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On dit qu'une suite réelle a = (an)n EUR IN est ultimement périodique
lorsqu'elle est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe
noelNetpe]N* telsque: '
(Æ) VnEIN,nzno=>an+p=an.
(L'entier p est une période de la suite (an)n 2 no ).
On note UP l'ensemble des suites ultimement périodiques de réels.
L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites
et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples.
Partie I -
I.A - Montrer que UP est un sous espace vectoriel de l'espace IR1N des suites
réelles. Est-il de dimension finie ?
I.B - Soit a = (an)n E ]N un élément de UP et ÿ(a) l'ensemble des entiers p 2 1
tels que la suite a admette p pour période à partir d'un certain rang.
I.B.1) Montrer qu'il existe un entier T 2 1 (que l'on appellera la période de
a ) tel que :
9%) = 1N*T = {kT,k & 1N*}.
Que peut-on dire de la suite lorsque T = 1 ?
I.B.2) Montrer qu'il existe un plus petit entier "0 tel que :
VnEIN, nZnO=--»an+T = an
Montrer que, pour tout p E ÿ(a) , n° est le plus petit entier à partir duquel la
suite (an)n 6 IN devient p -périodique. Combien de paramètres réels suffisent à
définir parfaitement a ?
I.C - Soit a, = (an)n E N un élément de UP.
1.0. 1) Montrer que a est bornée et que le rayon de convergence Ra de la série
entière Eaux" est strictement positif. A quelle condition nécessaire et suffi-
sante Ra est-il égal à +00 ? Que vaut--il sinon ?
I.C.2) Montrer que la somme de cette série est une fraction rationnelle. Dans
quel cas est-ce un polynôme ?
I.D - Soit Zanx" une série entière de rayon de convergence R > 0 , dont la
somme est la restriction à ]--R, R[ d'une fraction rationnelle.
La suite (an) est-elle ultimement périodique ?
nEIN
Partie II -
II.A - Exemple 1
On définit la suite (Fn)n EUR IN par :
FO = o,F1 = 1 etVnEIN,Fn+2 = Fn+l+Fn
et la suite (un)"E1N par an = 0 si Fn est pair et an = 1 sinon. La suite
(an)n EUR IN est-elle ultimement périodique ?
Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière îanxn .
II.B - Exemple" 2
On définit maintenant la suite (an)n E N par :
ao = 1 etVnE]N,a2n = an eta2n+1 = --an.
II.B.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière îanxn .
On note S sa somme.
II.B.2) Trouver une relation liant S(x) et S(x2) .
En déduire que, pour tout x , x E ]-- 1, 1[ , '
S(x) = lim Îl (l--x(2k)).
n--++ook=0
II.B.3) Étudier, pour n donné dans IN,
lim ( S(x) )
x ---> 1-- (l -- x)"
et en déduire que (an)
II.C - Exemple 3
Soit x = a / b un rationnel strictement positif, donné sous forme irréductible.
On définit deux suites d'entiers (rn)n E N et (dn)n E N par :
n EUR IN n'est pas ultimement périodique.
0 de = E(x) (partie entière) et '"o est le reste de la division euclidienne de a
par b .
0 pour tout n 2 1 , rn (resp. dn) est le reste (resp. le quotient) de la
division
euclidienne de 10 - "n _ 1 par b .
II.C.1) Dans cette question (uniquement), x = 22/7.
Déterminer do, dv ..., d10 .
11 C 2) Montrer que la suite (rn)n E N
de (d n)n ElN ?
II.C.3) Montrer que, pour tout n E ]N* , 0 s dn s 9.
11.0.4) Établir l'égalité :
est ultimement périodique. Qu'en est-il
= E(x) + Z dn10""
n=l
Partie III -
Le but de cette partie est de montrer que le réel 11' n'est pas un élément de
(D .
E = C°°(IR, IR) est l'espace des fonctions de classe C°° de IR dans lui-même.
Pour tout élément f de E , on note F l'application de IR dans IR définie par :
Vx EUR IR, F(x) = Jotf(t)dt.
III.A - L'application de E qui à tout élément f associe F est notée L . Vérifier
que L est une application linéaire de E dans E.
III.B - On considère dans cette question un élément f de E supposé borné sur
IR et on note M = ||f||oe,m = supxem|f(x)l.
III.B.1) Montrer que, pour tout x de IR ,
2
|F(x)l s M'--",--
III.B.2) On définit une suite d'éléments de E par f 0 = f et, pour tout n de ]N
,
fn+l =_L(fn)°
Montrer que, pour tout n de ]N* et tout x de IR ,
x2n
|fn (x) |< 2. 4... .'2nM III. B. 3) Soit I un segment quelconque de IR. Montrer que pour tout n , f ,, est bomée surI et lim (sup EUR] |fn(x)|) = n---->+oo
III.C - On prend maintenant dans cette question et dans les suivantes f = sin ,
et on considère la suite de fonctions définie comme dans la question précédente.
III.C.1) Déterminer les fonctions f1 et f 2.
111.02) Montrer que, pour tout n de IN* et tout x de IR,
f,, +1(x) = (2n + 1)f,,prFp
(RQ) H (P' '" Q,P + Q')
Vérifier que H est un automorphisme de F p >< F p . III.D.2) On désigne par S l'ensemble des fonctions paires de F p , par A celui des fonctions impaires. Montrer que H(S >< A) = A >< S. III.D.3) On considère la suite de fonctions ( fn)" E N définie dans la question III.C. Montrer que pour tout n de ]N , il existe un couple unique de fonctions Pn et Q,, de Fn, Pn paire et Qn impaire, telles que : Vx E [R , f,,(x) = P,,(x)sinx + Qn(x)cosx . Déterminer Pn et Q,, pour n = O, 1, 2. III.D.4) Montrer que, pour tout n EUR IN* et tout x E IR , Pn +1(x) = (2n + 1)Pn(x) -- x2Pn _ 1(x) . En déduire que les fonctions Pn sont des polynômes à coefficients entiers. III.E - On suppose ici que le réel « est élément de (D , ensemble des nombres rationnels. ' Soit donc p élément de Z et q élément de IN* tels que 'n' = p/q. III.E.l) Montrer que la suite ((ZQ)nPn(g))n & IN est une suite d'entiers. Quelle est sa limite ? III.E.2) En déduire que 11 n'est pas rationnel. Partie IV - Soit (an)n EUR IN la suite définie par, pour tout n de IN , an = 1 si sinn > 0
, an = 0
sinon.
Le but de cette partie est d'étudier si cette suite à valeurs entières est
élément
de UP.
IV.A - On suppose que cette suite est ultimement périodique.
IV.A.1) Montrer qu'il existe un entier N et un entier strictement positif T tels
que, pour tout entier k supérieur ou égal à N , le signe de sin(k T) soit
constant.
IV.A.2) En déduire que la suite (cos(kT))k EUR ... est composée de réels
stricte-
ment positifs à partir d'un certain rang.
IV.B - Soit G = ZT + 2172 = {nT + 2k«, (n,k) & Z2}.
IV.B.1) Montrer que G est un sous--groupe additif de IR. Existe-t--il a E IR tel
que G = aZ '?
IV.B.2) On pose G+ = G 0 IR" (ensemble des éléments strictement positifs de
G ). Montrer que G+ possède une borne inférieure a .
IV.B.3) On suppose a E G". Montrer que G = al.
IV.B.4) a n'est donc pas élément de G+. Supposant a > 0 , montrer que l'on
peut trouver deux éléments g et g' de G+ tels que a < g' < g < 2a . En déduire a = 0. NC - _ IV.C.1) Montrer que, pour tout n E ]N , il existe gn E G tel que 0 < gn < 10" . IV.C.2) Soit x un réel.' Construire une suite d'éléments de G convergeant vers x. IV.D- IV.D.1) Montrer l'existence d'une suite d'entiers positifs (kn) suite (cos(knT))n E ]N converge vers -(1/2). Montrer que l'ensemble {cos(knT),n EUR IN} des termes de cette suite n'est pas de cardinal fini. n E N telle que la IV.D.2) Construire alors une suite strictement croissante ( yn) extraite de (kn)n E N telle que la limite de (cos(ynT))n E IN soit -(1/2). IV.D.3) La suite (an) est--elle ultimement périodique ?' nEIN nEIN 00. FIN ooo-
