| Thème de l'épreuve | Majoration des dérivées successives d'une fonction |
| Principaux outils utilisés | dérivation, développements limités, formules de Taylor, intégrales dépendant d'une borne |
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Centrale Maths 1 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) ; il a été relu par
Vincent
Beck (ENS Cachan) et François Michel (École Polytechnique).
Ce sujet porte uniquement sur l'analyse réelle de base : on cherche à obtenir
des
relations de comparaison entre les dérivées successives d'une fonction
régulière.
La partie préliminaire donne deux résultats utiles par la suite, dont une jolie
formule de combinatoire obtenue à l'aide d'un développement limité.
La première partie est une étude particulière des fonctions deux ou trois fois
dérivables, qui ouvre naturellement sur la deuxième partie, plus générale. On y
apprend
ainsi qu'une fonction réelle f , d'une variable réelle, C n-1 et C n par
morceaux a ses n
premières dérivées bornées, pour peu que f et f (n) soient bornées et on
obtient pour
tout k dans {0, . . . , n} une majoration de sup f (k) en fonction de majorants
de |f |
et f (n) . Cette partie fait intervenir les deux résultats préliminaires.
La troisième et la quatrième partie s'attachent à trouver d'autres relations de
comparaison entre ces majorants.
C'est un problème difficile, qui permet toutefois de tester efficacement ses
connaissances en analyse réelle ; les outils utilisés sont la continuité, le
théorème des valeurs
intermédiaires, la dérivation, le théorème de Taylor, le lien entre intégration
et primitivation et le raisonnement par récurrence.
Ajoutons enfin que l'énoncé présente quelques ambiguïtés que nous nous efforçons
d'éclaircir au mieux dans ce corrigé.
Indications
Préliminaires
0.1 Calculer le développement de ex - 1 et le passer à la puissance m d'une
part ; d'autre part, développer, à l'aide de la formule du binôme, la quantité
m
(ex - 1) , puis développer chaque terme en zéro à un ordre bien choisi.
0.2 Faire une récurrence sur n.
Partie I
I.A.1 Écrire les deux développements proposés, puis les combiner.
I.A.2 Regarder pour quelles valeurs de h le second membre de l'inégalité
précédente
est minimal.
I.B.1 Même méthode que pour la question I.A.
I.B.2 Appliquer à f la question I.A.
Partie II
II.A Écrire les n - 1 formules de Taylor proposées par l'énoncé, puis les
combiner
judicieusement à l'aide de la formule établie à la question 0.1.
II.B Faire une récurrence sur k.
II.C.1 Supposer que l'un des Mk est nul et voir ce que cela implique pour f .
II.C.2 Montrer qu'on est dans les conditions d'application de la question 0.2
avant
de l'appliquer.
Partie III
III.A Utiliser le fait que toutes les « primitives » de f diffèrent d'une
constante par
rapport à une primitive-étalon et trouver la constante qui convient.
III.B.2 Utiliser la caractérisation de k donnée dans la question III.A,
c'est-à-dire
l'unique primitive de k-1 qui soit dans E.
III.B.3 Raisonner par récurrence sur k.
III.C.1 Utiliser la caractérisation de Tf établie à la question III.A.
III.C.2 Majorer chacun des deux termes par l'inégalité triangulaire et
l'inégalité de
la moyenne.
III.D Question ardue. Montrer qu'une fonction répondant à la question vaut 1 ou
-1 en chacun de ses points de continuité sur [0, 1] , puis établir qu'en fait
elle vaut 1 ou -1 sauf en ses points de discontinuité.
III.E Chercher, parmi les solutions de la question précédente, celles qui sont
de
plus continues.
III.F.1.a Penser au théorème de Rolle pour trouver 2p - 1 zéros, puis exhiber un
autre zéro par 2p-périodicité.
III.F.1.b Utiliser la construction faite à la question III.F.1.a pour montrer
le résultat.
III.F.2.a Étudier les variations de l(n-1) sur les intervalles de la forme ]k,
k + 1[, avec
k dans {0, . . . , 2p - 1}.
III.F.2.a Se placer en un maximum x0 de n et appliquer le théorème des valeurs
intermédiaires à l sur [x0 + k, x0 + k + 1] pour des entiers k. Conclure par
2p-périodicité.
III.F.2.c Combiner les résultats des deux questions précédentes à ceux des
questions
III.F.1.a et b.
III.F.3.a Pour , utiliser le fait que toute fonction continue sur le compact
[0, 2p] est
bornée et atteint ses bornes puis faire en sorte d'amener ce maximum dans
[0, 2p[.
Pour , prendre un point où n vaut n et s'assurer qu'il peut être pris
dans [0, 2p[.
III.F.3.b Utiliser le fait que est un extremum de f et que est un extremum de
n .
III.F.3.c Supposer la conclusion fausse et vérifier qu'on peut appliquer la
question
III.F.2 à h. En déduire qu'on ne peut avoir h () = h () = 0.
III.F.3.d Calculer les valeurs de 1 et 2 et appliquer la question I.A.2 à f .
III.G Montrer que la fonction proposée par l'énoncé est de classe C n sur [0, ]
et que ses n dérivées successives s'annulent en 0 et . En déduire qu'elle
peut être prolongée à ] - , 2] en une fonction C n . Puis la transformer de
manière à obtenir le résultat demandé.
III.H.1 Penser à la formule de Leibniz. Une majoration pas trop fine devrait
permettre de conclure.
III.H.2 Appliquer la question III.F.3h à fp , pour
p assez grand. Puis utiliser le fait
p pi
que f et fp coïncident sur - , . Enfin, faire tendre vers 1.
2 2
III.I Considérer la fonction proposée en indication par l'énoncé, en
choisissant a
et b judicieusement, de manière à obtenir l'inégalité demandée pour k = 1.
Puis procéder par récurrence, en appliquant à f (k) l'inégalité démontrée
juste avant.
Partie IV
IV.A Montrer que (Tp )p>2 converge uniformément vers 1 . À l'aide de la
question III.C.2, en déduire que (Tn p )p>2 converge uniformément vers n pour
tout n strictement positif. Puis appliquer une inégalité triangulaire (ou la
continuité de la norme) pour avoir le résultat.
IV.B Appliquer l'inégalité de la question III.I à Tn p et passer à la limite.
Préliminaires
0.1 On se donne un entier m strictement positif et on considère la fonction :
f: R R
x 7 (ex - 1)m
Comme le suggère l'énoncé, calculons le développement limité de f de deux
manières différentes. La question de l'ordre auquel on développe se pose alors ;
pour rester simple, on développe au plus petit ordre acceptable, à savoir m.
· Tout d'abord, on sait que
ex - 1 = x + o(x)
m
donc
(ex - 1)
= xm + o (xm )
· D'autre part, la formule du binôme donne
x R
f (x) =
m
P
Ckm ekx (-1)m-k
k=0
Or
ex = 1 + x +
Par suite
m xj
P
x2
xm
+ ...+
+ o(xm ) =
+ o (xm )
2!
m!
j=0 j!
k {0, . . . , m}
ekx =
m k j xj
P
+ o (xm )
j=0 j!
On réinjecte ces développements dans la formule du binôme :
!
m
m k j xj
P
P
m-k k
m
f (x) =
(-1)
Cm
+ o (x )
j=0 j!
k=0
f (x) =
m P
m
P
k=0 j=0
(-1)m-k Ckm
kj j
x + o (xm )
j!
Notons qu'on peut sortir le « petit o » de la somme sans aucun problème,
puisqu'une somme finie de o (xm ) reste un o (xm ).
Comparons cette version du développement de f à celle obtenue plus haut ; pour
cela, on intervertit l'ordre des sommations, de manière à ordonner l'expression
suivant les puissances croissantes de x :
m
j
m
P
P
x
f (x) =
(-1)m-k Ckm k j
+ o (xm )
j!
j=0 k=0
On a ainsi obtenu deux expressions du développement limité de f en 0 :
m
j
m
P
P
x
m
m
m-k k j
f (x) = x + o(x ) =
(-1)
Cm k
+ o (xm )
j!
j=0 k=0
Par unicité du développement limité, on obtient :