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| Thème de l'épreuve | Transformée de Laplace |
| Principaux outils utilisés | théorème de convergence dominée, intégration |
| Mots clefs | transformée de Laplace, produit de convolution, exponentielle, integrabilité, convergence dominée, Fubini |
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Centrale Maths 1 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Denis Conduché (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît
Chevalier (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).
L'épreuve se compose de quatre parties dépendantes les unes des autres.
L'objectif
est de démontrer une version analytique du théorème central limite, bien connu
en
probabilités, en utilisant abondamment la transformation de Laplace.
· Dans la première partie,
quelques résultats concernant la fonction
on montre
2
gaussienne f : x 7- 1/ 2e-x /2 , qui serviront pour toute la suite. On calcule
en particulier sa transformée de Laplace fb à la question I.B.
· La partie II s'intéresse à l'ensemble E des fonctions dominées par f (à une
homothétie sur l'axe des x près). Après avoir observé quelques propriétés de cet
ensemble (stabilité par combinaison linéaire et par une loi classique de
composition appelée produit de convolution), on passe à l'étude de la
transformée de
Laplace des éléments de E. On calcule les dérivées première et seconde de u
b,
puis le comportement du produit de convolution vis-à-vis de la transformée de
Laplace.
· La partie III démontre le théorème central limite dans deux cas particuliers.
On s'intéresse pour cela aux suites de fonctions obtenues en convolant n fois
une fonction h avec elle-même. La première suite est bâtie sur la fonction f ;
on calcule explicitement chacun de ses termes. On examine ensuite une suite
construite sur une fonction g nulle en dehors d'un segment. Dans chacun des
cn (t/n), à t fixé, lorsque n tend vers
cas, on calcule la limite de la suite h
l'infini.
· Dans la partie IV, il s'agit de démontrer le théorème central limite dans un
cas
un peu plus général, les objets étudiés étant toujours les suites de fonctions
de
la partie précédente.
Ce sujet fait intervenir plusieurs fois les théorèmes de convergence dominée.
Les calculs sont ici et là techniques, mais sans difficulté théorique majeure.
Indications
Partie I
I.A.1 Comparer la croissance de x 7 xn et x 7 e-
x2
2
.
I.A.2 Reconnaître une dérivée.
I.A.3 Faire une intégration par parties pour la relation de récurrence.
I.B Se ramener à la fonction f , à un changement de variable près.
Partie II
II.A Utiliser le sens de variation de 7 f (x) pour conclure.
II.B.2 Faire le changement de variable t = x - t.
II.B.3 Se ramener à l'intégrale de la question I.B.
II.B.4 Exprimer f f en fonction de f .
II.C.1 Même indication qu'à la question II.B.3.
II.C.2 Appliquer un théorème de dérivation sous l'intégrale.
II.D.1 Récrire l'inégalité comme une fonction (de deux variables) à minorer,
puis se
ramener à une fonction d'une seule variable.
II.D.2 Intervertir les deux intégrales. Pour trouver la majoration de la
fonction
(x, t) 7 u(t)v(x - t), utiliser le résultat de la question II.D.1.
II.D.3 Adapter la majoration obtenue lors de la démonstration du résultat de la
question II.D.2, puis utiliser le résultat de la fonction I.B.
Partie III
III.A.1 Utiliser le résultat de la question II.D.2.
III.A.2 Se servir du résultat de la question II.D.3.
III.B.1 Utiliser le résultat de la question II.B.3.
III.B.2 Utiliser une récurrence, en procédant de la même façon que lors de la
réponse
à la question II.B.3.
III.B.3 Utiliser le résultat de la question III.A.2.
III.C.1 Pour montrer que g est un élément de E, il suffit d'utiliser le fait
que cette
fonction est nulle en dehors d'un segment.
III.C.2 Étudier le domaine sur lequel on intègre.
III.C.3 Procéder de la même façon que pour la réponse à la question précédente,
mais avec une récurrence en plus.
III.C.4 Faire deux intégrations par parties.
III.C.5 Utiliser le logarithme.
Partie IV
IV.A.1 Utiliser la réponse à la question II.C.2.
IV.A.2 Se servir du résultat de la question III.A.2.
IV.B Suivre la même démarche que pour la réponse à la question III.C.5.
Partie I
I.A.1 Soit n un entier naturel fixé. Montrons que l'intégrale mn (f ) est
absolument
convergente, c'est-à-dire que la fonction gn : x 7- |xn f (x)| est intégrable
sur R.
La fonction gn est paire, il suffit donc d'étudier la convergence au voisinage
de +.
Par croissance comparée, la fonction x 7- xn+2 f (x) a une limite nulle en +,
donc gn est négligeable devant 1/x2 en l'infini. Or, la fonction x 7- 1/x2 est
intégrable au voisinage de +, de sorte que la fonction gn est intégrable sur [
0 ; + [.
La fonction gn est intégrable sur l'intervalle ] - ; 0 ] par parité.
La fonction x 7- xn f (x) est donc intégrable sur R.
I.A.2 L'intégrale de x 7- xf (x) converge d'après le résultat de la question
I.A.1.
2
2
La fonction x 7- xe-x /2 est la dérivée de la fonction x 7- -e-x /2 .
Z
Z
1
1 h - x2 i+
x2
m1 (f ) = xf (x) dx =
xe- 2 dx =
-e 2
=0
-
2 R
2
R
Par conséquent,
m1 (f ) = 0
Le calcul de m0 (f ) est un calcul classique. La méthode la plus simple consiste
à passer par une intégrale double, puis à se placer en coordonnées polaires.
Soit A un réel strictement positif, encadrons la valeur de l'intégrale
Z A
x2
IA =
e- 2 dx
-A
Le carré de cette intégrale peut être vu comme une intégrale double
Z A
ZZ
Z A
y2
x2 +y2
x2
e- 2 dy =
e- 2 dx dy
I2A =
e- 2 dx
-A
[ -A ;A ]2
2
-A
En coordonnées polaires, dx dy = r dr d et x + y 2 = r2 . Notons CA
2
l'ensemble des couples (r, ) tels que (r cos(), r sin()) [ -A ; A ] , il vient
ZZ
r2
I2A =
re- 2 dr d
CA
2
On reconnaît à nouveau la fonction x 7- xe-x /2 , qui est la dérivée de la
2
fonction x 7- -e-x /2 . Mais le domaine d'intégration CA est un carré en
coordonnées cartésiennes, ce qui ne correspond à rien de simple en polaire et
ne permet pas de conclure aisément. Plaçons CA entre deux disques
DA = {(r, ) | r 6 A}
et
D2A = {(r, ) | r 6 2A}
qui sont de rayons respectifs A et 2A :
y
CA
DA
0
x
D2A
La fonction intégrée est positive de sorte que
ZZ
ZZ
2
- r2
2
re
dr d 6 IA 6
DA
re-
r2
2
dr d
D2A
De surcroît, le calcul de l'intégrale double sur un disque de rayon R est
simple :
ZZ
Z 2 Z R
h
iR
2
r2
r2
R2
- r2
re
dr d =
d
re- 2 dr = 2 -e- 2
= 2 1 - e- 2
DR
0
0
0
si bien que l'encadrement de I2A s'écrit
2
A2
2 1 - e- 2 6 I2A 6 2 1 - e-A
Finalement, en passant à la limite lorsque A tend vers +, il vient I2+ = 2.
Z
1
x2
Conclusion :
e- 2 dx = 1
2 R
I.A.3 Soit n > 2 un entier fixé. L'intégrale de x 7- xn f (x) converge d'après
le
2
résultat de la question I.A.1. Faisons une intégration par parties, avec u (x)
= xe-x /2
et v(x) = xn-1 .
Z
Z
1
x2
n
mn (f ) = x f (x) dx =
xn-1 xe- 2 dx
2 R
R
h
Z
- x2 i+
1
x2
n-1
=
x
-e 2
-
(n - 1)xn-2 -e- 2 dx
-
2
R
le crochet est alors nul, ce qui donne
Z
mn (f ) = (n - 1) xn-2 f (x) dx
R
Donc
mn (f ) = (n - 1)mn-2 (f )