Centrale Maths 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Étude d'un endomorphisme sur un espace de fonctions
Principaux outils utilisés calcul intégral, fonctions définies par une intégrale, séries de fonctions, algèbre linéaire

Corrigé

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MATHÉMATIQUES / Filière PC

MATHÉMATIQUES |

Partie I -

Soit E l'espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles 
définies
sur l'intervalle [O, n] , que l'on munit du produit scalaire

(fig) + (fig) = i J0nf(t)g(t)dt
et des normes

f--> llfll1 = Jo"lf(t)|dt,
f--> ||f||2 = «/_(fIf ,

f-->llf|l...,= SUP VW-

0 S t S 'II
Pour tout n & IN , on note en (respectivement % ) la fonction définie sur [O, 
715] par
la formule cn(t) : cos(nt) (respectivement sn(t) : sin(nt) ).

Pour tout f e E , on note ;" la fonction définie sur IR, 27t -périodique, 
paire, coïn-
cidant avec f sur l'intervalle [O, n] et ;" la fonction définie sur IR, 27: 
-périodique,
impaire, coïncidant avec f sur l'intervalle ]O, n[ et vérifiant la condition
suivante : en tout point x de IR

f(x) = %( lim (Î(x+h)+Î(x--h))).

h-->O,h>0

I.A -

I.A.1) On considère la fonction f définie sur [O, 71:] par la formule
f (t) = -- 2t + n .

Représenter graphiquement les fonctions ? et Î .

I.A.2) Soit f un élément de E . Montrer (soigneusement) que la fonction Î est
définie et continue, et que la fonction f est définie et continue par morceaux.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction f soit conti-
nue.

Concours Centrale-Supélec 2000 1/5

MA THÉMA TIQUES / Filière PC

Filière PC

LB -
I.B.1) Soit f un élément de E .
Montrer que sur l'intervalle [O, n] , le problème aux limites

{w = --f
y(0) = y(fi) = 0

admet une solution et une seule notée Tf .
Indication : si on désigne par
t
FO :tæj0 f(u)du

la primitive de f sur [O, %] s'annulant en 0, on pourra exprimer Tf à l'aide
d'intégrales comportant FO .

L'objet du problème est d'étudier l'application T.

I.B.2) Déterminer précisément Tf lorsque f est la fonction définie au I.A.1)
et en donner une représentation graphique.

Partie II - Valeurs propres et vecteurs propres de T

II.A - Montrer que l'application T : f ----> Tf est un endomorphisme de E . 
Déte-
rminer son noyau et son image.

II.B - Pour tout entier naturel n , calculer Ton .
II.C - Vérifier que, pour tout couple (f 1,f 2) d'éléments de E ,
(Tf1lf2) : (f1lez)

Que peut-on dire de ( f 1|f 2) lorsque f1 et f 2 sont des vecteurs propres 
associés
à des valeurs propres distinctes ?

II.D - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de T.

ILE - On note S : (sn)nEUR }... .
II.E.1) Montrer que S est une famille orthonormale.

Concours Centrale-Supé/ec 2000 2/5

MA THÉMA TIOUES / Filière PC

II.E.2) Soit f un élément de E . Pour tout N 6 IN* , on pose
N

fN : 2 (f|3n)3n-

n = 1
Que représente f N pour la fonction 2% -périodique Î ?

: l' -- = .
En conclure que N1_}m+oe||f f N||2 0

Déduire de là que, si f est orthogonal à S , la fonction f est nulle.

II.F - On note C l'ensemble des en lorsque n décrit IN .
II.F.1) La famille C est-elle orthonormale ?

II.F.2) Pour tout N 6 IN* ,on pose
N

hN : %(f|co) + 2 (f|cn)cn , où f est un élément de E . Montrer que
n=1

lim ||f--hN"2 : o.

N-->+oo

Que peut-on dire si f est orthogonal à C '?

Partie III - Représentation intégrale de T

HLA - Soit f un élément de E. En écrivant la formule de TAYLOR avec reste
intégrale à l'ordre 1 entre 0 et x puis entre 0 et n , montrer que, pour tout
x EUR [O, R],

Tf(x) = [O"k(x,t)f(t)dt ,où

t(rc--x)

" si OSth
k(x,t) :
x(nfi--t) si OSx< [O, %] sépa- rément continue en x et en t satisfaisant à la condition Tf(x) : I0nk(x, t)f(t)dt pour tout fe E et pour tout x e [O, n] . III.C - III.C.1) Démontrer que la fonction le admet un maximum M atteint en un point unique A de [O, 11:] >< [O, n] et déterminer M et A (pour x fixé dans [O, n] , on pourra commencer par étudier la fonction t--> k(x, t) sur [O, n] ).

Concours Centrale-Supélec 2000 3/5

MATHÉMATIQUES / Filière PC
III.C.2) En déduire que, pour tout f E E ,
||Tfll... s Ëllfll1. -- (1)

III.C.3) En considérant la suite (f n)n 21 où

n
(gt) si OStS
TE

MIT--l

fn(t) = n
(%(n--t)) si %sp.

p=1p

IV.A.1) Démontrer que la série du second membre converge normalement sur
l'intervalle [O,n].

IV.A.2) Prouver que T"f : Tnf , pour tout f & E et tout n e ]N*.

IV.B - Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de T" .

IV.C-

IV.C.1) Soit f un élément de E. Montrer que la suite de fonctions (T"f)n21
converge uniformément sur [O,n] vers une fonction que l'on déterminera ;

(il pourra être utile d'étudier le comportement de la suite

( 2 %] lorsque n augmente indéfiniment).
p = 2 p n 2 1

IV. 02) Donner l'expression explicite de la limite de (Tn f ) lorsque f est la 
fonc-
tion définie au I.A.l).

00. FIN 000

Concours Centrale--Supélec 2000 5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Renaud Durand (ENS Ulm) et Bruno Reyssat (ENS
Lyon) ; il a été relu par Cédric Peschard (ENS Ulm).

Ce problème se compose de quatre parties visant à l'étude d'une application
linéaire d'un espace de fonctions dans lui même (c'est ce que l'on appelle un 
opérateur
linéaire). Il combine ainsi l'analyse et les méthodes d'algèbre linéaire.
­ La première partie introduit les notions et outils nécessaires à l'étude d'un
endomorphisme T de C 0 [0, ], R dans lui-même défini par une équation 
différentielle.
­ Dans la partie II, on s'intéresse à l'étude du spectre de T et aux propriétés 
de
ses sous-espaces propres.
­ La troisième partie permet de trouver une expression explicite de T et d'en
déduire des propriétés sur sa norme en tant qu'opérateur.
­ Enfin, la dernière partie traite des propriétés de l'opérateur T itéré n fois 
et
généralise les résultats précédents. En particulier, on s'intéresse à la limite 
de
Tn lorsque n tend vers +.

Indications
I.A.2 Utiliser la périodicité pour ramener l'étude à un intervalle.
I.B Intégrer l'équation différentielle et introduire les conditions en 0 et en .
II.A Se rappeler que (Tf ) (x) = -f (x) pour le calcul du noyau et de l'image de
T.
II.C Utiliser une intégration par partie.
II.D Remarquer que les vecteurs propres de T sont solutions d'une certaine 
équation différentielle.
II.E.1 Calculer dans le cas général (sp |sq ).
II.E.2 Remarquer que fN est la série de Fourier d'une fonction périodique 
définie à
partir de f au début du problème.
II.F Procéder de même qu'à la question II.E.
III.A Écrire Tf () et Tf (x) grâce à la formule de Taylor.
III.B Raisonner par l'absurde.
III.C.2 Utiliser la majoration de k de la question précédente.
III.C.3 Effectuer les calculs en faisant très attention à l'expression de Fn 
(u) pour

u > . Ou bien utiliser l'expression de Tf trouvée à la question III.A.
2
III.D.1 Utiliser l'expression de la question III.B puis Cauchy-Schwarz.
III.D.2 Utiliser l'inégalité précédente en se souvenant que T est linéaire.
III.D.3 Utiliser le résultat précédent et la question II.E.2.
III.D.4 Utiliser l'expression de la question III.D.3. Utiliser le fait que la 
norme k k2
provient d'un produit scalaire pour lequel les (sk ) forment une famille 
orthonormée.
III.E Procéder comme à la question III.D avec les fonctions cn .
IV.B Écrire les produits scalaires (Tn f |sk ).

Partie I
I.A.1 Pour la fonction f (t) =  - 2t, on construit fb et fe en suivant la 
définition :

fb

0

fe

x

0

x

I.A.2 Définissons la fonction fb sur ] - ;  ] ainsi :
(
f (x)
si x  [ 0 ;  ]
fb(x) =
f (-x) si x  ] - ; 0 [

Cette définition est motivée par les conditions sur fb. On prolonge par 
périodicité fb
en posant pour tout x  R,
fb(x) = fb(y)

où y est le seul réel de ] - ;  ] congru à x modulo 2.
La fonction fb est, par construction, 2-périodique. Vérifions maintenant qu'elle
est bien paire.

On a fb(0) = fb(-0), et fb(-) = fb() (par périodicité). En tenant compte de la
construction de fb, on a donc bien pour x  [ - ;  ], fb(-x) = fb(x). Ces deux
fonctions sont 2-périodiques et coïncident sur un intervalle fermé de largeur 2,
elles sont donc égales. Par conséquent fb est paire, et elle est bien définie.

Par construction, fb est égale à f sur [0, ], donc est continue sur 
l'intervalle ] 0 ;  [.
En utilisant la parité de fb, on montre que celle-ci est aussi continue sur ] - 
, 0[.

Le fait que la restriction de fb soit continue sur [ 0 ;  ] n'implique pas 
automatiquement que fb le soit : il faut en effet vérifier le comportement à 
gauche
de 0 et à droite de .

­ En 0, on remarque que fb(x) = fb(-x). Les limites à droite et à gauche de fb
coïncident et sont égales à f (0) = fb(0).
­ En , la limite à gauche de fb est f () = fb(). De plus, puisque l'on a
fb(x) = fb(-x) = fb(2 - x)

la limite à droite en  est égale à sa limite à gauche.
On a donc montré que fb est continue sur ] - , ]. Par périodicité, elle est 
continue
sur R.
fb est définie et continue sur R.

De la même manière, on définit la fonction fe sur ]0, [ par fe(x) = f (x), et 
sur ]- , 0[
par parité. On pose fe(0) = 0 (puisque fe est impaire). On pose aussi fe() = 0. 
On
prolonge par périodicité comme ci-dessus.
On montre de manière analogue que fe est impaire. Elle est clairement continue 
par
morceaux sur les intervalles de la forme ]k, (k + 1)[. Il ne reste plus qu'à 
vérifier la
condition

1
fe(x) =
lim+ fe(x + h) + fe(x - h)
2 h0
­ C'est clair pour les réels où fe est continue.
­ En 0, comme d'une part les limites à droite et à gauche de fe sont opposées, 
et
d'autre part fe(0) = 0, la condition est vérifiée.
­ En , la limite à gauche est f (). Comme :
fe(x) = -fb(-x) = -fb(2 - x)

la limite à droite est -f (). Comme fe() = 0, la condition est vérifiée.
Elle est donc vérifiée sur ] - ;  ] puis (par périodicité) sur R entier.
fe est définie et continue par morceaux sur R.

Pour que fe soit continue, il faut et il suffit qu'en 0 et en  ses limites à 
gauche, à
droite et sa valeur soient les mêmes. D'après ce qui précède, il faut et il 
suffit que
f (0) = 0 et f () = 0.
Finalement :

fe est continue si et seulement si f (0) = f () = 0.

I.B.1 Si y  = -f et y(0) = 0, on a alors nécessairement :

y  (t) = -F0 (t) + y  (0)
Z t
y(t) = -
F0 (u) du + y  (0) t + y(0)
0

y(t) = -

Z

t

F0 (u) du + y  (0) t

0

Or,

y() = -

Z

F0 (u) du + y  (0)  = 0

0

et alors

d'où

1
y (0) =

y(t) = -

Z

0

Z

F0 (u) du

0

t

F0 (u) du +

t

Z

F0 (u) du

0

Cette expression est bien solution du problème posé ; ce dernier admet donc une
unique solution :
Z t
Z
t 
Tf (t) = -
F0 (u) du +
F0 (u) du
 0
0