CCP Maths 2 PC 2014

SESSION 2014 PCM2006

.:==_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

\ Les calculatrices sont interdites \

Les trois parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

On s'intéresse a des opérateurs définis sur l'espace des fonctions continues et 
2n--périodîques,
en introduisant sur cet espace une loi dite produit de convolution.

Partie I : ETUDE D'UN PREMIER OPERATEUR

m@>|--

I.1.a Donner l'allure de la représentation graphique de go sur le segment 
[--27T, Zn].

1.1. Soit go : R --> K définie par :
Vt E R, go(t) :

I.1.b L'application go est--elle continue sur R ? De classe C1 sur R ? De 
classe C1 par mer--
ceaux sur R ? On justifiera brièvement les réponses.

1/4

1.2. Série de Fourier de go.

1.2.a Déterminer les coefficients de Fourier (dits exponentiels) de go : cn(gp) 
pour tout
71 EUR Z. Préciser la convergence de la série de Fourier de @.
+00 1 +00 1
1.2.b Justifier la conver ence et calculer les sommes _ et _.
g nî=:1 4712 -- 1 nî=:1 (4712 -- 1)2

Dans la suite de cette partie, ainsi que dans la partie suivante, on considère 
E l'espace
vectoriel réel des applications de R vers R qui sont continues sur R et 
2w--périodiques.

3+2w
1.3. Soient h E E et H : R --> R définie pour 8 E R par H(s) =/ h(t) dt.

Justifier que H est une application constante sur R.

1.4. A toute fonction f E E, on associe g : <1>(f) définie par :
7T -- t
VOEER, g(oe)=/ sin (f). Montrer que g' : ©(f').
1.6.b Soit h E E, h étant supposée de classe C2 sur R.

h
En utilisant g : ©(h), montrer que : (1) (b" + X) = h.

1.6.c Montrer que (1) établit un isomorphisme (d'espaces vectoriels) entre E et 
son sous--
espace noté E2 constitué des applications de classe C2 sur R (et 
2w--périodiques).

1.7. Exemples de résolution.

4
1.7 .a Déterminer les fonctions f dans E telles que <1>( f ) = -- --f ; pour 
cela, on justifiera

que f E E2 et que f est solution d'une équation différentielle du deuxième 
ordre que
l'on résoudra.

1.7 .b Déterminer les fonctions f dans E telles que <1>( f ) = f.

2/4

Partie II : ETUDE D'UN DEUXIEME OPERATEUR

Soit 7° EUR]O, l[ fixé.

II.1. Pour tout 71 E N*, on définit la fonction pn par :
Vt E R, pn(t) : 7°" cos(nt).

II.1.a Montrer la convergence normale sur R de la série de fonctions de terme 
général pn.

II.1.b Pour tout réel t, on pose alors P(t) : 1 + 2 an(t).
n=1
1 -- 7°2

7°2 -- 27° cos(t) + 1'

En remarquant que 2 cos(mî) : e_'"t+emt, justifier l'égalité P (15) :

II.2. Soit f : R --> R une application continue sur R et 27r--périodique.

II.2.a Justifier que f est bornée sur R.

1
IIZb801tæEURRfixeOndéfinitalorsg(æ)=2--/î(P()fæ--tf(t)dt.
77
On note aussi g0(a: =à/î f(t) d-t -- c0(f) et pour tout 71 E N*
1 TF
an : --/ cos(nt)f(t )dt bn -- --lî/ sin(nt)f(t)dt, gn(a:) : 7°" (an cos(næ) + 
bn sin(na:)).
7T _7T 71-- _7T

Justifier alors l'égalité : g(a:) : Zgn(aî)

II.2.C Montrer que la fonction g ainsi définie est de classe C1 sur R : pour 
cela, on précisera
l'usage du théorème du cours concernant la classe C1 d'une fonction somme d'une
série de fonctions.

II.2.d g étant 27r--périodique, on veut calculer ses coefficients de Fourier. 
Soit ]? EUR Z.
Montrer que cp(g) : r|plcp(f), où cp(g) et cp( f ) désignent les coefficients 
de Fourier
(exponentiels) de f et g respectivement. Pour cela, on justifiera d'abord 
l'intégration
terme--à--terme dans l'intégrale définissant cp(g).

II.3. On considère E l'espace vectoriel réel des applications de R vers R, 
continues sur R et
qui sont 2w--périodiques. A toute fonction f E E , on associe g = H( f ) 
définie par :

1 71"
Va: E R, g(a:) : 2--/ P(a: -- t)f(t) dt.
7T --7T
En procédant comme dans la question 1.4, on montre que l'application H ainsi 
définie
est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel E , ce que l'on admettra sans 
avoir a en

faire la démonstration.

II.3.a Grace a ll.2.d, déterminer les réels À tels qu'il existe f E E non 
nulle. vérifiant
H(f) = V-
II.3.b L'endomorphisme H : E --> E est--il injectif ? Est--il surjectif ?

3/4

Partie III : PRODUIT DE CONVOLUTION, OPERATEURS ASSOCIES

On considère ici l'espace vectoriel complexe noté C27T des applications 
continues de R vers @,
qui sont 2w--périodiques.

On rappelle que l'on définit sur C27T un produit scalaire noté ( l) et la norme 
associée notée ici
H" \ la par =

w,gec2... =i Ægdt, WEURCQ... HfHa= i lf(î)l2dt
277 _7T 27T _7T

Par ailleurs, on considère la norme usuelle H.HOO, définie aussi sur C27T par :

VfEC27T7 llflloe=sup{lf(t)l,tEURR}.

III.1. Pour f et g dans C2... on définit h = f * g (dit produit de convolution 
de f et g), par :

Va: EUR n, h(æ) : à/Ï f(æ --t)g(t) dt.

Montrer que h ainsi définie est dans C27r.

III.2. Pour la suite de cette partie, on admettra sans démonstration la 
relation entre les coeffi--
cients de Fourier de f * g et ceux de f et g :

V" E Za Cn(f * 9) : Cn(f)Cn(g)-

III.2.a Montrer que pour f et g dans C2... on a : f * g = g * f.
III.2.b Montrer qu'il ne peut pas exister 8 EUR C2... telle que pour tout f E 
C27T on ait

f*e=f.

III.3. Soit @ donnée dans C27T.
A toute fonction f E C2... on associe @(f) = w * f.

III.3.a Montrer que l'application @ ainsi définie est un endomorphisme de 
l'espace vectoriel

complexe C27T.

III.3.b Montrer que S$ : {cn(w), 71 EUR Z} est borné, que M : sup{lcn(zÿ)l ,n 
EUR Z} existe et
vérifie M { HOEHOO.

III.3.C Justifier que :
W EUR Cg... ll®(f)ll2 < Ml...l2-

Comment peut--on interpréter ce résultat ?

III.3.d Montrer que S$ est exactement l'ensemble des nombres complexes À tels 
qu'il existe

f non nulle dans C2... vérifiant @( f ) = A f .

Comment peut--on interpréter ce résultat ?

III.3.e Caractériser a l'aide de S$ l'injectivité de @.

Fin de l'énoncé

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE -- 141313 -- D'aprèsdocumentsfournis

CCP Maths 2 PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pauline Tan (ENS Cachan) ; il a été relu par Sylvain
De Moor (ENS Cachan) et Antoine Sihrener (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur une large partie du programme d'analyse et, dans une moindre
mesure, sur celui d'algèbre linéaire. Il introduit le produit de convolution de 
deux
fonctions f et g continues et 2-périodiques, défini par
Z
1 
f  g : x 7
f (x - t) g(t) dt
2 -
Il est composé de trois parties, toutes relatives à l'étude d'un opérateur de 
la forme
f 7- f  g défini dans un premier temps sur l'espace E des fonctions continues et
2-périodiques à valeurs réelles puis, dans la troisième partie, sur l'espace C2 
des
fonctions continues et 2-périodiques à valeurs complexes.
· Dans la première partie, la fonction g est la fonction |sin(·/2)| ;
· Dans la deuxième, il s'agit cette fois d'une fonction un peu plus célèbre 
appelée
noyau de Poisson et définie pour un réel r arbitraire dans ] 0 ; 1 [ par
t 7-

1 - r2
r2 - 2r cos(t) + 1

· Enfin, dans la troisième partie, on traite le cas d'un élément g quelconque
appartenant à C2 .
Dans chaque cas, on s'intéresse essentiellement aux coefficients de Fourier et 
à la
régularité de l'image d'un élément f par l'opérateur avant de terminer par une 
étude
du spectre de ce dernier.
La plupart des questions sont des applications très classiques du cours sur les 
séries
de fonctions et sur l'intégration. Toutefois, ce sujet fait aussi appel à des 
connaissances
sur les séries de Fourier, qui ne figurent plus dans le nouveau programme de PC.

Indications
Partie I
I.1.b Montrer que la dérivée de  n'est pas continue en 0.
I.2.a Calculer les coefficients de Fourier sur l'intervalle [ 0 ; 2 ], 
intervalle sur lequel sin(t/2) est positif, puis utiliser une formule d'Euler 
pour faire apparaître
des exponentielles complexes.
I.3 Utiliser la relation de Chasles.
I.4.b Appliquer le théorème de continuité sous le signe somme.
I.5.a Utiliser la question I.3, puis la formule d'addition du sinus.
I.5.b Commencer par montrer grâce au théorème fondamental de l'analyse que la
fonction g est de classe C 1 , puis montrer que sa dérivée g  est elle-même de
classe C 1 .
I.5.c Exprimer d'abord cn (f ) en fonction de cn (g) et cn (g  ), puis cn (g  ) 
en fonction
de cn (g).
I.6.b Appliquer le résultat de la question I.6.a à la fonction f , puis à la 
fonction f  ,
et exploiter ensuite la linéarité de .
I.6.c Remarquer que (f ) est nécessairement de classe C 2 , puis utiliser la 
question I.5.b pour établir l'injectivité de .
I.7.a Utiliser la question I.5.b pour établir l'équation différentielle 
demandée.
Partie II
II.1.a Comparer |pn (t)| au terme général d'une série géométrique indépendante 
de t.
II.2.b Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de 
fonctions
continues normalement convergente.
II.2.c Appliquer le théorème de dérivation terme à terme.
II.2.d Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de 
fonctions
continues normalement convergente. Calculer ensuite les coefficients de Fourier 
des gn , en utilisant les formules d'Euler.
II.3.a Utiliser la question II.2.d pour établir une relation entre  et r.
II.3.b Remarquer que la fonction (f ) est nécessairement de classe C 1 .
Partie III
III.1 Appliquer le théorème de continuité sous le signe somme.
III.2.a Effectuer le changement de variable u = x - t dans l'expression de (g  
f )(x).
Appliquer ensuite le résultat de la question I.3.
III.2.b Raisonner par l'absurde et montrer que cn () = 1 pour tout n  Z en 
utilisant
la fonction  introduite à la partie I.
III.3.b Appliquer le théorème de Parseval à la fonction .
III.3.c Appliquer deux fois le théorème de Parseval.
III.3.d Démontrer séparément la double inclusion demandée.
III.3.e Remarquer que  est injectif implique qu'il existe une fonction f non 
nulle
telle que (f ) = 0 = 0 × f .

I. Étude d'un premier opérateur
I.1.a La courbe représentative de la fonction  sur l'intervalle [ -2 ; 2 ] est 
donnée
par la figure suivante :
(t)
1
-2

2

0

t

I.1.b En tant que composée des fonctions t 7 |t| et t 7 sin (t/2) continues sur 
R,
La fonction  est continue sur R.
Étudions la fonction  sur chaque intervalle de la forme ] 2k ; (2k + 2) [, avec 
k
un entier relatif. Si k est pair, alors  coïncide sur cet intervalle avec 
sin(·/2), qui est
de classe C 1 sur l'intervalle fermé [ 2k ; (2k + 2) ], de dérivée t 7- 
cos(t/2)/2.
On en déduit que la restriction de la fonction  sur ] 2k ; (2k + 2) [ est 
prolongeable
en une fonction C 1 . Le cas où k est impair est similaire,  coïncidant alors 
avec la
fonction - sin(·/2).
La fonction  est de classe C 1 par morceaux.
En revanche, ainsi que sa courbe représentative donnée à la question I.1.a le 
suggère,
sa dérivée n'est pas continue en 0. En effet,
lim  (t) = lim

t0
t>0

Ainsi,

t0
t>0

cos(t/2)
1
=
2
2

et

lim  (t) = lim -

t0
t<0

t0
t<0

cos(t/2)
1
=-
2
2

La fonction  n'est pas de classe C 1 sur R.

I.2.a Soit t  R. La formule d'addition du sinus assure que

t + 2
t
t
(t + 2) = sin
= sin
+  = sin
= (t)
2
2
2
On en déduit que la fonction  est 2-périodique. Ses coefficients de Fourier 
exponentiels sont donnés par
 
Z
Z
1 2
1 2
t
n  Z
cn () =
(t) e -int dt =
sin
e -int dt
2 0
2 0
2
car le sinus est positif sur [ 0 ;  ]. La formule d'Euler
sin(t) =

e it - e -it
2i

valable pour tout réel t, entraîne alors
Z 2
1
cn () =
e i(1/2-n)t - e -i(1/2+n)t dt
4 i 0
 i(1/2-n)t
2
1
e
e -i(1/2+n)t
=
+
4 i i(1/2 - n)
i(1/2 + n) 0
 i(1/2-n)2

1
e
e -i(1/2+n)2
1
1
cn () =
+
-
-
4 i i(1/2 - n)
i(1/2 + n)
i(1/2 - n) i(1/2 + n)

Puisque e i(1/2-n)2 = e -i(1/2+n)2 = -1 pour tout n  Z, on en déduit que

1
2
2
-
-
cn () =
4 i
i(1/2 - n) i(1/2 + n)

1
1
1
=
+
2 1/2 - n 1/2 + n
1
1
×
cn () =
2 1/4 - n2
soit finalement

n  Z

cn () =

2
(1 - 4n2 )

La fonction  étant continue sur R et de classe C 1 par morceaux sur R d'après
la question I.1.b, le théorème de convergence normale assure que
La série de Fourier de  converge normalement vers  sur R.
I.2.b La fonction  est continue sur R et de classe C 1 par morceaux sur R, on 
peut
donc appliquer
le théorème de Dirichlet qui assure que, pour tout t appartenant à R,
P
la série (cn () e int + c-n ()e -int ) converge et que
(t) = c0 () +

+
P

(cn () e int + c-n () e -int )

n=1

En particulier, si t = 0, puisque cn () = c-n () = 2/ (1 - 4n2 ) pour tout n  Z 
,
La série
Sa somme est donnée par
(0) = c0 () +

+
P

n=1

P

1
converge.
4n2 - 1

+

P
2
2
cn () + c-n () = + 2
2

n=1 (1 - 4n )

avec (0) = 0. On en déduit que

+
P

n=1

1
1
=
-1
2

4n2

Pour calculer la seconde somme, appliquons laP
formule de Parseval : la fonction 
2
2
étant continue sur R et 2-périodique, la série
(|cn ()| + |c-n ()| ) converge.
Puisque
4
2
2
|cn ()| = |c-n ()| = 2
 (1 - 4n2 )2
il s'ensuit que

La série

P

(4n2

1
converge.
- 1)2

Pour prouver la convergence de ces deux séries à termes positifs, on peut
également utiliser la comparaison avec les séries de Riemann ; en effet,
1
1
1
1

et

4n2 - 1
4n2
(4n2 - 1)2
16n4
P
P
où les séries
1/(4n2 ) et
1/(16n4) convergent car 2 > 1 et 4 > 1.
n>1

n>1