sur ] ­ , [ . n b) Prouver que f est de classe C sur ] ­ , [ . IV.G - Justifier que f est une solution de ( L b ) définie sur l'intervalle sur ] ­ , [ . IV.H - Prouver que f est de classe C on a : t ] ­ , [, f sur ] ­ , [ et que pour tout entier k > 0 , (k) ( t ) = lim f p ( t ) . (k) p + + IV.I - Si t IR , on note E ( t ) sa partie entière. Concours Centrale-Supélec 2008 5/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC On se propose, dans cette question, de démontrer que f est développable en série entière sur ] ­ , [ . À cet effet, on introduit un élément x de ] ­ , [ puis, pour + tout entier p de IN , l'application e p de IR dans C I définie par : E(t) ( E(t)) fp (0) x + p IN , t IR , e p ( t ) = -----------------------------------------. [ E ( t ) ]! + a) Montrer que, si p IN , e p est intégrable sur IR et préciser la valeur de son + intégrale sur IR . + b) Exhiber une application e en escalier de IR dans IR intégrable telle que : p IN , + t IR , e p(t) e(t) . c) Conclure. IV.J a) Qu'en déduit-on pour les solutions de ( L b ) sur l'intervalle ] ­ , [ ? b) Les résultats précédents sont-ils encore valables si 0 n'est pas égal à 1 ? ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2008 6/6

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 Centrale Maths 1 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hervé Diet (ENS Cachan) ; il a été relu par Chloé Dousset (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Ce sujet traite de la résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Il s'agit de généraliser le résultat du programme en étudiant le cas d'une équation de degré quelconque. On trouvera d'abord une solution générale et on s'intéressera ensuite aux solutions développables en série entière. · La première partie établit quelques résultats généraux qui seront utiles dans les parties suivantes. Il s'agit d'étudier des espaces de fonctions s'écrivant comme le produit d'un polynôme et d'une exponentielle. On calcule notamment la dimension de ces espaces à l'aide d'une application linéaire et du théorème du rang. · La deuxième partie nous guide pour résoudre l'équation différentielle homogène. On exprime l'espace des solutions comme une somme directe d'espaces vectoriels. On établit ensuite que les solutions sont des sommes de fonctions introduites dans la première partie. · Le troisième partie traite du cas d'un second membre de la même forme que les fonctions de la première partie. On commence par chercher une solution particulière. Puis, grâce à la partie précédente, on exprime toutes les solutions de l'équation avec second membre sous la forme d'une combinaison linéaire de fonctions simples. · Dans la dernière partie, le second membre est une fonction développable en série entière sur un voisinage de 0. On montre que toutes les solutions de l'équation sont alors développables en série entière sur un voisinage de 0. Ainsi, les trois premières parties font appel au programme d'algèbre (espaces vectoriels, applications linéaires) pour résoudre l'équation différentielle lorsque le second membre a une forme simple. La quatrième partie, elle, demande une bonne connaissance des séries entières et des résultats de convergence dominée. Indications Partie I I.A Donner une base de Cq,p [X] pour montrer que c'est un espace vectoriel et donner sa dimension. I.C Utiliser le théorème du rang pour donner les dimensions. Partie II II.B Factoriser A par (X - rj )mj et utiliser ce résultat pour factoriser n P k Dk . k=0 II.C.a Montrer par un simple calcul que Q = P . II.C.c Dans le résultat précédent regarder le cas k = m. II.D Donner une minoration de la dimension de SH en utilisant la question précédente. Cette minoration est en fait une égalité. Partie III III.A Décomposer en fonction de A, D et pour montrer qu'elle est bien définie. III.B Remarquer que (P) = 0 implique Phzi solution de (H). III.C En étudiant les dimensions montrer que l'inclusion précédente est une égalité et utiliser l'injectivité de pour l'unicité. Partie IV IV.A Noter que la différence de deux solutions de (Lb ) est une solution de (H). IV.B Utiliser la question III.C et remarquer que l'expression avec les p,j correspond à un changement de base. IV.C Remplacer p par sa valeur en fonction des p,j dans l'équation différentielle. IV.E.a Montrer ce résultat par récurrence. IV.F.a Utiliser la majoration de la question IV.E.b et le rayon de convergence r pour conclure sur la convergence. IV.F.b Trouver une majoration de D(q (t)) en s'inspirant de la question IV.E.b. IV.H Utiliser l'équation différentielle pour exprimer f (n) comme une somme de fonctions de classe C 1 . IV.I.a Trouver un majorant de D(q (t)) en s'inspirant de la question IV.E.b IV.I.b Commencer par montrer que fpk (0) admet un majorant. Les conseils du jury Le rapport du jury pointe « des lacunes au niveau de la logique » et un « manque de recul » des candidats. Par exemple, « sur les séries entières, beaucoup sont obnubilés par ce qu'ils ont fait pendant l'année [et ne se soucient pas] de la question posée, ainsi l'unicité du développement en série entière est invoquée sans raison. » À la lecture du rapport, un effort doit être porté sur les techniques usuelles d'algèbre linéaire (notamment les questions de la partie I), sur les raisonnements par récurrence et sur les démonstrations de conditions nécessaires et suffisantes, d'existence et d'unicité. Partie I I.A Soit P un polynôme de Cq,p [X]. En particulier, son degré est majoré par q et il existe une famille de coefficients complexes (ai )i[[ 0 ; q ]] telle que q P P(X) = ai Xi i=0 Le polynôme P étant divisible par Xp , on en déduit que ai est nul si i < p et on a q P P(X) = ai Xi i=p Réciproquement tout polynôme de cette forme est dans Cq,p [X]. Ainsi, Cq,p [X] = Vect (Xp , ..., Xq ) Comme (Xp , ..., Xq ) est une famille libre, elle est une base de Cq,p [X] et Cq,p [X] est un espace vectoriel de dimension q - p + 1. I.B La fonction t 7 ezt et les fonctions polynomiales sont de classe C sur R. La fonction Phzi est définie sur I comme le produit de ces deux fonctions, elle est donc bien de classe C sur I. La fonction z est définie de C[X] dans E. D'après le rapport du jury, la consigne « Montrer qu'on peut définir une application... » est souvent mal comprise. Il s'agit ici de prouver que la fonction proposée est bien définie dans son ensemble de départ et à valeurs dans son ensemble d'arrivée. Soient P et Q deux polynômes de C[X] et un nombre complexe. Alors t I t I Ainsi, z (P + Q)(t) = = = = z (P + Q)(t) = (P + Q)hzi (t) (P(t) + Q(t))ezt P(t)ezt + Q(t)ezt Phzi (t) + Qhzi (t) z (P)(t) + z (Q)(t) z est linéaire. Soit P un élément du noyau de z . Alors P(t)ezt = 0 pour tout t I. Comme ezt est de module non nul pour tout z C et t I, P est nul sur I. Or un polynôme nul sur un segment est identiquement nul. Ainsi Ker z = {0} et z est injective. I.C L'image par une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie est un espace vectoriel de dimension finie. On peut en déduire que z (Cq [X]) et z (Cq,p [X]) sont des espaces vectoriels de dimension finie. Comme dim Ker z = 0, le théorème du rang appliqué à la restriction z dim (Cq [X]) = dim Cq [X] - dim Ker z = dim Cq [X] soit et de même dim (Cq [X]) = q + 1 dim (Cq,p [X]) = dim Cq,p [X] = q - p + 1 Cq [X] donne Partie II II.A Par définition de l'endomorphisme de dérivation, D(y) = y . De plus, pour tout entier k, Dk (y) = y (k) . Soit y une fonction définie sur I, les équivalences suivantes sont vérifiées n n P P y Ker k Dk k Dk (y) = 0 k=0 k=0 n P k Dk (y) = 0 k=0 n P k y (k) = 0 k=0 y Ker n P k D k=0 Finalement k SH = Ker y SH n P k=0 k Dk II.B Du fait de la structure d'espace vectoriel de SH , il suffit de montrer que chacun des ensembles Ker (D - rj . id E )mj , pour j [[ 1 ; p ]], est contenu dans SH . Soit j [[ 1 ; p ]]. On peut factoriser A par (X-rj )mj puisque rj est une racine d'ordre mj de A et il existe un polynôme B tel que n P A= k Xk = B(X)(X - rj )mj k=0 Les polynômes s'écrivent naturellement sous deux formes : développée ou factorisée. Il s'agit ici d'utiliser la dernière. Le jury précise dans son rapport que peu de candidats ont ce réflexe. Les morphismes D et id E commutent entre eux, d'où n P k Dk = A(D) = B(D) (D - rj . id E )mj k=0 Soit f Ker (D - rj . id E )mj . Alors A(D)(f ) = B(D) (D - rj . id E )mj (f ) = B(D)(0) = 0 En utilisant la question précédente et puisque ceci est vrai pour tout j dans [[ 1 ; p ]], on en déduit l'inclusion n P Ker (D - rj . id E )mj Ker k Dk k=0 p P Ainsi Ker (D - rj . id E )mj SH j=1 II.C.a Soient r C et m N. Soit P un polynôme non nul de C[X], alors t I t I (D - r. id E )(Phri )(t) = D(Phri )(t) - rP(t)ert d = (P(t)ert ) - rP(t)ert dt = P (t)ert + P(t)rert - rP(t)ert (D - r. id E )(Phri )(t) = P (t)ert