CCP Maths 2 PC 2014

Thème de l'épreuve Introduction au produit de convolution et étude de ses propriétés
Principaux outils utilisés analyse générale, séries de fonctions, séries de Fourier
Mots clefs produit de convolution

Corrigé

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SESSION 2014 PCM2006 .:==_ CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. \ Les calculatrices sont interdites \ Les trois parties sont, dans une large mesure, indépendantes. On s'intéresse a des opérateurs définis sur l'espace des fonctions continues et 2n--périodîques, en introduisant sur cet espace une loi dite produit de convolution. Partie I : ETUDE D'UN PREMIER OPERATEUR m@>|-- I.1.a Donner l'allure de la représentation graphique de go sur le segment [--27T, Zn]. 1.1. Soit go : R --> K définie par : Vt E R, go(t) : I.1.b L'application go est--elle continue sur R ? De classe C1 sur R ? De classe C1 par mer-- ceaux sur R ? On justifiera brièvement les réponses. 1/4 1.2. Série de Fourier de go. 1.2.a Déterminer les coefficients de Fourier (dits exponentiels) de go : cn(gp) pour tout 71 EUR Z. Préciser la convergence de la série de Fourier de @. +00 1 +00 1 1.2.b Justifier la conver ence et calculer les sommes _ et _. g nî=:1 4712 -- 1 nî=:1 (4712 -- 1)2 Dans la suite de cette partie, ainsi que dans la partie suivante, on considère E l'espace vectoriel réel des applications de R vers R qui sont continues sur R et 2w--périodiques. 3+2w 1.3. Soient h E E et H : R --> R définie pour 8 E R par H(s) =/ h(t) dt. Justifier que H est une application constante sur R. 1.4. A toute fonction f E E, on associe g : <1>(f) définie par : 7T -- t VOEER, g(oe)=/ sin (f). Montrer que g' : ©(f'). 1.6.b Soit h E E, h étant supposée de classe C2 sur R. h En utilisant g : ©(h), montrer que : (1) (b" + X) = h. 1.6.c Montrer que (1) établit un isomorphisme (d'espaces vectoriels) entre E et son sous-- espace noté E2 constitué des applications de classe C2 sur R (et 2w--périodiques). 1.7. Exemples de résolution. 4 1.7 .a Déterminer les fonctions f dans E telles que <1>( f ) = -- --f ; pour cela, on justifiera que f E E2 et que f est solution d'une équation différentielle du deuxième ordre que l'on résoudra. 1.7 .b Déterminer les fonctions f dans E telles que <1>( f ) = f. 2/4 Partie II : ETUDE D'UN DEUXIEME OPERATEUR Soit 7° EUR]O, l[ fixé. II.1. Pour tout 71 E N*, on définit la fonction pn par : Vt E R, pn(t) : 7°" cos(nt). II.1.a Montrer la convergence normale sur R de la série de fonctions de terme général pn. II.1.b Pour tout réel t, on pose alors P(t) : 1 + 2 an(t). n=1 1 -- 7°2 7°2 -- 27° cos(t) + 1' En remarquant que 2 cos(mî) : e_'"t+emt, justifier l'égalité P (15) : II.2. Soit f : R --> R une application continue sur R et 27r--périodique. II.2.a Justifier que f est bornée sur R. 1 IIZb801tæEURRfixeOndéfinitalorsg(æ)=2--/î(P()fæ--tf(t)dt. 77 On note aussi g0(a: =à/î f(t) d-t -- c0(f) et pour tout 71 E N* 1 TF an : --/ cos(nt)f(t )dt bn -- --lî/ sin(nt)f(t)dt, gn(a:) : 7°" (an cos(næ) + bn sin(na:)). 7T _7T 71-- _7T Justifier alors l'égalité : g(a:) : Zgn(aî) II.2.C Montrer que la fonction g ainsi définie est de classe C1 sur R : pour cela, on précisera l'usage du théorème du cours concernant la classe C1 d'une fonction somme d'une série de fonctions. II.2.d g étant 27r--périodique, on veut calculer ses coefficients de Fourier. Soit ]? EUR Z. Montrer que cp(g) : r|plcp(f), où cp(g) et cp( f ) désignent les coefficients de Fourier (exponentiels) de f et g respectivement. Pour cela, on justifiera d'abord l'intégration terme--à--terme dans l'intégrale définissant cp(g). II.3. On considère E l'espace vectoriel réel des applications de R vers R, continues sur R et qui sont 2w--périodiques. A toute fonction f E E , on associe g = H( f ) définie par : 1 71" Va: E R, g(a:) : 2--/ P(a: -- t)f(t) dt. 7T --7T En procédant comme dans la question 1.4, on montre que l'application H ainsi définie est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel E , ce que l'on admettra sans avoir a en faire la démonstration. II.3.a Grace a ll.2.d, déterminer les réels À tels qu'il existe f E E non nulle. vérifiant H(f) = V- II.3.b L'endomorphisme H : E --> E est--il injectif ? Est--il surjectif ? 3/4 Partie III : PRODUIT DE CONVOLUTION, OPERATEURS ASSOCIES On considère ici l'espace vectoriel complexe noté C27T des applications continues de R vers @, qui sont 2w--périodiques. On rappelle que l'on définit sur C27T un produit scalaire noté ( l) et la norme associée notée ici H" \ la par = w,gec2... =i Ægdt, WEURCQ... HfHa= i lf(î)l2dt 277 _7T 27T _7T Par ailleurs, on considère la norme usuelle H.HOO, définie aussi sur C27T par : VfEC27T7 llflloe=sup{lf(t)l,tEURR}. III.1. Pour f et g dans C2... on définit h = f * g (dit produit de convolution de f et g), par : Va: EUR n, h(æ) : à/Ï f(æ --t)g(t) dt. Montrer que h ainsi définie est dans C27r. III.2. Pour la suite de cette partie, on admettra sans démonstration la relation entre les coeffi-- cients de Fourier de f * g et ceux de f et g : V" E Za Cn(f * 9) : Cn(f)Cn(g)- III.2.a Montrer que pour f et g dans C2... on a : f * g = g * f. III.2.b Montrer qu'il ne peut pas exister 8 EUR C2... telle que pour tout f E C27T on ait f*e=f. III.3. Soit @ donnée dans C27T. A toute fonction f E C2... on associe @(f) = w * f. III.3.a Montrer que l'application @ ainsi définie est un endomorphisme de l'espace vectoriel complexe C27T. III.3.b Montrer que S$ : {cn(w), 71 EUR Z} est borné, que M : sup{lcn(zÿ)l ,n EUR Z} existe et vérifie M { HOEHOO. III.3.C Justifier que : W EUR Cg... ll®(f)ll2 < Ml...l2- Comment peut--on interpréter ce résultat ? III.3.d Montrer que S$ est exactement l'ensemble des nombres complexes À tels qu'il existe f non nulle dans C2... vérifiant @( f ) = A f . Comment peut--on interpréter ce résultat ? III.3.e Caractériser a l'aide de S$ l'injectivité de @. Fin de l'énoncé 4/4 IMPRIMERIE NATIONALE -- 141313 -- D'aprèsdocumentsfournis

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 CCP Maths 2 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pauline Tan (ENS Cachan) ; il a été relu par Sylvain De Moor (ENS Cachan) et Antoine Sihrener (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur une large partie du programme d'analyse et, dans une moindre mesure, sur celui d'algèbre linéaire. Il introduit le produit de convolution de deux fonctions f et g continues et 2-périodiques, défini par Z 1 f g : x 7 f (x - t) g(t) dt 2 - Il est composé de trois parties, toutes relatives à l'étude d'un opérateur de la forme f 7- f g défini dans un premier temps sur l'espace E des fonctions continues et 2-périodiques à valeurs réelles puis, dans la troisième partie, sur l'espace C2 des fonctions continues et 2-périodiques à valeurs complexes. · Dans la première partie, la fonction g est la fonction |sin(·/2)| ; · Dans la deuxième, il s'agit cette fois d'une fonction un peu plus célèbre appelée noyau de Poisson et définie pour un réel r arbitraire dans ] 0 ; 1 [ par t 7- 1 - r2 r2 - 2r cos(t) + 1 · Enfin, dans la troisième partie, on traite le cas d'un élément g quelconque appartenant à C2 . Dans chaque cas, on s'intéresse essentiellement aux coefficients de Fourier et à la régularité de l'image d'un élément f par l'opérateur avant de terminer par une étude du spectre de ce dernier. La plupart des questions sont des applications très classiques du cours sur les séries de fonctions et sur l'intégration. Toutefois, ce sujet fait aussi appel à des connaissances sur les séries de Fourier, qui ne figurent plus dans le nouveau programme de PC. Indications Partie I I.1.b Montrer que la dérivée de n'est pas continue en 0. I.2.a Calculer les coefficients de Fourier sur l'intervalle [ 0 ; 2 ], intervalle sur lequel sin(t/2) est positif, puis utiliser une formule d'Euler pour faire apparaître des exponentielles complexes. I.3 Utiliser la relation de Chasles. I.4.b Appliquer le théorème de continuité sous le signe somme. I.5.a Utiliser la question I.3, puis la formule d'addition du sinus. I.5.b Commencer par montrer grâce au théorème fondamental de l'analyse que la fonction g est de classe C 1 , puis montrer que sa dérivée g est elle-même de classe C 1 . I.5.c Exprimer d'abord cn (f ) en fonction de cn (g) et cn (g ), puis cn (g ) en fonction de cn (g). I.6.b Appliquer le résultat de la question I.6.a à la fonction f , puis à la fonction f , et exploiter ensuite la linéarité de . I.6.c Remarquer que (f ) est nécessairement de classe C 2 , puis utiliser la question I.5.b pour établir l'injectivité de . I.7.a Utiliser la question I.5.b pour établir l'équation différentielle demandée. Partie II II.1.a Comparer |pn (t)| au terme général d'une série géométrique indépendante de t. II.2.b Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions continues normalement convergente. II.2.c Appliquer le théorème de dérivation terme à terme. II.2.d Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions continues normalement convergente. Calculer ensuite les coefficients de Fourier des gn , en utilisant les formules d'Euler. II.3.a Utiliser la question II.2.d pour établir une relation entre et r. II.3.b Remarquer que la fonction (f ) est nécessairement de classe C 1 . Partie III III.1 Appliquer le théorème de continuité sous le signe somme. III.2.a Effectuer le changement de variable u = x - t dans l'expression de (g f )(x). Appliquer ensuite le résultat de la question I.3. III.2.b Raisonner par l'absurde et montrer que cn () = 1 pour tout n Z en utilisant la fonction introduite à la partie I. III.3.b Appliquer le théorème de Parseval à la fonction . III.3.c Appliquer deux fois le théorème de Parseval. III.3.d Démontrer séparément la double inclusion demandée. III.3.e Remarquer que est injectif implique qu'il existe une fonction f non nulle telle que (f ) = 0 = 0 × f . I. Étude d'un premier opérateur I.1.a La courbe représentative de la fonction sur l'intervalle [ -2 ; 2 ] est donnée par la figure suivante : (t) 1 -2 2 0 t I.1.b En tant que composée des fonctions t 7 |t| et t 7 sin (t/2) continues sur R, La fonction est continue sur R. Étudions la fonction sur chaque intervalle de la forme ] 2k ; (2k + 2) [, avec k un entier relatif. Si k est pair, alors coïncide sur cet intervalle avec sin(·/2), qui est de classe C 1 sur l'intervalle fermé [ 2k ; (2k + 2) ], de dérivée t 7- cos(t/2)/2. On en déduit que la restriction de la fonction sur ] 2k ; (2k + 2) [ est prolongeable en une fonction C 1 . Le cas où k est impair est similaire, coïncidant alors avec la fonction - sin(·/2). La fonction est de classe C 1 par morceaux. En revanche, ainsi que sa courbe représentative donnée à la question I.1.a le suggère, sa dérivée n'est pas continue en 0. En effet, lim (t) = lim t0 t>0 Ainsi, t0 t>0 cos(t/2) 1 = 2 2 et lim (t) = lim - t0 t<0 t0 t<0 cos(t/2) 1 =- 2 2 La fonction n'est pas de classe C 1 sur R. I.2.a Soit t R. La formule d'addition du sinus assure que t + 2 t t (t + 2) = sin = sin + = sin = (t) 2 2 2 On en déduit que la fonction est 2-périodique. Ses coefficients de Fourier exponentiels sont donnés par Z Z 1 2 1 2 t n Z cn () = (t) e -int dt = sin e -int dt 2 0 2 0 2 car le sinus est positif sur [ 0 ; ]. La formule d'Euler sin(t) = e it - e -it 2i valable pour tout réel t, entraîne alors Z 2 1 cn () = e i(1/2-n)t - e -i(1/2+n)t dt 4 i 0 i(1/2-n)t 2 1 e e -i(1/2+n)t = + 4 i i(1/2 - n) i(1/2 + n) 0 i(1/2-n)2 1 e e -i(1/2+n)2 1 1 cn () = + - - 4 i i(1/2 - n) i(1/2 + n) i(1/2 - n) i(1/2 + n) Puisque e i(1/2-n)2 = e -i(1/2+n)2 = -1 pour tout n Z, on en déduit que 1 2 2 - - cn () = 4 i i(1/2 - n) i(1/2 + n) 1 1 1 = + 2 1/2 - n 1/2 + n 1 1 × cn () = 2 1/4 - n2 soit finalement n Z cn () = 2 (1 - 4n2 ) La fonction étant continue sur R et de classe C 1 par morceaux sur R d'après la question I.1.b, le théorème de convergence normale assure que La série de Fourier de converge normalement vers sur R. I.2.b La fonction est continue sur R et de classe C 1 par morceaux sur R, on peut donc appliquer le théorème de Dirichlet qui assure que, pour tout t appartenant à R, P la série (cn () e int + c-n ()e -int ) converge et que (t) = c0 () + + P (cn () e int + c-n () e -int ) n=1 En particulier, si t = 0, puisque cn () = c-n () = 2/ (1 - 4n2 ) pour tout n Z , La série Sa somme est donnée par (0) = c0 () + + P n=1 P 1 converge. 4n2 - 1 + P 2 2 cn () + c-n () = + 2 2 n=1 (1 - 4n ) avec (0) = 0. On en déduit que + P n=1 1 1 = -1 2 4n2 Pour calculer la seconde somme, appliquons laP formule de Parseval : la fonction 2 2 étant continue sur R et 2-périodique, la série (|cn ()| + |c-n ()| ) converge. Puisque 4 2 2 |cn ()| = |c-n ()| = 2 (1 - 4n2 )2 il s'ensuit que La série P (4n2 1 converge. - 1)2 Pour prouver la convergence de ces deux séries à termes positifs, on peut également utiliser la comparaison avec les séries de Riemann ; en effet, 1 1 1 1 et 4n2 - 1 4n2 (4n2 - 1)2 16n4 P P où les séries 1/(4n2 ) et 1/(16n4) convergent car 2 > 1 et 4 > 1. n>1 n>1