Centrale Maths 1 PC 2003

Thème de l'épreuve Intégrabilité en l'infini et application aux séries divergentes
Principaux outils utilisés relations de comparaison, intégrabilité, primitives usuelles, calcul intégral

Corrigé

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on_ e.........___... _ m...:QÈËEË ...âä... 1 «dem ooeäQ:OE - Æ$Ëoeü mËoocoü Plan du problème Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur les applications intégrables; Elles sont illustrées par la partie I et utilisées pour établir les résultats de la partie Il. Dans les parties III et IV, on étudie le com- portement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui précèdent. Rappels et notations Si de plus Zun est convergente, on note (R") Soient f et g deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s'annu-- lant pas au voisinage d'un élément b e IR u {+oo, --oo} , sauf éventuellement en ce point. f et g sont dites équivalentes en b si et seulement si leur quotient tend vers 1 en b . On notera alors f ... g en b . f est dite négligeable devant g en b si et seulement si le quotient f / g tend vers 0 en b . On notera alors f : o(g) en b. Soient (un) et (Un) deux suites réelles de termes non nuls à partir d'un cer-- tain rang. Les suites (un) et (un) sont dites équivalentes si et seulement si la un su1te (wn) defin1e pour n assez grand par wn : converge vers 1 ; on note 7 alors un ... Un . La suite (un) est dite négligeable devant (vn) si et seulement si (wn) converge vers 0 ;on note alors un : o(vn). Pour une série E"n de nombres réels, on note (Sn) la suite de ses som- n & IN mes partielles : n pournelN,Sn : Zak. k=0 la suite de ses restes : n 6 IN +oo pournelN,Rn : 2 uk. k=n+l ln désigne le logarithme népérien. Préliminaires Soit a & IR et b e ]a, +oe[ u {+oo} , f et g deux applications continues par mor-- ceaux sur [a, b[ à valeurs strictement positives. 1) On suppose que g est intégrable sur [a, b[. a) Montrer qu'en b , la relation f : o(g) entraîne b b ! f = 00 g)- h) Montrer qu' en b ,la relation fN g entraîne Jî f LÎ g (on justifiera l'intégrabilité de f sur les intervalles [x, b[ considérés). 2) On suppose que g n 'est pas intégrable sur [a, b[ . a) Montrer qu'en b , la relation f : o(g) entraîne Jîf : io(Jîg). Montrer à l'aide d'exemples que l'on ne peut en général rien dire de l'intégrabi-q lité de f sur [a, b[. b) Montrer qu'en b , la relation f ... g entraîne Jîf ... Jî g. Que dire de l'intégrabilité de f sur [a, b[ ? Partie I - I.A - I.A.l) Déterminer un équivalent simple de et dt enO xArc sint 2 t I.A.2) En déduire un équivalent simple de JS dt en 0+ . I.B - I.B.1) À l'aide d'une intégration par parties, montrer qu'en +oo , on & xi ... x l21n(t) ln(x) 3 Arc sint I.B.2) Plus généralement, si n est un entier naturel, établir le développe- ment asymptotique suivant en +oo : x dt " k!x x : + . J21n(t) këol nk+l(x) O(lnn+l(x)) LC - I.O.1) Justifier le xdéveloppement asymptotique suivant en +oo : t x x I d+=-- +%++(EUR--.) 113 +1 x x_ I.C.2) Écrire, dans le langage associé au logiciel de calcul formel utilisé, une procédure permettant d'obtenir le terme d'indice n (n 2 2) du développement asymptotique en +oo (par rapport aux----- ,.>.k 2 ) de: xk et dt xl_>"ltze +1 (on indiquera le logiciel de calcul formel utilisé). Partie II - Soit a un nombre réel et f une application de classe C sur [a, +oo[ à valeurs strictement positives. On suppose que le quotient xÂÂ)) tend vers une limite finie ou en +oo. 1n(f (x)) ,. ln(x) tend vers ce II.A - Montrer à l'aide des préliminaires qu'en +oo (on peut distinguer le cas oc : 0 ). II.B - On suppose dans cette question oc < --1 . H. B. 1) Montrer que f est intégrable sur [a, +oo[ . ... --xf(x) IIB.2) Montrer qu'en +oo ,ÇonaJ oef a+1 (on peut considérer '(Îîx 1) et utiliser les préliminaires). II.C - On suppose dans cette question oc > --1 . II.C.1) Étudier l'intégrabilité de f sur [a, +oe[. II.C.2) Montrer qu'en +oo , 'on a fo ... xf(x) oc+1' , II.C.3) Donner un exemple d'application f de classe C1 sur [a, +oe[ à valeurs strictement positives telles qu' en +oo le quotient ln(f(x)) tende vers une limite oc > --1 , mais telle que l'on n'ait pas la f" oc + 1 ILD - ll.D.1) Étudier l'intégrabilité sur [2, +oo[ des applications x 1----> B' selon [3 & IR . x(ln x) H.D.2) Étudier, à l'aide des questions précédentes, l'intégrabilité sur [2, +oo[ des applications x 1--> selon Be IR et y e ]R. xy(ln oc)B , ILE - Que conclure quant à l'intégrabilité de f sur la, +oo[ dans le cas oc : ----1 ? Partie III - . . \ . . 1 \ Dans cette part1e, on cons1dere une appl1cat10n f de classe C sur IR+ , a valeurs strictement positives. f_'(_x) (96) On considère la série dTe-- terme général f(n ). On note (S ) la suite de ses n n & IN sommes part1elles et (Rn)n EUR IN la suite de ses restes quand la sér1e converge. . \ . . . + On assoc1e a f deux apphcat10ns u et v continues par morceaux sur IR et définies par : On suppose qu'en +oo, tend vers oc EUR IR. pour tout n e ]N* et tout xe [n-- 1,n[, u(x) : f(n) et v(x) : Jn1f(t)dt. On pose enfin pour tout x e IR+ , h(x) : e"°'x f(x) . HLA - Soit 8 > 0 fixé. Montrer l'existence de n'0 & ]N* tel que pour tout entier n 2720 et tout te [n--l,n],on ait: lh(t) -- h(n)l s  

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 Centrale Maths 1 PC 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Le but de ce sujet est l'étude des intégrales généralisées de fonctions positives et continues (par morceaux), en les comparant à des fonctions de référence simples, c'est-à-dire dont on connaît une primitive. Dans les préliminaires, on démontre des propriétés d'intégrabilité et l'on donne des estimations des restes ou des parties principales (selon la convergence) des intégrales en question. On applique alors ces résultats dans la partie I pour trouver les équivalents puis les développements asymptotiques d'intégrales divergentes. On effectue le même travail dans la partie II sur une classe bien particulière de fonctions positives, avec une application aux intégrales de Bertrand. La partie III fait le lien entre l'intégrabilité d'une fonction positive f (d'une certaine classe) et la convergence de la série de terme général f (n) : on estime alors le reste ou la partie principale de la série en fonction de ceux de l'intégrale. Enfin, dans la partie IV, on utilise les résultats de la partie III ­ et une transposition des résultats des préliminaires aux séries à termes positifs ­ pour obtenir des équivalents, puis des développements asymptotiques de certaines séries. Après tant d'efforts, on accède finalement au Graal : la formule de Stirling ! Ce sujet est assez long, même s'il ne présente pas de difficulté particulière. Cependant, on utilise les mêmes idées tout au long des différentes parties ­ intégration de relations de comparaison ­ avec un raffinement et une complexité croissants, si bien qu'il serait délicat de prétendre s'attaquer à une partie sans avoir traité les autres auparavant. Indications 1.a Utiliser la définition de f = o(g) pour majorer f au voisinage de b. 1.b Se ramener à la question précédente. I.A.1 Rechercher un équivalent en 0+ et appliquer le résultat de la question 2.b. I.A.2 Utiliser la relation de Chasles et le résultat de la question précédente. I.B.1 Après l'intégration par parties, appliquer la question 2.a à la nouvelle intégrale. I.B.2 Réitérer l'intégration par parties et les estimations faites en I.B.1. I.C On peut procéder comme à la question précédente pour établir directement la forme générale du développement asymptotique. Pour la procédure de calcul, proposée ici sous Maple, utiliser les coefficients de Taylor d'une fonction bien choisie. II.A Comparer f (x)/f (x) à 1/x et utiliser les préliminaires. II.B.1 En utilisant la question II.A, comparer f (x) à 1/x1+h , avec h > 0. II.B.2 Faire plutôt apparaître la dérivée de la fonction proposée. II.C Procéder de manière analogue à la question II.B. Pour le contre-exemple, on peut construire une fonction bornée et strictement positive, qui oscille régulièrement et dont la primitive a un équivalent polynomial. II.D.1 Trouver des primitives explicites. II.D.2 Utiliser les questions II.B, II.D.1 et II.C. II.E La réponse est donnée à la question II.D.1. III.A Appliquer le théorème des accroissements finis à ln(h) entre t et n. III.B En déduire une relation sur f , l'intégrer sur [ n - 1 ; n ], puis faire tendre vers 0. III.C.2 Comparer u et v en + et utiliser les préliminaires. III.D Intégrer le résultat de la question III.A pour obtenir une formule analogue à celle de la question III.B. Suivre ensuite le même raisonnement qu'aux questions III.C.2 et III.C.3. IV.A.1 Utiliser la question III.D. IV.A.3 Utiliser la question III.C.3. IV.B Définir des fonctions en escaliers A et B au moyen des suites (an ) et (bn ) (homologues de la fonction u de la partie PIII). Les P utiliser pour transposer les résultats des préliminaires aux séries an et bn . IV.C.1 Se ramener à l'étude d'une série convergente et utiliser un développement asymptotique de son terme général. IV.C.2 Appliquer le logarithme et procéder comme à la question précédente. Préliminaires 1.a Notons tout d'abord que comme les fonctions f et g sont continues par morceaux sur [ a ; b [, elles sont intégrables sur tout intervalle [ a ; x ] [ a ; b [. Les fonctions f et g sont à valeurs strictement positives et vérifient f = o(g) en b. Soit > 0 ; il existe alors > 0 tel que t [b - ;b[ 0 < f (t) 6 g(t) Puisque g est intégrable sur [ a ; b [, cette inégalité implique que f est intégrable sur [ b - ; b [ donc sur [ a ; b [. On obtient alors, en l'intégrant entre x et b, Z b Z b x [b - ;b[ 0< f (t) dt 6 g(t) dt x x Comme on peut trouver un tel > 0 pour tout > 0, on en déduit que ! Z Z b b f (t) dt = o xb x g(t) dt x On obtient le même résultat en supposant simplement que g est de signe constant (sans point d'annulation) au voisinage de b. L'hypothèse sur le signe de f est quant à elle totalement superflue : il suffit en effet d'appliquer le résultat précédent aux fonctions |f | et |g|. Cette remarque est valable pour tout le reste du problème, que g soit intégrable ou non (on se dispensera de refaire la même remarque à la fin de la question 2.a), et que f soit négligeable devant g ou équivalente à g (voir les questions 1.b et 2.b : on ne se soucie pas du signe de f - g). En particulier, on s'en servira aux questions I.C.1 (signe de u(n) ) et II.A (signe de f /f ). 1.b On se ramène simplement à la question précédente en notant que f (x) g(x) xb si, et seulement si, f - g = o (g) xb (voir la remarque ci-dessus). Ainsi, f -g est intégrable sur [ a ; b [ donc f est intégrable sur cet intervalle et ! Z bh Z b Z b Z b i f (t) - g(t) dt = f (t) dt - g(t) dt = o g(t) dt x x Z soit b f (t) dt = x Comme Z xb x Z b g(t) dt + o xb x Z b x g(t) dt x ! b g(t)dt 6= 0 pour tout x [ a ; b [, car g est continue et strictement positive x sur cet intervalle, on en déduit que Z b Z b f (t) dt g(t) dt x xb x 2.a f est négligeable devant g en b, donc pour > 0 fixé il existe > 0 tel que t [b - ;b[ 0 < f (t) 6 g(t) 2 si bien que pour tout x dans [ b - ; b [ Z x Z b- Z x Z b- Z x g(t) dt f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt 6 f (t) dt + 2 b- a a b- a Puisque la fonction positive g n'est pas intégrable sur [ a ; b [, on a Z x lim g(t) = + xb b- En particulier, il existe 1 ] 0 ; [ x 2 g(t) dt > b- Z x [ b - 1 ; b [ Z b- f (t) dt a qui est une constante par rapport à x, et Z b- Z x x [ b - 1 ; b [ f (t) dt 6 g(t) dt 2 b- a Z x Z x Z x d'où x [ b - 1 ; b [ f (t) dt 6 g(t) dt 6 g(t) dt a b- a Pour résumer, on a ainsi > 0 Z 1 > 0 x [ b - 1 ; b [ x f (t) dt 6 a Z soit x f (t) dt = o xb a x g(t) dt a x Z Z g(t) dt a Notons que l'on ne peut rien dire de l'intégrabilité de f sur [ a ; b [. Par exemple, si b est fini et que l'on pose 1 1 g : x 7- f1 : x 7- f2 : x 7- 1 2 (b - x) (b - x) les fonctions f1 et f2 sont alors négligeables devant g en b, mais f2 est intégrable sur [ a ; b [ tandis que g et f1 ne le sont pas. 2.b Comme à la question 1.b, on a donc f (x) g(x) xb Z d'où Z (f (t) - g(t)) dt = o xb x f (t) dt = a Comme Z x xb x a soit f - g = o (g) Z Z x g(t) dt + o g(t) dt a Z xb a x x a g(t) dt g(t) dt 6= 0 pour tout x [ a ; b [, puisque g est continue et strictement a positive sur cette intervalle, on a finalement Z x Z x f (t) dt g(t) dt a xb a