Centrale Maths 1 PC 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Walter Appel (professeur en CPGE) ; il a été relu par David Lecomte (Université de Stanford) et Thomas Chomette (Professeur en CPGE). Ce sujet est composé de quatre parties d'intérêt et de difficulté variables. · La première partie nous permet de définir par récurrence trois suites de fonctions obtenues d'après un raisonnement géométrique (dans la tradition des écrits de Centrale). L'une de ces trois suites de fonctions est au coeur du sujet. On montre sa convergence (simple) vers une fonction x définie sur ] 0 ; [ et continue en tous points, puis on étudie (modulo la multiplication par une fonction sin2 ) sa série de Fourier. · La deuxième partie est indépendante de la suite. On y établit quelques propriétés de la fonction x et, notamment, on montre que ses variations sont extrêmement rapides au voisinage de 0. · La troisième partie, la plus intéressante, permet d'étudier des fonctions définies par des séries de Fourier lacunaires, en l'occurrence des fonctions dont les fréquences représentatives sont de la forme 2n , pour n N. On y établit (à la suite de quelques calculs et raisonnements parfois lourds à rédiger) le joli P résultat suivant : si an est une série absolument convergente, si l'on pose v(t) = P 2 an cos 2n t n=0 pour tout t R et si v est dérivable en au moins un point de R, alors on a an = o (2-n ). · La quatrième partie, composée d'une unique question, clôt le problème en montrant que la fonction x de la première partie n'est dérivable en aucun point de ] 0 ; [, même si elle est partout continue. Indications Partie I I.A.2 Se souvenir des techniques de projection orthogonale sur un sous-espace affine. I.B.1 Séparer les cas xn (t) = yn (t) et xn (t) 6= yn (t). I.B.1.a Effectuer une récurrence. + k avec I.B.1.b Traduire la condition tan2 (2N-1 t) = 1 sous la forme 2N t = 2 k Z. I.B.2 Allier la formule obtenue aux questions I.B.I.a et I.A.2. I.B.3 Effectuer une récurrence. I.B.4 Poser wn = un+1 - un et montrer la convergence uniforme de la série P wn . I.B.5 Effectuer le prolongement pour chaque terme de la série définie précédemment. Montrer qu'une série trigonométrique est égale à sa série de Fourier lorsqu'elle converge uniformément. I.B.6 Utiliser la formule établie à la question I.B.1.a. Partie II II.B.2 Étudier la convergence normale de la série de fonctions définissant , ainsi que la convergence normale de la série des dérivées. II.C.1 Noter que la série définissant (/2) est alternée. II.C.2 Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. Partie III III.A.2 Se souvenir que sin tend vers 1 quand tend vers 0. b n0 (k) en fonction de vb(2n0 + k). Dresser la liste des ordres m Z III.B.3 Exprimer H pour lesquels vb(m) 6= 0. III.C.1 Ne pas abuser de la combinatoire, mais relier a0 à la série de Fourier de gN . III.D.1 Commencer par montrer la continuité en 0, le fait que K est bornée s'ensuit. Ne pas s'occuper de la note entre parenthèses. 2 III.D.2 Utiliser le résultat de la question III.A.2, puis la minoration | sin | > || h i valable sur - ; . 2 2 III.D.3 Appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue. I. Définition de la fonction x I.A.1 Voici une figure faisant apparaître les points A, B, C et A , B , C . B(y, z) C (y , z ) A (x , 0) 0 A(x, 0) B (y , -z ) C(y, -z) A (resp. B , resp C ) est la base de la hauteur issue de A (resp. B, resp C). I.A.2 On suppose que (x, y, z) 6= (x, x, 0). Alors x = y. Notons - u le vecteur - unitaire dirigé selon AB. Alors 1 y-x - u =p z (y - x)2 + z 2 C est la projection orthogonale de C sur la droite engendrée par - u et passant par A, -- - - AC = AC · - u u (y - x)2 - z 2 y - x y x = + z 0 z (y - x)2 + z 2 soit ce qui donne déjà z = z On trouve également (y - x)2 - z 2 (y - x)2 + z 2 y = x + (y - x) (1) (y - x)2 - z 2 (y - x)2 + z 2 donc, en notant que y - x = y - y et en réduisant au même dénominateur : y - x = - 2z 2 (y - x) (y - x)2 + z 2 (2) On pouvait, et il semblerait que de nombreux candidats soient passés par là, trouver les équations des diverses droites utiles et obtenir les coordonnées au moyen de manipulations algébriques et de substitutions. On obtient les bons résultats mais au prix de beaucoup plus de sueur. I.B.1 On suppose que zn (t) = 0. Deux cas se présentent alors. · Si xn (t) 6= yn (t) : alors la formule (1) est valable et nous permet d'obtenir immédiatement zn+1 (t) = 0 ; la formule (2) donne yn+1 (t) - xn+1 (t) = 0. · Si xn (t) = yn (t) : alors, par définition de T, T xn (t), yn (t), 0 = xn (t), yn (t), 0 ce qui nous donne immédiatement zn+1 (t) = 0 et yn+1 (t) - xn+1 (t) = 0. I.B.1.a Montrons par récurrence finie que la propriété P(n) définie par P(n) : yn (t) - xn (t) = tan(2n t) zn (t) (3) est vraie pour tout n [[ 1 ; N - 1 ]]. · P(0) vient de la définition de X0 (t). · P(n) = P(n + 1) : on suppose que n [[ 0 ; N - 2 ]] et que P(n) est vraie. Les relations (1) et (2) nous donnent 2zn (t) yn (t) - xn (t) yn+1 (t) - xn+1 (t) =- 2 zn+1 (t) yn (t) - xn (t) - zn (t)2 yn (t) - xn (t) zn (t) = - 2 yn (t) - xn (t) -1 zn (t) 2 2 tan(2n t) yn+1 (t) - xn+1 (t) = = tan(2 × 2n t) = tan(2n+1 t) zn+1 (t) 1 - tan2 (2n (t)) Nous avons ici utilisé la formule de trigonométrie classique : tan a + tan b 1 - tan a tan b que vous connaissez bien sûr par coeur, ou que vous avez encadrée au-dessus de votre lit pour la connaître par coeur le jour des concours. . . tan(a + b) = · Conclusion : la propriété est vraie pour tout n [[ 0 ; N - 1 ]]. n {0, . . . , N - 1} yn (t) - xn (t) = tan 2n t zn (t) I.B.1.b On a zN-1 (t) 6= 0, donc la relation 2 yN-1 (t) - xN-1 (t) - zN-1 (t)2 zN (t) = zN-1 (t) =0 2 yN-1 (t) - xN-1 (t) + zN-1 (t)2 nous permet de conclure que 2 2 yN-1 (t) - xN-1 (t) = zN-1 (t) 
