Centrale Maths 1 PC 2005

Thème de l'épreuve Exemples et contre-exemples de suites ultimement périodiques. Irrationalité de π.
Principaux outils utilisés suites, séries entières, division euclidienne, raisonnement par récurrence, trigonométrie, polynômes, fractions rationnelles, développement décimal d'un nombre réel

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On_ ...ËE _ mw30F<îw1&<ë ...m>=ea..._ mêw uÆmQ:OE .. ÆOEÈoeU mËou=eü On dit qu'une suite réelle a = (an)n EUR IN est ultimement périodique lorsqu'elle est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe noelNetpe]N* telsque: ' (Æ) VnEIN,nzno=>an+p=an. (L'entier p est une période de la suite (an)n 2 no ). On note UP l'ensemble des suites ultimement périodiques de réels. L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples. Partie I - I.A - Montrer que UP est un sous espace vectoriel de l'espace IR1N des suites réelles. Est-il de dimension finie ? I.B - Soit a = (an)n E ]N un élément de UP et ÿ(a) l'ensemble des entiers p 2 1 tels que la suite a admette p pour période à partir d'un certain rang. I.B.1) Montrer qu'il existe un entier T 2 1 (que l'on appellera la période de a ) tel que : 9%) = 1N*T = {kT,k & 1N*}. Que peut-on dire de la suite lorsque T = 1 ? I.B.2) Montrer qu'il existe un plus petit entier "0 tel que : VnEIN, nZnO=--»an+T = an Montrer que, pour tout p E ÿ(a) , n° est le plus petit entier à partir duquel la suite (an)n 6 IN devient p -périodique. Combien de paramètres réels suffisent à définir parfaitement a ? I.C - Soit a, = (an)n E N un élément de UP. 1.0. 1) Montrer que a est bornée et que le rayon de convergence Ra de la série entière Eaux" est strictement positif. A quelle condition nécessaire et suffi- sante Ra est-il égal à +00 ? Que vaut--il sinon ? I.C.2) Montrer que la somme de cette série est une fraction rationnelle. Dans quel cas est-ce un polynôme ? I.D - Soit Zanx" une série entière de rayon de convergence R > 0 , dont la somme est la restriction à ]--R, R[ d'une fraction rationnelle. La suite (an) est-elle ultimement périodique ? nEIN Partie II - II.A - Exemple 1 On définit la suite (Fn)n EUR IN par : FO = o,F1 = 1 etVnEIN,Fn+2 = Fn+l+Fn et la suite (un)"E1N par an = 0 si Fn est pair et an = 1 sinon. La suite (an)n EUR IN est-elle ultimement périodique ? Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière îanxn . II.B - Exemple" 2 On définit maintenant la suite (an)n E N par : ao = 1 etVnE]N,a2n = an eta2n+1 = --an. II.B.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière îanxn . On note S sa somme. II.B.2) Trouver une relation liant S(x) et S(x2) . En déduire que, pour tout x , x E ]-- 1, 1[ , ' S(x) = lim Îl (l--x(2k)). n--++ook=0 II.B.3) Étudier, pour n donné dans IN, lim ( S(x) ) x ---> 1-- (l -- x)" et en déduire que (an) II.C - Exemple 3 Soit x = a / b un rationnel strictement positif, donné sous forme irréductible. On définit deux suites d'entiers (rn)n E N et (dn)n E N par : n EUR IN n'est pas ultimement périodique. 0 de = E(x) (partie entière) et '"o est le reste de la division euclidienne de a par b . 0 pour tout n 2 1 , rn (resp. dn) est le reste (resp. le quotient) de la division euclidienne de 10 - "n _ 1 par b . II.C.1) Dans cette question (uniquement), x = 22/7. Déterminer do, dv ..., d10 . 11 C 2) Montrer que la suite (rn)n E N de (d n)n ElN ? II.C.3) Montrer que, pour tout n E ]N* , 0 s dn s 9. 11.0.4) Établir l'égalité : est ultimement périodique. Qu'en est-il = E(x) + Z dn10"" n=l Partie III - Le but de cette partie est de montrer que le réel 11' n'est pas un élément de (D . E = C°°(IR, IR) est l'espace des fonctions de classe C°° de IR dans lui-même. Pour tout élément f de E , on note F l'application de IR dans IR définie par : Vx EUR IR, F(x) = Jotf(t)dt. III.A - L'application de E qui à tout élément f associe F est notée L . Vérifier que L est une application linéaire de E dans E. III.B - On considère dans cette question un élément f de E supposé borné sur IR et on note M = ||f||oe,m = supxem|f(x)l. III.B.1) Montrer que, pour tout x de IR , 2 |F(x)l s M'--",-- III.B.2) On définit une suite d'éléments de E par f 0 = f et, pour tout n de ]N , fn+l =_L(fn)° Montrer que, pour tout n de ]N* et tout x de IR , x2n |fn (x) |< 2. 4... .'2nM III. B. 3) Soit I un segment quelconque de IR. Montrer que pour tout n , f ,, est bomée surI et lim (sup EUR] |fn(x)|) = n---->+oo III.C - On prend maintenant dans cette question et dans les suivantes f = sin , et on considère la suite de fonctions définie comme dans la question précédente. III.C.1) Déterminer les fonctions f1 et f 2. 111.02) Montrer que, pour tout n de IN* et tout x de IR, f,, +1(x) = (2n + 1)f,,prFp (RQ) H (P' '" Q,P + Q') Vérifier que H est un automorphisme de F p >< F p . III.D.2) On désigne par S l'ensemble des fonctions paires de F p , par A celui des fonctions impaires. Montrer que H(S >< A) = A >< S. III.D.3) On considère la suite de fonctions ( fn)" E N définie dans la question III.C. Montrer que pour tout n de ]N , il existe un couple unique de fonctions Pn et Q,, de Fn, Pn paire et Qn impaire, telles que : Vx E [R , f,,(x) = P,,(x)sinx + Qn(x)cosx . Déterminer Pn et Q,, pour n = O, 1, 2. III.D.4) Montrer que, pour tout n EUR IN* et tout x E IR , Pn +1(x) = (2n + 1)Pn(x) -- x2Pn _ 1(x) . En déduire que les fonctions Pn sont des polynômes à coefficients entiers. III.E - On suppose ici que le réel « est élément de (D , ensemble des nombres rationnels. ' Soit donc p élément de Z et q élément de IN* tels que 'n' = p/q. III.E.l) Montrer que la suite ((ZQ)nPn(g))n & IN est une suite d'entiers. Quelle est sa limite ? III.E.2) En déduire que 11 n'est pas rationnel. Partie IV - Soit (an)n EUR IN la suite définie par, pour tout n de IN , an = 1 si sinn > 0 , an = 0 sinon. Le but de cette partie est d'étudier si cette suite à valeurs entières est élément de UP. IV.A - On suppose que cette suite est ultimement périodique. IV.A.1) Montrer qu'il existe un entier N et un entier strictement positif T tels que, pour tout entier k supérieur ou égal à N , le signe de sin(k T) soit constant. IV.A.2) En déduire que la suite (cos(kT))k EUR ... est composée de réels stricte- ment positifs à partir d'un certain rang. IV.B - Soit G = ZT + 2172 = {nT + 2k«, (n,k) & Z2}. IV.B.1) Montrer que G est un sous--groupe additif de IR. Existe-t--il a E IR tel que G = aZ '? IV.B.2) On pose G+ = G 0 IR" (ensemble des éléments strictement positifs de G ). Montrer que G+ possède une borne inférieure a . IV.B.3) On suppose a E G". Montrer que G = al. IV.B.4) a n'est donc pas élément de G+. Supposant a > 0 , montrer que l'on peut trouver deux éléments g et g' de G+ tels que a < g' < g < 2a . En déduire a = 0. NC - _ IV.C.1) Montrer que, pour tout n E ]N , il existe gn E G tel que 0 < gn < 10" . IV.C.2) Soit x un réel.' Construire une suite d'éléments de G convergeant vers x. IV.D- IV.D.1) Montrer l'existence d'une suite d'entiers positifs (kn) suite (cos(knT))n E ]N converge vers -(1/2). Montrer que l'ensemble {cos(knT),n EUR IN} des termes de cette suite n'est pas de cardinal fini. n E N telle que la IV.D.2) Construire alors une suite strictement croissante ( yn) extraite de (kn)n E N telle que la limite de (cos(ynT))n E IN soit -(1/2). IV.D.3) La suite (an) est--elle ultimement périodique ?' nEIN nEIN 00. FIN ooo-

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 Centrale Maths 1 PC 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Lecomte (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet propose d'étudier quelques propriétés, exemples et contre-exemples dans le registre des suites ultimement périodiques. Comme leur nom l'indique, ces suites deviennent périodiques à partir d'un certain rang. L'énoncé propose de s'intéresser à des exemples concrets de suites : on aimerait déterminer si elles sont ultimement périodiques ou non. Cela mène à des questions difficiles, mais très intéressantes. · La première partie de cette épreuve consiste à étudier les propriétés élémentaires des suites ultimement périodiques (la plupart étant déjà connues pour les suites périodiques). On y établit que toutes les périodes d'une telle suite a sont multiples Pd'un même entier appelé ensuite la période. Puis on étudie la série entière an xn , dont on détermine le rayon de convergence, et on montre que sa somme est une fonction rationnelle. · La deuxième partie s'intéresse au caractère ultimement périodique de trois suites relativement simples. On est guidé à travers chaque cas par trois ou quatre questions de difficulté modérée. · La troisième partie semble s'écarter du thème général et s'attache principalement à faire démontrer par le candidat l'irrationalité de . Il s'agit d'un résultat bien connu, mais dont peu de personnes ont déjà vu la preuve en classes préparatoires. · Finalement, on étudie dans la dernière partie la suite définie par 1 si sin n > 0 n N an = 0 sinon Déterminer si cette suite est ultimement périodique est une tâche difficile, technique et ingénieuse. On utilise abondamment le fait que est irrationnel. Cette épreuve est très longue (trop longue pour les quatre heures imparties), globalement assez difficile et les questions sont de difficultés inégales. Néanmoins, nous l'avons trouvée extrêmement intéressante. C'est l'occasion de pouvoir dire qu'on a démontré soi-même l'irrationalité de , ou d'être confronté à la suite (sin n)nN dont le comportement est si difficile à appréhender. De manière générale, cette épreuve n'utilise pas beaucoup de résultats de cours. Elle teste surtout la perspicacité du candidat, plutôt que son habileté à manier les théorèmes appris en cours. Indications Première partie I.B.1 Définir T comme étant le plus petit élément non nul de P(a). Si p est un autre élément de P(a), effectuer la division euclidienne de p par T. I.B.2 Si p est un élément de P(a), on note np le plus petit entier à partir duquel la suite a devient p-périodique. Établir d'abord que np 6 n0 en utilisant la question I.B.1. Si n > np , on sait que N an+p = an et an+T+p = an+T Choisir un convenable pour pouvoir aussi assurer que an+T+p = an+p et en déduire que an+T = an . Conclure. P I.C.1 La série entière an xn est de rayon de convergence infini si et seulement si la suite a est nulle à partir d'un certain rang. I.C.2 Couper la somme au rang n0 . Multiplier le terme S(x) = X an xn n=n0 par xT , puis exploiter la T-périodicité de a pour établir que (1 - xT )S(x) est un polynôme. 1 I.D Considérer la fonction développable en série entière x 7- . 1 - x/2 Deuxième partie II.A Examiner les dix premiers termes de la suite (Fn )nN devrait suffire à se faire une idée de la réponse. II.B.2 Dans l'expression de S(x) comme somme d'une série entière, séparer les termes pairs des termes impairs. La manière dont la suite a est définie devrait permettre alors d'établir que S(x2 ) = S(x)/(1 - x). Itérer cette relation avec k k-1 x2 , x2 , . . . , x et se souvenir que S est continue en 0. 1 - xk II.B.3 On sait que pour tout entier strictement positif k, a une limite finie 1-x lorsque x tend vers 1. II.C.1 La suite (rn )nN prend ses valeurs dans {0, . . . , b - 1}. Nécessairement, certains termes doivent être répétés. Utiliser alors la relation 10 rn-1 = bdn + rn , valable pour tout n. II.C.4 La relation précédente permet de montrer par récurrence que, pour tout enn P rn tier n, a = b dn 10-n + n . 10 k=0 Troisième partie III.D.1 H est une application linéaire entre deux espaces de même dimension. D'après le théorème du rang, il est suffisant de montrer que H est injective pour pouvoir dire qu'il s'agit d'une bijection. III.D.2 La suggestion est la même qu'à la question III.D.1, en considérant cette fois e : S × A - A × S, qui coincide avec H sur S × A. Ne pas oublier l'opérateur H de montrer préalablement que H(S × A) A × S. III.D.3 Établir le résultat par récurrence. Les polynômes (Pn+1 , Qn+1 ), que l'on cherche alors à construire, vérifient la relation H(Pn+1 , Qn+1 ) = (XPn , XQn ). Leur existence est donc assurée par le résultat de la question III.D.2. III.D.4 Utiliser les relations établies aux questions III.C.2 et III.D.3. III.E.1 Le polynôme Pn est de degré au plus n. Par conséquent, Pn (/2) = Pn (p/2q) est une somme de fractions dont (2q)n est un dénominateur commun. On a fn (/2) = Pn (/2) d'après la question III.D.3. Utiliser alors la majoration de la question III.B.2 pour montrer que (2q)n Pn (/2) ---- 0. n III.E.2 Revenir à la définition de fn : montrer par récurrence que fn est strictement positive sur ] 0 ; /2 ]. En déduire que (2q)n Pn (/2) > 1. Conclure. Quatrième partie IV.A.2 Pour tout entier k supérieur à N, 2k est aussi supérieur à N. D'après la question IV.A.1, sin(2kT) et sin(kT) ont le même signe. IV.B.3 Si x appartient à G, montrer que x - aE(x/a) = 0 en vérifiant qu'il s'agit d'un élément de G, positif, inférieur strictement à a. IV.B.4 Comme 0 est l'infimum de G+ et n'appartient pas à cet ensemble, il vérifie la propriété > 0 g G 0 0. Pour tout entier n, la suite (kgn )kN tend vers +. Il existe donc un entier Kn tel que Kn gn 6 x < (Kn + 1)gn . Vérifier que la suite (Kn gn )nN converge vers x. IV.D.1 D'après la question IV.C.2, il existe une suite (pn T + 2qn )nN d´éléments de G convergeant vers 2/3. Vérifier que kn = |pn | convient. Pour la suite, supposer que cos(kn T) nN ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Comme elle converge vers -1/2, elle est constante à partir d'un certain rang N. En particulier, cos(kN T) = -1/2. En déduire que est rationnel et conclure. IV.D.2 D'après la question précédente, l'ensemble {kn | n N} est infini. Comme il ne contient que des entiers, la suite (kn )nN n'est pas bornée et il s'ensuit que {n | kn > M} est infini quel que soit le réel M > 0. Il s'agit là de l'ingrédient essentiel pour construire la suite extraite demandée. IV.D.3 Les résultats obtenus aux questions IV.A.2 et IV.D.2 se contredisent. Partie I I.A On considère deux suites (an )nN et (bn )nN dans UP, ainsi qu'un réel . Les suites étant ultimement périodiques, on sait que et p N na N n > na an+p = an q N nb N n > nb bn+p = bn On pose alors n0 = Max (na , nb ), de sorte que a et b sont toutes deux périodiques après le rang n0 . On a alors n > n0 puisque an+pq + bn+pq = an + bn an+pq = an+(q-1)p = an+(q-2)p = · · · = an et de même pour bn+pq . La suite a + b est donc pq-périodique à partir du rang n0 : elle se trouve dans UP. Bien entendu, UP n'est pas vide puisqu'il contient la suite constante nulle. Par conséquent, UP est un sous-espace vectoriel de RN . Pour tout entier k, on note ek la suite dont tous les termes sont nuls, sauf le k e qui vaut 1. Il s'agit d'une suite ultimement périodique, puisqu'elle est nulle à partir du rang k + 1. Alors la famille (ek )kN est linéairement indépendante. En effet, donnons-nous une partie finie {n1 , . . . , nr } de N ainsi que des réels r P 1 , . . . , r tels que k enk soit la suite nulle. Pour un entier n quelconque, son ne k=1 terme est nul, c'est-à-dire r X k enk ,n = 0 k=1 Alors, pour tout h dans {1, . . . , r}, on particularise la relation précédente en n = nh pour obtenir h = 0, ce qui prouve la liberté de la famille (enk )16k6r . L'espace vectoriel UP est de dimension infinie car il contient la famille libre infinie (ek )kN . I.B.1 L'ensemble P(a) est une partie non vide de N et admet donc un plus petit élément T. Par suite, a admet T pour période à partir d'un certain rang n0 . Soit k un entier strictement positif et n un entier supérieur à n0 . On a an+kT = an+(k-1)T = an+(k-2)T = · · · = an La suite a est donc kT-périodique au-delà du rang n0 . Ceci prouve que pour tout entier naturel k non nul, kT est un élément de P(a). Réciproquement, soit p un élément de P(a). Il existe un entier n1 tel que a soit p-périodique à partir du rang n1 . On pose donc N = Max (n0 , n1 ), de sorte que a soit à la fois p et T-périodique à partir du rang N. Procédons à la division euclidienne de p par T : !(q, r) N avec 0 6 r < T p = qT + r