CCP Maths 2 PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pauline Tan (ENS Cachan) ; il a été relu par Sylvain
De Moor (ENS Cachan) et Antoine Sihrener (Professeur en CPGE).
Ce sujet porte sur une large partie du programme d'analyse et, dans une moindre
mesure, sur celui d'algèbre linéaire. Il introduit le produit de convolution de
deux
fonctions f et g continues et 2-périodiques, défini par
Z
1
f g : x 7
f (x - t) g(t) dt
2 -
Il est composé de trois parties, toutes relatives à l'étude d'un opérateur de
la forme
f 7- f g défini dans un premier temps sur l'espace E des fonctions continues et
2-périodiques à valeurs réelles puis, dans la troisième partie, sur l'espace C2
des
fonctions continues et 2-périodiques à valeurs complexes.
· Dans la première partie, la fonction g est la fonction |sin(·/2)| ;
· Dans la deuxième, il s'agit cette fois d'une fonction un peu plus célèbre
appelée
noyau de Poisson et définie pour un réel r arbitraire dans ] 0 ; 1 [ par
t 7-
1 - r2
r2 - 2r cos(t) + 1
· Enfin, dans la troisième partie, on traite le cas d'un élément g quelconque
appartenant à C2 .
Dans chaque cas, on s'intéresse essentiellement aux coefficients de Fourier et
à la
régularité de l'image d'un élément f par l'opérateur avant de terminer par une
étude
du spectre de ce dernier.
La plupart des questions sont des applications très classiques du cours sur les
séries
de fonctions et sur l'intégration. Toutefois, ce sujet fait aussi appel à des
connaissances
sur les séries de Fourier, qui ne figurent plus dans le nouveau programme de PC.
Indications
Partie I
I.1.b Montrer que la dérivée de n'est pas continue en 0.
I.2.a Calculer les coefficients de Fourier sur l'intervalle [ 0 ; 2 ],
intervalle sur lequel sin(t/2) est positif, puis utiliser une formule d'Euler
pour faire apparaître
des exponentielles complexes.
I.3 Utiliser la relation de Chasles.
I.4.b Appliquer le théorème de continuité sous le signe somme.
I.5.a Utiliser la question I.3, puis la formule d'addition du sinus.
I.5.b Commencer par montrer grâce au théorème fondamental de l'analyse que la
fonction g est de classe C 1 , puis montrer que sa dérivée g est elle-même de
classe C 1 .
I.5.c Exprimer d'abord cn (f ) en fonction de cn (g) et cn (g ), puis cn (g )
en fonction
de cn (g).
I.6.b Appliquer le résultat de la question I.6.a à la fonction f , puis à la
fonction f ,
et exploiter ensuite la linéarité de .
I.6.c Remarquer que (f ) est nécessairement de classe C 2 , puis utiliser la
question I.5.b pour établir l'injectivité de .
I.7.a Utiliser la question I.5.b pour établir l'équation différentielle
demandée.
Partie II
II.1.a Comparer |pn (t)| au terme général d'une série géométrique indépendante
de t.
II.2.b Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de
fonctions
continues normalement convergente.
II.2.c Appliquer le théorème de dérivation terme à terme.
II.2.d Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de
fonctions
continues normalement convergente. Calculer ensuite les coefficients de Fourier
des gn , en utilisant les formules d'Euler.
II.3.a Utiliser la question II.2.d pour établir une relation entre et r.
II.3.b Remarquer que la fonction (f ) est nécessairement de classe C 1 .
Partie III
III.1 Appliquer le théorème de continuité sous le signe somme.
III.2.a Effectuer le changement de variable u = x - t dans l'expression de (g
f )(x).
Appliquer ensuite le résultat de la question I.3.
III.2.b Raisonner par l'absurde et montrer que cn () = 1 pour tout n Z en
utilisant
la fonction introduite à la partie I.
III.3.b Appliquer le théorème de Parseval à la fonction .
III.3.c Appliquer deux fois le théorème de Parseval.
III.3.d Démontrer séparément la double inclusion demandée.
III.3.e Remarquer que est injectif implique qu'il existe une fonction f non
nulle
telle que (f ) = 0 = 0 × f .
I. Étude d'un premier opérateur
I.1.a La courbe représentative de la fonction sur l'intervalle [ -2 ; 2 ] est
donnée
par la figure suivante :
(t)
1
-2
2
0
t
I.1.b En tant que composée des fonctions t 7 |t| et t 7 sin (t/2) continues sur
R,
La fonction est continue sur R.
Étudions la fonction sur chaque intervalle de la forme ] 2k ; (2k + 2) [, avec
k
un entier relatif. Si k est pair, alors coïncide sur cet intervalle avec
sin(·/2), qui est
de classe C 1 sur l'intervalle fermé [ 2k ; (2k + 2) ], de dérivée t 7-
cos(t/2)/2.
On en déduit que la restriction de la fonction sur ] 2k ; (2k + 2) [ est
prolongeable
en une fonction C 1 . Le cas où k est impair est similaire, coïncidant alors
avec la
fonction - sin(·/2).
La fonction est de classe C 1 par morceaux.
En revanche, ainsi que sa courbe représentative donnée à la question I.1.a le
suggère,
sa dérivée n'est pas continue en 0. En effet,
lim (t) = lim
t0
t>0
Ainsi,
t0
t>0
cos(t/2)
1
=
2
2
et
lim (t) = lim -
t0
t<0 t0 t<0 cos(t/2) 1 =- 2 2 La fonction n'est pas de classe C 1 sur R. I.2.a Soit t R. La formule d'addition du sinus assure que t + 2 t t (t + 2) = sin = sin + = sin = (t) 2 2 2 On en déduit que la fonction est 2-périodique. Ses coefficients de Fourier exponentiels sont donnés par Z Z 1 2 1 2 t n Z cn () = (t) e -int dt = sin e -int dt 2 0 2 0 2 car le sinus est positif sur [ 0 ; ]. La formule d'Euler sin(t) = e it - e -it 2i valable pour tout réel t, entraîne alors Z 2 1 cn () = e i(1/2-n)t - e -i(1/2+n)t dt 4 i 0 i(1/2-n)t 2 1 e e -i(1/2+n)t = + 4 i i(1/2 - n) i(1/2 + n) 0 i(1/2-n)2 1 e e -i(1/2+n)2 1 1 cn () = + - - 4 i i(1/2 - n) i(1/2 + n) i(1/2 - n) i(1/2 + n) Puisque e i(1/2-n)2 = e -i(1/2+n)2 = -1 pour tout n Z, on en déduit que 1 2 2 - - cn () = 4 i i(1/2 - n) i(1/2 + n) 1 1 1 = + 2 1/2 - n 1/2 + n 1 1 × cn () = 2 1/4 - n2 soit finalement n Z cn () = 2 (1 - 4n2 ) La fonction étant continue sur R et de classe C 1 par morceaux sur R d'après la question I.1.b, le théorème de convergence normale assure que La série de Fourier de converge normalement vers sur R. I.2.b La fonction est continue sur R et de classe C 1 par morceaux sur R, on peut donc appliquer le théorème de Dirichlet qui assure que, pour tout t appartenant à R, P la série (cn () e int + c-n ()e -int ) converge et que (t) = c0 () + + P (cn () e int + c-n () e -int ) n=1 En particulier, si t = 0, puisque cn () = c-n () = 2/ (1 - 4n2 ) pour tout n Z , La série Sa somme est donnée par (0) = c0 () + + P n=1 P 1 converge. 4n2 - 1 + P 2 2 cn () + c-n () = + 2 2 n=1 (1 - 4n ) avec (0) = 0. On en déduit que + P n=1 1 1 = -1 2 4n2 Pour calculer la seconde somme, appliquons laP formule de Parseval : la fonction 2 2 étant continue sur R et 2-périodique, la série (|cn ()| + |c-n ()| ) converge. Puisque 4 2 2 |cn ()| = |c-n ()| = 2 (1 - 4n2 )2 il s'ensuit que La série P (4n2 1 converge. - 1)2 Pour prouver la convergence de ces deux séries à termes positifs, on peut également utiliser la comparaison avec les séries de Riemann ; en effet, 1 1 1 1 et 4n2 - 1 4n2 (4n2 - 1)2 16n4 P P où les séries 1/(4n2 ) et 1/(16n4) convergent car 2 > 1 et 4 > 1.
n>1
n>1
