Centrale Maths 1 PC 2007

Thme de l'preuve Transforme de Laplace
Principaux outils utiliss thorme de convergence domine, intgration
Mots clefs transforme de Laplace, produit de convolution, exponentielle, integrabilit, convergence domine, Fubini

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Maths 1 PC 2007 -- Corrig Ce corrig est propos par Denis Conduch (ENS Ulm) ; il a t relu par Benot Chevalier (ENS Ulm) et Jean Starynkvitch (Professeur en CPGE). L'preuve se compose de quatre parties dpendantes les unes des autres. L'objectif est de dmontrer une version analytique du thorme central limite, bien connu en probabilits, en utilisant abondamment la transformation de Laplace.  Dans la premire partie, quelques rsultats concernant la fonction on montre 2 gaussienne f : x 7- 1/ 2e-x /2 , qui serviront pour toute la suite. On calcule en particulier sa transforme de Laplace fb  la question I.B.  La partie II s'intresse  l'ensemble E des fonctions domines par f ( une homothtie sur l'axe des x prs). Aprs avoir observ quelques proprits de cet ensemble (stabilit par combinaison linaire et par une loi classique de composition appele produit de convolution), on passe  l'tude de la transforme de Laplace des lments de E. On calcule les drives premire et seconde de u b, puis le comportement du produit de convolution vis--vis de la transforme de Laplace.  La partie III dmontre le thorme central limite dans deux cas particuliers. On s'intresse pour cela aux suites de fonctions obtenues en convolant n fois une fonction h avec elle-mme. La premire suite est btie sur la fonction f ; on calcule explicitement chacun de ses termes. On examine ensuite une suite construite sur une fonction g nulle en dehors d'un segment. Dans chacun des cn (t/n),  t fix, lorsque n tend vers cas, on calcule la limite de la suite h l'infini.  Dans la partie IV, il s'agit de dmontrer le thorme central limite dans un cas un peu plus gnral, les objets tudis tant toujours les suites de fonctions de la partie prcdente. Ce sujet fait intervenir plusieurs fois les thormes de convergence domine. Les calculs sont ici et l techniques, mais sans difficult thorique majeure. Indications Partie I I.A.1 Comparer la croissance de x 7 xn et x 7 e- x2 2 . I.A.2 Reconnatre une drive. I.A.3 Faire une intgration par parties pour la relation de rcurrence. I.B Se ramener  la fonction f ,  un changement de variable prs. Partie II II.A Utiliser le sens de variation de 7 f (x) pour conclure. II.B.2 Faire le changement de variable t = x - t. II.B.3 Se ramener  l'intgrale de la question I.B. II.B.4 Exprimer f f en fonction de f . II.C.1 Mme indication qu' la question II.B.3. II.C.2 Appliquer un thorme de drivation sous l'intgrale. II.D.1 Rcrire l'ingalit comme une fonction (de deux variables)  minorer, puis se ramener  une fonction d'une seule variable. II.D.2 Intervertir les deux intgrales. Pour trouver la majoration de la fonction (x, t) 7 u(t)v(x - t), utiliser le rsultat de la question II.D.1. II.D.3 Adapter la majoration obtenue lors de la dmonstration du rsultat de la question II.D.2, puis utiliser le rsultat de la fonction I.B. Partie III III.A.1 Utiliser le rsultat de la question II.D.2. III.A.2 Se servir du rsultat de la question II.D.3. III.B.1 Utiliser le rsultat de la question II.B.3. III.B.2 Utiliser une rcurrence, en procdant de la mme faon que lors de la rponse  la question II.B.3. III.B.3 Utiliser le rsultat de la question III.A.2. III.C.1 Pour montrer que g est un lment de E, il suffit d'utiliser le fait que cette fonction est nulle en dehors d'un segment. III.C.2 tudier le domaine sur lequel on intgre. III.C.3 Procder de la mme faon que pour la rponse  la question prcdente, mais avec une rcurrence en plus. III.C.4 Faire deux intgrations par parties. III.C.5 Utiliser le logarithme. Partie IV IV.A.1 Utiliser la rponse  la question II.C.2. IV.A.2 Se servir du rsultat de la question III.A.2. IV.B Suivre la mme dmarche que pour la rponse  la question III.C.5. Partie I I.A.1 Soit n un entier naturel fix. Montrons que l'intgrale mn (f ) est absolument convergente, c'est--dire que la fonction gn : x 7- |xn f (x)| est intgrable sur R. La fonction gn est paire, il suffit donc d'tudier la convergence au voisinage de +. Par croissance compare, la fonction x 7- xn+2 f (x) a une limite nulle en +, donc gn est ngligeable devant 1/x2 en l'infini. Or, la fonction x 7- 1/x2 est intgrable au voisinage de +, de sorte que la fonction gn est intgrable sur [ 0 ; + [. La fonction gn est intgrable sur l'intervalle ] - ; 0 ] par parit. La fonction x 7- xn f (x) est donc intgrable sur R. I.A.2 L'intgrale de x 7- xf (x) converge d'aprs le rsultat de la question I.A.1. 2 2 La fonction x 7- xe-x /2 est la drive de la fonction x 7- -e-x /2 . Z Z 1 1 h - x2 i+ x2 m1 (f ) = xf (x) dx = xe- 2 dx = -e 2 =0 - 2 R 2 R Par consquent, m1 (f ) = 0 Le calcul de m0 (f ) est un calcul classique. La mthode la plus simple consiste  passer par une intgrale double, puis  se placer en coordonnes polaires. Soit A un rel strictement positif, encadrons la valeur de l'intgrale Z A x2 IA = e- 2 dx -A Le carr de cette intgrale peut tre vu comme une intgrale double Z A ZZ Z A y2 x2 +y2 x2 e- 2 dy = e- 2 dx dy I2A = e- 2 dx -A [ -A ;A ]2 2 -A En coordonnes polaires, dx dy = r dr d et x + y 2 = r2 . Notons CA 2 l'ensemble des couples (r, ) tels que (r cos(), r sin()) [ -A ; A ] , il vient ZZ r2 I2A = re- 2 dr d CA 2 On reconnat  nouveau la fonction x 7- xe-x /2 , qui est la drive de la 2 fonction x 7- -e-x /2 . Mais le domaine d'intgration CA est un carr en coordonnes cartsiennes, ce qui ne correspond  rien de simple en polaire et ne permet pas de conclure aisment. Plaons CA entre deux disques DA = {(r, ) | r 6 A} et D2A = {(r, ) | r 6 2A} qui sont de rayons respectifs A et 2A : y CA DA 0 x D2A La fonction intgre est positive de sorte que ZZ ZZ 2 - r2 2 re dr d 6 IA 6 DA re- r2 2 dr d D2A De surcrot, le calcul de l'intgrale double sur un disque de rayon R est simple : ZZ Z 2 Z R h iR 2 r2 r2 R2 - r2 re dr d = d re- 2 dr = 2 -e- 2 = 2 1 - e- 2 DR 0 0 0 si bien que l'encadrement de I2A s'crit 2 A2 2 1 - e- 2 6 I2A 6 2 1 - e-A Finalement, en passant  la limite lorsque A tend vers +, il vient I2+ = 2. Z 1 x2 Conclusion : e- 2 dx = 1 2 R I.A.3 Soit n > 2 un entier fix. L'intgrale de x 7- xn f (x) converge d'aprs le 2 rsultat de la question I.A.1. Faisons une intgration par parties, avec u (x) = xe-x /2 et v(x) = xn-1 . Z Z 1 x2 n mn (f ) = x f (x) dx = xn-1 xe- 2 dx 2 R R h Z - x2 i+ 1 x2 n-1 = x -e 2 - (n - 1)xn-2 -e- 2 dx - 2 R le crochet est alors nul, ce qui donne Z mn (f ) = (n - 1) xn-2 f (x) dx R Donc mn (f ) = (n - 1)mn-2 (f )